基于样条插值的计算阶比分析方法
样条函数插值
s( x)
s1( x)
x [ x1, x2 )
sn1( x) x [ xn1, xn ]
根据上述定义,0次样条函数s(x) 为分段常数,即 阶梯函数,它可表为
s0 x c0 ,
S
x
s1
x
c1 ,
x x0 , x1 , x x1, x2 ,
2 6
M0 )(x1
x0 )
2M0 M1 6 f [x0, x0, x1]
同理由
s(xi )
( fi ( xi
f i 1 ) xi 1 )
(2 6
Mi
1 6
M i 1 )( xi
xi 1 )
并令i=n得 Mn1 2Mn 6 f [xn1, xn, xn ]
xi )
(i 0,1,,n 1)
s0 ( x) x [ x0 , x1)
s( x)
s1( x)
x [ x1, x2 )
sn1( x) x [ xn1, xn ]
例1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示:
x0 f(x) 1
0.15 0.30 0.45
一般二次多项式不是严格意义下的二次样条!
三、三次样条插值 问题的提法：给定数据表
x
x0 x1 •• •• •• xn
f x f0
f1 •• •• •• fn
构造三次样条函数 s(x) S p ( ,3) 满足插值条件
s( xi ) fi (i 0,1,, n)
构造方法：
s(x) S p ( ,3) 应具有如下形式
科学计算方法12(样条插值)
证明: 由插值条件知
R( x0 ) R( x0 ) 0 R( x1 ) R( x1 ) 0
如果x 等于 x0 或 x1 有f(x0)=H(x0)和f(x1)=H(x1) 。
如果x 不等于 x0 或 x1,考虑构造辅助函数
F(t)
f
(t
)
H
(t
)
[
f
(
x)
H(
x)]
(t (x
x0 x0
)2 )2
47假如我们既知道数据点集上的函数值知道一阶导数值那么三次hermite插值就能重新生成这些数据
一般认为Pn(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好？
Runge反例 (rungeinterp)
f(x)=1/(x^2+1), (-5<=x<=5)
x=-5:5; y=1./(x.^2+1); u=-5:.01:5; v=polyinterp(x,y,u); plot(x,y,'o',u,v,'-')
k(
xk
)
[
4 h2
(x
xk1 ) ( x
2 xk ) h2 ]x xk
4 h
S( xk )
Sk( xk )
6 h2
yk 1
6 h2
yk
2 h
mk
1
4 h mk
13:42
23/41
当 xk ≤x ≤ xk+ 1时, Sk+1 (x)由如下基函数组成
k
(
x)
(1
2
x
xk h
)(
x
xk1 h
13:42
15/41
The given data points in the figure are (1,2), (2,1), (4,4), and (5,3), and the cubic spline is given by
数值分析(15)样条插值
数值分析
于是,在[xi , xi 1 ]上
( x xi 1 )2 (hi 2( x xi )) ( x xi )2 (hi 2( xi 1 x )) Si ( x ) yi yi 1 3 3 hi hi ( x xi 1 ) 2 ( x x i ) ( x xi ) 2 ( x xi 1 ) mi mi 1 2 2 hi hi
故构造S ( x )需要4n个条件 由（1）已知节点上函数值 yi , i 0,1, 2, ..., n。 这是n+1个条件
由（2）S ( x ) C 2 [a , b], 隐含着在内节点上应有 Si 1 ( xi ) Si ( xi ), Si'1 ( xi ) Si' ( xi ), Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1
数值分析
数值分析
(3)如何求mi？ 利用在节点上二阶导数连续的条件 由 Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1 导出三转角方程（n 1个方程要解n 1个未知数）
（4）再由三转角方程 边界条件（补充两个方程） 封闭的方程组，可求出mi ,( i 0,1, 2, ..., n)
（2）构造三弯矩方程
利用S ( x )在内节点上一阶导数连续的条件， 在区间[ x i , x i 1 ]上 ' ( x ) 3a ( x- x ) 2 2b ( x- x ) c Si i i i i i
数值分析
数值分析
三、三弯矩方程求解法
三弯矩法的基本思想 （1）yi'' f '' ( xi )未知，但可设S '' ( xi ) M i , ( M i yi'' , 只是M i yi'' ) （2）如能求出M i，则可由M i 和yi 构造S ( x ).
