期末复习5：概率分布、期望和方差
概率分布的期望与方差
概率分布的期望与方差概率分布是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量可能取得各个值的概率。
在概率分布中，期望和方差是两个关键的统计量，它们能够量化随机变量的中心位置和离散程度。
本文将介绍期望和方差的概念及计算方法，并通过实例进行解释。
期望期望是概率分布的均值，用于衡量随机变量的平均值。
对于离散随机变量而言，期望的计算方法如下：假设X是一个离散随机变量，它的取值范围是{x1, x2, ..., xn}，对应的概率分别是{p1, p2, ..., pn}。
那么X的期望（记为E[X]）可以通过如下公式计算：E[X] = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn这个公式表示，将随机变量的每个取值乘以对应的概率，再将结果相加即可得到期望。
举个例子来说，假设有一个骰子，它的每个面的点数是{1, 2, 3, 4, 5, 6}，出现的概率都是1/6。
那么这个骰子的期望就是：E[骰子] = 1 * (1/6) + 2 * (1/6) + 3 * (1/6) + 4 * (1/6) + 5 * (1/6) + 6 * (1/6) = 3.5因此，这个骰子的期望值为3.5，表示在长期观察中，每次掷骰子所得点数的平均值为3.5。
方差方差是概率分布的离散程度，用于衡量随机变量的扩散程度。
对于离散随机变量而言，方差的计算方法如下：假设X是一个离散随机变量，它的取值范围是{x1, x2, ..., xn}，对应的概率分别是{p1, p2, ..., pn}。
那么X的方差（记为Var[X]或σ^2）可以通过如下公式计算：Var[X] = (x1 - E[X])^2 * p1 + (x2 - E[X])^2 * p2 + ... + (xn - E[X])^2 * pn其中E[X]表示随机变量X的期望。
这个公式表示，将随机变量的每个取值与期望的差的平方乘以对应的概率，再将结果相加即可得到方差。
方差的平方根又称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。
史上最全——概率分布期望方差以及分布图汇总
b0(, 1)
a
P(x = a)= 1
a
0
分布）
(0-1)分布（两点
b(1, )
0 < p < 1
P{ = }= (1 − )1−, = 0,1
p
1-p
分布或伯努利分
布）
二项分布
B(, )
0 < p < 1
P{ = }= (1 − )−
np
np(1-p)
2
超几何分布
H(, , )
N,M,n
(M≤N,n≤
−
P{ = }=−
k ∈ Z, max{0, − + }≤ ≤ min{, }
(1 −) ( −)
−1
N)
泊松分布
π()
> 0
−
P{ = }=!
K=0,1,2,…
−1−⁄, > 0
布）
f(x)= {Γ()
0,其它
指数分布（负指
Γ(1, )
> 0
1
−, > 0 f(x)= {
0,其它
2
数分布）
注：指数分布是Γ分布的特殊情况
χ2分布
2()
≥ 1
1
n
2n
2−1−2, > 0
f(x)= {2n⁄2Γ(⁄2)
f(x)= {√2
0 ,其它
μ+2
e2μ+2(2− 1)
e2
且Y = eX则Y
σ > 0
服从该分布
逆高斯分布
N−1(μ, λ)
λ, μ > 0
概率分布中的期望与方差计算技巧
质量控制：在生产 过程中，方差用于 衡量产品质量的一 致性和稳定性，通 过控制产品质量指 标的方差来提高产
品质量
社会科学研究： 在社会科学研究 中，方差用于分 析调查数据的变 异性和不确定性， 以及比较不同样
本之间的差异
期望与方差在金融领域的应用
风险评估：用于衡量投资组合的风 险和预期收益
资本资产定价模型（CAPM）：用 于确定资产的预期收益率，并评估 市场风险
定义：离散概率 分布的方差是各 个可能结果与期 望值的差的平方 的期望值。
计算公式：方差 = Σ (p(x) * (x μ)²)，其中p(x) 是概率，μ是期 望值。
举例：假设一个随 机变量X只取两个 值，X=0的概率为 0.5，X=1的概率 为0.5，则方差 = (0.5 * (0 - μ)² + 0.5 * (1 - μ)²)。
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资产定价：为金融资产（如股票、 债券等）定价，以确定其内在价值
投资组合优化：通过期望和方差等 参数，选择最佳投资组合以最大化 预期收益并最小化风险
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方差的定义
方差是衡量数据点与平均值之间离散程度的统计量。
方差计算公式为：方差 = Σ((数据点 - 平均值)^2) / 数据点个数。
方差的值越小，说明数据点越接近平均值，离散程度越小；方差的值越大，说明数据点离散程度越 大。
方差在概率分布中表示随机变量取值的不确定性程度。
离散概率分布的方差计算
注意事项：可能不是整数
连续概率分布的期望值计算
定义：连续概率分 布的期望值是所有 可能取值的加权平 均值，其中每个取 值的权重为其概率 密度函数在该点的
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学的重要内容之一，其应用广泛且重要。
在概率统计中，我们经常遇到需要计算随机变量的期望和方差的问题。
概率分布是解决这些问题的关键工具之一。
在本文中，我们将介绍一些高中数学中常见的概率分布，以及计算期望和方差的技巧。
1. 离散概率分布离散概率分布指的是随机变量只能取有限个或可列个值的概率分布。
其中，最常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布和几何分布。
1.1 二项分布二项分布在实际问题中经常出现，特别是在重复试验的情况下。
假设有n个独立的重复试验，每次试验有成功和失败两种可能结果。
如果成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，则随机变量X表示n次试验中成功的次数。
二项分布的概率密度函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = npVar(X) = npq1.2 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或空间内随机事件发生的次数。
例如，某地区每小时的交通事故数、每天接到的电话数等。
泊松分布的概率密度函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ代表单位时间或单位空间内平均发生的次数。
泊松分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = Var(X) = λ1.3 几何分布几何分布用于描述一系列独立重复试验中，首次成功所需的试验次数。
例如，投掷一枚硬币直到首次出现正面的次数等。
几何分布的概率密度函数为：P(X=k) = q^(k-1) * p其中，p表示成功的概率，q=1-p表示失败的概率。
几何分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = 1/pVar(X) = q/(p^2)2. 连续概率分布连续概率分布指的是随机变量可以取某个区间内的任意值的概率分布。
最常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布。
2.1 均匀分布在均匀分布中，随机变量在某一区间内的取值是等可能的。
掌握概率分布的期望与方差
掌握概率分布的期望与方差概率分布的期望与方差是统计学中重要的概念。
它们用于衡量随机变量的中心位置和离散程度，是概率分布的重要特征参数。
在本文中，我们将详细介绍概率分布的期望和方差的定义、计算方法以及它们的意义和应用。
一、期望的定义与计算方法期望是概率分布的平均值，用于表示随机变量的中心位置。
对于离散型随机变量，期望的定义如下：设X是一个随机变量，其取值集合为{x1, x2, ..., xn}，对应的概率分布为{p1, p2, ..., pn}。
