立体几何中平行与垂直的证明

D 1

B 1

D A

B

C

E

1

A 1

C

立体几何中平行与垂直的证明

姓名

【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系;

2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.

例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， O 是底ABCD 对角线的交点．

求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥平面AB 1D 1． 【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法：

【变式一】如图，在长方体1

111D C B A ABCD -中,1,11>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动。 求证：E D 1⊥D A 1；

【反思与小结】1．证明线线垂直的方法： 1． 谈谈对“点E 在棱AB 上移动”转化的动态思考 2． 比较正方体、正四棱柱、长方体

【变式二A 】如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD 是正方形，ABEF 是矩

形，且,22

1==

AD AF G 是EF 的中点， （1）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （2）求空间四边形AGBC 的体积。

反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A 】的图复原有什么新的认识？

D

1

O

D

B

A C 1

B

1

A 1

C

B C

A D E

F

M 【变式二B 】. 如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)111

A B C A B C -中，8A B =，

6A C =，10B

C =，

D 是B C 边的中点.

（Ⅰ）求证：

1A B AC ⊥； （Ⅱ）求证：1A C

∥ 面1AB D ；

【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？

【变式三】如图组合体中，三棱柱111A B C A B C -的侧面11A B B A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；

（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111

A B C C B -与圆柱的体积比． 【反思与小结】

1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。

2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会

【变式四】如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；

（2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE. 【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？

D C

1

B

1

A

1

C

B

A

【变式五】如图5所示，在三棱锥P A B C

-中，P A ⊥平面ABC ， 3A B B C C A ===，M 为AB 的中点，四点P 、A 、M 、C 都在球O 的球面上。 （1）证明：平面P A B ⊥平面P C M ；（2）证明：线段P C 的中点为球O 的球心； 【反思与小结】1．探讨球与正方体、长方体等与球体之间的关系。 2．结合前面几组图形的分割变化规律，说明正方体、正四棱 柱、长方体、直三棱柱、四棱锥、三棱锥的变化联系。

3．总结立几中证明“平行与垂直”的思路和方法

课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点。 （I ）求证：B 1C//平面A 1BD ； （II ）求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A

（III ）设E 是CC 1上一点，试确定E 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BDE ，并说明理由。

2.如图，已知A B ⊥平面ACD ，D E ⊥平面ACD ，三角形ACD 为等边三角形，2A D D EA B ==，F 为C D 的中点 （1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面B C E ⊥平面CDE ；

_ M

_ P

_ C _ B _ A

1．

如图，四棱锥ABC

P -中，⊥PA 底面ABCD ， AD

AB ⊥，CD AC ⊥，︒=∠60ABC ，BC AB PA ==， E 是PC 的中点． （1）求证：AE CD ⊥； （2）求证：⊥PD 面ABE ．

2． 如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠

BAD =90°，PA =BC =

.2

1

AD （I ）求证：平面PAC ⊥平面PCD ；

（II ）在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB ？若 存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由.

5.如图， 在四棱锥S A B C D -中，2S A A B ==，22S B S D ==，底面A B C D 是菱形，且60A B C ∠=︒，

E 为C D 的中点．

（1）证明：C D ⊥平面SAE ；

（2）侧棱S B 上是否存在点F ，使得//C F 平面SAE ？并证明你的结论．

E D C

B A P

S

A

B

C

D

E