关于圆盘B样条曲线插值及节点插入问题的研究的开题报告
关于圆盘B样条曲线插值及节点插入问题的研究的开题报告一、研究背景和意义圆盘B样条曲线广泛应用于CAD、计算机辅助造型等领域，具有较高的数值稳定性和局部逼近能力。
B样条曲线的插值问题是B样条曲线研究的一个重要问题。
在实际应用中，为了保证B样条曲线的光滑性和逼近精度，在进行节点处插值时，需要探究高效、准确的节点插入算法。
二、研究内容本次研究拟从以下几个方面展开：1. 理论分析当前常用的圆盘B样条曲线插值方法，比较它们在逼近精度、计算量、数值稳定性等方面的优缺点。
2. 提出一种基于局部逼近的圆盘B样条节点插入算法，并分析该算法的复杂度。
3. 基于实际CAD应用，验证论文所提算法的准确性和有效性。
4. 对比不同的节点插入算法在实际应用中的效果，分析数据并提出优化建议。
三、研究方法1. 利用数学方法和计算机仿真对圆盘B样条曲线进行理论分析和数值计算。
2. 从理论上提出四点求圆盘B样条曲线的逼近方案。
3. 利用MATLAB软件编写程序，实现圆盘B样条曲线插值问题的求解，对比不同算法的效果并验证本研究提出的节点插入算法的准确性和有效性。
四、研究成果预期1. 提出一种基于局部逼近的圆盘B样条节点插入算法，降低插值误差和计算复杂度；2. 实现该算法，并在实际CAD应用中验证其准确性和有效性；3. 与其他关键性能更优的方法进行比较，得出优化建议。
五、预期的难点和问题1. 计算节点插入和插值问题的数学模型的建立；2. 如何在降低插值误差的前提下尽量降低计算复杂度，算法效率较低。
六、研究计划1. 2020年10月至2020年12月，对圆盘B样条曲线的插值问题进行理论分析，包括常用的插值方法，并总结其优缺点；2. 2021年1月至2021年4月，基于局部逼近原则，提出一种圆盘B样条节点插入算法，并编写程序进行复杂度的分析；3. 2021年4月至2021年7月，使用MATLAB验证算法的准确性和有效性；4. 2021年7月至2021年10月，对实验结果进行数据分析，与其他节点插入算法进行比较，得出优化建议；5. 2021年10月至2021年12月，完成论文的编写和校稿。
样条插值方法-空间分析-空间统计
空间统计方法-样条插值1. 样条插值拉格朗日插值和牛顿插值的结果中，插值函数的为n-1次多项式函数（n 是已知点的个数）。
当样本点很多时，多项式的次数会很高。
这会导致插值结果对已知点的取值非常敏感。
样条插值可以解决上述问题。
样条插值的基础是样条函数。
样条函数是一种特殊的函数，由多项式分段定义, 通常是指分段定义的多项式参数曲线。
在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。
用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，分段插值具有良好的稳定性和收敛性，可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。
并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。
样条插值一般包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值，其中三次样条插值最为实用，本节主要介绍三次样条插值。
样条函数插值采用两种不同的计算方法：规则样条(Regularized Spline)和张力样条(Tension Spline)。
设在区间[a,b]上取n+1个节点01a x x x n b =<<<=L ，函数f(x)y =在各个节点处的函数值为f(x )(i 0,1,,1)i i y n ==-L ,若S(x)满足S(x )y ,(i 0,1,,1)i i n ==-L ；S (x )在区间[a ,b ]上具有连续的二阶导数；在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上S(x)是三次多项式。
则称S(x)是函数y f(x)=在区间[a,b]上的三次样条插值函数。
从定义可知，要求出S(x)在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上要确定4个待定系数，共有n 个小区间，根据上述条件(2)有S(x 0)S(x 0)i i -=+S (x 0)S (x 0),i 1,2,,1i i n ''-=+=-LS (x 0)S (x 0)i i ''''-=+共有3n-3个条件，再加上条件(1),共有4n-2个条件，因此还需2个条件才能确定S(x)，通常在区间[a,b]的端点0a x ,b x n ==上各加一个条件(称为边界条件)，可根据实际问题的要求给定。
三次样条插值法与最小二值 法的分析及比较
数值计算方法期末论文————同等要求下三次样条插值法与最小二值法的分析及比较。
引言在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据.插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合程度.如果要求这个近似函数（曲线或曲面）经过已知的所有数据点，则称此类问题为插值问题。
当所给的数据较多时，用插值方法所得到的插值函数会很复杂，所以，通常插值方法用于数据较少的情况.但数据一般都是由观测或试验得到的，往往会带有一定的随机误差，因而，要求近似函数通过所有的数据点也是不必要的.如果不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反应数据的整体变化趋势，则解决这类问题的方法称为数据拟合.插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。
而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。
本文由具体题目为基础，主要论述了在同等要求下三次样条插值法与最小二值法的分析及比较。