那么X的期望E(X)定义为：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn即随机变量每个取值与其对应的概率乘积的总和。
而对于连续型随机变量，期望的计算方法则需要使用积分。
假设X的概率密度函数为f(x)，那么X的期望E(X)定义为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，积分范围为随机变量的取值区间。
二、方差的定义与计算方法方差是概率分布的离散程度的度量，用于衡量随机变量取值与其期望之间的偏离程度。
对于离散型随机变量，方差的定义如下：设X是一个随机变量，其期望为E(X)，概率分布为{p1, p2, ..., pn}。
那么X的方差Var(X)定义为：Var(X) = (x1 - E(X))^2 * p1 + (x2 - E(X))^2 * p2 + ... + (xn - E(X))^2 * pn即随机变量每个取值与其对应的期望差的平方与其概率乘积的总和。
对于连续型随机变量，方差的计算方法与离散型随机变量类似，需要进行积分。
假设X的概率密度函数为f(x)，期望为E(X)，那么X的方差Var(X)定义为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx三、期望与方差的意义与应用期望和方差是描述随机变量特征的重要指标，它们具有以下意义和应用：1. 期望是随机变量的中心位置，它表示随机变量平均取值的大小。
通过期望可以了解随机变量的分布特征，为问题的分析和决策提供依据。
常见概率分布的期望和方差
常见概率分布的期望和方差
概率分布是统计学中极为重要的概念，它给出了随机变量在不同值上出现的概率。
期望和
方差是衡量概率分布形状和程度的重要指标，常见的概率分布的期望和方差也是学习统计
学的重要内容。
首先我们来看看正态分布。
正态分布又称高斯分布，是最常见和最重要的概率分布之一，
它形状像两个钟形，其期望等于均值μ，方差等于μ的平方，常见的概率分布期望和方差
如下：正态分布期望μ=E(X)= μ，方差σ2=V(X)=σ2；指数分布期望μ=E(X)=1/ λ，方差
σ2=V(X)= 1/ λ2 ；γ分布期望μ=E(X)=α/β，方差σ2=V(X)=α/β2；beta分布期望
μ=E(X)=α/ (α+β)，方差σ2=V(X)=αβ/ ( (α+β)2 (α+β+1) )。
比较期望和方差的计算式可以发现，期望是分布的一般性参数，它反映了随机变量的中心倾向，而方差则是分布的程度型参数，它反映了随机变量的离散程度。
借助于期望和方差，我们可以粗略地描述随机变量的分布情况。
在实际应用中，我们可以利用期望和方差对庞大的数据进行归纳和总结，预测数据的分布趋势，给出适宜的分析结论。
期望和方差是统计概率分布的两个重要参数，它们可以反映概率分布的形状和程度。
读者可以根据不同概率分布的计算式来计算其概率分布的期望和
方差。
高中高考总结复习概率、随机变量分布列、期望方差.doc
2017 高考复习 ---概率、随机变量分布列、期望方差1．某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给 10 分、答错倒扣 5 分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为分．2．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（ n， p），且 Eξ =300， Dξ =200，则 P 等于．3．设随机变量 X～ B（ 6，），则 P（ X=3） = ．4．口袋中装有大小质地都相同、编号为1， 2， 3，4， 5， 6 的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量X 的数学期望是．5．随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣1 0 1P a b c其中 a，b， c 成等差数列，若．则 Dξ的值是．6．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞ 0， y＞0，随机变量ξ的方差 Dξ=，则x+y= ．ξ1 2 3P X y x7．袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤ 7） = ．8．一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个球，则其中含红球个数的数学期望是．9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取 1 个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望 Eξ= ．10．有一种游戏规则如下：口袋里有 5 个红球和 5 个黄球，一次摸出 5 个，若颜色相同则得 100 分，若 4 个球颜色相同，另一个不同，则得50 分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．11．为参加 2012 年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a， b，c， d 四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望 Eξ= ．12．随机变量 X 的分布列如下：若，则 DX 的值是．X ﹣ 1 0 1P a c13．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ =1.，5则a的值等于．ξ012 3P0.1a b0.214．一个人随机的将编号为1， 2， 3，4 的四个小球放入编号为1， 2， 3， 4 的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望 Eξ=．15．从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．16．盒子中装有编号为1， 2，3， 4， 5， 6，7 的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）17．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2 ，3， 4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．18．盒子中有大小相同的 3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．19．从长度分别为2， 3，4，5 的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．20．从分别写有0， 1， 2， 3， 4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是．21．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b ，且 a，b ∈{ 1，2 ，3，4} ，若 | a﹣ b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．22．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为 n，向量=（ m， n）， =（ 3， 6），则向量与共线的概率为．23．某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．24．在一次招聘口试中，每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题回答，答对其中 2 道题即为及格，若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题，则这位考生能够及格的概率为．2017 年 03 月 25 日茅盾中学09 的高中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共24 小题）1．