教你如何做出最佳选择——简单线性规划求最优解

求线性规划问题的最优解

求线性规划问题的最优解：121212123max 2322124 16.. 5 15,,0z x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 方法1：图解法。

（P15 图1-3）方法2：求出所有的基可行解，然后比较目标值的大小得到最优解。

（P14表1-1）方法3：单纯形法。

第一步，将模型转化为标准型。

12345123142512345max 2300022 12 (1)4 16 (2).. 5 15 (3),,,,0z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩ 221004001005001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭秩A=3 第二步，求初始基可行解。

取()345100 010001B P P P ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭作为初始基矩阵，345, , x x x 为基变量，12, x x 为非基变量，令12=0,x x =得到初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X =，目标值(0)0.z =第三步，对初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X =进行最优性检验。

基可行解()(0)0,0,12,16,15X =对应的目标值为(0)0z =，因为12023z x x =++，只要1>0x 或者2 0x >，目标值都会比(0)0z =大，即12or x x 之一作为基变量，目标值都会增大，故初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X=不是最优解。

第四步，作基变换，求目标值比(0)0z =更大的基可行解。

① 确定换入基变量。

由第三步可知，12, x x 都可作为换入基变量，一般地，{}121122*********, 0,0. max ,z x x x x σσσσσσσ=++=++≥≥=。

2 x 作为换入基变量。

这里12,σσ称为基可行解(0)X 非基变量12, x x 的检验数。

高中数学一轮复习线性规划中求整点最优解的两种常用方法

线性规划中求整点最优解的两种常用方法简单的线性规划是新教材的新增加内容，它在人们的生活和生产实践中有着广泛的应用，因此，它必将成为高考的一个新亮点，而在线性规划中，求整点最优解的问题是一个难点，下面介绍两种常用的方法.1、平移求解法步骤：1、作出可行域（若是实际问题，则首先应根据题意列出线性约束条件，找出线性目标函数）；2、找出最优解（当最优解不是整数解时，过最优解作与线性目标函数平行的直线）；3、平移直线族（在平面直角坐标系中，打出网格，在可行域内，平移步骤2中所作的直线，最先经过的整点即为所求的整点最优解）. 【范例引导】例1、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少.解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0027*******y x y x y x y x 目标函数为：y x z +=.作出可行域，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518.此时，5211=+y x ，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，用平移求解法，打出网格，将平行直线族y x t +=中的5211=+y x 向右上方平移，由图可知，在可行域中最先经过的整点是B （3，9）和C （4，8），它们是所求的最优整点解，此时.12=+y x答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，一种是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；二是截第一种钢板4张、第二种钢板8张. 2、调整优值法步骤：1、求出非整点的最优解及最优值（即对应最优解的目标函数值）；2、借助不定方程的知识调整最优值；3、筛选出符合条件的最优解. 【范例引导】例2、用“调整优值法” 解例1 .解:由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+539518152273y x y x y x ，所以A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539,518，因为A 点不是整点，它是非整点最优解，此时，5211=+=y x t = 11.4不是整数，因而需要对t 进行调整，由于y x ,为整数，所以t 为整数，而与11.4最靠近的整数是12，故取t =12，即12=+y x ，将x y -=12代入到线性约束条件，解得：5.43≤≤x ，取4,3==x x 得整点的最优解为：B （3，9）和C （4，8），此时.12=+y x例3、已知y x ,满足不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+≤+Ny N x y x y x y x ;0;040356056（*）求y x z 150200+=的最大值. 解：根据约束条件画出可行域，由⎩⎨⎧=+=+40356056y x y x 得非整点最优解)760,720(，此时，711857760150720200=⋅+⋅=z 也是非整数.因为y x z 150200+=)34(50y x +=，又y x ,为整数，所以z 一定是50的倍数.令y x z 150200+==1850，则)437(31x y -=，代入到（*）式中得3212≤≤x ，故当3=x 时，325=y 为非整数解.令y x z 150200+==1800，则)436(31x y -=，代入到（*）式中得：40≤≤x ，经计算（0，12），（3，8）为其整数解，此时，1800=z . 【名师小结】在一定的约束条件下使某目标达到最大值或最小值的问题称为数学规划，而当约束条件和目标函数都是一次的（又称线性的），我们称这种规划问题为线性规划.例如，如何分配有限的资源以达到某种既定的目标（如利润最大，支付最小等），称为资源分配问题，而许多资源分配问题可以归结为线性规划模型来处理. 在解线性规划应用问题时的一般步骤为：（1）审题；（2）设出所求的未知数；（3）列出约束条件，建立目标函数；（4）作出可行域；（5）找出最优解. 【误区点拨】1、对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点，而先要过边界点作目标函数By Ax t +=的图象，则最优解是在可行域内离直线By Ax t +=最近的整点；2、熟练掌握二元一次不等式所表示的平面区域是解决线性问题的基础，因此，正确地作出可行域是我们解题的关键；3、一般的线性规划问题，其约束条件是平面上的一个多边形闭区域，或者是向某一方向无限延展的半闭区域，而目标函数必在边界取最值，且是边界的顶点处取最值，但不一定有最优整数解，这一点一定要注意. 【反馈训练】1、设y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈>>≤+<+zy z x y x y x y x ,0,01141023，求y x u 45+=的最大值. 2怎样搭配价格最低？3、有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要原料和产生的利润分别是：磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，利润10000元或磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，利润5000元.工厂现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最大的利润？4、某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个；乙产品4吨需煤9吨，电力5千瓦，劳动力10个.甲产品1吨利润7万元，甲产品1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦，劳动力只有300个，问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？【参考答案】1、最优整数解为（2，1），=m an u 14；2、10片A 和3片B 搭配价格最低为1.6元.3、最后归结为在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0661518104y x y x y x 下，求目标函数y x u 500010000+=的整数解问题，答案是生产甲、乙肥料各2车皮时可获得最大的利润30000元.4、最后归结为在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.15,15,300103,20054,30049y x y x y x y x 下，求目标函数y x u 127+=的整数解问题，答案是甲、乙两种产品各20吨、24吨，利润总额达到最大428元.。

