复摆法测定刚体转动惯量
实验 用复摆测量刚体的转动惯量
2
即
2 2 2 2 Mgh T 4 J 4 Mh 1 1 C 1 0 2 Mgh2T22 4 2 J C 4 2 Mh2 0
(3-4-15) (3-4-16)
联立解式(3 - 4 - 15)、 式(3 - 4 - 16), 可得出
h1 h2 g 4 2 2 h1T1 h2T2
五、 注意事项 (1) 摆幅 A 须小于 1°。若按 R=0.3m(
针)= 330 mm计2倍振幅, 则
1 摆杆 )+0.03m( 摆 2
2π 330 2A 1 10 mm 360
(2) 摆的悬挂处的孔和刀口间须密切接触。若不密切接触 则调节底脚螺钉,否则会影响实验测量。 (3) 周期T的测量建议以t=10T为宜, 即 T
在研究锤移效应时，令（固定不变）：
（4-28）
C Ma 2 mh2 mr2
k (M m) g
(3 - 4 - 29) (3 - 4 - 30)
所以有
由式(3 2 Tm 2 m k h X M m
M ' M m
质心变为C′, 则由力矩平衡原理可得出
(3 - 4 - 23)
m X CC M m
(3 - 4 - 24)
图 3-4-4 加锤摆
所以新的摆长为
m X h' h CC ' h M m
(3 - 4 - 25)
由平行轴定理, 可得
' J0 Ma2 Mh2 mr2 m(h X )2 (3-4-26)
C m( h X ) 2 f m k h X m X
令
U C m(h X ) 2
复摆法测定刚体转动惯量电子教案
复摆法测定刚体转动惯量实验十三 复摆法测定刚体转动惯量【实验目的】1．了解复摆小角摆动周期与回转轴到复摆重心距离之间的关系； 2．学习用复摆测重力加速度的方法。
【实验仪器】复摆，光电计时装置，桌面刀架。
【实验原理】1．测定转动惯量，回转半径复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系。
复摆又称为物理摆。
如图1表示一个形状不规则的刚体，挂于过O 点的水平轴（回转轴）上，若刚体离开竖直方向转过θ角度后释放，它在重力力矩的作用下将绕回转轴自由摆动，这就是一个复摆。
当摆动的角度θ较小时，摆动近似为谐振动，设刚体绕固定轴O 在竖直平面内作左右摆动，C 是该物体的质心，与轴O 的距离为h ，θ为其摆动角度。
若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，即有h mg M θ-=sin若θ很小时（θ在5°以内）近似有θmgh M -= （1）又据转动定律，该复摆又有θI M = （2） 其中I 为该物体转动惯量。
由（1）和（2）可得θωθ2-= （3） 其中Imgh=2ω。
此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆振动周期为 mghIT π=2 （4） 式中h 为回转轴到重心G 的距离；I 为刚体对回转轴O 的转动惯量；m 为刚体的质量；g 是当地的重力加速度。
设刚体对过重心G ，并且平行于水平的回转轴O 的转动惯量为I G ，根据平行轴定理得：I ＝I G ＋mh 2将此公式代入（4）式，得：mghmh I T G 22+=π （5） 由此可见，周期T 是重心到回转轴距离h 的函数，且当 h →0或h →∞时，T →∞。
取 2mR I = （6）2G G mR I = （7）式（6）和式（7）中R 和G R 称为回转半径。
用桌子上刀口定出G 的位置，测得T 和h ，就可以得到I ，G I ，R 和G R 。
2．利用复摆的共轭性测重力加速度由（5）、（7）式和极小值条件0=dhdT 得：hR G = （8）在h R G =两边必存在无限对回转轴，使得复摆绕每对回转轴的摆动周期相等。
实验二刚体转动惯量的测量
实验二刚体转动惯量的测量梧州学院学生实验报告专业班级：学号：姓名：成绩：实验课程：物理实验实验名称：实验组号：同组成员：实验地点：实验实验时间：指导教师：实验目的：1用实验方法检验刚体绕固定轴的转动定理学习用复摆法测量刚尺的转动惯量。
学习用转动法测量圆盘和圆环的转动惯量。
实验仪器：一、复摆法测量转动惯量实验原理：复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系。
复摆又称为物理摆。
图4-1是表示一个形状不规则刚体，挂于过Oθ角度后释放，它在重力力矩的作用下将绕回转轴自由摆动，这就是一个复摆。