（ 2012?温州一模）某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设 3 道题，每道题答对给10 分、答错倒扣 5 分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为15 分．【分析】设该生在面试时的得分为 X，由题设条件知 X 的可能取值为﹣ 15，0， 15， 30，分别求出 P（ X=﹣ 15）， P（ X=0）， P（ X=15）， P（ X=30），由此能求出该学生在面试时得分的期望值．【解答】解：设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X 的可能取值为﹣15，0，15，30，P（X=﹣ 15 ） = = ，P（X=0）= = ，P（X=15） = = ，P（X=30） = = ，∴E X=﹣ 15× +0× +15× +30×=15．∴该学生在面试时得分的期望值为15 分．故答案为： 15．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，注意n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率计算公式的灵活运用．2．（ 2016 春 ?松桃县校级期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ =300，Dξ =200，则 P 等于．【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于 n 和 p 的方程组，解方程组得到要求的未知量 p．【解答】解：∵ξ服从二项分布 B～（ n ，p）Eξ =300， Dξ =200∴Eξ=300=np，①；Dξ =200=np（ 1﹣ p），②．可得 1﹣ p==，∴p=1﹣ = ．故答案为：．【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，本题解题的关键是通过解方程组得到要求的变量，注意两个式子相除的做法，本题与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式，本题是一个基础题．3．（2013 春 ?渭滨区校级期末）设随机变量X～B（ 6，），则P（X=3）=．【分析】根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题 x=3，代入公式得到要求的概率．【解答】解：∵随机变量X 服从二项分布B（ 6，），∴P（ X=3） =C36（）3×（1﹣）3=．故答案为：．【点评】本题考查二项分布的概率计算公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（ 2015?中山二模）口袋中装有大小质地都相同、编号为 1，2，3，4，5，6 的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为X，则随机变量 X 的数学期望是．【分析】确定 X 的可能取值为1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量X 的数学期望【解答】解：由题设知X 的可能取值为 1，2， 3， 4， 5．随机地取出两个球，共有：=15 种，∴P（ X=1） = ， P（ X=2） = ， P（ X=3） = ， P（ X=4）= ， P（ X=5）= ，∴随机变量 X 的分布列为X 1 2 3 4 5P故 EX=1×+2×+3×+4×+5×= ．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定X 的可能取值，求出相应的概率是关键．5．（2007?浙江）随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣1 0 1P a b c其中 a，b， c 成等差数列，若．则 Dξ的值是．【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是 1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．【解答】解：∵ a， b， c 成等差数列，∴2b=a+c，∵a+b+c=1，Eξ=﹣1× a+1× c=c﹣ a=．联立三式得，∴．故答案为：【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．6．（ 2014?余杭区校级模拟）已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0， y＞ 0，随机变量ξ的方差 Dξ=，则 x+y=．ξ12 3P X y x【分析】利用离散型随机变量的期望与方差即可得出．【解答】解：由题意可得：2x+y=1， Eξ=x+2y+3x=4x+2y=4x+2（ 1﹣ 2x）=2．∴方差 Dξ= =（ 1﹣ 2）2x+（ 2﹣2）2（1﹣ 2x） +（ 3﹣ 2）2x．化为，解得，∴= ．∴= ．故答案为．【点评】熟练掌握离散型随机变量的期望与方差是解题的关键．7．（ 2015 春 ?淮安校级期末）袋中有 4 只红球 3 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 1 分，取到 1 只黑球得 3 分，设得分为随机变量ξ，则 P（ξ≤7） = ．【分析】取出的 4 只球中红球个数的可能为4， 3， 2， 1 个，黑球相应个数为0， 1， 2，3 个，得分的随机变量ξ=4， 6， 8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的 4 只球中红球个数的可能为4， 3， 2， 1 个，黑球相应个数为0， 1，2， 3 个，∴得分的随机变量ξ=4， 6， 8， 10，∴P（ξ≤ 7） =P（ξ=4） +P（ξ=6）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．8．（2001?江西）一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个球，则其中含红球个数的数学期望是 1.2．【分析】由题意知ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出 2 个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出 2 个球，其中 1 个红球， 1 个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2 个球，其中 2 个红球，这三种情况根据古典概型概率公式得到结果，求出期望．【解答】解：设含红球个数为ξ，ξ的可能取值是 0、 1、 2，当ξ=0时，表示从中取出 2 个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出 2 个球，其中 1 个红球， 1 个黄球，当ξ=2时，表示从中取出 2 个球，其中 2 个红球，∴P（ξ=0） = =0.1，P（ξ =1） = =0.6P（ξ =2） ==0.3∴Eξ=0× 0.1+1× 0.6+2× 0.3=1.2．故答案为： 1.2．【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．不过大多数题目是以解答题的形式出现的．9．（ 2012?浙江校级模拟）甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、 5 个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取 1 个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．