狄拉克 δ 函数
含狄拉克函数的多重积分的边缘分布
含狄拉克函数的多重积分的边缘分布标题：深度探讨含狄拉克函数的多重积分的边缘分布在数学与物理学领域中，含狄拉克函数的多重积分的边缘分布是一个在研究概率密度函数、随机变量和随机过程中广泛应用的重要概念。
一、理论基础1.1 狄拉克函数狄拉克函数（Dirac function），又称δ函数，是由英国物理学家保罗·狄拉克于20世纪提出的一种广泛用于物理学和工程学中的数学工具。
它的定义如下：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)dx = 1, \text{其中} \delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \neq 0 \end{cases} \] 狄拉克函数在数学分析中的应用非常广泛，它能够表示脉冲信号、电荷密度等概念。
1.2 边缘分布边缘分布（marginal distribution）是指在统计学中，根据多维随机变量的联合分布，得到其中某一个或几个随机变量的概率分布。
边缘分布可以帮助研究者更好地理解随机变量之间的关系以及它们各自的特性。
二、多重积分中的狄拉克函数在含狄拉克函数的多重积分中，狄拉克函数常常被用作积分区域的边界或者是被积函数中的一部分。
这种特殊的积分形式能够帮助我们对特定问题进行更精确的求解和分析。
2.1 狄拉克函数作为积分区域的边界考虑二维平面上一个区域R内部的一些点，假设这些点的分布由随机变量(X, Y)表示。
如果我们要求这些点的边缘分布，就需要进行对R的积分。
当R的边界上包含狄拉克函数时，即可使用狄拉克函数来表示这个边界，从而方便地进行积分计算。
2.2 狄拉克函数作为被积函数的一部分在某些概率密度函数中，狄拉克函数也被用作被积函数的一部分，这种情况通常在处理离散型随机变量的联合概率分布时出现。
通过利用狄拉克函数，我们可以将多重积分化简为单重积分，从而更方便地求得随机变量的边缘分布。
冲激函数用sin展开
冲激函数用sin展开
摘要：
1.冲激函数的定义与性质
2.冲激函数与正弦函数的关系
3.冲激函数用sin 展开的公式
4.冲激函数用sin 展开的应用
正文：
1.冲激函数的定义与性质
冲激函数，又称狄拉克δ函数，是一种数学函数，表示为δ(x)。
它的定义是：对于任意实数x，当x 不等于0 时，δ(x) 等于无穷大；当x 等于0 时，δ(x) 等于1。
同时，冲激函数具有很好的性质，如：
∫_{-∞}^{∞} δ(x) dx = 1
2.冲激函数与正弦函数的关系
我们知道，正弦函数（sin(x)）是周期为2π的连续函数。
当冲激函数与正弦函数相乘时，可以得到一个具有良好性质的新函数。
我们可以用冲激函数来表示正弦函数的某个时刻的波形，即：
f(x) = sin(x) * δ(x)
3.冲激函数用sin 展开的公式
为了更好地研究冲激函数与正弦函数的关系，我们可以将冲激函数用正弦函数展开。
展开公式如下：
δ(x) = ∫_{-∞}^{∞} sin(t) dt
通过积分，我们可以得到：
δ(x) = 2 / π * (sin(x) - x cos(x))
这个公式被称为冲激函数的傅里叶变换。
4.冲激函数用sin 展开的应用
冲激函数用sin 展开在信号处理、系统分析等领域具有广泛的应用。
例如，在信号处理中，我们可以通过冲激函数与信号相乘，得到信号的频谱，从而分析信号的频率成分。
dirac函数的傅里叶变换
dirac函数的傅里叶变换傅里叶变换是一种广泛应用于信号处理和数学的技术，可以将一个信号在时域中的表示转换到频域中，从而让我们可以更好地理解信号的性质和特征。
其中，一种特殊的信号——Dirac函数，是傅里叶变换中的经典例子。
Dirac函数，也称为狄拉克δ函数，是一种广义函数，通常在数理物理和工程学中使用。
它通常被定义为一个在原点处为无穷大，在其他所有地方为零的函数，其数学表示如下：δ(t) = { ∞ (t = 0){ 0 (t ≠ 0)根据Dirac函数定义的通性，在时域上δ(t)其实是一个不连续的函数，但是我们在傅里叶变换时常常需要将其当做一个连续的函数来处理，这样可以方便地进行数学运算。
因此，我们将Dirac函数进行了微小的扩展，定义如下：δε(t) = 1/ε, -ε/2 ≤ t ≤ ε/20, 其他情况其中ε是一个趋近于零的正数，而且满足“趋近于零”的定义并不唯一，可以根据具体问题进行选择。
这样得到的函数是一个和Dirac函数在“势型”意义上等价的函数，也就是说，它在所有的连续函数中的积分、导数和傅里叶变换中的应用等都是和Dirac函数一样的。
现在考虑Dirac函数的傅里叶变换。
根据双向傅里叶变换的定义，我们可以得到如下的式子：F(ω) = ∫δ(t)exp(-iωt)dt这个积分形式可能看上去有些奇怪，但是根据Dirac函数的定义，我们可以得到如下的结论：换句话说，Dirac函数的傅里叶变换就是另一个Dirac函数，只不过在频域中的位置发生了改变。
这个结论也具有一些物理解释，因为在信号中存在一个短时的、非常强烈的脉冲信号时，它在频域中的表现就是具有非常高的频率和幅度，就像Dirac函数一样。
需要注意的是，由于Dirac函数在频域中的特殊性质，因此在进行傅里叶变换时需要特殊处理。
一种常见的做法是引入一个正态分布函数或者高斯函数来逼近Dirac函数，以便在计算中避免出现无限大的结果。