当摆动的角度θ较小时，摆动近似为简谐振动，设刚体绕固定轴O在竖直平面内作左右摆动，G是该物体的重心，与轴O的距离为h，θ为其摆动角度。
若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，即有若θ很小时((＜5()近似有(4-1)根据转动定律，该复摆满足(4-2)其中为该物体转动惯量。
由式(4-1)和式(4-2)可得(4-3)其中。
此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆振动周期为(4-4)式(4-4)中h为回转轴到重心G的距离；I为刚体对回转轴O的转动惯量；m为刚体的质量；g是当地的重力加速度。
设刚体对过重心G，并且平行于水平的回转轴O的转动惯量为IG，根据平行轴定理得(4-5)将式(4-5)代入式(4-4)得(4-6)整理得(4-7)实验1．本实验所用复摆为一均匀，测量时它悬挂在固定转轴确定的重心位置。
质量均匀，重心在中心位置。
2．以转轴为支点，在竖直平面内拉开一小角度θ＜50)后释放使之摆动，用通用计时器测量其摆动周期重复测量5次。
3．用天平出的质量。
4．按式4-7)计算的测量值，并对比理论值求出相对误差。
实验数据记录与处理尺长度am钢尺宽度bm钢尺质量mkg转轴到重心距离hm周期T(s)12345平均转动惯量转动惯量理论值相对误差二、转动法测量转动惯量实验原理：转动惯量仪是一架绕竖直轴转动的支架。
实验1 刚体转动惯量的测定
实验1：刚体转动惯量的测定教师：徐永祥1．前言：转动惯量(Moment of inertia)是表征物体转动惯性大小的物理量，它与物体平动的质量是完全对应的。
转动惯量和物体的形状、大小、密度以及转轴的位置等因素有关，密度均匀形状规则的刚体（Rigid body），其转动惯量可以方便地计算出来，但不符合此条件的刚体的转动惯量一般需要通过实验的方法测出。
目前，测量转动惯量的方法有多种，如动力学法、扭摆法（三线扭摆法、单线摆法）及复摆法等等。
本实验采用动力学方法测量被测物体的转动惯量。
2．教学方式与时间安排教师讲解、示范及与学生互动相结合；总实验时间：120分钟左右。
3．实验基本要求1) 会通过转动惯量实验仪的操作测量规则物体的转动惯量，并与理论值比较进行误差分析;2) 学会用实验方法验证平行轴原理；3）学会用作图法处理数据，熟悉并掌握用作图法处理数据的基本要求。
4．实验仪器与部件转动惯量实验仪，电子毫秒计，可编程电子计算器，铝环，小钢柱等。
5．仪器介绍转动惯量实验仪的主体由十字形承物台和塔轮构成。
塔轮带有5个不同半径的绕线轮（半径r分别为15,20,25,30,35mm共5挡），使轻质细线通过滑轮连着砝码钩；砝码钩上挂着不同数量的砝码，以改变转动体系的动力矩。
承物台呈十字形，它沿半径方向等距离地排有三个小孔，这些孔离中心的距离分别为45,60,75,90,105mm，小孔中可以安插小钢珠，籍以改变体系的转动惯量。
承物台下方连有两个细棒，它们随承物台一起转动，到达光电门处产生遮光并通过脉冲电路引起脉冲触发信号，从而便于计算遮光次数及某两次遮光之间的时间间隔，并最终由数字毫秒计显示出来。
关于数字毫秒计使用方法，请参见本实验讲义P66“数字毫秒计”部分。
6. 实验原理1）转动惯量的测定由刚体转动的动力学定律得到：βJM=（1）式中，M为转动体系所受的合外力矩，包括细绳作用于塔轮的力矩以及阻力矩；J为系统绕竖直轴的转动惯量。
摆动法测量转动惯量
图4-1单摆原理 实验4 用复摆测量刚体的转动惯量一、实验目的1．学习掌握对长度和时间的较精确的测量；2．掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解；3．学习用作图法处理、分析数据。
二、实验仪器 JD-2物理摆、光电计时器等三、实验原理1.单摆如图4-1（单摆球的质量为m ）当球的半径远小于摆长l 时，应用动量矩定理，在角坐标系可得小球自由摆动的微分方程为：01212=+θθSin lg dt d (4-1) 式中t 为时间，g 为重力加速度，l 为摆长。
当1θ（rad ）很小时，11sin θθ≈ (4-2)则（4-1）式可简化为：01212=+θθlg dt d （4-3） 令 lg =21ω (4-4) （4-3）式的解为： )sin(1101αωθθ+=t （4-5 )式中10θ，α由初值条件所决定。
周期 gl T π21= （4-6）图4-2 物理摆(复摆)2．物理摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。