关键词：数值计算方法、三次样条插值法、最小二值法目录引言--------------------------------------------------- 2第一章三次样条插值------------------------------------ 41.1三次样条插值函数--------------------------------- 41.2 分段线性插值------------------------------------ 51.3插值理论----------------------------------------- 6 第二章最小二乘法--------------------------------------- 72.1 线性最小二乘拟合法------------------------------ 72.2 一般线性最小二乘拟合法--------------------------- 82.3非线性最小二乘拟合法------------------------------ 9 第三章算法对比与实现------------------------------------ 103.1对比实例一---------------------------------------- 103.2对比实例二---------------------------------------- 113.3结果及分析---------------------------------------- 15 第四章总结---------------------------------------------- 16第一章 三次样条插值1.1三次样条插值函数：若函数S （x ）∈2c [a,b],且在每个小区间[1,j j x x +]上是三次多项式，其中a =01x x <<…n x <b =是给定节点，则称S(x)是节点01,,...,n x x x 上的三次样条函数。
样条插值实验报告
四、三次样条插值1.样条函数插值的原理给定区间[,]a b 上划分011:n n a x x x x b -∆=<<<<=，若分段函数()S x 满足： 1. ()S x 在各个子区间1[,]i i x x +，0,1,,1i n =-上均为x 的三次多项式；2. ()S x 在整个区间[,]a b 上有直至二阶的连续导数。
则称()S x 为[,]a b 上依次划分的三次样条函数，简称样条函数。
具体地有分段表达式：3200000132111112322222233211111,[,],[,](),[,](1),[,]n n n n n n a x b x c x d x x x a x b x c x d x x x S x a x b x c x d x x x a x b x c x d x x x -----⎧+++∈⎪+++∈⎪⎪=+++∈⎨⎪⎪⎪+++∈⎩共有4n 个参数,,,,0,1,,i i i i a b c d i n =，它们在内节点处满足00''00''''00()(),()(),1,2,, 1.(2)()(),i i i i i i S x S x S x S x i n S x S x -+---+=⎧⎪==-⎨⎪=⎩满足样条函数定义的函数集合称为分划∆上的三次样条函数空间，记为(3,)S ∆，可以证明(3,)S ∆为线性空间。
若()(3,)S x S ∈∆，且进一步满足插值条件()(),0,1,,(3)i i i S x y f x i n===其中i y 为节点i x 处的给定函数值（若被插函数()f x 已知，则用()i f x 代替之），则称()S x 为以011,,,,n n x x x x -为节点的三次样条函数。
其中式（3）插值节点提供了1n +个约束条件，加上式（2）的33n -个，合起来共有42n -个，欲求4n 个待定参数的唯一解，尚缺两个条件。
数值计算_样条插值方法
多项式插值方法—样条插值-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52f (x)P 5(x)P 10(x)当插值节点过多→龙格现象插值多项式虽然满足插值条件，但是在节点之外，靠近插值区间端点处与实际函数偏离较大，出现了震荡现象如何解决龙格现象？☐根据数据特点选用三角函数或有理函数☐由于多项式的优良性能，更偏爱多项式☐使用分段函数数学模型，在较小的区间段上使用低次多项式插值要点与学习目标☐掌握样条插值的概念和数学模型☐了解样条插值函数系数的确定方法样条插值☐改善分段线性插值和二次插值的精度☐保持曲线的光滑性☐样条的概念三次样条插值函数对于给定的函数表 x)(x f yxx 1xny 1yn思考：根据该定义，关于四个节点的三次样条插值函数的数学模型是什么？需要多少个约束方程才能确定该样条？分段样条插值的数学模型231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩以四个节点为例，四个节点的样条插值函数思考：该函数能否由节点数据完全确定？231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩(0)(0)(1,2,...,1)'(0)'(0)(1,2, (1)''(0)''(0)(1,2, (1)()(0,1,...,)i i i i i ii i S x S x i n S x S x i n S x S x i n S x y i n -=+=-⎧⎪-=+=-⎪⎨-=+=-⎪⎪==⎩样条插值问题的边界条件归根到底，样条插值问题是线性方程组求解的问题。
非均匀三次B样条曲线插值的Jacobi-PIA算法
非均匀三次B样条曲线插值的Jacobi-PIA算法
刘晓艳;邓重阳
【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》
【年(卷),期】2015(027)003
【摘要】为了求解非均匀三次B样条曲线插值问题,基于解线性方程组的Jacobi 迭代方法提出一种渐进迭代插值算法——Jacobi-PIA算法.该算法以待插值点为初始控制多边形得到第0层的三次B样条曲线,递归地求得插值给定点集的三次B样条曲线;在每个迭代过程中,定义待插值点与第k层的三次B样条曲线上对应点的差向量乘以该点对应的B样条系数的倒数为偏移向量,第k层的控制顶点加上对应的偏移向量得到第k+1层的三次B样条曲线的控制顶点.由于Jacobi-PIA算法在更新控制顶点时减少了一个减法运算,因而运算量更少.理论分析表明该算法是收敛的.数值算例结果表明,Jacobi-PIA算法的收敛速度优于经典的渐进迭代插值算法,与最优权因子对应的带权渐进迭代插值算法基本相同.
【总页数】7页(P485-491)
【作者】刘晓艳;邓重阳
【作者单位】杭州电子科技大学理学院杭州 310018;杭州电子科技大学理学院杭州 310018
【正文语种】中文
【中图分类】O245
【相关文献】
1.非均匀三次B样条曲线插值的GS-PIA算法 [J], 刘晓艳;邓重阳
2.非均匀三次B样条曲线的G2光滑条件 [J], 张爱华
3.局部构造C2连续的三次B样条插值曲线和双三次插值曲面 [J], 冯仁忠;查理
