新人教A版高中数学选修45数学归纳法证明不等式教案

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典例精讲

数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法.它可用来证明与自然数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题.在高考中，用数学归纳法证明与数列、函数有关的不等式是热点问题，特别是数列中的归纳—猜想—证明是对观察、分析、归纳、论证能力有一定要求的，这也是它成为高考热点的主要原因.

【例1】设n ∈N *且n≥2，求证:1+

n n >+++13121 恒成立. 证明:

①n=2时，左边=1+22

2>=右边，原不等式成立； ②设n=k(k≥2)时原不等式成立，

即1+k k >+

++131

21

. 当n=k+1时，有1+=++>++++1111131

21

k k k k

即n=k+1时原不等式成立.

由①②，可知对于任何n ∈N *（n≥2）原不等式成立.

【例2】设a 1,a 2,a 3,…,a n ∈R 且0a 1+a 2+…+a n +1-n(n≥2,n ∈N *). 证明:①n=2时，∵（1-a 1）(1-a 2)>0,

∴a 1a 2>a 1+a 2+1-(1+1)成立.

②设n =k(n≥2)时原不等式成立，

即a 1a 2…a k >a 1+a 2+…+a k+1-k 成立，

则a 1a 2…a k +a k+1-1>a 1+a 2+…+a k +a k+1+1-(k+1)成立.

∴要证明n=k+1时原不等式成立，

即a 1a 2…a k a k+1>a 1+a 2+…+a k+1+1-(k+1)成立,

只需证明不等式

a 1a 2…a k a k+1>a 1a 2…a k +a k+1-1(*)成立.

要证明不等式（*）成立，只需证明

(a 1a 2…a k -1)(a k+1-1)>0.

又∵0

∴0

∴(a 1a 2…a k -1)(a k+1-1)>0成立.

∴不等式(*)也成立，即n=k+1时原不等式成立.

由①②可知对于任何n ∈N *（n≥2）原不等式成立.

温馨提示

当“假设不等式”直接向“目标不等式”过渡有困难时，可以先找一个介于“假设不等式”和“目标不等式”之间的“中途不等式”.通过对“中途不等式”的证明，实现由“假设不等式”到“目标不等式”的平稳过渡.而这个“中途不等式”仅起到桥梁作用.本例关键是尽快由“假设不等式”得

到一个右边和“目标不等式”完全一样的不等式后，由不等式的传递性寻找到要证明的“中途不等式”.

【例3】求证：(n+1)(n+2)+(n+3)·…·（n+n ）=2n ×1×3×5×…×(2n -1).

证明:用数学归纳法.当n=1时，显然成立.

根据归纳法假设，当n=k 时，命题成立，即

(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)=2k ×1×3×5×…×(2k -1).①

要证明n=k+1时，命题也成立，即

(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)

=2k+1×1×3×5×…×［2(k+1)-1］.② 要用①来证明②，事实上，对等式①两边乘以

1)22)(12(+++k k k ,就凑好了等式②的左边.接下来，对［2k ×1×3×5×…×1

)22)(12(+++k k k 恒等变形，可得②式右边.因此，对任意n ∈N *，原不等式成立.

【例4】已知函数y=f(x)的定义域为R ，对任意不相等的实数x 1,x 2，都有|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|，且f(p)=p(p 为常数)，又在数列{a n }中，a 1

（1）a n

(2)a n+1>a n .

思路分析:用数学归纳法证明从“n=k 到n=k+1”时，关键是“一凑假设，二凑结论”. 证明:很明显,n=1时，a 1

假设n=k 时，a k

则当n=k+1时，由|f(p)-f(a k )|<|p-a k |及f(p)=p,

可得|p-f(a k )|<|p-a k |,

又a k

故|p-f(a k )|

⎨⎧><+)2(,)()1(,2)(k k k k a a f p a f a 注意到已知条件f(a k )+a k =2a k+1,

将其变形为f(a k )=2a k+1-a k ,

代入①式得a k+1

代入②式得a k+1>a k .

这样命题(1)、（2）获证.

【例5】设a,b ∈(0,+∞)且b

a 11+=1，求证：对于任何n ∈N *,有(a+b)n -a n -

b n ≥22n -2n+1成立. 证明:①n=1时，原不等式显然成立；

②设n=k 时原不等式成立，

即（a+b ）k -a k -b k ≥22k -2k+1,

则n=k+1时，（a+b ）k+1-a k+1-b k+1

=(a+b)［(a+b)k -a k -b k ］+ab k +a k b≥(a+b)(22k -2k+1)+ab k +a k b,

由1=b a 11+≥ab

2,可得ab≥4,a+b≥ab 2≥4. ∴ab k +a k b≥221

11)4(2+++≥+k k k b a =2k+2.