如图4-2，设物理摆的质心为C ，质量为M ，悬点为O ，绕O 点在铅直面内转动的转动惯量为0J ，OC 距离为h ，在重力作用下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为θθsin 220Mgh dtd J -= (4-7) 令 02J Mgh =ω （4-8） 仿单摆，在θ很小时，（4-7）式的解为：)sin(αωθθ+=t (4-9)Mgh J T 02π= (4-10) 设摆体沿过质心C 的转动惯量为C J ，由平行轴定理可知：20Mh J J C += (4-11)将（4-11）代入（4-10）可得：gh Mgh J T C +=π2 （4-12） (4-12)式就是物理摆的自由摆动周期T 和（4-13）式右端各参变量之间的关系。
实验就是围绕（4-12）式而展开的。
因为对任何C J 都有C J ∝M ，因此（4-13）式的T 与M 无关，仅与M 的分布相关。
令2Ma J =，a 称为回转半径，则有 gh gh a T +=2 （4-13） ①一次法测重力加速度g由（4-12）式可得出MhMh J g C )(422+=π （4-14） 测出（4-14）右端各量即可得g ；摆动周期T ，用数字计时器直接测出，M 可用天平称出，C 点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆，C J 可以计算出。
三线摆测刚体的转动惯量
0
=
20
T0
机械能守恒定律
1 2
J
2
02 0
T02
5
sin2 0
2
1 4
02
J0
m0 gRr
4 2H
T02
• 将质量为m的待测刚体放在下盘上，并使待测刚体的转 轴与OO’轴重合
J1
m0 m gRr
4 2H
T12
• 待测刚体绕中心轴的转动惯量为：
J
J1
J0
gRr
4 2H
[(m
m0 )T12
m0T02 ]
项目 待测圆环
次数 1
外直径 内直径 2R1（cm）2R2（cm）
2
3
4
5 平均
计算圆环转动惯量理论值:
J m 2
R12 R22
与实验值进行比较，求 解相对误差
项目 次数
小圆柱 两圆柱体 体直径 间距离2x
2Rx（cm）
1
2
3
4
5 平均
验证平行轴定理:
比较
J A JC md 2
实验拓展思考
方向盘质量为 什么集中与外 圆周？
走钢丝的杂技演员，表演 时为什么要拿一根长棍？
质量
长度
周期
游标卡尺
米尺
或： 累积法测量周期
实验内容
1、平台调节
水平调节
周期测量
J
J1
J0
gRr
4 2H
[(m
m0 )T12
m0T02 ]
下盘
1
N个周 期所需 时间 （s）
2 3 4 5 平均
周期（s）T0
下盘+圆环 1 2 3 4 5 平均 T1
实验二、刚体转动惯量测量
实验二、刚体转动惯量测量实验目的：本实验通过测量悬挂不同物品的旋转周期，利用摆钟原理，确定物体的转动惯量，进而计算物体的转动惯量。
实验原理：在本实验中，我们将利用摆钟原理测量物体的转动惯量。
首先介绍摆钟原理：摆钟是一种具有特定周期的机械振动器。
它的原理是在重力作用下，在一定角度范围内，将上端固定的摆杆直线倾斜一定角度使其成为振子，然后释放振子，使它沿同一方向来回振动。
摆钟周期的公式为T=2π/ω，其中T为周期，ω为角频率。
对于小摆角，我们可以通过估算摆钟的周期对物体的转动惯量进行估算。
然而，在大多数情况下，摆角并不足够小，因此必须引入转动惯量的概念，它是一个物体旋转的惰性量。
根据牛顿第二定律，如果物体绕一个点转动，其转动惯量J是它的角加速度α和力矩M比值。
公式为：M=Jα其中M为力矩，α为角加速度，J为转动惯量。
我们可以使用一个简单的实验来测量物体的转动惯量，流程如下：1. 自由转动：先将铁球或悬挂在细线上的框架等物体在平面上自由转动，但不施加外力，观察其自由转动的周期。
2. 定点转动：将圆柱体固定在转轴轴心处，用细线穿过圆柱体的轴心，将铁球或盘形体悬挂于另一端细线上，在无风阻等干扰的条件下，使铁球或盘形体从静止开始作转动，一边转动一边测量周期T。
此时，根据摆钟原理，我们可以得出以下公式来计算物体的转动惯量：T=2π√(J/m g)实验步骤：1. 准备所需实验器材，将铁球和不同形状和质量的物体悬挂在细线上，通过螺钉将圆柱体固定在转轴轴心处。
3. 然后进行定点转动实验。
悬挂物体在转动时，测量其转动的周期T，至少测量10次，求出平均值作为定点转动的周期T1。
