Ch2 流体中声波-02 波动方程的建立

dP dρ , d ρ s dP =c2 d ρ
考虑到压强和密度的变化有相同的方向, 即dP>0时必有dρ >0 根据理想流体的“小振幅声波”假设，小体元密度的变化量远小 于其静态质量，
ρ = ρ 0 + ρ ', − ρ0
ρ ' << ρ 0
对于固定质量体元：
M = ρV
0 = d ρV + ρ dV
2
3.物态方程(热力学定律)
绝热过程
P = P( ρ ), dP =c 2 d ρ , c 2 =
dP d ρ S
c2 =
( )
Biblioteka Baidu
dP dP = dρ ρ − dV V ρ S
(
)
S
ρ
=
K 1 = S βS ρ ρ
在平衡态(P0,ρ0)附近将c2按泰勒级数展开 可得：
βS = −
dV
V
= −dρ
ρ
于是可得，
∂ v ∂ρ ' = ∂ x ∂t
dV dP K 1 V , K = 1 = dP = S , βS = − c2 = S = ρ β ρ ρ β S − dV dP d S S V
关于c2的讨论
d P dP d ρ dV c = , = − , = dρ d ρ s V S ρ s ρ ρ S
第二章 流体中声波的基本性质
¡ 流体中的波动方程, 平面波 ¡ 能量、声压级、边界条件 ¡ 声波垂直入射和斜入射两种流体界面 ¡ 非均匀波、声波垂直透过中间层
第二章 流体中声波的基本性质
¡ 矩形声波导 ¡ 柱面波，圆柱波导 ¡ 球面波、点声源 ¡ 偶极源、相控线阵声源 ¡ 活塞型声源的辐射特性 ¡ 活塞源轴线上的远近场临界距离
在单位时间内通过左侧面流入该体 积元的质量应等于截面积为S、高度 为(v)x的柱体体积内包含的媒质质量 即(ρv)xS; 在同一单位时间内从体积元经过右侧面流出的质量为-(ρv)x+dxS 取(ρv)x+dxS的泰勒展开式的一级近似即为 ∂ (ρ v) x − (ρ v) x+dx S ≈ − (ρ v) x + dx S . ∂x 单位时间内流入体积元的净质量为
dV
V dP
为绝热体积压缩系数 单位压强变化引起的体积相对变化,负号表示压强 和体积的变化方向相反;
d 2P dP dP c2 = = + ( ρ − ρ0 ) + ... 2 d ρ S d ρ S ,0 d ρ S ,0
根据理想流体的“小振幅声波”假设， ρ 于是可得 所以，
(
)
f ( x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 )
f ( x ) − f ( x0 ) ≈ f '( x0 )( x − x0 ) = f ( x ) ≈ f ( x0 ) + ∂f ( x ) ( x − x0 ) ∂x ∂f ( x ) ( x − x0 ) ∂x
r 1 ∂ 2ρ ' r 1 ∂ 2v 2 ∇2v = 2 和 ∇ ρ '= 2 c0 ∂ t 2 c0 ∂ t 2
由三维运动方程 ρ 0
r ∂v = −∇p ∂t
速度场的性质
∂p ∂v ∂p y x = − , ρ0 z = − 即 ρ0 dt = − ∂x , ρ0 dt ∂y dt ∂z
∂v ∂p
其中
∂ r ∂ r ∂ r ∇= i + j+ k ∂x ∂y ∂z
矢量函数的散度
∂x
r r r r , ρ v = ρ vx i + ρ v y j + ρ vz k
∂y
∂z
r ∂v r ∂ρ ′ = −∇p ,三维连续性方程 −∇ g(ρ 0v 三维运动方程 ρ0 )= ∂t ∂t 2 物态方程 p = c0 ρ '
r r r ∂ ( ρ vx ) ∂ ( ρ v y ) ∂ ( ρ vz ) 其中 ∇g( ρ v ) = div ( ρ v ) = + + 表示 ρ v 的散度. ∂x ∂y ∂z
线性化处理可得 −∇ g (ρ 0 v )=
∂t
r
∂ρ ′ ∂t
中国石油大学(北京)测井研究中心乔文孝
r ∂ ( ρ vx ) ∂ ( ρ v y ) ∂ ( ρ vz ) r r + + 矢量 ρ v 的散度: ∇g( ρ v ) = div ( ρ v ) =
∇2 = ∂2 ∂2 ∂2 + + 为直角坐标系里的拉普拉斯(Laplace)算符. ∂ x 2 ∂ y2 ∂ z 2 1 ∂2p 2 c0 ∂ t2
r r AgB = ( Ax
Ay
Bx Az )g B y = Ax Bx + Ay By + Az Bz B z
类似地可得振速、密度变化量等量的三维波动方程:
对连续性方程求时间导数 −∇ ⋅ (ρ0
r ∂v ∂ 2ρ′ )= ∂t ∂ t2
三维波动方程
散度算符 ∇g= div
• 只能作用于矢量; • 对一个 矢量的散度运算 ，相当于两个矢 量的点乘积; • 运算结果是一个标量.
