2020高考数学复习数列的题型与方法

高考数学复习数列的题型与方法

一、考点回顾

1．数列的概念，数列的通项公式与递推关系式，等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质。

2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。 (2)通项公式法：

①若1(1)()n k a a n d a n k d =+-=+-，则{}n a 为等差数列； ②若

，则{}n a 为等比数列；

③中项公式法：验证

都成立。

3．在等差数列{}n a 中,有关S n 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当10a >,d<0时，满足的项数m 使得m S 取最大值.

(2)当10a <,d>0时，满足的项数m 使得m S 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

4．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累积法、归纳猜想证明法等。 5．数列的综合应用：

⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。 ⑵数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。 6．注意事项：

⑴证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明11-+-=-n n n n a a a a 或

1

1-+=n n n n a a

a a 而得。 ⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。

⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 ⑷注意一些特殊数列的求和方法。 ⑸注意n s 与n a 之间关系的转化。如：

n a =,,

11--n n s s s 21

≥=n n ，n a =∑=--+n

k k k a a a 2

11)(．

⑹数列的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．

⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．

⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力． ７．知识网络

111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q

a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪

←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪

=+-⎪

⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解

的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)

11(1)()

n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪

⎪

⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧

⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎧⎪⎪⎨

⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎩⎩

⎪

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩

等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和

求和倒序相加求和累加累积

归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪

二、经典例题剖析

考点一：等差、等比数列的概念与性质

例题1. （山东省滨州市xx 年高三第三次复习质量检测）已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；

（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析：（I ）依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即

03213131=+-∴q a q a q a

2

1101322==⇒=+-∴q q q q 或 2

11

=

∴≠q q Θ

1)2

1

(64-⨯=n n a 故

（II ）n b n n n -==⨯=--72log ])

2

1(64[log 721

2

⎩⎨

⎧>-≤-=∴7

7

77||n n n n

b n

n n n n T b n n )

13(2)76(,6||,71-=

-+=

=≤∴时当 2

)

7)(6(212)7)(71(,1||,778--+

=--++==>n n n n T T b n n 时当 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>+--≤-=∴)7(212)7)(6()7(2)

13(n n n n n n T n

点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。

例题2. （xx 年湖南省长郡中学第二次月考）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n S 是首项为1，各项均为正数且公比为q 的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（2）试比较212()n n n a a a n N ++++∈与的大小，并证明你的结论. 解析：（Ⅰ）∵{}n S 是各项均为正数的等比数列.

∴1(0)n n S q q -=>. 当n=1时，a 1=1， 当212,(1).n n n n n a S S q q --≥=-=-时

∴2

1

(1)

(1)(2)

n

n n a q q

n -=⎧=⎨-≥⎩。

（Ⅱ）当n=1时，

213211131

2(1)2(1)[()]0.24

a a a S S q q S q q +-=+---=-+> ∴2312a a a >+

∴当1112112)1(2)1()1(2,2--++---+-=-+≥n n n n n n q q S q q S q q S a a a n 时32(1)n q q -=- ∵20,0.n q q ->>