第1章 质点力学 习题培训讲学

第1章质点力学习

题

第一章 质点力学 习题

习题1.1：设质点的运动方程为 j t y i t x t r )()()( ，其中 m t s m t x 2)1()(1

；

m t s m t y 2)4

1

()(22 。（1）试求s t 3 时的速度；（2）作出质点的运动轨迹

图。

解：（1）由题意可得速度分量分别为

11

s m dt dx x ；t s m dt dy y )2

1(2 s t 3 时的速度为 j s m i s m )5.1()1(2

1

速度

与 x 之间的夹角

3.561

5.1arctan

m t s m t x 2)1()(1

（2）运动方程

m t s m t y 2)4

1()(2

2 由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为

m

3)m 4

1

(2

1- x x y

习题1.2：如图所示，A 、B 两物体由一长为 l 的刚性细杆相连，A 、B 两物体

可在光滑轨道上滑行。如物体 A

以恒定的速率 向左滑行，当

60 时，物体

B 物体 A

物体 B 的速度

t

d j

t

y i y B

d d v v

j i r 21AOB 为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量：

两边求导得 即

∵ dt

dx ，y x tan ∴ j B tan B

沿 y 轴正向，当 60 时， 73.1 B 。

习题1.3：已知一质点的运动方程为 （SI ） ，求：

⑴ t = 1s 和 t = 2s 时位矢； ⑵ t = 1s 到 t = 2s 内位移；

⑶ t = 1s 到 t = 2s 内质点的平均速度； ⑷ t = 1s 和 t = 2s 时质点的速度； ⑸ t = 1s 到 t = 2s 内的平均加速度；

⑹ t = 1s 和 t = 2s 时的加速度；

解：⑴ m ， m 。 ⑵ m 。

⑶ m /s 。

⑷ m /s m /s

y 22

2

x =l 0d d 2d d 2 t

y y t x

x t

x y x t y d d d d j

t

x y x j dt dy B

d d v j t i t r )2(22

j i r

242

j

i r r r 3212 j i j i t r v 321

232

j t i dt

r d v 22 j

i v

221 j

i v

422 j

j

v v v a 2212

⑸ m /s 2 。

⑹ m /s 2

。

习题1.4：一质点沿 x 轴运动，已知加速度为 t a 4 (SI)。初始条件为：0 t 时，

00 ，100 x m 。求：运动方程。

解：取质点为研究对象，由加速度定义有 （一维可用标量式）

由初始条件有： 得：

由速度定义得：

由初始条件得：

即 m 。

由以上可见，习题1.3和习题1.4分别属于质点运动学中的第一类和第二类问题。

习题1.5：质点做平面曲线运动，其位矢、加速度和法向加速度大小分别为和速度为 试说明下式正确的有哪些 ？

⑴ ⑵ ⑶ ⑷

j

dt v d dt

r d a 222

t

dt

dv

a 4 tdt

dv 4

t v tdt

dv 0

42

2t v 22t dt

dx

v dt

t dx 22 dt

t

dx t

x

2

10

210

323 t x ;dt v d a ;22

dt r d a ;

22dt

v d a a n .

r

v v a

解：因为标量 ≠ 矢量，所以 ⑴ 不对。

由右图可见：

但

又

而 故 ⑵ 不对。

而 因此 ⑶ 正确。 由于 中 r 为曲率半径，而这里 r 为位矢的大小，不一定是曲率半径，

所以 ⑷ 不对。

习题1.6：在一个转动的齿轮上，一个齿尖 P 沿半径为 R 的圆周运动，其路程 S

随时间的变化规律为

其中，b v ,0 都是正的常数，则 t 时刻齿

尖 P 的速度和加速度大小为多少 ？

解：

,

r r

.

r r

,

22dt

r d a ,2222

dt

r

d dt r d ,22dt v d dt dv a a a t n

r v

v a .212

0bt t v S bt

v dt

ds

v 0 24

02

2

2

2

22

R bt v b R v dt dv a a a n

t