4. 根据公式T=2π√(J/mg)，可以计算出物体的转动惯量J，计算公式如下：J=((T1/2π)²-mg(T0/2π)²)/4π²其中，T1为定点转动的周期，T0为自由转动的周期，m为物体质量，g为重力加速度。
5. 对于每个不同质量或形状的悬挂物体，都可以按照上述步骤进行实验，在此基础上得出物体的转动惯量J。
常见转动惯量
常见的转动惯量有：两端开通的薄圆柱壳，两端开通的厚圆柱，实心圆柱，薄圆盘，圆环，实心球，空心球等。
转动惯量是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。
测定刚体转动惯量的方法很多，常用的有三线摆、扭摆、复摆等。
三线摆是通过扭转运动测定物体的转动惯量，其特点是无力图像清楚、操作简便易行、适合各种形状的物体，如机械零件、电机转子、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的转动惯量都可用三线摆测定。
这种实验方法在理论和技术上有一定的实际意义。
在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯矩）通常以I或J表示，SI单位为kg·m²。
对于一个质点，I=mr²，其中m 是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
大学物理课程中刚体转动惯量测量的误差分析
式（ １ ） 中的 是 弹簧 的扭 转常 数 。根据 转 动
定律 Ｍ＝ （ ２ ）
数需要测定得出， 但在扭摆托盘转动速度较低 的
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６— １ ２—２ ５
基金 项 目： 湖北 第二 师范学院校级教 学研 究项 目（ Ｘ ２ ０ １ ４ ０ １ ４ ）
作者 简介 ： 刘 丹（ １ ９ ８ １ 一） ， 女， 湖北红安人 ， 副教授 ， 博 士， 研究方向为凝聚 态物理 、 光 学与 大学物理教 学。
・
１ ７ ・
将 测得 的载 物 盘和塑 料 圆柱周 期 以及塑 料 圆 柱转动 惯 量 理论 值 代 入 式 （ ６ ） ， 计 算 得 出弹 簧 的 扭 摆 常数 为 Ｋ＝ ３ ． ８ ４ １×１ ０以 Ｎ ｍ～。
，
称
金属栽物盘
０
７ ． １ ４ ０
７ ． １ ４ ０ ７ ． １ ４ ０ １ １ ． ９ ３
平
Ｏ ． ７ １ ４
力 矩忽 略掉 ， 那 么 由（ １ ） 、 （ ２ ） 式 可得
２ ０ １ ７年 ２月
湖北 第 二 师 范 学 院 学报
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｈｕ ｂ ｅ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ｆｅ ｂ． ２０１ ７
第３ ４卷第 ２期
Ｖ ｏ １ ． ３ ４ Ｎ ｏ ． ２
的转 动惯 量并 进行 了误 差分析 ， 然后 对 影响 实验 的误 差 因素 进行 了研 究 。得 到如 下结 论 ： 将光
电 门摆放 在扭 摆平衡 位 置 才会 令误 差 最 小 ； 初 摆 角只要 在 ７ ５ 。 到１ ５ ０ 。 之 间弹 簧 的 Ｋ值 就 基本
复摆研究(1)
2021/3/10
讲解：XX
2
复摆法测重力加速度实验原理
如图所示,刚体绕固定轴O在竖直
平面内作左右摆动，G是该物体
的质心，与轴O的距离为，为其
摆动角度。若规定右转角为正，
此时刚体所受力矩与角位移方向
相反，则有
Mmgsihn (1)
又据转动定律，该复摆又有
MI
（2)
2021/3/10
讲解：XX
3
由（1）和（2）可得
设（6）式中的 IG mk，2 代入（7）式，得
T2 m2km2h2 k2h2
mgh
gh
(8)
k为复摆对G（质心）轴的回转半径,h为质心到转轴的距离。对（8）式平方则有
T2h42 k2 42 h2
g
g
(9)
设，则（9）式改写成
y42 k2 42 x
g
g
(10)
10）式为直线方程，实验中(实验前摆锤A和B已经取下) 测出n组(x,y)值，用作图 法求直线的截距A和斜率B，所以
g 4 2 B
由（11）式可求得重力加速度g。
( 11 )
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讲解：XX
5
关键技术展示
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讲解：XX
6
理论重力加速度的计算