4.非均匀三次B样条曲线光顺性研究 [J], 周泽萍
5.基于曲率单调变化的空间非均匀三次B样条曲线的构造方法 [J], 王爱增; 何川; 赵罡
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样条插值法公式
样条插值法公式样条插值法是一种在数学和计算机科学中非常有用的数值分析方法。
咱们今天就来好好聊聊这个听起来有点高大上的“样条插值法公式”。
想象一下，你正在做一个科学实验，测量了一些数据点，但是这些点之间的空白区域你不知道具体数值是多少。
这时候，样条插值法就派上用场啦！先来说说什么是样条插值法。
简单来说，就是通过一系列的分段多项式来连接给定的数据点，使得曲线不仅经过这些点，而且还很光滑。
样条插值法公式有很多种，比如三次样条插值公式。
咱们就以三次样条插值为例来深入了解一下。
假设我们有 n + 1 个数据点 (x₀, y₀), (x₁, y₁),..., (xₙ, yₙ) ，并且x₀ < x₁ <... < xₙ 。
对于每个区间 [xᵢ, xᵢ₊₁] ，我们定义一个三次多项式 Sᵢ(x) = aᵢ(x - xᵢ)³+ bᵢ(x - xᵢ)² + cᵢ(x - xᵢ) + dᵢ。
为了确定这些系数 aᵢ、bᵢ、cᵢ、dᵢ，我们需要满足一些条件。
首先，Sᵢ(xᵢ) = yᵢ，Sᵢ(xᵢ₊₁) = yᵢ₊₁，这保证了曲线经过给定的数据点。
然后，还需要满足在每个节点处一阶导数和二阶导数连续。
这一堆条件看起来很复杂，但其实就是为了让我们得到的曲线既经过点，又光滑自然。
我记得有一次，我在帮一个学生解决物理实验中的数据处理问题。
实验是测量一个物体自由下落的高度和时间的关系。
但是由于测量设备的精度问题，得到的数据点并不是很连续。
我们就用样条插值法来填补这些空缺。
通过计算那些复杂的公式，一点点地确定系数，最终得到了一条非常漂亮的曲线，准确地反映了物体下落的规律。
那个学生当时眼睛都亮了，直说：“老师，这太神奇了！”在实际应用中，样条插值法可广泛用于图像处理、工程设计、金融分析等领域。
比如说，在图像处理中，对图像进行缩放或者变形时，就可以用样条插值来保持图像的质量。
总之，样条插值法公式虽然看起来有点吓人，但只要我们掌握了它的原理和方法，就能在很多情况下发挥大作用，解决那些让我们头疼的数据空缺问题。
三次样条插值算法详解
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
5-5样条插值
y j 1 y j y j y j 1 Cj 6 (h j 1 h j ) h h j j 1 ( j 1,2,, n 1)
边界条件2
此时， M 0 y0 ,
M n yn
对应的三弯矩方程的形式为
0 0 M 1 C1 1 y0 2 1 0 2 0 0 M C 2 2 2 2 0 0 0 0 2 M C n 2 n 2 n 2 n2 0 0 0 2 M C y n 1 n1 n1 n1 n
因为 S(x)在节点处一阶导数值连续，由条件 S j ( x j 0) S j 1 ( x j 0) 得关于参数 M j 的方程组， 即，三弯矩方程的形式为
j M j 1 2M j j M j 1 C j
其中
( j 1,2,, n 1)
hj h j 1 h j
0 0 0 M 0 C0 2 0 0 2 0 0 0 M C 1 1 1 1 0 2 2 2 0 0 M 2 C2 0 0 0 0 0 0 n 1 2 n 1 M n 1 Cn 1 0 n 2 0 0 0 Mn Cn
m j 1
2
(5 71)
x x j , x j 1
( j 0,1, , n 1)
由 S ( x) C
(2)
a, b, S ( x
j
j
0) S j1 ( x j 0)
得
j m j 1 2m j j m j 1 d j
第七节样条插值
由S(x)二阶连续可微,即S ''(xi-) = S ''(xi+),得
6 6 2 4 6 6 4 2 yi 1 2 yi mi 1 mi 2 yi 2 yi 1 mi mi 1 2 hi 1 hi 1 hi 1 hi 1 hi hi hi hi
S ' ( xn ) f n' ,
S ( x0 ) f ,
'' '' 0
S ( xn ) f
''
'' nn ) 0,
'' ''
称为自然边界条件。
4 3° 当f (x ) 是以xn − x0为周期的周期函数时，则要求 S(x ) 也是周期函数。这时边界条件应满足 : S ' ( x 0), S ( x0 0) S ( xn 0), S ' ( x0 0) n
3) S(xi) = yi , (i=0,1,2,…,n),
则称 S(x)为 f (x)的三次样条插值函数.
根据S (x ) 在 [a ,b ] 上二阶导数连续，在节点x j ( j = 1 , , 2 , n − 1) L处应满足连续性条件:
S ( x j 0) S ( x j 0), S ' ( x j 0) S ' ( x j 0),
x xi 1 x xi S ( x ) 1 2 xi xi 1 xi 1 xi x xi ( x xi 1 ) x x i i 1
2
x xi yi 1 1 2 x x i 1 i
样条插值的算例三次样条的概念用一阶导数表示的样条三次样条的极性
0.014 -0.0054 0.4142 0.014 0.045 0.233
估算结点处导数值 mk, 由三对角方程组求解得出
4 1 m1 F1 1 4 1 m F 2 2 1 4 1 m 3 F3 1 4 1 m4 F4 1 4 m5 F5
7结点样条插值
3/17
利用龙格函数的数据表做样条插值第一步
x y m y’ -5.0 -3.33 -1.66 0.264 0 1.0 0. 0 1.66 0.264 -0.4142 -0.233 3.33 0.082 0.0054 -0.045 5.0 0.038 -0.014 -0.014 0.038 0.082
《数值分析》 16
样条插值的算例
三次样条的概念
用一阶导数表示的样条
三次样条的极性
例1. 飞机机翼剖面图
1.数据采集
X
Y
0 -0.4552 -0.6913 -0.8640 -0.9689 -0.9996
0 0.3285 0.3467 0.2716 0.1408 -0.0160
2. 数据插值处理
h x xj 2 j 1 ( x ) ( x x j 1 )( ) h
j ( x ) ( x x j )(
满足: (1) S(x)在 [xj，xj+ 1]上为三次多项式;
(2) S”(x)在区间[a，b]上连续;
(3) S(xj) = yj ( j = 0,1,· · · ,n). 则称 S(x)为三次样条插值函数.