具体的方法可以参考高中数学选修2中的一些内容，这里不再赘述。
狄拉克函数matlab
狄拉克函数matlab狄拉克函数Matlab：从定义到应用狄拉克函数作为一种特殊的分布函数，经常在数学物理学中使用。
Matlab中也支持狄拉克函数以及其在各种数学问题中的应用。
本文将从定义、性质、特点以及具体应用等几个方面来介绍狄拉克函数在Matlab中的使用。
一. 定义与性质狄拉克函数，又称Delta函数，表示一种无限小的脉冲，即在某个点处的值无穷大，在其他点处的值为0。
其定义为：$$\delta(x) = \begin{cases}\infty, & x=0 \\0, & x\neq0\end{cases}$$由于狄拉克函数在某个点处的值为无穷大，所以它并不属于常规函数，而是属于分布函数。
狄拉克函数的特点是具有单位面积，即$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1$$此外，狄拉克函数还有如下性质：$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)dx=f(a)$$$$\delta(ax)=\dfrac{1}{|a|}\delta(x)$$$$\delta(x)=\lim_{\epsilon\to0^+}\dfrac{1}{\epsilon\sqrt{\pi}}e^{-\frac{x^2}{\epsilon}}$$二. Matlab中的应用Matlab中可以通过dirac(x)来调用狄拉克函数。
dirac函数不接受数组和矩阵，只能接受一个或多个标量或者未知symbol 变量。
示例代码如下：x = -5:0.1:5;y = sin(x).*dirac(x);plot(x, y);此处定义了一个x范围为-5到5，间隔为0.1的向量，将其与sin(x)的乘积乘以dirac(x)得到y向量。
最后，通过plot函数将x与y绘制出来。
这段代码运行后，会得到一个在x=0处有一个尖峰的波形。
除了上述示例代码，还有几种常见的使用狄拉克函数的方法：1. 在某个位置产生一个脉冲狄拉克函数在某个位置上的值为无穷大，所以可以用来表示在这个位置上发生了一个脉冲。
狄拉克 δ 函数
δ 函数的性质
1. I = ∫
∞ -∞
f (x) δ(x - x0) x = f (x0), 对任意的连续函数 f (x)
证明：利用 δ 函数的定义 I=
∞ -∞
f (x) δ(x - x0 ) x = lim+ ε0
x0 +ε x0 -ε
x0 +ε x0 -ε
f (x) δ(x - x0 ) x, 其中 ε 0+ 表示 ε > 0 且 ε 0
x0 +ε
= lim+ ε0
[ f (x) - f (x0)] δ(x - x0) x + lim+ ε0
Δ
x0 -ε
f (x0 ) δ(x - x0 ) x
= Δ + f (x0), Δ = lim+ ε0 ≤ lim+ ε0
ε0 x0 +ε
x0 -ε x0 +ε
∞
-∞
f (x) D1 (x) x =
∞
-∞
f (x) D2 (x) x
⟹ D1 (x) = D2(x)， 其中 f (x) 为任意的连续函数
也就是说 ，这里说的证明 ，与其说是证明 ，不如说是一种理解 、说明。 若希望更严谨的数学论证 ，请参阅 Lighthill, "An Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions "
δ(t) t ,
φ(xl -ε)
1 = φ′(ξ) 1 φ′(ξ) = ▲ 推论 δ(a x - b) = 1 φ′(x
l )
φ(xl +ε) φ(xl -ε) φ(xl +ε) φ(xl -ε)
狄拉克δ-函数及有关应用
第４０卷第７期大 学 物 理Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．７２０２１年７月ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳＪｕｌｙ２０２１ 收稿日期：２０２－１０－１０；修回日期：２０２０－１１－０５ 基金项目：国家自然科学基金（１２０７１０２１）；北京交通大学研究生课程建设项目（１３４８６９５２２）资助 作者简介：郑神州（１９６５—），男，浙江临海人，北京交通大学理学院教授，博士，博士生导师，主要从事偏微分方程理论和应用研究．狄拉克δ－函数及有关应用郑神州１，康秀英２（１．北京交通大学理学院，北京 １０００４４；２．北京师范大学物理系，北京 １００８７５）摘要：狄拉克δ－函数实际上是离散情况下的Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒδ－函数的连续化，它在数学和物理中都有重要的应用．基于广义函数概念引入狄拉克δ－函数的精确定义，证实狄拉克δ－函数不是通常Ｌｅｂｅｓｇｕｅ局部可积意义下的普通函数；文中分别以单位矩形脉冲函数、高斯函数、钟形函数和Ｓｉｎｃ函数的序列在弱极限意义下来逼近狄拉克δ－函数．另外，验证了狄拉克δ－函数可以作为Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数的广义导数，以及其高价广义导数，并给出狄拉克δ－函数的卷积性质、伸缩性质、复合变换性质、正交性和狄拉克梳函数，最后引入了狄拉克δ－函数与广义傅里叶变换的关系，以及其在泊松方程Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值问题求解中的应用．