线性规划解决最优化问题的数学方法

线性规划解决最优化问题的数学方法线性规划是一种常见的数学方法，用来解决最优化问题。

它能够帮助我们在给定一组线性约束条件下，找到最优的目标函数值。

在实际应用中，线性规划方法被广泛用于制定优化决策、资源配置、生产计划等领域。

本文将介绍线性规划的基本概念、公式以及解决最优化问题的具体步骤。

一、线性规划的基本概念与公式线性规划的目标是在给定约束条件下，找到使目标函数（也称为优化函数）取得最大或最小值的解。

它包含三个基本要素：决策变量、约束条件和目标函数。

1. 决策变量：决策变量是问题中需要确定的变量，它们可以是实数、整数或布尔变量。

决策变量的取值范围和类型由问题的实际情况决定。

2. 约束条件：约束条件是对决策变量的限制条件，它们可以是线性等式或不等式。

约束条件用于描述问题的限制条件，例如资源约束、技术限制等。

3. 目标函数：目标函数是求解问题的目标，它可以是最小化或最大化一个线性函数。

目标函数的形式通常是关于决策变量的线性组合。

线性规划问题可以用如下的标准形式表示：最小化 Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ非负约束：x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ... , xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ... , cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ... , bₙ为约束条件的常数项，x₁, x₂, ... , xₙ为决策变量。

二、线性规划的解决步骤解决线性规划问题一般可以遵循以下步骤：1. 定义问题：明确问题的目标函数、约束条件和决策变量，并将其转化为标准形式。

2. 建立数学模型：根据问题的实际情况，根据标准形式建立数学模型，将问题转化为求解目标函数最大或最小值的数学问题。

简单的线性规划求最优解

教你如何做出最佳选择——简单的线性规划求最优解在线性约束条件下，求线性目标函数最值问题，称为“线性规划”。

目标函数),(y x f z =取得最值时，变量y x ,的对应解),(y x 称为最优解。

若Z y x ∈,时，z 取得最值，称),(y x 为最优整数解，简称整解。

点),(y x 的横、纵坐标都是整数，称为整点。

求最优整解问题出现在高中数学新教材中，常见的实际应用题型有两种，（1）给出一定数量的人力、物力资源，问怎样安排能使完成的任务量最大，收益最大；（2）给出一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务投入的人力、物力最小。

因为研究的对象是人、物等个体，故y x ,往往是整数，较y x ,不是整数时求解困难，所以这是一个应用数学知识解决实际问题的新难点，加之教材介绍较为笼统简略，对教师和学生的理解掌握造成了一定的困难，针对这一问题，总结两种寻找最优整解的方法与大家探讨。

这两种求解方法分别是：调整优值法(简称调值法)、枚举整点法(简称枚举法)。

调值法是先求非整点最优解，再借助不定方程，调整最优解，最后筛选出最优解；枚举法，因为取得最值的整点分布在可行域内，可从y x ,中选取系数的绝对值较大的一个对其逐一取值，以此为标准分类讨论，取得另一变量的最值，代入目标函数，比较函数值大小，找到最优解。

下面通过几个典型例题，介绍一下这几种方法的具体运用。

例1（调整优值法）要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解析：设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数z 张，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥+≥+≥+Ny N x y x y x y x ,273182152 目标函数 z x y =+ 作出可行域如图所示，作出直线0x y +=。

线性规划问题的最优解

线性规划问题的最优解引言线性规划是运筹学的一个基本分支，其应用极其广泛，其作用以为越来越多的人所重视。

线性规划主要就实际问题抽象成数学形式，即求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，是某个目标达到最小或最大，而这些约束条件用可以用一组线性不等式或线性方程来表示。

而求得目标函数的最优解尤为重要，本文就线性规划问题的最优解求解方法作出阐述，并举出实例加以强化，同时也指出了线性规划问题应用于生产与运作管理的重要性。

1.线性规划问题的最优解探讨1.1线性规划问题的提出考虑下面的线性规划问题的标准型：目标函数：CX Z =min (1)约束条件：⎩⎨⎧≥=0X b AX (2)其中，),,,(21n c c c C =,T n x x x X ),,,(21 =,T m b b b b ),,,(21 =,n m ij a A ⨯=)(阶矩阵。