地球各点重力加速度近似计算公式: g=g0 (1-0.00265cos&)/1+(2h/R) 其中，g0:地球标准重力加速度9.80665(m/m2s) ,&:测量点的地球纬度 ,h:测
2021/3/10
复摆研究
讲解：XX
1
概念简介
复摆，是指在重力作用下，能绕通过自身某固定水平轴摆动的刚 体。即复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动 力运动体系。又称物理摆。
如何通过测量复摆的周期计算转动惯量
一
１ 弓 言 Ｉ
细
／． ，
物体 ， 论用 计算 法 ， 是 用 测 量 法 ， 难 以定 ｍ 无 还 都 物体绕任意轴转 动的转动惯量 Ｉ 甚 至 ， 心的位置 ， ， 质
都 难 以确 定 ． 如 ， 助 复 摆 的周 期 公 式 丁－ ｒ・ 比 借 ＿２ ｒ
厂
／１ 测量周期并计算 ， 由于质心 Ｃ的位置 ｂ Ｖ ７＂ ＂ ｇ １
能提供 强烈 的感 知材 料 ， 生 比那 些形 成 学 生相 产
异构想 的感性 经验更 加强 大 的知觉 引 力． 此 ， 因 教
量 、 量分布 和质 心的转 动惯 量 ， 要 测量 一 个距 质 只
离 即可．
２ 理 论 方 法
击一 器
一
㈩
（） ３
仍 以复摆测 周 期 的方 法 进 行 理论 探讨 ， 因为
复 摆 的周 期 为
其 中
ｂ ２一 ｂ １一 ａ （ 下转 第 ４ ８页 ）
物理与 工程
时 ， 可 定 出质 心 轴 位 置 ． 文 讨 论 的 内 容 对 教 学 有 意 义 ． 亦 本
关 键 词 复摆 ； 期 ； 动 惯 量 ； 心 轴 位 置 周 转 质
Ｈ ｏＷ ＣＡＬＣＵＬＡＴＩ ＮＧ ＲｏＴＡＴＩ ｏＮＡＬ Ｉ ＮＥＲＴＩ Ａ ＢＹ ＥＡＳ Ｍ ＵＲＥＩ ＮＧ ＰＥＲＩ Ｄ ｏ ｏＦ ＣｏＭ ＰｏＵＮＤ ＰＥＮＤＵＬＵＭ
式中， ｂ为 过 ０ 点 水 平 转 轴 到 Ｃ 形 状 不 规 则 、 面 非 平 整 、 量 分 布 不 均 匀 的 表 质 点 的 距 离 （ 好 直 接 测 量 ） 如 不 ． 图 １ 示． 法 是 ： 任 意 点 ０ 所 方 以 为 轴 ， 量 复 摆 的 小 角 度 摆 动 周 测 期后 ， 在 、 连 线 上 找 任 意 点 Ｃ ０ ， 此 为 轴 再 测 周 期 ． 次 测 （ 以 两 ｃ点为 质 点 ）
转动惯量测试方法概述
转动惯量测试方法概述张教超;郝方楠【摘要】概述了复摆法、单线扭摆法、落体法、三线摆法、扭摆法、质量线法等转动惯量测试方法,分析了各个方法的测量原理,误差来源,对各个测量方法的优缺点及适用对象进行了简单的描述.【期刊名称】《汽车零部件》【年(卷),期】2015(000)010【总页数】4页(P83-85,71)【关键词】转动惯量;测试方法【作者】张教超;郝方楠【作者单位】陕西法士特齿轮有限责任公司,陕西西安710119;陕西法士特齿轮有限责任公司,陕西西安710119【正文语种】中文质量特性主要包括物体的质量、质心、转动惯量、惯性积等，是航空航天、车辆、兵器、精密机械等领域进行设计及自动控制的关键参数，对其进行精确测量具有重要意义。
针对转动惯量的测量，目前常用的方法有复摆法、单线扭摆法、落体法、三线摆法、扭摆法、质量线法等。
文中对转动惯量的各种测试方法进行了概述，分析了各个测量方法的测量原理及误差来源，对各个测量方法的优缺点及适用对象进行了简单的描述。
1.1 复摆法复摆又称物理摆。
如图1所示，质量为m的任意形状的物体可绕垂直与图面的光滑水平轴O自由转动，将它由自然下垂的静止状态拉离平衡位置一个微小角度时，忽略空气阻尼，物体将绕轴作自由摆动，这样的装置称做复摆。
设复摆的质心在点C，点C到轴O的距离为l，复摆对轴O的转动惯量为J，复摆作小角度摆动时，其受到的重力矩为[1]：M=-mglsinφ≈-mgφ再由，可得φ=0，令，则在忽略阻尼的情况下，构件绕水平轴O的转动惯量为：通过平行轴定理J=Jc+ml2，可计算得到构件绕质心的转动惯量Jc。
由式(2)可知，误差来源主要为ΔT、Δl、Δm。
如果摆幅太大，测量误差也会随之增大。
同时该测试法不适用于较大物体。
该方法需要事先精确测量物体的质心，限制了其应用[2]。
1.2 单线扭摆法对于陀螺转子、螺旋桨、齿轮等小微型对称刚体构件，一般都要测其绕轴线的转动惯量。
采用单线扭摆法测量，经济实用，操作简单。
实验 用复摆测量刚体的转动惯量
一、 (1) (2) 掌握测量重力加速度的方法, 并加深对刚体转动理
(3) 学习用作图法处理、 分析数据。
二、 JD-2物理摆、光电计时器等。
1.