关键词：狄拉克δ－函数，广义函数，弱极限，广义傅里叶变换格林函数中图分类号：Ｏ４－１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２１）０７ ００２５ ０５【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．２００４５６狄拉克δ－函数是一类“奇怪”的函数，有广泛应用．它按照通常古典的函数定义方式是无法做到，实际上它是非通常意义下的“函数”，更准确地称为“广义函数、Ｓｃｈｗａｒｚ分布函数或泛函”，它是以英国理论物理学家狄拉克名字命名的，在数学和物理中有着独特的地位［１，２］．狄拉克δ－函数可以用来描写物理学中一切点量，如：点质量、点电荷、瞬时源等；数学上可以进行微分和积分变换，为处理数学物理问题带来极大的方便．尤其它在偏微分方程、数学物理方程、傅立叶分析和概率论等领域都离不开这个函数的应用［３－７］，有了狄拉克δ－函数，傅立叶变换就不受绝对可积条件限制，通常称为广义傅立叶变换．狄拉克δ－函数具有悠久的历史，这得从Ｋｒｏｎｅ ｃｋｅｒδ－函数讲起，Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒδ－函数非常简单：δｉｊ＝１，ｉ＝ｊ０，ｉ≠ｊp （１）对于一列数｛ａｉ｝，ｉ＝１，２，．．．有 ｊδｉｊａｊ＝ａｉ，并满足规范化 ｊδｉｊ＝１，对称化δｉｊ＝δｊｉ．将离散的序列｛ａｉ｝转化为连续的函数ｆ（ｘ），将以上式子类似地写成积分式：∫∞－∞ｆ（ｘ）δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝ｆ（ｘ０）（２）（简记：（ｆ δ）（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）δ（ｘ）＝ｆ（０）δ（ｘ））∫∞－∞δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝１（３）δ（ｘ－ｘ０）＝δ（ｘ０－ｘ）（４）从离散过渡到连续，自然地从求和过渡到积分；这看起来两种δ－函数很雷同了．所以狄拉克δ－函数就达到类似于Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒδ－函数的选择器效果，对于δ－函数的选择器作用是泊松先提出的，后来Ｃａｕｃｈｙ利用它的选择器性质研究了许多应用问题，进一步地傅里叶给出了其无穷级数表示，在此基础上狄拉克对研究量子力学时发现了连续型的δ－函数重要作用．物理上看，狄拉克δ－函数可以看成一些通常意义下函数列的逼近，但严格的数学理论表明：这不是通常意义下的极限（这是泛函意义下的极限，或称“弱收敛”）．事实上，其真正严格意义下的定义方式是在Ｓｃｈｗａｒｚ分布函数［２］（广义函数或泛函）基础上才有的，这表明从此物理上广泛实用的狄拉克δ－函数可做数学严谨的推理了．在物理和工程技术中，常常会碰到单位脉冲函数（狄拉克δ－函数）［３］，如：在电学中，要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流；在力学中，要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况．像这种常用来表示为集中在一点上单位量的质点、点电荷、瞬时力等的密度分布就是狄拉克δ－函数应用的实际背景；其特点是该函数在除了零以外的点取值都等于零，而其在整个定义域上的积分等２６ 大 学 物 理 第４０卷于１．这种对又窄又高的尖峰函数的逼近（脉冲）有着特殊的应用，如：球棒撞击棒球接触的瞬间力作用，其密度分布函数δ（ｘ）．物理和工程上的狄拉克δ－函数通常是这样来引入的：δ（ｘ）＝∞ ｘ＝００ ｘ≠０p ，∫∞－∞δ（ｘ）ｄｘ＝１，但这种方式定义在数学上有着明显的缺陷，是无法进行严格推理的．实际上，这不能用通常的函数来理解，严格说狄拉克δ－函数不算是一个普通函数；由于它集中在一点上的值为无穷大（无穷大的任意倍数还是无穷大），其通常函数在一点上的积分为０（没有面积）．本论述从数学严格的狄拉克δ－函数定义出发，综述其基本性质，以及考虑其在数学和物理学科中的重要应用［３－７］；这起抛砖引玉作用，也为狄拉克δ－函数的进一步应用建立起数学理论基础．１ 狄拉克δ－函数作为广义函数定义１）广义函数［２，５］：δ－函数的准确定义需要从广义函数有关概念出发：设函数列φ（ｘ），φｎ（ｘ）∈Ｃ∞０（Ｒ）（无穷光滑的且具有紧支集），若存在Ｍ＞０使得｜ｘ｜＞Ｍ时对任意自然数ｎ有φ（ｘ）＝０，φｎ（ｘ）＝０且对ｋ＝０，１，２，．．满足ｌｉｍｎ→∞ｓｕｐｘ∈［－Ｍ，Ｍ］φ（ｋ）ｎ（ｘ）－φ（ｋ）（ｘ）＝０（５）其中φ（ｋ）（ｘ）表示ｋ阶导数，ｋ＝０表示原函数．则称序列φｎ（ｘ）收敛于φ（ｘ），此时称Ｃ∞０（Ｒ）为基本空间，记作函数Ｄ（Ｒ）；φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ）称为试验函数．若ｆ是Ｄ（Ｒ）上的连续线性泛函，称ｆ是Ｄ（Ｒ）上的广义函数．对于试验函数φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），用〈ｆ，φ〉表示它所对应的泛函值，称为对偶积．Ｄ（Ｒ）上广义函数全体记成Ｄ′（Ｒ）．