设B 是A 中m 个线性无关的列向量构成的一个基，m m ij a B ⨯=)( 阶矩阵，这样将矩阵A 分成两个部分，即A=),(N B ,X=),(N B X X ,C=()N B C C ,,B X ,B C 为基B 对应的非基变量和系数，N X ,N X 为N 对应的非基变量和系数，这样将线性规划问题改写为：minZ ()N B C C ,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B B X X (3)约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0),(NB N B X X bX X N B (4)经过矩阵变换，得出关于基B 的标准型如下：1min -=B C Z B +(N C -1-B C B N)N X (5)约束条件：⎩⎨⎧≥=+--0,11NB N B X X bB NX B X (6)T m b b b b B ),,,(''21'1 =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++++-mnmm mm nm m n m m a a a a a a a a a N B2122212121111 将（5）（6）展开为：=Z min '1i mi i b c ∑=+∑+=nm j 1('1ij mi i j a c c ∑=-)j x (7)约束条件：i nm j j iji b x ax '1'=+∑+= ,m i ,,2,1 = (8)0≥j x ,n j ,,2,1 = (9)令 '10i mi i b c Z ∑== , =j σ'1ij mi i j a c c ∑=- ,n m m j ,,2,1 ++= ,称j σ为检验数。

线性规划问题的最优解

线性规划问题的最优解引言线性规划是运筹学的一个基本分支，其应用极其广泛，其作用以为越来越多的人所重视。

线性规划主要就实际问题抽象成数学形式，即求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，是某个目标达到最小或最大，而这些约束条件用可以用一组线性不等式或线性方程来表示。

而求得目标函数的最优解尤为重要，本文就线性规划问题的最优解求解方法作出阐述，并举出实例加以强化，同时也指出了线性规划问题应用于生产与运作管理的重要性。

1.线性规划问题的最优解探讨1.1线性规划问题的提出考虑下面的线性规划问题的标准型：目标函数：CX Z =min (1)约束条件：⎩⎨⎧≥=0X b AX (2)其中，),,,(21n c c c C =,T n x x x X ),,,(21 =,T m b b b b ),,,(21 =,n m ij a A ⨯=)(阶矩阵。

设B 是A 中m 个线性无关的列向量构成的一个基，m m ij a B ⨯=)( 阶矩阵，这样将矩阵A 分成两个部分，即A=),(N B ,X=),(N B X X ,C=()N B C C ,,B X ,B C 为基B 对应的非基变量和系数，N X ,N X 为N 对应的非基变量和系数，这样将线性规划问题改写为：minZ ()N B C C ,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B B X X (3)约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0),(NB N B X X bX X N B (4)经过矩阵变换，得出关于基B 的标准型如下：1min -=B C Z B +(N C -1-B C B N)N X (5)约束条件：⎩⎨⎧≥=+--0,11NB N B X X bB NX B X (6)T m b b b b B ),,,(''21'1 =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++++-mnmm mm nm m n m m a a a a a a a a a N B2122212121111 将（5）（6）展开为：=Z min '1i mi i b c ∑=+∑+=nm j 1('1ij mi i j a c c ∑=-)j x (7)约束条件：i nm j j iji b x ax '1'=+∑+= ,m i ,,2,1 = (8)0≥j x ,n j ,,2,1 = (9)令 '10i mi i b c Z ∑== , =j σ'1ij mi i j a c c ∑=- ,n m m j ,,2,1 ++= ,称j σ为检验数。

线性规划问题的解法与最优解分析

线性规划问题的解法与最优解分析线性规划是一种数学建模方法，用于解决最优化问题。

它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍线性规划问题的解法和最优解分析。

一、线性规划问题的定义线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。

线性规划问题的数学模型可以表示为：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数中的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。

二、线性规划问题的解法线性规划问题的解法主要有两种：图形法和单纯形法。

1. 图形法图形法适用于二维或三维的线性规划问题。

它通过绘制约束条件的直线或平面以及目标函数的等高线或等高面，来确定最优解。

首先，将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系上。

然后，确定目标函数的等高线或等高面，并绘制在坐标系上。

最后，通过观察等高线或等高面与约束条件的交点，找到最优解。

图形法简单直观，但只适用于低维的线性规划问题。

2. 单纯形法单纯形法是一种迭代的求解方法，适用于高维的线性规划问题。

它通过在可行域内不断移动，直到找到最优解。

单纯形法的基本思想是从初始可行解开始，每次通过找到一个更优的可行解来逼近最优解。

它通过选择一个基本变量和非基本变量，来构造一个新的可行解。

然后，通过计算目标函数的值来判断是否找到了最优解。

如果没有找到最优解，则继续迭代，直到找到最优解为止。

单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法，但对于大规模的问题，计算量会很大。

数学线性规划解题技巧

数学线性规划解题技巧数学线性规划解题技巧_解数学线性规划技巧分享控制自己的情绪，保持冷静客观。

练习思维跳跃，拓展思维方式。

对已有知识进行组合和重组，寻找新的解决方法。

下面就让小编给大家带来数学线性规划解题技巧，希望大家喜欢!高数学线性规划解题技巧常用的途径有(一)、充分联想回忆基本知识和题型：按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。

