基本不等式备课教案第一课时

课题: §3.4
2
a b
+≤
第1课时
授课类型：新授课
【学习目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【能力培养】
培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】
2
a b
+≤
的证明过程； 【教学难点】
2
a b
+≤
等号成立条件 【板书设计】
24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2．总结结论： 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ [补充例题]
4.课时小结
5、能力提高
【教学过程】
1.课题导入
基本不等式2
a b
ab +≤
的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课
1．问题探究——探究图形中的不等关系。

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三
角形的两条直角边长为a,b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2
2
a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：2
22a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有
222a b ab +=。

2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,2
2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为 2
22)(2b a ab b a -=-+
当2
2
,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时
所以，0)(2
≥-b a ，即.2)(2
2
ab b a ≥+
4．1）
2
a b
+≤
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，
(a>0,b>0)2
a b
+≤
2）2
a b
+≤ 用分析法证明：
要证
2
a b
+≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2
（4）
显然，（4）是成立的。

当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。

3）理解基本不等式2
a b
ab +≤
的几何意义 探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。

过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。

你能利用这个图形得出基本不等式2
a b
ab +≤的几何解释吗？
易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为
2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b
a ≥+2
，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 因此：基本不等式2
a b
ab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把
2
b
a +看作是正数a 、
b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称
2
b
a +为a 、
b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[补充例题]
例1 已知x 、y 都是正数，求证：
(1)
y
x
x y +≥2； (2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.
分析：在运用定理：
ab b
a ≥+2
时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.
解：∵x ，y 都是正数 ∴
y x ＞0，x
y
＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1)
x
y
y x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.
(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥
2
33y x ＞0
∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3
即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.
3.随堂练习
1.已知a 、b 、c 都是正数，求证
（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab b
a ≥+2
（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.
解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2ab ＞0
b ＋
c ≥2bc ＞0 c ＋a ≥2ac ＞0
∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .
4.课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（
2
b
a +），
几何平均数（ab）及它们的关系（
2b
a+
≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问
题：ab≤
22
2b
a+
，ab≤（
2b
a+
）2. 基本不等式
他们继续往前走。

走到了沃野，他们决定停下。

被打巴掌的那位差点淹死，幸好被朋友救过来了。

被救起后，他拿了一把小剑在石头上刻了：“今天我的好朋友救了我一命。

”
一旁好奇的朋友问到：
“为什么我打了你以后你要写在沙子上，而现在要刻在石头上呢？”
另一个笑笑回答说：“当被一个朋友伤害时，要写在易忘的地方，风会负责抹去它；
相反的如果被帮助，我们要把它刻在心灵的深处，任何风都抹不去的。

”
朋友之间相处，伤害往往是无心的，帮助却是真心的。

在日常生活中，就算最要好的朋友也会有摩擦，也会因为这些摩擦产生误会，以至于成为陌路。

友情的深浅，不仅在于朋友对你的才能钦佩到什么程度，更在于他对你的弱点容忍到什么程度。

学会将伤害丢在风里，将感动铭记心底，才可以让我们的友谊历久弥新！
友谊是我们哀伤时的缓和剂，激情时的舒解剂；
是我们压力时的流泻口，是我们灾难时的庇护所；
_。