２）狄拉克δ－函数定义［１，５］〈δ，φ〉＝φ（０）， φ∈Ｄ（Ｒ）（６）它是广义函数．事实上：①δ（ｘ）是线性的：对于任意的α、β∈Ｒ以及φ１（ｘ）、φ２（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），有〈δ，αφ１＋βφ２〉＝αφ１（０）＋βφ２（０）＝α〈δ，φ１〉＋β〈δ，φ２〉（７）②δ（ｘ）是连续泛函：对于φｎ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），若ｌｉｍｎ→∞φｎ（ｘ）＝φ（ｘ），有ｌｉｍｎ→∞〈δ，φｎ〉＝ｌｉｍｎ→∞φｎ（０）＝φ（０）＝〈δ，φ〉（８）这里要强调的广义函数收敛性一定要在试验函数作用下收敛的，泛函分析中称为弱收敛．３）狄拉克δ－函数不是通常意义下“函数”．首先，普通意义下的函数一定是广义函数，作为一般Ｌｅｂｅｓｇｕｅ意义下的局部可积函数可以等同于广义函数．事实上，实轴上局部可积函数Ｌｌｏｃ（Ｒ）对任意的闭区间［ａ，ｂ］，有∫ｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘ＜∞．定义对偶积为〈Ｆ，φ〉＝∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ（９）简单的验证：这是一个线性连续泛函．任一个局部可积函数按以上做法都有唯一的广义函数与之对应，且可证明：不同的局部可积函数对应于不同的广义函数，并保持线性运算不变；这样可以将局部可积函数ｆ等同于与其对应的广义函数Ｆ．反之，狄拉克δ－函数不是通常函数，没有局部可积函数与之对应［１，５］．事实上，反证法：若存在这样的局部可积函数ｆ（ｘ），有〈ｆ，φ〉＝∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝〈δ，φ〉＝φ（０）， φ∈Ｄ（Ｒ）（１０）特别地取特殊的试验函数为φ（ｘ）＝ｅ－１１－ｘ２＋１，ｘ≤１０，ｘ＞１p （１１）则φ（ｎｘ）∈Ｄ（Ｒ），且 ∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｎｘ）ｄｘ＝φ（０）＝１， ｎ∈Ｎ（１２）但另一方面∫∞－∞ｆ（ｘ）φ（ｎｘ）ｄｘ＝∫１ｎ－１ｎｆ（ｘ）φ（ｎｘ）ｄｘ≤∫１ｎ－１ｎｆ（ｘ）ｄｘ→０， （ｎ→∞）（１３）这是一个矛盾，所以狄拉克δ－函数没有局部可积函数与之对应．２ 狄拉克δ－函数的逼近方式上面定义的广义函数有点抽象，下面我们从物理直观上，用各种函数列逼近的方式来理解狄拉克δ－函数，这种逼近也不是通常意义下的极限，而是泛函意义下的逼近，是一种弱形式的极限［１，２，５］．例如：１）用一个积分值为１矩形脉冲函数序列｛Ｈｎ（ｔ）｝序列的弱极限来逼近．从直观上看，函数序列｛Ｈｎ（ｔ）｝是在区间－１ｎ，１ｎy r 上一系列均匀地放置单位质量所产生的质量分布密度，当ｎ趋向无穷时，其广义极限（弱极限）就是在原点上放置单位质量第７期郑神州，等：狄拉克δ－函数及有关应用２７ 所产生的质量分布密度．因此，狄拉克δ－函数就是在原点上放置单位质量所产生的分布密度．数学推导：对任意正整数ｎ，在－１ｎ，１ｎy r 上均匀地放置单位质量的分布密度Ｈｎ（ｔ）＝ｎ２，ｔ＜１ｎ０，ｔ＞１ｎ（１４）显然Ｈｎ（ｔ）∈Ｌｌｏｃ（Ｒ）（积分值不超过１）．对任意φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），有〈Ｈｎ，φ〉＝∫∞－∞Ｈｎ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝ｎ２∫１ｎ－１ｎφ（ｘ）ｄｘ（１５）用积分中值定理于φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ）得到ｌｉｍｎ→∞〈Ｈｎ，φ〉＝φ（０）＝〈δ，φ〉．所以δ（ｘ）是Ｈｎ（ｔ）弱极限．同理可以得到逼近δ（ｘ）的其它常用函数列．２）对于任意φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），有：对ρｔ（ｘ）＝１２ａπ槡ｔｅ－ｘ２４ａ２ｔ（高斯函数，或称正态分布密度函数）， ｌｉｍｔ→０＋〈ρｔ（ｘ），φ〉＝ｌｉｍｔ→０＋∫∞－∞１２ａπ槡ｔｅ－ｘ２４ａ２ｔφ（ｘ）ｄｘ＝δ（０）＝〈δ，φ〉．３）对ρａ（ｘ）＝ａπａ２＋ｘ２C o （钟形函数），ｌｉｍａ→０〈ρａ（ｘ），φ〉＝〈δ，φ〉．４）ρｎ（ｘ）＝ｓｉｎｎｘπｘ（Ｓｉｎｃ函数）， ｌｉｍｎ→∞〈ρａ（ｘ），φ〉＝〈δ，φ〉．３ 广义导数（弱导数）和狄拉克δ－函数先给出广义导数定义：对一个广义函数ｆ∈Ｄ′（Ｒ），若存在ｆ′使得〈ｆ′，φ〉＝－〈ｆ，φ′〉， φ∈Ｄ（Ｒ）（１６）则称为广义函数ｆ有一阶广义导数，其广义导数为ｆ′（见文献［１，２，５］）．一般地，定义ｋ－阶广义导数为；若有ｆ（ｋ）使得〈ｆ（ｋ），φ〉＝（－１）ｋ〈ｆ，φ（ｋ）〉， φ∈Ｄ（Ｒ）（１７）称ｆ（ｋ）为广义函数ｆ的ｋ－阶广义导数，ｋ＝１，２，…．注：通常意义下的导数一定是广义导数，其本质就是分部积分公式；反之不对，从定义得知：广义导数不是逐点定义的．