【分析】由题中ξ的取值可能是 0，1，2，由等可能事件的概率计算出概率，得出分布列再有公式求出期望即可【解答】解：由题ξ的取值可能是0， 1，2，从丙个袋中各一个球，总的取法有6× 6=36故 P（ξ=0） =，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=所以ξ的分布列为ξ01 2P=故答案为【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是根据相应的概率计算公式求出变量取每一个可能值的概率，列出分布列，求出期望．10．（ 2013?浙江模拟）有一种游戏规则如下：口袋里有 5 个红球和 5 个黄球，一次摸出 5 个，若颜色相同则得 100 分，若 4 个球颜色相同，另一个不同，则得50 分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分．【分析】由题意知小张摸一次得分X 的可能取值是0，，50，100，当得分为 100 时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，当得分50 时，表示取到的球有四个颜色相同，结合变量对应的事件，做出分布列和期望．【解答】解：由题意知小张摸一次得分X 的可能取值是0，， 50，100，当得分为 100 时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，从10 个球中取 5 个共有 C105种结果，而球的颜色都相同包括两种情况，∴P（ X=100） ==，当得分 50 时，表示取到的球有四个颜色相同，P（X=50） ==，P（X=0）=1﹣=，∴EX=100×==，故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．11．（2013?西湖区校级模拟）为参加2012 年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了a， b， c，d 四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择 a 线路旅游团数ξ的数学期望Eξ=．【分析】确定ξ的可能取值，计算相应的概率，可得分布列，进而可求ξ的数学期望．【解答】解：由题意，ξ=0， 1，2， 3，P（ξ =0）= = ， P（ξ =1）= = ，P（ξ =2）= = ， P（ξ =3）= =∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3P∴期望 Eξ=0×+1×+2×+3×=故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（ 2011?海珠区一模）随机变量X 的分布列如下：若，则DX的值是．X﹣ 10 1P a c【分析】由分布列的性质和期望列出关于 a 和 c 的方程组，解出 a 和 c，再利用方差公式求方差即可．【解答】解：由题意：，解得：所以 DX=故答案为：【点评】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算．13．（ 2012?浙江模拟）已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ =1，.5则a的值等于0.5 ．ξ012 3P0.1a b0.2【分析】由题意已经知道随机变量ξ的分布列表，又知道ξ的期望 Eξ=1.5，利用期望定义及分布列的性质建立方程求解即可．【解答】解：由题意可得：?．故答案为： 0.5．【点评】此题属于基本题型，重点考查了随机变量的分布列的性质，期望定义及学生利用方程的思想求解问题．14．（ 2011?宁波模拟）一个人随机的将编号为1，2，3，4 的四个小球放入编号为1，2，3 ，4 的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望 Eξ= 1．【分析】由于ξ表示匹对的个数，由题意则ξ可能取：0，1，2，4，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列，根据期望公式求出所求．【解答】解：由题意ξ可能取：0，1，2，4，则，，，ξ的分布列为：ξ0 1 2 4PEξ==1．故答案为： 1【点评】此题考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．15．（ 2013?浙江）从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的概率均相等），则2 名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从 6 名学生中任选 2 名共有=15 种情况， 2 名都是女同学的共有=3 种情况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从 6 名学生中任选 2 名共有=15 种情况，满足 2 名都是女同学的共有=3 种情况，故所求的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．16．（ 2013?上海）盒子中装有编号为1， 2，3， 4，5， 6，7 的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）【分析】从 7 个球中任取 2 个球共有=21 种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有=15 种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．【解答】解：从 7 个球中任取 2 个球共有=21 种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15 种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：= ．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（ A） = ，其中 n（ A）为事件 A 所包含的基本事件数，m 为基本事件总数．17．（ 2015?江苏模拟）口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1， 2， 3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．【分析】由组合知识求出从 4 个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编号之和大于 5 的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：从 5 个球中随机抽取两个球，共有种抽法．满足两球编号之和大于 5 的情况有（2， 4），（ 3， 4）共 2 种取法．所以取出的两个球的编号之和大于 5 的概率为．故答案为．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．18．（ 2010?江苏）盒子中有大小相同的 3 只白球， 1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【分析】算出基本事件的总个数n=C42=6，再算出事件 A 中包含的基本事件的个数31=3，m=C算出事件 A 的概率，即 P（ A） = 即可．【解答】解：考查古典概型知识．∵总个数 n=C42 =6，m=C 1∵事件 A 中包含的基本事件的个数=33∴故填：．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：（1）算出基本事件的总个数n ；（2）算出事件 A 中包含的基本事件的个数m；（3）算出事件 A 的概率，即 P（ A） = ．19．（ 2009?