(二)、全方位、多角度分析题意：对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。

因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。

(三)恰当构造辅助元素：数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式;条件与结论(或问题)之间，也存在着多种联系方式。

因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论(或条件与问题)的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。

数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形(点、线、面、体)，构造算法，构造多项式，构造方程(组)，构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。

数学线性规划解题实战运用所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。

简单化是熟悉化的补充和发挥。

一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。

因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。

解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。

1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。

线性规划中的最优解求解

线性规划中的最优解求解线性规划是一种在运筹学和数学中广泛应用的数学建模技术，通过确定一组线性约束条件下的最优解，以实现目标最大化或最小化。

最优解是指在满足给定约束条件的前提下，能使目标函数达到最优值的解。

在线性规划问题中，最优解的求解有多种方法。

本文将介绍线性规划中的两种主要方法：图解法和单纯形法。

一、图解法图解法是一种简单直观的方法，适用于只有两个变量的问题。

它通过在平面坐标系上画出约束条件的图形，找到可行域（满足所有约束条件的解集），并在可行域内寻找使目标函数达到最优值的点。

具体步骤如下：1. 绘制坐标系，并画出约束条件的直线或曲线。

每个约束条件都会限制变量的取值范围，在平面上形成一条直线或曲线。

2. 标出可行域。

根据所有约束条件的交集，确定满足所有约束条件的解的集合，即可行域。

可行域通常是一个多边形区域。

3. 确定目标函数。

根据问题的要求确定目标函数，并将其表示为直线或曲线。

4. 在可行域内寻找最优解。

通过平行于目标函数的线，将其移动至与可行域相切，并找到使目标函数取得最优值的点。

图解法的优点是简单易懂，能够提供初步的解决方案。

然而，对于复杂问题和具有多个变量的大规模问题，图解法可能不适用。

二、单纯形法单纯形法是一种基于矩阵运算的高效方法，适用于多变量和大规模问题。

它通过不断进行迭代计算，寻找最优解。

具体步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式。

标准形式要求目标函数为最小化问题，并且所有约束条件均为等式形式。

如果原问题不符合标准形式，可以进行线性变换进行转化。

2. 构建初始单纯形表。

将原问题的线性规划模型表示为矩阵形式，并构建单纯形表，包括目标函数系数、基变量和非基变量等信息。

3. 迭代计算。

根据单纯形表中的信息，进行迭代计算，通过选择合适的主元（即最大系数法则）和更新各个单元的值，逐步接近最优解。

4. 判断终止条件。

在每一次迭代计算后，判断是否满足终止条件，即目标函数是否达到最优解。

简单的线性规划整点最优解

0
使z=2x+y取得最大值的可行解为 (2,-1) ，
1
且最大值为 3 ；
y=-1
(-1,-1)
2x+y=0
使z=2x+y取得最小值的可行解 (-1,-1) ，
x
(2,-1)
且最小值为 -3 ；
这两个最值都叫做问题的最优解。
返回
例题分析
例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消
耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600 元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过 200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利润总额达到最大?
3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解
解线性规划应用问题的一般步骤：
1）理清题意，列出表格： 2）设好变元并列出不等式组和目标函数 3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 4）在可行域内求目标函数的最优解 5)还原成实际问题 (准确作图，准确计算)
甲产品 xt
（1t）
10 5 4
600
乙产品 yt 资源限额
（1t）
（t）
4
300
4
200
9
360
1000
设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
把题中限制条件进行转化：
10x+4y≤300
5x+4y≤200 4x+9y≤360
x≥0
y ≥0

线性规划与最优解的求解方法

定义：在有限的资源下，如何分配资源以达到最优目标的问题
线性规划的特点：目标函数和约束条件均为线性表达式，求解方法简单高效
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
应用场景：生产计划、物流调度、金融投资组合优化等
资源分配问题的求解方法：通过线性规划模型建立资源分配方案，利用求解器找到最优解
简介：线性规划在运输问题中的应用，旨在优化资源配置，降低运输
成本。
适用场景：在多个供应地和需求地之间，如何选择最优的运输方案，使得总成本
最低。
求解方法：利用线性规划模型，通过求解线性方程组，找到最优解。
实际应用：在物流、供应链、
生产计划等领域广泛应用，提高运输效率，
降低成本。
投资组合优化是线性规划的一个重要应用场景，通过优化投资组合，实现风险和收益的平衡。
终止条件：当解的变化小于预设阈值或达到最大迭代次数时停止迭代
输出结果：输出最终的近似最优解
线性规划的应用场景
资源分配：合理分配人力、物力、财力等资源，实现资源利用最大化
生产计划：根据市场需求和生产能力，制定最优的生产计划
成本控制：通过线性规划优化生产计划，降低生产成本
生产效率：提高生产效数学表达式约束条件：限制决策变量取值的条件决策变量：可以在一定范围内自由取值的变量非负约束：决策变量必须大于等于0
线性规划问题可以转化为在可行域内寻找一组变量的最
优解
线性规划的解对应可行域上
的一个点
最优解通常位于可行域的顶
点或边界上
通过绘制图形或使用几何方法可以直观地理解线性规划问题的最优解
线性规划用于优化机器学习模型线性规划在特征选择和降维中的应用线性规划在超参数优化中的实践线性规划在深度学习模型中的应用