例如：Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数Ｈ（ｘ）＝１，ｘ≥００，ｘ＜０p （１８）对于任意φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ），则有〈Ｈ′，φ〉＝－〈Ｈ，φ′〉＝－∫∞－∞Ｈ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝－∫∞０φ（ｘ）ｄｘ＝φ（０）＝〈δ，φ〉（１９）所以狄拉克δ－函数可看作是Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数的广义导数．考虑函数｜ｘ｜的第ｍ阶广义导数（ｍ为不小于１自然数），有〈｜ｘ｜′，φ〉＝－〈｜ｘ｜，φ′〉＝－∫∞－∞｜ｘ｜φ（ｘ）ｄｘ＝∫０－∞ｘφ（ｘ）ｄｘ－∫∞０ｘφ（ｘ）ｄｘ＝－∫０－∞φ（ｘ）ｄｘ＋ｘφ∞０＋∫∞０φ（ｘ）ｄｘ－ｘφ０－∞＝－∫０－∞φ（ｘ）ｄｘ＋∫∞０φ（ｘ）ｄｘ＝∫∞－∞ｇ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ＝〈ｇ，φ〉（２０）其中ｇ（ｘ）＝１，ｘ≥０－１，ｘ＜０p ．所以｜ｘ｜′＝２Ｈ（ｘ）－１．一般地｜ｘ｜（ｍ）＝２δ（ｍ－１）， ｍ≥２（２１）４ 狄拉克δ－函数性质和广义傅里叶变换［１，３，５］两个已知函数ｆ１（ｔ）、ｆ２（ｔ）卷积定义：ｆ１（ｔ） ｆ２（ｔ）＝∫＋∞－∞ｆ１（τ）ｆ２（ｔ－τ）ｄτ（２２）狄拉克δ（ｘ）函数一些重要性质：１）卷积性质 ∫∞－∞ｆ（ｘ）δ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（０），∫∞－∞ｆ（ｘ－ｘ０）δ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ０）（２３）这里若取ｆ（ｘ）＝１，则有∫∞－∞δ（ｘ）ｄｘ＝１．更一般地，∫ｂａｆ（ｘ）δ（ｘ－ｘ０）ｄｘ＝ｆ（ｘ０），ｘ０∈（ａ，ｂ）０，ｘ０（ａ，ｂ）p ．２）积分下作一个变量代换得到伸缩变换：δ（ａｘ）＝１ａδ（ｘ）（ａ≠０）．一般地，狄拉克δ（ｘ）函数的复合：设ａｎ为连续函数ｆ（ｘ）的单零点（即：ｆ（ａｎ）＝０，ｆ′（ａｎ）≠０），则有δ［ｆ（ｘ）］＝ ｎδ（ｘ－ａｎ）ｆ′（ａｎ）．事实上，对于试验函数φ（ｘ）∈Ｄ（Ｒ）和ｆ（ｘ）的单零点ａｎ，由于ｆ（ａｎ）＝０，ｆ′（ａｎ）≠０，在每个ａｎ存２８ 大 学 物 理 第４０卷在邻域都是一一对应，作局部的变量代换ｙ＝ｆ（ｘ）∫∞－∞φ（ｘ）δ［ｆ（ｘ）］ｄｘ＝ ｉ∫ａｉ＋εａｉ－εφ（ｘ）δ［ｆ（ｘ）］ｄｘ＝ ｉ∫ｆ（ａｉ＋ε）ｆ（ａｉ－ε）φ［ｆ－１（ｙ）］δ（ｙ）ｄｙ｜ｆ′（ｘ）｜＝ ｉφ（ａｉ）｜ｆ′（ａｉ）｜（２４）从而δ［ｆ（ｘ）］＝ ｎδ（ｘ－ａｎ）ｆ′（ａｎ）（见［６］）．由此ｆ（ｘ）＝（ｘ２－ａ２） δ（ｘ２－ａ２）＝１２｜ａ｜δ（ｘ－ａ）＋δ（ｘ＋ａ）C o（２５）３）正交性：设｛ ｎ（ｘ）｝是区间（ａ，ｂ）上函数空间的一个完备正交基函数，ｎ（ｘ）为 ｎ（ｘ）的共轭函数，则对于（ａ，ｂ）上任意两个内点ｘ，ｘ０∈（ａ，ｂ），有： ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）＝δ（ｘ－ｘ０）．事实上，由狄拉克δ（ｘ）函数的卷积性质，对于任意的ｆ（ｘ）∈Ｃ∞０（ａ，ｂ），所以只要证∫ｂａｆ（ｘ）ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）C o ｄｘ＝ｆ（ｘ０）即可．由于｛ ｎ（ｘ）｝是完备正交基，ｆ（ｘ）＝ ｍｃｍｍ（ｘ），ｃｍ＝∫ｂａｍ（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ，则Ａ＝∫ｂａｆ（ｘ） ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）C o ｄｘ＝ ∫ｂａｍｃｍｍ（ｘ） ｎｎ（ｘ） ｎ（ｘ０）C o ｄｘ＝ ｍｃｍ ｎ∫ｂａｍ（ｘ） ｎ（ｘ）ｄｘC o ｎ（ｘ０）（２６）考虑｛ ｎ（ｘ）｝是正交基∫ｂａｍ（ｘ） ｎ（ｘ）ｄｘ＝δｍｎＡ＝ ｍｃｍｎδｍｎｎ（ｘ０）＝ ｍｃｍｍ（ｘ０）＝ｆ（ｘ０）（２７）得证．４）狄拉克梳函数［１，８］：平移狄拉克δ（ｘ）－函数的无穷级数Ｃｏｍｂａ（ｘ）＝ ∞ｍ＝－∞δ（ｘ－ｍａ）称为狄拉克梳函数（ａ≠０）．对此，我们有Ｆ［Ｃｏｍｂａ（ｘ）］＝Ｃｏｍｂ１ａ（ω）（２８）即狄拉克梳函数的傅里叶变换仍是狄拉克梳函数．事实上，考虑函数列１ａ槡ｅ－２πｉｍｘ／ａp i ∞－∞是周期为｜ａ｜单位正交基（三角函数正交系），狄拉克梳函数Ｃｏｍｂａ（ｘ）是以｜ａ｜为周期的函数，傅里叶级数展开：∞ｍ＝－∞δ（ｘ－ｍａ）＝１ａ ∞ｎ＝－∞ｅ－２πｉｎｘ／ａ．所以，由傅里叶变换的平移性质：Ｆ［Ｃｏｍｂａ（ｘ）］＝Ｆ［ ∞ｍ＝－∞δ（ｘ－ｍａ）］＝∞ｍ＝－∞ｅ－ｉ２πｍａω＝ ∞ｋ＝－∞δω－ｋ１ａC o＝Ｃｏｍｂ１ａ（ω）（２９）得证．５）三维狄拉克函数：δ（ｘ，ｙ，ｚ）＝δ（ｘ）δ（ｙ）δ（ｚ），即：δ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０， ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≠０∞， ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝０p ，∞－∞δ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘｄｙｄｚ＝１．