安徽）从长度分别为2，3，4， 5 的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共 4 种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共 3 种；根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2， 3， 4； 2，3， 5； 2， 4，5； 3， 4， 5 共 4 种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2， 3， 4； 2， 4，5； 3， 4， 5 共 3 种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：【点评】本题考查古典概型，考查三角形成立的条件，是一个综合题，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．20．（ 2011?鼓楼区校级模拟）从分别写有0， 1， 2，3， 4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是．【分析】由题意抽两次且属于有放回的抽样，利用计数原理及古典概型随机事件的概率公式即可求出．【解答】解：由题意属于有放回的抽样，因为从分别写有0， 1， 2， 3，4 五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片，即抽两次，所以利用分步计数原理可得总数为：5× 5=25，即：“取出的两张卡片的数字之和恰好的等于 4 为事件 A”：事件 A 的个数为：（ 4， 0），（ 0，4），（ 2， 2），（1， 3），（ 3， 1）共 5 个，利用古典概型随机事件的概率公式及得：P（ A） =．故答案为：【点评】此题考查了有放回的抽样，古典概型随机事件的概率公式及分步计数原理．21．（ 2011?江西校级模拟）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且 a，b∈ { 1，2，3， 4} ，若 | a﹣ b| ≤1 ，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从 4 个数字中各选一个数字，共有4× 4 种结果，满足条件的事件是| a﹣ b| ≤ 1，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两个人分别从 4 个数字中各选一个数字，共有 4× 4=16 种结果，满足条件的事件是 | a﹣ b| ≤ 1，可以列举出所有的满足条件的事件，当a=1 时， b=1， 2，当a=2 时， b=1， 2， 3当a=3 时， b=2， 3， 4当a=4 时， b=3， 4总上可知共有2+3+3+2=10 种结果，∴他们“心有灵犀”的概率为=故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力，注意列举出的事件数做到不重不漏．22．（2012?东莞二模）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n ，向量=（ m，n）， =（ 3，6），则向量与共线的概率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6×6种结果，满足条件事件是向量共线，根据向量共线的条件得到 6m﹣ 3n=0 即 n=2m ，列举出所有的结果数，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有6× 6=36 种结果，满足条件事件是向量=（ m， n）与=（3， 6）共线，即6m﹣ 3n=0，∴n=2m ，满足这种条件的有（ 1， 2）（ 2， 4）（ 3， 6），共有 3 种结果，∴向量与共线的概率P=，故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查向量共线的充要条件，考查利用列举法得到所有的满足条件的事件数，本题是一个比较简单的综合题目．23．（ 2013?西湖区校级模拟）某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙也有两种选法，根据乘法原理可知：共有 22=4 中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，因此他们在同一个食堂用餐的概率P=．故答案为．【点评】熟练掌握分步乘法原理和古典概型的概率计算公式是解题的关键．24．（ 2011?卢湾区一模）在一次招聘口试中，每位考生都要在 5 道备选试题中随机抽出 3 道题回答，答对其中 2 道题即为及格，若一位考生只会答 5 道题中的 3 道题，则这位考生能够及格的概率为．【分析】根据这位考生只会答 5 道题中的 3 道题，可先计算出所有的基本事件个数，及该考生不及格的事件个数，进行求出该生不能及格的概率，然后根据对立事件减法公式，得到答案．【解答】解：从 5 道备选试题中随机抽出 3 道题共有：3=10 种情况C5 =其中从该考生考试不及格，即正好抽中该生不会的两道题有： C31=3 种情况即这位考生不及格的概率为故这位考生能够及格的概率P=1﹣=故答案为：【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根据正繁则反的原则，先求对立事件的概率，是解答本题的关键．。
概率分布的期望与方差的计算
概率分布的期望与方差的计算概率分布是概率论和统计学中的重要概念之一，用于描述随机变量的取值及其对应的概率。
期望和方差是概率分布的两个重要指标，用来描述随机变量的集中程度和离散程度。
本文将介绍概率分布的期望与方差的计算方法，并举例说明。
一、期望的计算期望是随机变量的平均值，用于表示随机变量的中心位置。
下面介绍几种常见概率分布的期望计算方法。
1. 离散型随机变量的期望计算对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = Σ(xP(x))其中，x代表随机变量X的取值，P(x)代表X取值为x的概率。
举例：假设某公司的年度营业额X（单位：万元）服从以下概率分布：X | 10 | 20 | 30 | 40P(X) | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1则该概率分布的期望计算如下：E(X) = 10*0.2 + 20*0.3 + 30*0.4 + 40*0.1 = 24 (万元)2. 连续型随机变量的期望计算对于连续型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∫(x*f(x))dx其中，f(x)为X的概率密度函数。
举例：假设某产品的寿命X（单位：小时）服从指数分布，其概率密度函数为：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0则该概率分布的期望计算如下：E(X) = ∫(x * λ * exp(-λx))dx，积分区间为0到∞利用积分计算方法可得E(X) = 1/λ二、方差的计算方差衡量了随机变量的离散程度，是随机变量与其期望之间差异的平方的期望。
下面介绍几种常见概率分布的方差计算方法。
1. 离散型随机变量的方差计算对于离散型随机变量X，其方差的计算公式为：Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(x))其中，x代表随机变量X的取值，P(x)代表X取值为x的概率，E(X)代表X的期望。
举例：继续以上述年度营业额X的概率分布为例，其期望为24万元。
则该概率分布的方差计算如下：Var(X) = (10-24)^2 * 0.2 + (20-24)^2 * 0.3 + (30-24)^2 * 0.4 + (40-24)^2 * 0.1 = 136 (万元^2)2. 连续型随机变量的方差计算对于连续型随机变量X，其方差的计算公式为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中，f(x)为X的概率密度函数，E(X)代表X的期望。
概率分布的期望与方差计算
概率分布的期望与方差计算概述：在概率论中，期望和方差是两个重要的统计量，用于描述随机变量的分布特征。
期望代表了随机变量平均取值的位置，方差则描述了这些取值在平均值周围的离散程度。