5/17
n个三次多项式, 待定系数共4n个！！
当x∈[xj , xj+ 1] ( j= 0,1,…n-1 )时 Sj(x)= aj + bj x + cj x2 + dj x3 由样条定义,可建立方程(4n-2)个！！ 插值条件: S(xj) = yj ( j = 0,1,· · · ,n) 连续性条件: S(xj+0) =S(xj-0) ( j = 1,· · · ,n-1) S’(xj+0) =S’(xj-0) ( j = 1,· · · ,n-1) S”(xj+0) =S”(xj-0) ( j = 1,· · · ,n-1)
样条插值函数
样条插值函数
样条插值，又称为特征线插值，是一种在有限的给定点的数据点的曲线的函数的拟合表达式的方法，主要应用于数值分析、曲面设计、动画制作等领域。
样条插值可以实现更高的
精确度，以实现复杂曲线函数的近似，从而准确表达函数形式。
样条插值的基本原理是，假设给定n + 1个点，x0 < x1 < x2 …… < xn ，对应的值分别为y0，y1，y2，……，yn，则给定点(x0, y0), (x1, y1)······ (xn, yn)可以确定一个具有n阶连续一阶导数的曲线函数y = b (x)，利用它连接所有的点。
为了使曲线的准确性最大，这里引入一
个“阶数”（k）的假设，即曲线函数y = b (x)不与给定点重合，它的导数至多有k阶，k = 0, 1, 2的情况由样条函数的各个种类构成，k>2的时候使用一般的曲线拟合方法，如多项式
拟合法。
比较常见的方法是三次样条插值，此时阶数k = 3，即函数y = b (x)具有三次连续一阶导数，它由四个二维样条曲线拟合给定的数据，并实现对函数的拟合和重建，从而达到更高的精度。
总之，比较精确的数据分析和可视化设计，都离不开更高精度的曲线拟合，如果想要实现复杂曲线函数的近似，拟合的精度更高，样条插值就会变得更加有用，可以实现更高精度
的拟合。
转子非平稳状态的计算阶比-全息谱方法研究
转子非平稳状态的计算阶比-全息谱方法研究倪雨晨;廖与禾;马再超;刘庆成【摘要】针对转子振动信号的频率在非平稳情况下难以采用传统频谱分析方法提取频率特征的问题,提出了将全息谱原理和计算阶比分析理论相结合的计算阶比-全息谱分析方法.计算阶比分析用于调频信号的角域重采样,并提取需求阶次特征;全息方法用于表达幅值变化规律.通过实验模拟正常转子、裂纹转子和不对中转子的启车状态信号,结果表明:该方法能够实现非平稳状态下故障特征信息的提取,为实际生产过程中的状态监测、故障诊断、评估提供参考和依据.【期刊名称】《风机技术》【年(卷),期】2015(057)004【总页数】9页(P19-26,37)【关键词】阶比分析;全息谱;等角度采样;转子;故障特征提取【作者】倪雨晨;廖与禾;马再超;刘庆成【作者单位】中船重工705所海源测控技术有限公司;西安交通大学机械工程学院陕西西安 710075;西安交通大学机械工程学院陕西西安 710075;西安交通大学机械工程学院陕西西安 710075【正文语种】中文【中图分类】TH113;TK05机械故障诊断技术是机械工程中一门很重要的学科，其中一个研究内容就是对旋转机械设备的运行状态进行监测，从而对可能发生的故障类型进行识别和诊断，以便为这类设备的安全运行提供可靠保障，许多生产实践证明故障诊断与状态监测技术研究对工业生产具有重要的现实意义[1-2]。
目前旋转机械故障诊断主要是基于系统的稳态振动特征,如稳态振动时的轴心轨迹、频率，转频、倍频、分频的幅值和相位等，但对升、降速非平稳过程中的振动信息利用还存在不足。
由于启停车过程的振动信号相当于一个宽频激励下的动态响应，与稳定转速过程相比，其振动信号中包含的信息更为丰富，对机组的动态特性的反应也更为直接和深入。
但启停车过程中转速的不断变化意味着信号是非平稳的，直接使用FFT（傅里叶变换）会出现频率模糊的现象，严重影响了后续全息谱分析的精度[3]。
数值分析 -lec16--样条插值
hi ( x ), hi + 1 ( x ), h i ( x ), h i + 1 ( x )为 Herm ite 插 值 基 函 数
x − x i x − x i +1 ( x − xi +1 )2 [hi + 2( x − xi )] hi ( x ) = 1 + 2 = x i +1 − x i x i − x i +1 hi 3
北京航空航天大学 数学与系统科学学院
Email: numerical_analysis@ Password:beihang 答疑时间：星期四下午2:30－5:30 答疑地点：主216
朱立永
数值分析
第五章插值与逼近
第十六讲
样条插值
数值分析
代数插值
• • • • 一元函数插值（一元Lagrange插值 插值） 一元函数插值（一元Lagrange插值） 二元函数插值（二元Lagrange插值 插值） 二元函数插值（二元Lagrange插值） Hermite插值 Hermite插值 样条插值
3. 对于第三种边值条件有： 对于第三种边值条件有：
γ 1 M 1 β1 2 α1 γ M β 2 α2 2 2 2 M M O O O = O O O M M γ n−1 2 α n−1 M n−1 β n−1 γ n 2 M n βn α n
这样，共有3n-3个方程，还缺少n+3个条件，我们称满足上面条件的s(x) 为f(x)的三次样条函数
数值分析
余下的n+3个条件的确定： 个条件的确定： 余下的 个条件的确定
基于样条插值的计算阶比分析方法