类似于一维的性质：∞－∞ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）δ（ｘ－ｘ０，ｙ－ｙ０，ｚ－ｚ０）ｄｘｄｙｄｚ＝ｆ（ｘ０，ｙ０，ｚ０）， ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｃ（Ｒ３）常见的一些重要函数，如：常数函数，符号函数，单位阶跃函数以及正余弦函数等不满足傅里叶积分定理的绝对可积条件，即不满足条件∫ｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘ＜∞，所以一般的傅里叶变换不存在；但引入δ（ｘ）－函数可以求它的广义傅里叶变换．按照经典数学函数的定义，功率信号（比如周期信号，最典型的是正弦余弦函数）的傅里叶变换是不存在的，但如果引入了广义函数概念，则可以求得功率信号的广义傅里叶变换，于是我们就可以方便地进行频谱分析了［１，５，８］．例如：１）δ（ｘ）函数的傅里叶变换为１，即：Ｆ［δ（ｘ）］＝１．事实上Ｆ［δ（ｔ）］＝∫＋∞－∞δ（ｔ）ｅ－ｉωｔｄｔ＝ｅ－ｉωｔｔ＝０＝１．２）Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数Ｈ（ｘ）＝１，ｘ≥００，ｘ＜０p 定义在ｘ轴上不是绝对可积的，但它却有广义傅里叶变换１ｉω＋πδ（ω）．３）又如求正弦函数ｆ（ｔ）＝ｓｉｎω０ｔ的不是绝对可积的，但它的广义傅里叶变换Ｆ（ω）＝Ｆ［ｆ（ｔ）］＝∫＋∞－∞ｅ－ｉωｔｓｉｎω０ｔｄｔ＝第７期郑神州，等：狄拉克δ－函数及有关应用２９ １２ｉ∫＋∞－∞（ｅｉω０ｔｅ－ｉωｔ－ｅｉ（－ω０）ｔｅ－ｉωｔ）ｄｔ＝１２ｉ２πδ（ω－ω０）－２πδ（ω＋ω０）＝ｉπδ（ω＋ω０）－δ（ω－ω０）（３０）一般地，不满足可积性条件函数的广义傅里叶变换，其像函数通常与狄拉克δ－函数有关［８］．５ δ－函数在边值问题中的应用基本解和格林函数是由δ－函数来定义的．这里以拉普拉斯算子为例谈论其在线性偏微分方程中边值问题求解中的应用．若在３维空间中坐标原点放置一个单位正电荷，即电荷密度分布函数为δ－函数，这时电位满足方程－ΔΓ＝δ（ｒ），这里拉普拉斯算子Δ＝ ２ｘ２＋ ２ｙ２＋２ｚ２；则其解（拉普拉斯方程的基本解）为Γ（ｘ，ｙ，ｚ）＝１４πｒ，其中ｒ＝ｘ２＋ｙ２＋ｚ槡２．事实上，对方程两边同时作傅里叶变换Γ（ρ）＝Ｆ［Γ（ｒ）］＝ Ｒ３Γ（ｒ）ｅ－ｉρ·ｒｄｒ，则有ρ２Γ＝１ Γ＝１ρ２，其中ρ＝｜ρ｜；再作傅里叶逆变换Γ（ｒ）＝Ｆ－１［Γ（ρ）］＝１８π３ Ｒ３Γ（ρ）ｅｉρ·ｒｄρ＝１４πｒ．于是对全空间具有电荷分布为ｆ（ｒ）的泊松方程－Δｕ＝ｆ（ｒ），电位ｕ的解为ｕ（ｒ）＝ Ｒ３１４π｜ｒ－ｒ′｜ｆ（ｒ′）ｄｒ′．而在一个区域Ω Ｒ３内放置一个单位正电荷，并保持边界值为零，即满足－ΔＧ＝δ（ｒ）， ｒ∈ΩＧΩ＝０， ｒ∈ Ωp ，这样的解函数称为格林函数．格林函数在偏微分方程中有重要的作用，对于线性问题，不论外力项和边界值，该问题求解统一化为求只与区域形状有关的格林函数，当其区域比较特殊时，利用物理意义（如镜像法）可以解出其格林函数具体表达式．这时－Δｕ＝ｆ（ｒ）， ｒ∈Ωｕ Ω＝φ（ｒ）， ｒ∈ Ωp 的解就可以表示为：对于任意ｒ∈Ω，有ｕ（ｒ）＝ ΩＧ（ｒ，ｒ′）ｆ（ｒ′）ｄｒ′＋ ΩｎＧ（ｒ，ｒ′）φ（ｒ′）ｄＳｒ′（３１）其中ｎ为 Ω上的外单位法向向量．参考文献：［１］ ＨｏｓｋｉｎｓＲＦ．Ｄｅｌｔａｆｕｎｃｔｉｏｎｓ：ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｇｅｎｅｒａｌｉｓｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｍ］．２ｎｄｅｄ．ＷｏｏｄｈｅａｄＰｕｂｌｉｓｈｉｎｇＬｉｍｉｔｅｄ，２０１０．［２］ Ｌ施瓦兹．广义函数论［Ｍ］．姚家燕，译．北京：高等教育出版社，２０１０．［３］ 梁昆淼．数学物理方法［Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，２０１０．［４］ 库朗，希尔伯特．数学物理方法：１、２卷［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８１．［５］ 姜礼尚，陈亚浙，刘西垣，等．数学物理方程讲义［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２００７．［６］ 姜礼尚．偏微分方程选讲［Ｍ］．北京：高等教出版社，１９９７．［７］ 谷超豪，李大潜，陈恕行．数学物理方程［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２０１２．［８］ ＢｒａｄＧ．Ｏｓｇｏｏｄ．ＬｅｃｔｕｒｅｓｏｎｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ，ＲｈｏｄｅＩｓｌａｎｄ：ＡｍｅｒｉｃａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，２０１９，３３．Ｄｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｉｔｓｒｅｌａｔｅｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓＺＨＥＮＧＳｈｅｎ ｚｈｏｕ，ＫＡＮＧＸｉｕ ｙｉｎｇ（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＢｅｉｊｉｎｇＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００４４，Ｃｈｉｎａ；２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩｔｉｓｉｎｄｉｃａｔｅｄｔｈａｔＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓａｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｅＫｒｏｎｅｃｋｅｒδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｐｌａｙｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｉｎｂｏｔｈｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｐｈｙｓｉｃｓ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｐｒｅｃｉｓｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ａｎｄｉｔｉｓｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｔｈｅＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｎｏｔａｕｓｕａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｈｅＬｅｂｅｓｇｕｅｓｅｎｓｅｏｆｌｏｃａｌｉｎｔｅｇｒａｂｌｅｏｎｅ．Ｔｏｔｈｉｓｅｎｄ，ｔｈｅＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｈｅｒｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄｉｎｔｈｅｓｅｎｓｅｏｆｗｅａｋｌｉｍｉｔｂｙｍａｋｉｎｇｕｓｅｏｆｔｈｅｓｅｑｕｅｎｃｅｓｏｆｔｈｅｕｎｉｔｒｅｃｔａｎｇｌｅｉｍｐｕｌｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，Ｇａｕｓｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，Ｂｅｌｌ（下转７７页）第７期胡 立：硬币“跳舞”的动力学分析７７ 同时，实验所测得的全过程时间比较短，这是因为实验过程中液膜破裂并不完全，瓶口与硬币的接触部分仍有一部分残留的液膜．倘若在理论模型中的液膜破裂后运动过程也加入部分表面张力，则理论模型的全过程时间会更接近实验测定值．图５ 等差地改变放置误差Δｘ时Ｈ与ｔ的理论关系曲线在图５中，等差地改变放置误差Δｘ，发现硬币所能达到的最大高度Ｈｍａｘ随着Δｘ的增大而增大．这与我们的物理直觉是相符的，放置误差越大，瓶内压强提供的向上支持力力臂（Ｒ＋Δｘ）越大，硬币翘起的角加速度就越大，硬币更容易翘起且翘起更快，进而在液膜破裂时积累了更大的角速度，能够达到的最大高度Ｈｍａｘ也随之增大．３ 结论本文通过提出“放置误差”这一重要概念，从动力学的角度，对硬币“跳舞”的过程进行了分析，推导出硬币运动的二阶常微分方程，通过数值计算发现硬币翘起的最大高度与转动全程时间都与放置误差存在密不可分的联系．放置误差越大，硬币翘起的最大高度就越大，转动全程所花的时间越少，并且通过实验验证了理论模型的正确性．参考文献：［１］ 庆秉承，刘萍，袁识博，等．置于冷瓶口硬币的弹起现象研究［Ｊ］．大学物理，２０１９，３８（１１）：５２ ５６．［２］ 陶封邑，庄洋，黄敏，等．一个有趣的热力学问题：硬币何时“翩翩起舞”［Ｊ］．大学物理，２０１９，３８（１２）：５８ ６１．［３］ 漆安慎，杜婵英．普通物理学教程力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９７：２０１ ２０７．ＤｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆｄａｎｃｉｎｇｃｏｉｎＨＵＬｉ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｒｏｍｔｈｅｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｏｆｄｙｎａｍｉｃｓ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｃｏｎｄｕｃｔｓａｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｎｔｈｅｔｈｉｒｄｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅ２０１８ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＹｏｕｎｇＰｈｙｓｉｃｉｓｔｓ’Ｔｏｕｒｎａｍｅｎｔ（ＩＹＰＴ２０１８），“ＤａｎｃｉｎｇＣｏｉｎ”，ａｎｄｏｂｔａｉｎｓｔｈｅｃｈａｎｇｅｉｎｔｈｅｈｅｉｇｈｔｏｆｔｈｅｃｏｉｎｏｖｅｒｔｉｍｅｄｕｒｉｎｇａｓｉｎｇｌｅｂｅａｔｉｎｇ．