本文将介绍如何计算概率分布的期望和方差。
一、离散型随机变量的期望和方差计算对于离散型随机变量，其取值只能是某些特定的离散值，我们可以通过计算每个取值与其对应的概率的乘积，并将结果相加得到期望。
方差的计算涉及到每个取值与期望之间的差异。
以一个简单的例子来说明离散型随机变量的期望和方差的计算方法。
假设有一个骰子，它的六个面分别标有1至6的数字。
我们可以用一个随机变量X来表示这个骰子的结果。
X的概率分布如下：X 1 2 3 4 5 6P(X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6其中，P(X)表示随机变量X取各个值的概率。
1. 期望的计算：期望E(X)的计算公式为：E(X) = Σ(X * P(X))其中，Σ表示求和，X表示随机变量的取值，P(X)表示对应取值的概率。
对于上述骰子的例子，期望E(X)的计算为：E(X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6= 21 / 6≈ 3.5因此，骰子的期望值为3.5。
2. 方差的计算：方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = Σ((X - E(X))^2 * P(X))其中，X表示随机变量的取值，E(X)表示期望，P(X)表示对应取值的概率。
对于上述骰子的例子，方差Var(X)的计算为：Var(X) = (1 - 3.5)^2 * 1/6 + (2 - 3.5)^2 * 1/6 + (3 - 3.5)^2 * 1/6 + (4 - 3.5)^2 * 1/6 + (5 - 3.5)^2 * 1/6 + (6 - 3.5)^2 * 1/6= (2.5^2 + 1.5^2 + 0.5^2 + 0.5^2 + 1.5^2 + 2.5^2) / 6= (6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25) / 6= 17.5 / 6≈ 2.92因此，骰子的方差为2.92。
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点
概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，常见的分布函数和概率密度函数描述了随机变量的分布规律，而期望和方差则是描述随机变量的中心位置和离散程度的重要指标。
本文将介绍概率论中的常见分布以及期望和方差的概念和计算方法。
一、离散型分布在概率论中，离散型分布描述了随机变量取有限个或可列个数值的概率分布。
以下是几个常见的离散型分布：1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型分布，描述了只有两个可能结果的随机试验，比如抛硬币的结果。
设随机变量X表示试验的结果，取值为1或0，表示成功或失败的情况。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布二项分布描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
设随机变量X表示成功的次数，取值范围为0到n，n为试验的次数，p为每次试验成功的概率。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布泊松分布描述了在一定时间或空间内随机事件发生的次数。
设随机变量X表示事件发生的次数，取值范围为0到无穷大。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数。
二、连续型分布在概率论中，连续型分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布。
以下是几个常见的连续型分布：1. 均匀分布均匀分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率相等的情况。
设随机变量X 在[a, b]区间内取值，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a≤x≤b。
2. 正态分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
概率论中的期望与方差公式整理方法
概率论中的期望与方差公式整理方法在概率论中，期望和方差是两个重要的概念。
它们可以帮助我们描述一个随机变量的分布特征。
在本文中，我们将着重介绍期望和方差的公式整理方法。
一、期望的公式整理方法期望是对随机变量取值的加权平均，它用来表示一个随机变量的平均取值大小。
在概率论中，我们通常用E(X)来表示随机变量X的期望。
对于离散型随机变量，其期望的计算公式为：E(X) = Σ(x * P(X = x))其中，x代表随机变量X的取值，P(X = x)表示X取值为x的概率。
对于连续型随机变量，其期望的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x)) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。
在实际计算中，如果随机变量X服从某种分布，我们可以利用该分布的概率密度函数或者概率质量函数来计算期望。
二、方差的公式整理方法方差用来度量随机变量的取值偏离其期望值的程度。
方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中。
在概率论中，我们通常用Var(X)或σ^2来表示随机变量X的方差。
对于离散型随机变量，其方差的计算公式为：Var(X) = Σ((x-E(X))^2 * P(X = x))对于连续型随机变量，其方差的计算公式为：Var(X) = ∫((x-E(X))^2 * f(x)) dx方差的计算需要先求出随机变量的期望值，然后再对随机变量取值与期望值之差的平方进行加权平均。
方差的单位为随机变量的单位的平方。
三、应用举例为了更好地理解期望和方差的公式整理方法，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个骰子，我们想要计算这个骰子的期望和方差。
首先，我们知道这个骰子是均匀的，即每个面出现的概率相等。
对于骰子的期望，我们可以计算每个面出现的概率乘以对应的点数，然后将所有结果相加，即：E(X) = 1/6 * 1 + 1/6 * 2 + 1/6 * 3 + 1/6 * 4 + 1/6 * 5 + 1/6 * 6 = 3.5对于骰子的方差，我们首先需要计算每个点数与期望之差的平方，然后再乘以每个面出现的概率，最后将所有结果相加，即：Var(X) = 1/6 * (1-3.5)^2 + 1/6 * (2-3.5)^2 + 1/6 * (3-3.5)^2 + 1/6 * (4-3.5)^2 + 1/6 * (5-3.5)^2 + 1/6 * (6-3.5)^2 ≈ 2.92通过这个例子，我们可以看出，期望和方差通过加权平均的方法给出了随机变量的平均取值和取值的离散程度。
11.5 离散型随机变量的概率分布、期望、方差
分布，其中N=50，M=5，n=2.于是出现次品的
CC 概率为P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2) C 2 2 2
C 5 C 505 9 2 47 , 即出现次品的概率 2 C 50 49 245 245 为 47 . 245
3.已知随机变量X的概率分布为 X P -1 1 2 0 1 3 1 1 6
2 1 C1 C C 1 5 2 8 因为P( B) , 3 C10 3
1 2 所以P( A) 1 P( B) 1 . 3 3
（2）由意得，X有可能的取值为2，3，4，5.
1 1 2 C2 C C C 1 P ( X 2) 2 2 3 2 2 ; C10 30 1 1 2 C2 C C C 2 4 2 4 2 P ( X 3) ; 3 C10 15 2 2 C6 C12 C1 C 3 6 2 P ( X 4) ; 3 C10 10 2 2 C8 C12 C1 C 8 8 2 P ( X 5) . 3 C10 10
分布列中相应取值的概率累加得到.