如何求线性规划问题的最优解(1)

精心策划
答案会出错）；（４）借助可行域确定函数的最优解高
（如果是实际问题，则应从实际角度审查最优解），二版进而作答．
目标函数最优解有些唯一，有些不唯一，有些
有无穷个，有些不存在．如何求最优解呢？例析如下：
一、最优实数解的求法．
最优实数解的求法是：平移法．
名师点金
问
题
的
如最
何优
求线
解
性湖
规南
周
划
玉英
数
求线性目标函数在线性约束条件下的最大
学
爱（小）值问题，统称为线性规划问题．使目标函数取得
好者最大值或最小值的解叫最优解．求最优解的具体步
专骤是（：１）依题意，设出变量，建立目标函数；（２）列出业Ｓ线性约束条件；（３）作出可行域（图形要准确，否则
２ｘ＋３ｙ＝０
ｙ表示斜率为－２，１ｚ为纵截距的直线方程，函数ｚ３３
取最大值的最优整数解，
即是直线纵截距
１３
ｚ
取最
大值时对应的正整数ｘ，ｙ．先作出直线ｙ＝－２ｘ，再将３
直线向右上方平移，由图２可知，直线过点Ｍ时ｚ＝
! ! ｘ＋２ｙ＝８ｘ＝２
“Ａｌｌｗｈｏｗａｎｔｔｏｇｏｔｏｈｅａｖｅｎ，ｐｌｅａｓｅｒｉｓｅ．”Ｅｖｅｒｙｏｎｅｇｏｔｕｐｅｘｃｅｐｔｔｈｅｓｎｏｒｅｒ．Ａｆｔｅｒｗｈｉｓｐｅｒｉｎｇ
“Ｂｅｓｅａｔｅｄ”，ｔｈｅｍｉｎｉｓｔｅｒｓｈｏｕｔｅｄａｔｔｈｅｔｏｐｏｆｈｉｓｖｏｉｃｅ，“Ａｌｌｔｈｏｓｅｗｈｏｗａｎｔｔｏｂｅｗｉｔｈｔｈｅｄｅｖｉｌ，

线性规划之最优整数解问题

线性规划之最优整数解问题河北省景县梁集高中张国营线性规划是高中数学新教材的新增内容，对学生及教师来说都不是太熟悉。

教材对这一部分叙述的也不是很详细，所以学生学起来很费劲，教师教起来也不容易。

这一内容在近几年高考中考察的知识点比较容易，一般以选择或填空题的形式出现。

根据我多年的教学经验，我认为在学习本部分内容时，应注意以下几点：1.判定最优解：求线性目标函数z=ax+by(a ≠0、b ≠0)在线性约束条件下的最优解问题，可转化为求直线y= - b zx b a+在y 轴上的截距的最大值和最小值问题。

即根据直线在y 轴上的截距b z 和z 的关系来判断何时z取得最大（小）值。

我把这种方法叫做截距判断法。

具体情况如下：当b>0时，若b z取最大值，z 也取得最大值，若b z取最小值，z 也取得最小值；当b<0时，结果相反。

2.求出最优解：根据动直线t x a b y +-=与可行域有公共点且t 取最大（小）值时所经过的可行域内点的坐标来计算出最优解。

3.求出最优整数解：这是最复杂的一步，也是最关键的一步。

此处是学生学习这一部分的难点。

这一步求解的方法很多，下面举例来说明常用的一些方法。

例：要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格的小钢板，第一种钢板可截成A 、B 、C 三种规格的小钢板分别为2块、1块、1块；第二种钢板可截成 A 、B 、C 三种规格的小钢板分别为1块、2块、3块 . 现需要A 、B 、C 三种规格的小钢板分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使用钢板总张数最少？解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，总钢板用z 张，据题意得约束条件：①152≥+y x ②182≥+y x ③273≥+y x ④N y x ∈,目标函数为z=x+y ，作出可行域，作直线l ：x+y ＝0，将直l 向右上方平移，用截距判断法易知当动直线t y x =+经过可行域上的点A （3.6，7.8），即①152=+y x ②273=+y x 的解时z=x+y 取最小值11.4，此为最优解。