Ｃｏ ｐｕ ｅ ｄ ｒ Ｔｒ ｃ ｉ ｇ Ｍ ｅ ｈ ｄ Ｂａ ｅ ｎ ｍ ｔ ｄ Ｏｒ ｅ ａ ｋ ｎ ｔ ｏ ｓｄ ｏ Ｓ ｌｎｅ Ｄａ ａ Ｉ ｔ ｒ ｌ ｔｏ ｐ ｉ ｔ ｎ ｅ ｐｏ ａ ｉ ｎ
Ｗ Ｕ Ｊａ Ｓ ｉｎ， ＵＮ ｕ ｘ ａ ＬＩ ｈ － ｏ Ｘｉ — ｉ 。 ｉ Ｓ ｂ
ｓ ｍｐ ｉ ｇ，ｉ ｅ ｓｌ ｕ ｎ ｈ ｉ ｅｄ ｍａ ｎ ｖ ｂ ａ ｉ ｎ ｓｇ ａ Ｏ ｔ ｅ ｄ ｇ ｅ － ｏ ｉ ｉ ｒ ｔ ｎ ｓｇ ａ ．Ｔｈ ｓｐ ｐ ｒ ｉｅ ｈ — ａ ｌ ｎ ｔ ａ ｉ ｔ ｒ ｓ ｔ ｅ ｔ － ｏ ｉ ｉ ｒ ｔ ｉ ｎ ｌｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｄ ｍａ ｎ ｖ ｂ ａ ｉ ｉ ｎ １ ｙ ｍ ｏ ｏ ｉ ａ ｅ ｖ ｓｔ ｅｉ ｇ ｎ ｔ ｇ ａ ｅ ｏ ｐ ｔ ｇ ｓ ｅ ｓｏ ｈ ｏ ｕ ｅ ｒ ｅ ｒ ｃ ｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄ ｂ ｓ ｄｏ ｐ ｉ ｅ ｄ ｔ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｎ，Ｓ ｉ ｅ ｎ ｉ ｔ ｇ ａ — ｅ ｒ ｔ ｄ ｃ ｍ ｕ ｉ ｔ ｐ ｆｔ ｅ ｃ ｍｐ ｔ ｄ ｏ ｄ ｒｔ ａ ｋ ｎ ｔ ｏ ａ ｅ ｎ ｓ ｌ ａａ ｉ ｅ ｐ ｌ ｔ ｎ ｎ ｎ ｏ Ｏ ｇ ｖ ｓａ ｎ ｅ ｒ ｔ ｅ ｅ ｓｂ ｅ ｓ ｈ ｍｅ ｆ ｒ ｔ ｅ ｒ ｓ ｍｐ ｉ ｇ ｐ ｏ ｅ ｓｏ ｏ ｄ ｆ ａ ｉ ｌ ｃ ｅ ｏ ｈ ｅ ａ ｌ ｒ ｃ ｓ ｆｃ ｍｐ ｔ ｄ ｏ ｄ ｒ ｔａ ｋ ｎ ｔ ｏ ．Ｔｈ ｎ ｔ ｅ ｐ ｐ ｒ ｆ ａｌ ｉｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｕ ｅ ｒ ｅ ｒ ｃ ｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄ ｅ ｈ ａ ｅ ｉ ｌ ｇｖ ｓａｒｓ ｌ ｎ ｙ
（ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ Ｃｏ ｌｇ ， ｒｆ ｒ ｅ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆＥｎ ｉ ｅ ｒｎ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ ｌ ｅ Ａｉ ｏ ｃ ｉ ｅ ｓ ｔ ｏ ｇ ｎ ｅ ｉｇ，Ｘｉ ａ １ ０ ８， ｉ ａ ｅ ｙ ’ ｎ ７ ０ ３ Ｃｈ ｎ ） Ａｂ ｔａ ｔ Ｔｒ ｃ ｉ ｇ ｏ ｄ ｒａ ａ ｙ ｉ ｓ ｆ ｌ ｏ ｌ ｏ ｏ ａ ｉ ｇ ｍａ ｈ ｎ ｒ ．Ｃ ｍｐ ｔ ｄ ｏ ｄ ｒｔ ａ ｋｎ ｔ ｏ ｖ ｒ ｏ ｓｔ ｅ ｓｒ ｃ ： ａ ｋ ｎ ｒ ｅ ｎ ｌ ｓ ｓｉ ａ ｕ ｅ ｕ ｏ ｒｒ ｔ ｔｎ ｃ ｉ ｅ ｙ ｓ ｔ ｆ ｏ ｕ ｅ ｒ ｅ ｒ ｃ ｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄｏ ｅ ｃ ｍｅ ｈ
三次样条插值的方法和思路 -回复
三次样条插值的方法和思路-回复三次样条插值是一种常用的插值方法，它可以在已知的离散数据点上构造出一条光滑的曲线。
这种方法被广泛应用在曲线拟合、图像处理、数据分析等领域。
本文将介绍三次样条插值的方法和思路，并详细阐述每个步骤。
第一步是确定插值段数。
在进行三次样条插值时，首先需要将已知数据点划分成若干个插值段。
插值段越多，插值曲线越接近原始数据，但也会使插值算法复杂度增加。
因此，在确定插值段数时需要权衡精度和计算效率。
第二步是计算每个插值段的系数。
对于每个插值段，我们需要计算出一个三次曲线，该曲线会通过该段的两个端点。
具体的计算方法是，假设有n 个插值点，则有n-1个插值段，每个插值段的系数需要通过以下步骤计算：1. 计算边界条件：这是三次样条插值的关键一步。
我们需要根据已知数据点的性质，来确定边界条件是自然边界、固定边界还是其他类型的边界。
自然边界要求二阶导数在两个端点处为0，即S''(x_0) = S''(x_n) = 0。
固定边界要求插值曲线通过端点的给定导数值，即S'(x_0) = d_0、S'(x_n) = d_n。
2. 构建三对角矩阵：三次样条插值的求解过程可以转化为解线性方程组的问题。
为了解这个方程组，我们需要构建一个三对角矩阵。
其中的对角线元素是2，上下对角线元素是1。
3. 计算方程组的右侧：方程组的右侧是一个n-1维的向量，每个元素对应插值段的边界条件。
对于自然边界，右侧元素都是0；对于固定边界，则通过求解给定的导数值得到。
4. 解线性方程组：将三对角矩阵与右侧向量相乘，即可得到每个插值段的系数。
第三步是构造插值曲线。
在前两步中，我们计算得到了每个插值段的系数。
现在，我们需要将这些系数整合起来，构造出整个插值曲线。
具体的构造方法为，对于第i个插值段，其插值函数可表示为：S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3其中x_i和x_{i+1}为插值段的端点，a_i、b_i、c_i、d_i为第i个插值段的系数。
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弹箭与制导学报
!%%" 年 !