解
（1）方法一
“一次取出的3个小球上的数字
3 1 1 1 C C C C 互不相同”的事件记为A，则 P ( A) 5 2 2 2 2 . 3 C10 3 方法二 “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的
事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相 同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，
［2分］
X P
20 0.12
22 0.18
24 0.20
26 0.20
28 0.18
30 0.12
［6分］
∴E(X)=20×0.12+22×0.18+24×0.20+26×0.20 +28×0.18+30×0.12=25(km). 32×0.18+52×0.12=9.64. （2）由已知Y=3X-3（X>3,X∈Z）， ∴E(Y)=E(3X-3)=3E(X)-3 =3×25-3=72（元）， ［12分］ ［8分］ ［10分］
概率论笔记(四)概率分布的下期望和方差的公式总结
概率论笔记（四）概率分布的下期望和方差的公式总结一：期望引入：1.1离散型随机变量的期望注：其实是在等概率的基础上引申来的，等概率下的权重都是1/N。
1.2连续型随机变量的期望注意:因为连续随机变量的一个点的概率是没有意义的，所以我们需要借用密度函数，如所示，这实际上是一个期望积累的过程。
1.3期望的性质注：其中第三个性质，可以把所有的X+Y的各种情况展开，最后得出的结果就是这样的。
二：随机变量函数（复合随机）的数学期望1.理解注：其实就是复合随机变量的期望，对于离散型，其主要是每个值增加了多少倍/减少了多少倍，但是概率不变，所以公式见上面；对于连续性随机变量，其实是一样的，每个点的概率没有变，所以就是变量本身的值发货所能了改变。
三：方差引入的意义：求每次相对于均值的波动：求波动的平方和：定义：注：其实就是对X-E(X)方，求均值其实就是方差，注意这里的均值也是加权平均，所以方差其实就是一种特殊的期望。
3.1离散型随机变量的方差3.2连续性随机变量的方差3.3方差的性质注：3）4）5）等性质可以套入定义中就可以得到，这里不多说；对于独立以及协方差见后；8）的证明如下四：协方差4.1定义注:与上一个变量相比，之前是一个变量移位平方，但这里是两个变量移位相乘。
4.2离散型二维随机变量的协方差4.3连续型二维随机变量的协方差4.4二维随机变量的协方差性质注：了解即可…4.5协方差矩阵五：相关系数所以：独立必不相关，但不相关不一定独立，因为这里的不相关指的是线性不相关，可能会有其他非线性关系，具体例子找到再补充-------。
参考链接：。
期末复习5：概率分布、期望和方差
(2) 8个篮球队中有两个强队，现任意将8个队分成两组，每组4个队，则这2个强 队分在同一组的概率为多少？
(3)设集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛a,b,c｝,从A到B的映射满足“B中的每一个 元素都有原象”的概率是多少？
(4)在房间有4个人，至少两个人的生日是同一个月的概率是多少？
(5)某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他不重复的拨号，求：
①第四次接通电话的概率；②拨号不超过四次而接通的概率；
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二 概率分布列、期望和方差：
1 概率分布列： X x 1 x 2 … x n
P p1 p2 … p n
2 期望(均值) 方差：
(1)定义 E (X ) x 1 p 1 x 2 p 2 x n p n
D ( X ) ( x 1 E ( X ) 2 p 1 ) ( x 2 E ( X ) 2 p 2 ) ( x n E ( X ) 2 p n
两点分布
E1 p0.6 D 1p(1p)0.24
⑵求重复2次投篮时命中次数 2 的期望与方差；
二项分布
E2 np1.2 D 2np(1p)0.48
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例3
一次智力测试中，有两个相互独立的题目 A 、B ，答题规则 为：被测试者答对问题 A 得分数为 a ，答对问题 B 得分数 为 b ，没有答对不得分。先答哪个题目由被测试者自由选择，
b
c
其中 a , b , c 成等差数列，若E 1 ，则 D 的值是
3
练一练：（2009广东）
已知离散型随机变量 X 的分布列如下表：
X
1
0
1
2
P
a
b
c
1 12
《概率计算》必背概念知识点整理
《概率计算》必背概念知识点整理概率计算必背概念知识点整理
1. 随机变量与概率
- 随机变量：随机试验的结果用变量表示，称为随机变量。
- 概率：描述事件发生的可能性大小的数值，取值范围在0到1之间。
2. 概率分布
- 离散型随机变量：随机变量取有限个或可列个值的情况下的概率分布。
- 连续型随机变量：随机变量的取值是一个区间内任意实数值的情况下的概率分布。
3. 期望与方差
- 期望：随机变量的平均值，表示随机变量的长期平均水平。
- 方差：衡量随机变量相对于其期望值的离散程度。
4. 条件概率与独立性
- 条件概率：在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生
的可能性。
- 独立事件：两个事件之间的发生没有相互关系。
5. 联合分布与边缘分布
- 联合分布：描述多个随机变量同时发生的情况下的概率分布。
- 边缘分布：从联合分布中得到某个随机变量单独的概率分布。
6. 条件分布与条件期望
- 条件分布：在给定某个条件下的随机变量的概率分布。
- 条件期望：在给定某个条件下的随机变量的期望值。
7. 大数定律与中心极限定理
- 大数定律：随着试验次数增加，试验的平均结果会趋近于其期望值。
- 中心极限定理：当随机变量的样本容量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。
以上是《概率计算》中的一些必背概念知识点的整理。
这些知识点可以帮助理解概率计算的基本原理和方法。
请根据自己的需要进行深入学习和理解。
概率分布的期望与方差
概率分布的期望与方差在概率论与统计学中，期望与方差是概率分布的两个重要的统计度量。
期望代表了随机变量的平均值，方差则衡量了其离散程度。
本文将详细探讨概率分布的期望与方差以及其在实际应用中的意义。
一、期望的定义与计算方法期望是对随机变量的平均值的度量。
对于离散随机变量X，其期望E(X)的计算方法为：E(X) = Σ( xi * P(xi) )，其中xi代表随机变量X的取值，P(xi)代表X取值为xi的概率。
也可以用数学期望符号表示为：E(X) = Σ( xi ) * P(xi)，即随机变量取值乘以对应的概率之后的总和。