线性规划中最优整解的一种求解方法

72.线性规划中最优整解的一种求解方法（陕西省小学教师培训中心王凯成 710600）正如文[1]所说，“在线性规划问题中，最令学生、教师头疼的莫过于如何寻找最优整解. 通常作法是用网格法，即把可行域中的整点标出，再通过代点检验来完成最优整解寻找；不过这种方法要经过大量繁复的运算才能保证结果的正确性.”笔者经过研究，找到了一种快速求解线性规划中最优整解的方法，这种方法不需要作出可行域，简化了作图这一步骤，而且计算量小，更容易掌握.例1 （文[1]例2）某人有楼房一幢，室内面积共180m 2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m 2 ，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？（人教社编高中数学第二册p65习题7.4第4题)解设隔出大房间x 间，小房间y 间，收益为z 元，z = 200x+150y = 50（4x+3y ）= 50z ′，z ′= 4x+3y ，使z ′尽可能地大，x 、y 满足约束条件： 18x+15y 180 1000x+600y 8000 x N y N≤⎧⎪≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩ 3,4x=z -3t(z )4x+3y=z 4()18x+15y 180 z + 2t 60 1000x+600y 8000 2z - 3t 40 132********.760 ()2x z t y z t N y z t t Z z z z z t t Z z ''=-=-+''∈⎧'⎨'=-+∈⎩'≤≤⎧⎧−−−−−−→⎨⎨'≤≤⎩⎩'''⨯+⨯≤⇒≤⇒≤''-≤≤∈'的通解为：①②③②③有：2z -40 由②及③知：④3当13711.23612t t Z z t t Z =≤≤∈'=≤≤∈1时，由④知：11，但，无解32当时，由④知：10，但，所以t=11或t=12.3当z ′= 36且t = 11时，由4x+3y = z ′的通解①知： x = 3，y = 8.当z ′= 36且t = 12时，由4x+3y = z ′的通解①知： x = 0，y = 12.注意到x ≥0，y ≥0. 所以，z ′的最大值为36，z 的最大值为50×36=1800.答：应隔出大房间3间，小房间8间；或者隔出小房间12间.这都能获得最大效益. 例2 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t. 每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元. 工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300t 、B 种矿石不超过200t 、煤不超过360t. 甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润总额达到最大？（人教社编高中数学第二册p61例3)解设甲种产品生产x 个0.1t ，乙种产品生产y 个0.1t ，利润总额为z 元. 则z = 60x + 100y = 20（3x + 5y ）= 20z ′，z ′= 3x + 5y ，应使z ′尽可能地大. x 、y 满足约束条件：x + 0.4y 300 0.5x + 0.4y 2000.4x + 0.9y 360x N,y N25()353()x + 0.4y 30010x + 4y 3000 0.5x + 0.4y 2005x + 4y 2000 0.4x + 0.9y 360 4x + 9y 3600x z t z N x y z y z t t Z ≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪∈∈⎩''=-∈⎧'+=⎨'=-+∈⎩≤≤⎧⎧⎪≤⇒≤⎨⎨⎪≤≤⎩的通解为：①25,316z - 38t 30006z - 13t 2000- z + 7t 360071329608002096().1630003600()387x z t y z t z z z N z z t t Z ''=-=-+'≤⎧⎪⎪'−−−−−−→≤⎨⎪⎪'≤⎩⎩'''⨯+⨯≤⇒≤∈''-+≤≤∈②③④③④有：由②、③、④知：⑤ 620003600()13752096.2096813742095.2095813732094.20948137z z t t Z z z t t Z z z t t Z z z t t Z ''-+≤≤∈''=≤≤∈''=≤≤∈''=≤≤∈且⑥7的最大可能值为当时，由⑥知：813，但是，无解；131的最大可能值为当时，由⑥知：813，但是，无解；138的最大可能值为当时，由⑥知：812，但是，只有t=813.13注意到t=813也满足''⑤.所以当z =2094且t=813时，由3x+5y=z 的通解①知：x=123，y=345.注意到x ≥0，y ≥0. 故知z ′的最大值为2094，z 的最大值为20×2094 =41880. 答：应生产甲产品约12.3t ，乙产品约34.5t ，能使利润总额达到最大.（注：例2解法说明中学数学教材给出的解法是不妥的）例3 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元。

线性规划和最优解

线性规划和最优解线性规划是一种在数学和运筹学领域常见的问题求解方法，可以应用于各种现实生活中的决策问题。

它是通过一系列线性等式和不等式来建模，并在满足特定约束条件下求解使目标函数取得最优值的变量值。

线性规划的最优解能够帮助我们做出高效的决策，下面将详细介绍线性规划的原理和求解方法。

一、线性规划的基本概念线性规划中，我们首先需要明确问题的目标，并将其表示为一个线性函数，也被称为目标函数。

目标函数可以是最大化或最小化的，具体取决于问题的需求。

其次，我们需要确定一组变量，这些变量的取值将会对目标函数产生影响。

接下来，我们还需要列举出一系列约束条件，这些约束条件通常来自于问题的实际情况，例如资源限制、技术要求等。

最后，我们需要确定这些变量的取值范围，这也是约束条件的一部分。

二、线性规划的数学建模在线性规划中，我们可以通过以下步骤进行数学建模：1. 确定目标函数：根据问题的要求，我们可以定义一个线性函数作为目标函数。

例如，如果我们要最大化某个产品的利润，那么利润就可以是目标函数。

2. 列举约束条件：根据问题的实际情况，我们需要列举出一系列约束条件。

这些约束条件可以是线性等式或不等式，并且通常包含了变量的取值范围。

3. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，我们需要确定变量的取值范围。

例如，如果某个变量代表一个产品的产量，那么它的取值范围可能是非负数。

4. 构建数学模型：根据目标函数、约束条件和变量的取值范围，我们可以构建一个数学模型，将问题转化为线性规划模型。

三、线性规划的最优解求解方法线性规划的最优解可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于只有两个变量的简单线性规划问题，我们可以通过绘制变量的可行域图形，并计算目标函数在图形上的最优解点来求解问题。