单摆的工作原理如图3-4-1所示。单摆球的质量为m,当球的
半径远小于摆长l时, 应用动量矩定理, 在直角坐标系下可得小球
令 则式(3 - 4 - 3)的解为
g l
2 1
(3 - 4 - 4)
1 10 sin(1t )
(3-4-5)
式中,θ10、α的值由初始条件所决定。
由式(3 - 4 - 4)
l T1 2 g
(3-4-6)
2. 物理摆
一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图3 4-2所示, 设物理摆的质心为C,质量为M,悬点为O, 绕O点在铅直 面内转动的转动惯量为 J0,OC 距离为 h 。在重力作用下 , 由刚体
2 2 J C Mh1 T1 4 Mgh1 2
J C Mh2 T 4 Mgh2
2 2 2
2
即
Mgh1T12 4 2 J C 4 2 Mh12 0
2 Mgh2T22 4 2 J C 4 2 Mh2 0
(3-4-15) (3-4-16)
联立解式(3 - 4 - 15)、 式(3 - 4 - 16), 可得出
h1 h2 g 4 2 2 h1T1 h2T2
2
2
2
(3-4-17)
这样就消去了 JC 。因此，式 (3-4-17) 测 g 就有着广泛的适用性。
另外, 从式(3 - 4 - 17)可十分明确地看到T与M的无关性。
虽然任意两组(h1,T1)、 (h2,T2)实测值都可以由式(3 - 4 －17) 算出g, 但是对于一个确定的物理摆究竟选取怎样的两组 (h,T)数
测量刚体转动惯量的方法
测量刚体转动惯量的方法刚体转动惯量是个很有趣的概念呢。
那怎么测量它呢？一种常见的方法是三线摆法。
先把三线摆装置安装好呀，这就像搭积木一样，要仔仔细细的，可不能马虎。
把待测刚体放在三线摆的下盘中心位置，这就如同把宝贝放在正中间的宝盒里。
然后轻轻转动上盘，让下盘做小幅度扭转振动。
这时候要注意哦，转动的幅度可不能太大，就像你轻轻推秋千，而不是大力猛推。
测量下盘摆动的周期，通过特定的公式就能算出转动惯量啦。
这个过程中，要确保三线摆的支架稳稳当当的，就像大树扎根在土里一样牢固。
要是支架不稳，那测量结果肯定是乱七八糟的，这可太糟糕了！在安全方面，因为只是小幅度的转动操作，只要小心手指别被线缠住，基本不会有什么危险，这多让人安心呀。
再说说扭摆法吧。
把扭摆的弹簧调节好，将待测刚体固定在扭摆上，这感觉就像给刚体找了个专属的小座位。
给扭摆一个初始的扭转角，让它开始摆动。
这个角度也不能太大哦，不然就像脱缰的野马不受控制了。
在摆动过程中，测量摆动的周期等数据，再用相关公式算出转动惯量。
这里呢，扭摆的弹簧要是质量不好或者安装不对，那就像汽车少了个好轮胎，整个测量就会有大问题。
不过只要操作正确，这种方法还是挺安全的。
在应用场景方面，在机械工程领域可太有用了。
比如设计汽车发动机的零部件，知道了转动惯量就能更好地设计它们的转动性能，这就好比厨师知道食材的特性才能做出美味佳肴。
要是不知道转动惯量，那设计出来的东西就像没有方向的船只在大海里乱漂，多可怕呀！实际案例也不少呢。
就说工厂里制造的大型旋转机械部件吧。
通过准确测量转动惯量，能够优化其运行的稳定性。
就像给运动员调整好重心一样，机械部件运行起来又稳又好。
要是不测量，那机械部件运行起来晃晃悠悠的，就像醉汉走路，不仅效率低，还可能出故障，这谁能受得了呢？我觉得测量刚体转动惯量的这些方法都很棒呢。
它们各有各的妙处，只要操作得当，就能给很多领域带来极大的便利。
这就像拥有了一把神奇的钥匙，能打开好多未知的大门。
实验扭摆法测定刚体的转动惯量
实验2-10 扭摆法测物体的转动惯量【引言】转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表明刚体特性的一个物理量。
刚体相对于某转轴的转动惯量，是组成刚体的各质元质量与它们各自到该转轴距离平方的乘积之和。
刚体的转动惯量与以下因素有关：刚体的质量：各种形状刚体的转动惯量都与它自身的质量成正比；转轴的位置：并排的两个刚体的大小、形状和质量都相同，但转轴的位置不同，转动惯量也不同；质量的分布：质量一定、密度相同的刚体，质量分布不同（即刚体的形状不同）转动惯量也不同。
如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定转轴的转动惯量。
对于形状复杂，质量分布不均匀的刚体，计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定，例如机械部件、电动机转子和枪炮的弹丸等。