对物态方程求时间导数并代入，并考虑到 ∇g∇p = ∇2 p 于是可得小振幅声波声压p的三维波动方程为 ∇ 2 p =
于是三个方向的方程可以写在一个方程中：
∂v r ∂v ρ x i + y ∂t ∂t ∂ r ∂ = − i + ∂y ∂x
即 ρ
∂ r ∂ r ∂ r ∇= i + j + k 为纳不拉(Nabla)算符 (劈形算符)。 ∂x ∂y ∂z
r ∂v = −∇p，其中 ∂t
r ∂v z r ∂p r ∂p r ∂p r j+ k = − i + j+ k ∂t ∂y ∂z ∂x r ∂ r j + k p = −∇ p ∂z
三维运动方程
三个方向上都不均匀； ¡ 媒质的三个基本方程乃至波动方程的推导完全类似 于一维情形,不同的只是现在还要计及y、 z方向压 强的变化而作用在体积元上的力,体积元的速度也 不恰好在x方向, 而是空间的一个矢量. ¡ 为避免重复,这里不再逐一推导, 只把一维情况的结 果简单地推广到三维情况； ¡ 以下将小体元一维的运动方程和连续性方程推广到 三维。
通过声压可以进而求得密度的变化量、质点速度等其 它描述声场物理量所满足的波动方程. 声振动作为一个宏观的物理现象,必然要满足牛顿第二 定律、质量守恒定律和热力学定律. 从一维情形(平面波问题)入手，推广到三维.
1. 运动方程
设想在声场中取一足够小的体积元,其体积为Sdx, 由于声压随位置 x而异 ,因此作用在体积元左侧面与右侧面上的力不相等,其合力就 导致这个体积元里的质点沿 x方向运动.
x
x+dx
根据理想流体的“小振幅声波”假设，质点的振动速度 远小于声波的传播速度， 0
v << c
可以证明，
ρ0
∂v ∂p =− ∂t ∂x
中国石油大学(北京)测井研究中心乔文孝
2.连续性方程(质量守恒定律)
设想在声场中取一足够小体积元,其体积为Sdx, 如在体积元左侧面 (ρ v) ( ρv ) x处,媒质质点的速度为(v)x ,密度为(ρ)x
=
∂ρ ∂ ( ρ v z ) ∂ρ 和 − = ∂t ∂z ∂t
r ∂v 进行线性化处理后可得 ρ 0 = −∇p ∂t
将三个方向的方程写在一个方程中： ∂ ( ρ v x ) ∂ ( ρ v y ) ∂ ( ρ v z ) ∂ρ = − + + ∂x ∂y ∂z ∂t r ∂ρ 即 −∇ g( ρ v ) =
声压的波动方程
对小振幅声波,经过略去二级以上微量的所谓线性化手续以后, 媒质的三个基本方程都已简化为线性方程：
流体中的一维波动方程
声压的波动方程
2 p =c0 ρ′
ρ0
∂v ∂p =− ∂t ∂x
运动方程
−ρ0
∂ v ∂ρ ′ = ∂ x ∂t
∂ 2p 1 ∂ 2p = ∂ x 2 c02 ∂ t 2 1 ∂ 2v ∂ 2v = 2 2 2 ∂x c0 ∂ t ∂ 2ρ ' 1 ∂ 2ρ ' = 2 ∂ x 2 c0 ∂ t2
x x + dx
2.连续性方程(质量守恒定律)
(ρ v)x ( ρv )x+ dx
在单位时间内通过左侧面流入该体 积元的质量 (ρv)xS; 在同一单位时间内从体积元经过右侧 面流出的质量 ∂ (ρ v) x −(ρ v) x+dx S ≈ − (ρ v) x + dx S ∂x 单位时间内流入体积元的净质量为 −
连续性方程
绝热方程
振速的波动方程
根据这一方程组,即可消去v、 ρ’，得到关于声压的方程
∂p 2 ∂v =− , 将绝热方程带入连续性方程 ρ0 c0 ∂x ∂t
两边对时间求导数
2 ρ 0 c0
密度变化量的波动方程
∂ 2v ∂2p =− 2 , ∂ t∂ x ∂t
2 2
类似地可得其它物理量的波动方程 注意： • 理想流体媒质中小振幅声波的波动方程； • 忽略了二级以上微量以后得到, 故称为线性声波方程； • 一维平面波声波方程.