2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。

它通过逐步迭代改进解向量，从而逼近最优解。

这个方法通常适用于复杂的线性规划问题，可以在较短的时间内得到比较好的结果。

线性规划与最优化问题的求解算法

线性规划与最优化问题的求解算法线性规划（Linear Programming）是数学中一种重要的优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

在实际应用中，线性规划被广泛运用于工程、经济、管理等领域，是一种强大的决策分析工具。

为了解决线性规划及其他最优化问题，人们开发了多种求解算法。

一、单纯形法（Simplex Method）单纯形法是最常用的线性规划求解方法之一。

它通过不断迭代来寻找问题的最优解。

单纯形法的基本思想是通过交换变量的值来达到更优解的目的。

在每次迭代中，通过选择一个入基变量（进入基本解）和一个出基变量（离开基本解），逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。

二、内点法（Interior Point Method）内点法是另一种有效的线性规划求解算法。

与单纯形法不同的是，内点法从问题的内部（可行解域）开始搜索最优解，而不是从边界（顶点）开始。

内点法的核心思想是通过迭代找到目标函数值逼近最优解的过程。

内点法相对于单纯形法在大规模问题上具有更高的求解效率，但在处理一些特殊问题时可能存在较大的挑战。

三、分支定界法（Branch and Bound Method）分支定界法是一种通用的最优化问题求解算法，适用于各种类型的优化问题，包括线性和非线性规划问题。

它通过将问题划分为一系列子问题，并逐步缩小最优解的搜索范围，最终找到全局最优解。

分支定界法具有较高的可行性和可靠性，但在处理大规模问题时存在计算复杂性的问题。

四、梯度下降法（Gradient Descent Method）梯度下降法是一种常用于非线性规划问题的求解方法。

它利用函数的梯度信息来指导搜索方向，并通过迭代逐步优化目标函数的值。

梯度下降法有多种变体，包括批量梯度下降法、随机梯度下降法等。

梯度下降法在非凸问题的求解上具有较好的效果，但可能存在陷入局部最优解和收敛速度慢等问题。

总结：线性规划及最优化问题是现实生活中经常遇到的一类问题，求解这类问题的算法也因此应运而生。

线性规划问题的最优解

线性规划问题的最优解引言线性规划是运筹学的一个基本分支，其应用极其广泛，其作用以为越来越多的人所重视。

线性规划主要就实际问题抽象成数学形式，即求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，是某个目标达到最小或最大，而这些约束条件用可以用一组线性不等式或线性方程来表示。

而求得目标函数的最优解尤为重要，本文就线性规划问题的最优解求解方法作出阐述，并举出实例加以强化，同时也指出了线性规划问题应用于生产与运作管理的重要性。

1.线性规划问题的最优解探讨1.1线性规划问题的提出考虑下面的线性规划问题的标准型：目标函数：CX Z =min (1)约束条件：⎩⎨⎧≥=0X b AX (2)其中，),,,(21n c c c C =,T n x x x X ),,,(21 =,T m b b b b ),,,(21 =,n m ij a A ⨯=)(阶矩阵。

设B 是A 中m 个线性无关的列向量构成的一个基，m m ij a B ⨯=)( 阶矩阵，这样将矩阵A 分成两个部分，即A=),(N B ,X=),(N B X X ,C=()N B C C ,,B X ,B C 为基B 对应的非基变量和系数，N X ,N X 为N 对应的非基变量和系数，这样将线性规划问题改写为：minZ ()N B C C ,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B B X X (3)约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0),(NB N B X X bX X N B (4)经过矩阵变换，得出关于基B 的标准型如下：1min -=B C Z B +(N C -1-B C B N)N X (5)约束条件：⎩⎨⎧≥=+--0,11NB N B X X bB NX B X (6)T m b b b b B ),,,(''21'1 =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++++-mnmm mm nm m n m m a a a a a a a a a N B2122212121111 将（5）（6）展开为：=Z min '1i mi i b c ∑=+∑+=nm j 1('1ij mi i j a c c ∑=-)j x (7)约束条件：i nm j j iji b x ax '1'=+∑+= ,m i ,,2,1 = (8)0≥j x ,n j ,,2,1 = (9)令 '10i mi i b c Z ∑== , =j σ'1ij mi i j a c c ∑=- ,n m m j ,,2,1 ++= ,称j σ为检验数。

线性规划问题的最优解

线性规划问题的最优解引言线性规划是运筹学的一个基本分支，其应用极其广泛，其作用以为越来越多的人所重视。

线性规划主要就实际问题抽象成数学形式，即求一组变量的值，在满足一定的约束条件下，是某个目标达到最小或最大，而这些约束条件用可以用一组线性不等式或线性方程来表示。

而求得目标函数的最优解尤为重要，本文就线性规划问题的最优解求解方法作出阐述，并举出实例加以强化，同时也指出了线性规划问题应用于生产与运作管理的重要性。

1.线性规划问题的最优解探讨1.1线性规划问题的提出考虑下面的线性规划问题的标准型：目标函数：CX Z =min (1)约束条件：⎩⎨⎧≥=0X b AX (2)其中，),,,(21n c c c C =,T n x x x X ),,,(21 =,T m b b b b ),,,(21 =,n m ij a A ⨯=)(阶矩阵。