致分析精度不高!在此基础上"产生 了 计 算阶 比 跟踪方法"即等角度间隔的振动序列 不 通 过硬 件 采集实现"而 是 采 用 软 件 方 法"通 过 对 等 时 间 间 隔采样的振动序列的重采样来实现!该方法硬 件采集部分和传统的频谱分析方法 基 本相 同"只 是在等时间间隔采集的振动信号之 外"需要 多 采 集一路转速信号!剩下的全部工作由软件来实 现 "如 图 $ 所 示 过 程 !
A!基于样条插值的计算阶比分析方 法的计算步骤
已 知 ’等 时 间 间 隔 采 样 的 振 动 序 列 (!)"对 应 采集时刻序列为(’!)"转 子 转 速 信 号 序 列(D)"对 应采集时刻序 列(’D)*要 求(’D)应 覆 盖 (’!)所 在 时段"通 常 转 速 序 列 采 样 速 度 要 比 振 动 序 列 的 低+"需 要 分 析 的 阶 比 范 围 #$$"$!$"以 及 细 化 倍 数 I!求’对应的阶比谱!计算步骤如下!
’ 为 !’ZfZ%A !
!Z!fZ"A时"高 压 转 子 转
速 C! 变 化 如 图 & 所
示!
按照 前 面 同 样 的 采 样 速 率 采 集 #!’"Z
图 &!-! 转 速 曲 线
个 数"终 止 时 刻 为 Z&’U
!A"由 图 & 可 知"对 应 过
程中 C! 转 速 变 化 较 大"
直接 采 用 文 献 %ZVW&方
信息"通过对 该 过 程 的 深 入 分 析"可 以 对 转 子 不
对中#碰磨等多种故障特征进 行识别! 由于 试 车
过程影响飞机正常任务的执行"消耗 大 量 的燃 油
和一定的发动 机 寿 命 等 物 质 资 源"因 此"通 常 希
望这样的 过 程 尽 可 能 少"时 间 尽 可 能 短! 因 此"
应该有 太 大 的 变 化"因 此"可以 相 信 图 Y 以 非 常高 的 精 度 估 计 出 了
图 "! 对 非 稳 态 过 程 的阶比谱分析
对应时段内的振动幅值!因此"文中所 述方 法可
法分 析 得 频 谱 结 果 如 图 图Y!对非稳态过程
Y!
的频谱分析
图中谱线峰 值 对 应 频 率 为 $"%UZ$<T"振 幅
为$$UW’PP’A! 仔 细 观 察 该 图 可 以 发 现"该 图
已经出现了谱线的发散"实际上此时 的 振 幅量 测
值已经存在很大的误差了"这一点可 以 从 阶比 谱
已经获知!
说明’步骤#的作用为保证 步骤& 中插值 点
在已知数据对应关系的范围之 内"否则 可能 导致
范围之外的插值误差很大!
"!应用实例
"U@! 过 程 描 述 一次 典 型 的 航 空 发 动 机 试 车 过 程 如 图 ! 所
示!
图 !! 某 型 航 空 发 动 机 试 车 曲 线
曲 线 C$ 为 低 压 转 子 的 转 速 曲 线 *简 称 C$+"曲线 C!*简 称 C!+为 高 压 转 子 的 转 速 曲 线"曲线!J 为 发 动 机 的 振 动 曲 线! 这 三 个 信 号 来自于发动机上专用检测插头中与物理信号成 正比关系的电信号!飞机自带的振动传感器安 装于机腹下方的机匣上"该点可 以感受 到来 自发 动机的各个旋转部件的振动!