3.物态方程(热力学定律)
声波过程可认为是绝热过程,这样,就可认为压强P仅是密度ρ的单 值函数,即 P = P( ρ ) 因而由声扰动引起的压强和密度的微小增量满足 dP = 这里下标“s”表示绝热过程 所以dP与dρ的比例系数恒大于零,现以c2表示 , 于是
−
∂ (ρ v) ∂ρ = ∂x ∂t
∂ (ρ v) Sdx ∂ x
在单位时间内体积元内质量的增加量必然等于流入体积元的净 质量,即 ∂ (ρ v ) ∂ M ∂ρ − Sdx = = Sdx. ∂x ∂t ∂t 整理后可得
−
∂ ( ρ v) Sdx ∂x
−
∂ (ρ v ) ∂ρ = ∂x ∂t
2.连续性方程(质量守恒定律)
(ρ v)x ( ρv )x+ dx
− ρ 0 很小
β s 大～媒质易变形、弹性大；
KS =
1 dP = β S − dV V
为体积弹性系数，使媒质发生单位形变所需 的压强变化量.
dP 2 c0 = d ρ S ,0
2 p = c0 ρ'
K s 大～媒质不易变形、刚性大(叫刚性系数更加合适).
中国石油大学(北京)测井研究中心乔文孝
1. 运动方程
ρ dv ∂p =− dt ∂x
F1
P0+p
P0+p+dp F2
X
F1 = (P0 + p )S
P0+p F1
P0+p+dp
dp=
F2
X
F2 = (P0 + p + dp)S
∂p dx ∂x
x
x+dx
∂p dx 小体元在x方向所受合力 F = F1 − F2 = − S ∂x dv ∂p =− Sdx , 根据牛顿第二定律可得 ρ Sdx dt ∂x dv ∂p 整理可得 ρ =− dt ∂x
运动方程对x求导数并整理可得 类似地可得关于v、 ρ’的波动方程.
∂ p 1 ∂ p = ∂ x 2 c02 ∂ t 2
三维波动方程
¡ 以上我们都假定声场在y、 z方向是均匀的,从而导得
了一维声波方程.
¡ 为了普遍起见,现在讨论三维情形,即声场在 x、 y、z
∂p dvx =− dt ∂x dvy ∂p dv ∂p =− 类似地，在 y、 z方向有 ρ 和 ρ z =− dt ∂y dt ∂z ρ 对于 x方向有：
r v
是质点的振动速度，
∇ p = gradp 表示标量函数p的梯度。
三维运动方程
一维运动方程 ρ
三维连续性方程
∂ ( ρ vx ) ∂ρ 对于x方向有： − = ∂x ∂t
dvx ∂p =− dt ∂x
r dv = −∇p 三维运动方程 ρ dt
类似地，在 y、 z方向有 −
∂ ( ρ vy ) ∂y
§2-3理想流体媒质中的声波方程
根据声波过程中的物理规律,建立声压随空间位 置和随时间变化的关系,这种关系的数学表示就 是声波波动方程. 研究 p = p x, y, z , t = ?
函数的泰勒级数展开
f ( x) = ∑
n =0 ∞
f ( n) ( x0 ) ( x − x0 )n , n = 0,1, 2,... n!
∂v
rot =∇ × 为旋度算符
r i r r ∂ rot v =∇ × v = ∂x vx r j ∂ ∂y vy
矢量函数的旋度
r k ∂ v ∂ v r ∂ v ∂ v r ∂ v ∂ v r ∂ = z − y i + x − z j+ y − x k ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y vz