以掷骰子为例，假设一枚骰子的取值范围为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，每个值出现的概率都为1/6。
根据期望的计算公式，可以得到期望E(X) = (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) = 3.5。
因此，掷骰子的期望值为3.5。
二、方差的定义与计算方法方差是对随机变量离散程度的度量。
对于离散随机变量X，其方差Var(X)的计算方法为：Var(X) = Σ( (xi-E(X))^2 * P(xi) )，其中xi代表随机变量X的取值，E(X)代表X的期望。
也可以用数学符号表示为：Var(X) = Σ( xi^2 ) * P(xi) - (E(X))^2。
仍以掷骰子为例，已知掷骰子的期望值E(X)为3.5。
根据方差的计算公式，可以得到方差Var(X) = (1-3.5)^2 * 1/6 + (2-3.5)^2 * 1/6 + (3-3.5)^2 * 1/6 + (4-3.5)^2 * 1/6 + (5-3.5)^2 * 1/6 + (6-3.5)^2 * 1/6 = 35/12 ≈ 2.917。
因此，掷骰子的方差为2.917。
三、期望与方差的意义与应用期望和方差是概率分布的重要度量指标，对于理解和分析随机变量的分布特征十分关键。
概率分布期望方差汇总
概率分布期望方差汇总概率分布是描述随机变量取值的概率的数学模型。
期望是对随机变量取值的平均值的度量，方差则是衡量随机变量取值分散程度的度量。
在概率论和统计学中，期望和方差是两个重要的概念，对于理解和应用概率分布非常关键。
一、期望期望是对随机变量取值的平均值的度量，也可以理解为随机变量的中心位置。
对于离散随机变量X，其期望计算公式为E(X) = Σ x*p(x)，即随机变量各取值乘以其对应的概率之和。
对于连续随机变量X，其期望计算公式为E(X) = ∫ x*f(x) dx，其中f(x)是X的概率密度函数。
二、方差方差是对随机变量取值分散程度的度量。
方差越大，表示随机变量的取值更分散；方差越小，表示随机变量的取值更集中。
方差计算公式为Var(X) = E[(X-E(X))^2]，即随机变量取值与其期望之差的平方的期望。
方差的平方根称为标准差。
三、常见概率分布的期望和方差1.二项分布二项分布是最常见的离散概率分布之一，描述在n次独立重复试验中成功次数的分布。
设X为成功次数，则X服从参数为n和p的二项分布记作X~B(n,p)。
期望：E(X) = np方差：Var(X) = np(1-p)2.泊松分布泊松分布描述单位时间或单位空间内事件发生的次数的概率。
设X为单位时间或单位空间内事件发生的次数，则X服从参数为λ的泊松分布记作X~P(λ)。
期望：E(X)=λ方差：Var(X) = λ3.均匀分布均匀分布是最简单的连续概率分布之一，描述在一个区间上随机取值的概率。
设X在[a,b]区间上服从均匀分布，则X服从均匀分布记作X~U(a,b)。
期望：E(X)=(a+b)/2方差：Var(X) = (b-a)^2/124.正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，其概率密度函数呈钟型曲线。
设X服从参数为μ和σ^2的正态分布记作X~N(μ,σ^2)。
期望：E(X)=μ方差：Var(X) = σ^25.指数分布指数分布描述连续随机事件发生的时间间隔的概率。
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(3)设集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛a,b,c｝,从A到B的映射满足“B中的每一个 元素都有原象”的概率是多少？
(4)在房间有4个人，至少两个人的生日是同一个月的概率是多少？
(5)某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他不重复的拨号，求： ①第四次接通电话的概率；②拨号不超过四次而接通的概率；
(2)特殊概率分布的期望方差：
①两点分布 E(X ) p D(X ) p(1 p)
②二项分布 X ~ B(n, p) E(X ) np D(X ) np(1 p)
③ 若 a b (a,b为常数)，则
E() aE( ) b D() a2D( )
3例题
例1、（2007浙江）随机变量 的分布列如下：
二 概率分布列、期望和方差：
1 概率分布列： X
P
x1 x2 … xn
p1 p2 … pn
2 期望(均值) 方差：
(1)定义 E( X ) x1 p1 x2 p2 xn pn
D( X ) (x1 E( X ))2 p1 (x2 E( X ))2 p2 (xn E( X ))2 pn
概率分布列 期望及方差
一 概率： 1 事件的关系、运算及其相互之间的概率关系
2 相关概念及其概率： 互斥事件，对立事件，独立事件
3 例题: 例1
(1)甲乙两人独立解出某一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的 概率为0.36，求： ①甲单独解出该题的概率；②甲乙有且只有一人解出该题的概率。
(2) 8个篮球队中有两个强队，现任意将8个队分成两组，每组4个队，则这2个强 队分在同一组的概率为多少？
1
0
1
Pa bc
其中 a, b, c 成等差数列，若E 1 ，则 D 的值是
3
练一练：（2009广东）
已知离散型随机变量 X 的分布列如下表：
X
1 0
1
2
P
a
b
c
1 12
若 EX 0, DX 1 ，则a
b
例2、我校举行投篮比赛，已知某选手的命中率为0.6
⑴求一次பைடு நூலகம்篮时命中次数1 的期望与方差；
为 b ，没有答对不得分。先答哪个题目由被测试者自由选择，
但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题。
若你是被测试者，且假设你答对问题 、A的B概率分别
为 p1, p2。
11 ⑴若 p1 2 , p2 3 ，你应如何根据题目分值选择先答哪一题目？
⑵若已知 a 10,b 20，当 p1, p2 满足怎样的关系时，你选择
先答题 A？
例4 在医学生物实验中,经常以果蝇作为实验对象,一个关有6 只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇,只好把笼子打开一个 小孔,让蝇子一只一只往外飞,直到两只苍蝇都飞出去,再关闭 小孔,以ζ表示笼内还剩下的果蝇的只数.
(1)写出的ξ分布列(不要求写出计算过程).
(2)求数学期望Eξ.
(3)求概率P( ξ≥Eξ ).
两点分布
E1 p 0.6 D1 p(1 p) 0.24
⑵求重复2次投篮时命中次数2 的期望与方差；
二项分布
E2 np 1.2 D2 np(1 p) 0.48
例3
一次智力测试中，有两个相互独立的题目 A 、B ，答题规则 为：被测试者答对问题 A 得分数为 a ，答对问题 B 得分数