设B 是A 中m 个线性无关的列向量构成的一个基，m m ij a B ⨯=)( 阶矩阵，这样将矩阵A 分成两个部分，即A=),(N B ,X=),(N B X X ,C=()N B C C ,,B X ,B C 为基B 对应的非基变量和系数，N X ,N X 为N 对应的非基变量和系数，这样将线性规划问题改写为：minZ ()N B C C ,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B B X X (3)约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0),(NB N B X X bX X N B (4)经过矩阵变换，得出关于基B 的标准型如下：1min -=B C Z B +(N C -1-B C B N)N X (5)约束条件：⎩⎨⎧≥=+--0,11NB N B X X bB NX B X (6)T m b b b b B ),,,(''21'1 =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++++-mnmm mm nm m n m m a a a a a a a a a N B2122212121111 将（5）（6）展开为：=Z min '1i mi i b c ∑=+∑+=nm j 1('1ij mi i j a c c ∑=-)j x (7)约束条件：i nm j j iji b x ax '1'=+∑+= ,m i ,,2,1 = (8)0≥j x ,n j ,,2,1 = (9)令 '10i mi i b c Z ∑== , =j σ'1ij mi i j a c c ∑=- ,n m m j ,,2,1 ++= ,称j σ为检验数。

高中数学教你如何做出最佳选择-简单线性规划求最优解-苏教版

教你如何做出最佳选择——简单的线性规划求最优解在线性约束条件下，求线性目标函数最值问题，称为“线性规划”。

目标函数),(y x f z =取得最值时，变量y x ,的对应解),(y x 称为最优解。

若Z y x ∈,时，z 取得最值，称),(y x 为最优整数解，简称整解。

点),(y x 的横、纵坐标都是整数，称为整点。

求最优整解问题出现在高中数学新教材中，常见的实际应用题型有两种，（1）给出一定数量的人力、物力资源，问怎样安排能使完成的任务量最大，收益最大；（2）给出一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务投入的人力、物力最小。

因为研究的对象是人、物等个体，故y x ,往往是整数，较y x ,不是整数时求解困难，所以这是一个应用数学知识解决实际问题的新难点，加之教材介绍较为笼统简略，对教师和学生的理解掌握造成了一定的困难，针对这一问题，总结两种寻找最优整解的方法与大家探讨。

这两种求解方法分别是：调整优值法(简称调值法)、枚举整点法(简称枚举法)。

调值法是先求非整点最优解，再借助不定方程，调整最优解，最后筛选出最优解；枚举法，因为取得最值的整点分布在可行域内，可从y x ,中选取系数的绝对值较大的一个对其逐一取值，以此为标准分类讨论，取得另一变量的最值，代入目标函数，比较函数值大小，找到最优解。

下面通过几个典型例题，介绍一下这几种方法的具体运用。

例1（调整优值法）要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解析：设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数z 张，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≥+≥+≥+Ny N x y x y x y x ,273182152 目标函数 z x y =+ 作出可行域如图所示，作出直线0x y +=。

高考数学中的线性规划中的最优解策略

高考数学中的线性规划中的最优解策略数学是现代科学体系中一门不可或缺的学科，而高中数学是学习数学的重中之重。

在高二学年的数学课上，同学们开始学习线性规划，相信大家都不陌生。

线性规划是一种建立在线性函数和线性等式不等式约束下的优化方法。

在学习线性规划的过程中，最优解策略是非常重要的一部分。

下面，我将分享一些有关高考数学中的线性规划最优解策略的内容。

一、什么是线性规划？线性规划是指在一定约束条件下，求解线性目标函数所能达到的最大或最小值的一种优化方法。

最常见的例子是如何使得生产或者运输成本最小化或利润最大化等。

线性规划一般包括以下三个要素：①决策变量：即各个选择的量，是模型中未知量的部分。

②约束条件：即决策变量的取值范围，是模型中已知条件的部分。

③目标函数：即决策变量取值下的一个数学公式，最终需要优化的数学函数。

二、高考数学中的线性规划题型在高中数学中，线性规划一般作为高二上学期学习的内容。

在高考中，线性规划题型属于选择题和简答题的范畴。

一般可分为以下三种：①线性规划的建模题：给出某种情况的限制条件，需要学生自己设计出目标函数并求解。

②线性规划的图形解法题：通过绘制限制条件与目标函数的图形，求出最优解。

③线性规划的单纯形法求解题：通过单纯形表格法，求解最优解。

三、高考数学中的线性规划最优解策略在学习线性规划时，最优解策略是至关重要的。

下面将介绍一些最优解策略的相关知识。

①最优解的存在性和唯一性在线性规划中，最优解不一定存在，具体要视题目和限制条件而定。

对于存在最优解的情况，最优解可能是唯一的，也可能有多个。

如果最优解存在且唯一，那么它一般可以通过图形法或单纯性表格法得到。

②最优解的特征在线性规划中，最优解往往是在约束条件限制下，得到目标函数最大或最小值的点。

这个点可能处于多个约束条件的交点上。

另外，当线性规划的目标函数为最小值问题时，在满足约束条件的前提下，最优解总是在可行解中的最小值点；而目标函数为最大值问题时，则在可行解中的最大值点。