转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定形式运动，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系，进行转换测量。
本实验使物体做扭转摆动，由摆动周期以及其它参数的测定计算出物体的转动惯量。
在国际单位制中，转动惯量的单位是2m kg ⋅（千克·米2）。
【实验目的】1. 测定弹簧的扭转常数2. 用扭摆测定几种不同形状物体的转动惯量，并与理论值进行比较3. 验证转动惯量平行轴定理【实验仪器】扭摆 附件为塑料圆柱体 金属空心圆筒 实心球体 金属细长杆（两个滑块可在上面自由移动） 数字式定数计时器 数字式电子秤【实验原理】扭摆的构造如图2-10-1所示，在垂直轴1上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。
在轴的上方可以装上各种待测物体。
垂直轴与支座间装有轴承，以降低磨擦力矩。
3为水平仪，用来调整系统平衡。
将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。
根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度θ成正比，即 θK M -= （2-10-1） 式中，K 为弹簧的扭转常数，根据转动定律 βI M =图2-10-1式中，I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由上式得 IM =β （2-10-2）令 IK=2ω,忽略轴承的磨擦阻力矩，由（2-10-1）、（2-10-2）得 θωθθβ222-=-==I Kdtd 上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速度与角位移成正比，且方向相反。
复摆法测定刚体转动惯量
复摆法测定刚体转动惯量实验十三复摆法测定刚体转动惯量【实验目的】1．了解复摆小角摆动周期与回转轴到复摆重心距离之间的关系；2．学习用复摆测重力加速度的方法。
【实验仪器】复摆，光电计时装置，桌面刀架。
【实验原理】1．测定转动惯量，回转半径复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系。
复摆又称为物理摆。
如图1表示一个形状不规则的刚体，挂于过O 点的水平轴（回转轴）上，若刚体离开竖直方向转过θ角度后释放，它在重力力矩的作用下将绕回转轴自由摆动，这就是一个复摆。
当摆动的角度θ较小时，摆动近似为谐振动，设刚体绕固定轴O 在竖直平面内作左右摆动，C 是该物体的质心，与轴O 的距离为h ，θ为其摆动角度。
若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，即有h mg M θ-=sin若θ很小时（θ在5°以内）近似有θmgh M -= （1）又据转动定律，该复摆又有θ I M = （2）其中I 为该物体转动惯量。
由（1）和（2）可得θωθ2-= （3）其中Imgh=2ω。
此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆振动周期为 mghIT π=2 （4）式中h 为回转轴到重心G 的距离；I 为刚体对回转轴O的转动惯量；m 为刚体的质量；g 是当地的重力加速度。
设刚体对过重心G ，并且平行于水平的回转轴O 的转动惯量为I G ，根据平行轴定理得：I ＝I G ＋mh 2 将此公式代入（4）式，得：mghmh I T G 22+=π （5）由此可见，周期T 是重心到回转轴距离h 的函数，且当h →0或h →∞时，T →∞。
取 2mR I = （6）2G G mR I =（7）式（6）和式（7）中R 和G R 称为回转半径。
O Ghθ mg 图1用桌子上刀口定出G 的位置，测得T 和h ，就可以得到I ，G I ，R 和G R 。
2．利用复摆的共轭性测重力加速度由（5）、（7）式和极小值条件0=dhdT 得：h R G = （8）在h R G =两边必存在无限对回转轴，使得复摆绕每对回转轴的摆动周期相等。
如何通过测量复摆的周期计算转动惯量
如何通过测量复摆的周期计算转动惯量
周雨青;刘甦
【期刊名称】《物理与工程》
【年(卷),期】2010(020)001
【摘要】本文给出一种简约可行的方法,用来计算不规则物体绕任意轴转动时的转动惯量,同时,亦可定出质心轴位置.本文讨论的内容对教学有意义.
