(完整版)瞬时速度与导数 教案

授课题目 1.1.2 瞬时速度与导数

教学目标

知识与技能

了解导数概念的实际背景；理解函数在某点处导数及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数。

过程与方法

在直线运动研究过程中，从平均速度与瞬时速度关系类比获得函数的平均变化率到瞬时变化率概念的过程，体会从特殊到一般、局部到整体的研究方法。

情感态度与价值观

通过导数概念的形成过程体会导数思想及其内涵,激发学生兴趣；在从物理到数学，再用数学解决物理问题的过程中体验数学的应用价值。

教学重点 导数定义的形成过程和导数的内涵

教学难点 对导数定义的理解

教学策略 教师适时引导和学生自主探究发现相结合

教学创新点

发现与体验式的教学模式 教学过程

知识呈现

教师与学生双边活动 【问题情境】

设在10米跳台上，运动员跳离跳台时竖直向上的速度为6.5m/s 。运动员在时刻t 距离水面的高度

22

15.610)(gt t t h -

+= 其中g 为重力加速度，2

/8.9s m g ≈。于是，

29.45.610)(t t t h -+=

思考：运动员在t=2 s 时竖直向上的瞬时速度。

【新知探究】

问题1 求时刻t=2 s 时运动员的瞬时速度，面对这个问题该怎样入手？ 方法1.直接用平均速度公式0022)2()2(=--=∆∆=

h h t h v ，作变速运动的物体在任何时刻都存在速度，没有意义的情况出现说明，不能用已知的计算平均

速度的方法计算变速运动的瞬时速度。

方法2.计算一段时间内的平均速度是目前唯一能够做的事情。

探究平均速度及其变化趋势

（1）求从2=t 到 t t ∆+=2之间质点的平均速度 解：

[][]

t

t t t h t h v ∆⨯-⨯+-∆+⨯-∆+⨯+=

∆-∆+=2229.425.610)2(9.4)2(5.610)2()2( 教师提出疑问

学生探讨，得方法，教师引导

t t

t t ∆--=∆∆-∆-=9.41.139.41.132

（2）求出当0001.0,001.0,01.0,1.0=∆t ，… 时质点的平均速度； 求出当0001.0,001.0,01.0,1.0----=∆t ，… 时质点的平均速度；

时间区间 ([]t ∆+2,2)

时间间隔（0>∆t ）

平均速度（v ） []1.2,2

0.1 -13.59 []01.2,2

0.01

-13.149

[]001.2,2

0.001

-13.104 9 []0001.2,2 0.000 1 -13.100 49 []00001.2,2

0.000 01 -13.100 049 ……

……

……

时间区间 ([]2,2t ∆+)

时间间隔（0<∆t ）

平均速度（v ）

[]2,9.1 0.1 -12.61 []2,99.1

0.01 -13.051 []2,999.1 0.001 -13.095 1 []2,9999.1 0.0001 -13.099 51 []2,99999.1

0.00001 -13.099 951

……

……

……

观察平均速度v 随t ∆的变化趋势？

问题2 当t ∆的绝对值无限趋近于零时，平均速度会无限趋近于一个确定的值-13.1，我们能用解析式表示这种变化趋势吗？ 引入极限符号 观察数列1，

21，31，……，n

1

，……

学生用计算器计算平均速度后，察平均速度v 随t ∆的变化趋势

师生互动

当n 无限变大时，n

1会无限趋近于0。我们用极限符号01

lim =∞→n n 表示。

练习1.=+

∞

→)3

1(lim n

n ②设函数12)(+=x x f 当x 无限趋近于1时，)(x f 的变化趋势是什么？ 用极限符号表示3)12(lim 1

=+→x x

练习2.=∆--→∆)9.41.13(lim 0

t t

问题3 由平均速度的变化趋势，我们能求出运动员在t=2时的瞬时速度吗？

①平均速度可以作为时刻t=2时的瞬时速度的近似值？ ②近似值的精确度与什么有关？

③当t ∆无限接近于0时平均速度v 的变化趋势是什么？

④现在可以求出运动员在t=2时的瞬时速度？

构建导数概念

问题1 从函数的变化率的角度看问题，平均速都是函数的平均变化率，那瞬时速度应该是什么呢？

问题2 你能给出函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率的定义吗？ 一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是

x x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000

问题3 除瞬时速度外，很多科学问题和其他问题也可以用函数的瞬时变化率来表示。我们应该以什么样的态度面对这样的问题？ 一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是

x x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000

我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '。 即x

x f x x f x y

x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim

)(00000

【知识迁移】

试问运动员在多长时间后向上的速度为0？（向上的速度为0，意味着什么，