723I+9,;T5;,5G5.-U1(4 8,9H2;:.0,;2( 6I*1(,P.9.’(9,5I2*.912(
a8>9?0"28- L945‘9?"7+2395Q/ !G0190::B901)/FF:1:",9BE/BC:809K:BA9DJ/EG0190::B901"L9’?0’$%%#Z")390?# &=095.-9(MB?C[901/BO:B?0?FJA9A9A?4A:E4FD//FE/BB/D?D901P?C390:BJU)/PN4D:O/BO:BDB?C[901P:D3/O/K:BC/P:AD3: Q41A/ED3:DB?O9D9/0?FDB?C[901/BO:B?0?FJA9AD3?D9AA/C/PNF:‘"C/ADFJ?0OF/HNB:C9A9/0UcJD3:P:?0A/EA/EDH?B:B:5 A?PNF901"9D:?A9FJD4B0AD3:D9P:5O/P?90K9QB?D9/0A910?FD/D3:O:1B::5O/P?90K9QB?D9/0A910?FUM39AN?N:B19K:AD3:905 D:1B?D:OC/PN4D901AD:NA/ED3:C/PN4D:O/BO:BDB?C[901P:D3/OQ?A:O/0ANF90:O?D?90D:BN/F?D9/0"A/19K:A?090D:1B?D5 :OE:?A9QF:AC3:P:E/BD3:B:A?PNF901NB/C:AA/EC/PN4D:O/BO:BDB?C[901P:D3/OUM3:0D3:N?N:BE90?FFJ19K:A?B:A4FD /ED39AP:D3/O?NNFJ901D/D3:?:B/:0190:’AC3?01901AN::ONB/C:AAU >,/?25;0(C/PN4D:O/BO:BDB?C[901&ANF90:O?D?90D:BN/F?D9/0&K9QB?D9/0?0?FJA9A&B/D?D901 P?C390:BJ&?:B/:0190:
文中给出了基于样条插值的计算阶比分析 方法的计算步骤%该步骤可以很方便的把时域 振动信号转换为角域振动信号"为旋 转 设 备变 速 过程的转速跟踪分析提供了具体的分析方法%
%!转速跟踪分析
转速跟踪分析方法是针对旋转设备的振动
分析而产生的一种信号分析方法% 转速跟踪分析方法的优点是可以识别变速
过程中的振动幅值%如果采用常规的频谱分析 方法"因为在 振 动 信 号 所 对 应 的 时 间 段 内"频 率 始终变化"所以采用基于平稳信 号假设 基础 上的 各种分析方法都不能给出很好 的分析 结果"而 采 用转速跟踪方法则可以化时间和振动的关系为 角度和振动的关系"避开转速随 时间的 变化 而带 来的非平稳问题%
@!引言
转速跟踪分析的核心问题是设法获取振动 信号随转子转动角度的等间隔变化的角域采样 序列%计算 阶 比 分 析 方 法 可 )!VW* 以 对 时 域 采 样 的振动序列通过重采样的方法获取角域采样序 列"克服了传 统 转 速 跟 踪 方 法 的 缺 陷"大 大 降 低 了 硬 件 的 成 本 "并 且 提 高 了 计 算 精 度 %
"%+ *%& 0%$+,*.0$+
*$+
然后按照(%)和(’GD )的 对 应 关 系"采 用 插 值 算 法
计 算 (%G)对 应 的 序 列 (’%)!
步 骤 #’对 (’%)进 行 裁 减 "使 (’! )刚 好 包 含 被
裁减后的序列(’G%)"设其长度为 CG!
步骤&’按照(’!)和(!)的对应关系"采 用 插
! 第 !" 卷 第 # 期
弹箭与制导学报
+ !$$ +
基于样条插值的计算阶比分析方法"
吴!剑!孙秀霞!李士波
!空 军 工 程 大 学 工 程 学 院 "西 安 !’$%%#Z# !摘要" 转速跟踪分析方法可以有效的用于旋转设备 变 速 过 程 的 振 动 分 析"计 算 阶 比 分 析 方 法 克 服 了 传 统 的 转速跟踪方法硬件结构复杂$成本高$精度差的缺陷"采用软件重采样的方法实现时域采样信号到角域采样 信 号的转变%文中给出了采用样条插值进行计算阶比分析的完整计算步骤"为计算阶比分析的重采样过程给 出 了 完 整 的 可 行 的 方 案 "并 最 后 给 出 了 该 方 法 对 航 空 发 动 机 变 速 过 程 的 振 动 分 析 结 果 % !关键词" 计算阶比分析&样条插值&振动分析&旋转设备&航空发动机 !中 图 分 类 号 "GRS@@$D%! ! !文 献 标 识 码 ",
值算法计算(’G%)对应的序列(!G)!则(!G)即 为 按
等角度间隔重采样的振动序列!
步 骤 Y’计 算 角 采;
$ "%
*!+
记阶比 谱 中 的 谱 线 间 隔 "$ + CG,DG("计 算
E$ + #$$,"$$"E! + #$!,"$$-以起始值E$.终 止
值E!.步 长 $,I 建 立 序 列 (E)!这 里 的 中 括 号 %#
如何最有效地利用这一过程中的全部信息进行
振动参数精确提取便是对其信号分析方法提出
的最基本的需求!
"U%! 频 谱 分 析 与 文 中 方 法 结 果 对 比 对于图! 所 示 试 车 过 程"’ 为 !ZZU"A时"工
作状态为 C$$YYU$$<T"C!$$"!U%#<T! 此 时 以 Z%"&UY$"$<T 采 集 长 度 为 #!’"Z 的 振 动 数 组! 采用文献%ZVW&对 应 的 基 于 频 谱 校 正 的 频 谱 细 化 方 法 可 以 得 到 频 谱 图 局 部 如 图 #!