【总页数】2页(P42,48)
【作者】周雨青;刘甦
【作者单位】东南大学物理系,江苏,南京,211189;东南大学物理系,江苏,南
京,211189
【正文语种】中文
【相关文献】
1.改进复摆法测量转动惯量的方法和设备研究 [J], 袁昌盛;宋笔锋
2.复摆法测量箭弹转动惯量和质偏及其误差分析 [J], 张心明;王凌云;刘建河;杨建东
3.弹箭转动惯量的振复摆法测量及误差分析 [J], 徐向辉;陈平;唐一科;吴海瀛
4.基于复摆测量法阻尼对转动惯量的影响分析 [J], 张心明;王德民;李俊烨;尚春民;胡敬磊
5.复摆法测量刚体转动惯量的改进 [J], 林彦嘉
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实验十三 复摆法测定刚体转动惯量
【实验目的】
1．了解复摆小角摆动周期与回转轴到复摆重心距离之间的关系； 2．学习用复摆测重力加速度的方法。
【实验仪器】
复摆，光电计时装置，桌面刀架。
【实验原理】
1．测定转动惯量，回转半径
复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系。
复摆又称为物理摆。
如图1表示一个形状不规则的刚体，挂于过O 点的水平轴（回转轴）上，若刚体离开竖直方向转过θ角度后释放，它在重力力矩的作用下将绕回转轴自由摆动，这就是一个复摆。
当摆动的角度θ较小时，摆动近似为谐振动，设刚体绕固定轴O 在竖直平面内作左右摆动，C 是该物体的质心，与轴O 的距离为h ，θ为其摆动角度。
若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，即有
h mg M θ-=sin
若θ很小时（θ在5°以内）近似有
θmgh M -= （1） 又据转动定律，该复摆又有
θ I M = （2） 其中I 为该物体转动惯量。
由（1）和（2）可得 θωθ2-= （3） 其中I
mgh
=
2ω。
此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆振动周期为 mgh
I
T π
=2 （4） 式中h 为回转轴到重心G 的距离；I 为刚体对回转轴O 的转动惯量；m 为刚体的质量；g 是当地的重力加速度。
设刚体对过重心G ，并且平行于水平的回转轴O 的转动惯量为I G ，根据平行轴定理得：
I ＝I G ＋mh 2 将此公式代入（4）式，得：
mgh
mh I T G 2
2+=π （5） 由此可见，周期T 是重心到回转轴距离h 的函数，且当 h →0或h →∞时，T →∞。
取 2
mR I = （6）
2
G G mR I =
（7）
式（6）和式（7）中R 和G R 称为回转半径。
用桌子上刀口定出G 的位置，测得T 和h ，就可以得到I ，G I ，R 和G R 。
2．利用复摆的共轭性测重力加速度
由（5）、（7）式和极小值条件0=dh
dT 得：
h
R G = （8）
在h R G =两边必存在无限对回转轴，使得复摆绕每对回转轴的摆动周期相等。
而把这样的一对回转轴称为共轭轴，假设某一对共轭轴分别到重心的距离为h 1、h 2(h 1≠h 2)，测其对应摆动周期为T 1、T 2。
将此数据分别代入（5）式并利用T 1＝T 2得：
I G ＝mh 1h 2 （9）
g
h h T 212+=π （10）
把公式（10）与单摆的周期公式g
l T π2=比较可知，复摆绕距其重心h 1（或
其共轭轴h 2）的回转轴的摆动周期与所有质量集中于离该轴为h 1＋h 2点的单摆周期相等，故称h 1＋h 2为该轴的等值摆长。
可见，实验测出复摆的摆动周期T 及该轴的等值摆长h 1＋h 2，由公式（10）就可求出当地的重力加速度g 的值。
本实验所用复摆为一均匀钢板，它上面从中心向两端对称地开一些小孔。
测量时分别将复摆通过小圆孔悬挂在固定刀刃上，如图2 所示，便可测
出复摆绕不同回转摆动的周期以及回转轴到重心的距离，得到一组T 1、h 1数据，作T ～h 图，如图3所示，从而直观地反映出复摆摆动周期与回转轴到重心距离的关系。
由于钢板是均匀的，复摆上的小圆孔也是对称的，所以在摆的重心两侧测T 随h 的变化也是相同的，则实验曲线必为两条。
且与垂直重心的直线交于H 点。
不难看出：AH ＝HD ＝h 1，BH ＝HC ＝h 2，即AC ＝BD ＝h 1＋h 2为等值摆长。
1．用钢卷尺测出从复摆的一端到各个悬挂点的距离d 1，d 2，…d n （要从一端而不是从两端量起）；
2．在复摆两端分别固定一个条形档光片，然后将复摆一端第一个小圆孔挂在固定的水平刀刃上，使其铅直。
调节光电计时装置使其符合测周期的要求；
3．测定转动惯量和回转半径。
4．测每个悬挂点的周期T 1，T 2，… T n 。
5. 处理实验数据。
图2
【数据处理要求】
1．记录数据。
并根据数据使用坐标纸，做出T～d曲线。
2．由图解法从图中求出任意三个不同周期所对应的等值摆长，据（10）式求出相应的重力加速度再求出其平均值，并与当地的重力加速度相比较，分析产生误差的原因。
【思考题】
1．改变悬挂点时，等值摆长将会改变吗？摆动周期会改变吗？
2．公式（5）成立的条件是什么？在实验操作时，怎样才能保证满足这些条件呢？
3．如果所用复摆不是均匀的钢板，重心不在板的几何中心，对实验的结果有无影响？两实验曲线还是否对称？为什么？。