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ，ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆ“ｐｌａｃｅｅｒｒｏｒ”ｉｓｐｒｏ ｐｏｓｅｄ，ａｎｄｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｃｏｉｎｐｌａｃｅｅｒｒｏｒｏｎｔｈｅｃｏｉｎ’ｓｔｉｌｔｉｎｇｈｅｉｇｈｔｉｓｆｕｒｔｈｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｉｔｉｓｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｇｒｅａｔｅｒｔｈｅｐｌａｃｅｅｒｒｏｒ，ｔｈｅｆａｓｔｅｒｔｈｅｃｏｉｎｗｉｌｌｒｏｔａｔｅａｎｄｔｈｅｇｒｅａｔｅｒｔｈｅｍａｘｉｍｕｍｈｅｉｇｈｔｏｆｔｈｅｃｏｉｎｗｉｌｌｂｅｒｅａｃｈｅｄ．Ｉｎｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｃｏｉｎｄａｎｃｉｎｇｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｌａｃｅｅｒｒｏｒｓｗａｓｒｅｃｏｒｄｅｄｗｉｔｈａｈｉｇｈ－ｓｐｅｅｄｃａｍｅｒａ，ａｎｄｓｏｆｔｗａｒｅｔｒａｃｋｅｒｗａｓｕｓｅｄｔｏｔｒａｃｋ．Ｔｈｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｖｅｒｉｆｉｅｓｔｈｅｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓｏｆｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｙｎａｍｉｃｓ；ＩＹＰＴ；ｄａｎｃｉｎｇｃｏｉｎ；ｐｌａｃｅｅｒｒｏｒ（上接２９页）ｓｈａｐｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄＳｉｎｃ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｉｔｉｓｃｈｅｃｋｅｄｔｈａｔｔｈｅＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄａｓａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｏｆｔｈｅＨｅａｖｉｓｉｄｅｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄｉｔｓｈｉｇｈｅｒｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｉｓａｌｓｏｓｈｏｗｎ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｓ，ｓｃａｌｅｓ，ｃｏｍｐｏｕｎｄｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ，ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｉｔｙａｎｄＣｏｍｂＤｉｒａｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｒｅｒｅｃａｌｌｅｄ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｆｉ ｎａｌｌｙ，ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎＤｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ａｎｄｗｅｐｒｅｓｅｎｔａｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅＤｉｒｉｃｈｌｅｔｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅＰｏｉｓｓｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｄｉｒａｃδ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｗｅａｋｌｙｌｉｍｉｔｓ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ；Ｇｒｅｅｎｆｕｎｃ ｔｉｏｎ。
《单位冲激函数》课件
单位冲激函数具有可分离性，即它可以表示为其 他函数的乘积或组合。
单位冲激函数与其他函数的区别
与普通函数相比，单位冲激函数具有 无穷大的值和积分为1的特性，这使 得它在某些数学分析和物理问题中具 有特殊的应用价值。
与脉冲函数相比，单位冲激函数更为 理想化，其值在零点处为无穷大，而 在其他点处为零，这使得它在描述某 些理想化的情况时更为精确。
冲激响应与系统特性
在物理学中，单位冲激函数可以用于描述系 统的冲激响应，从而分析系统的特性。
波动方程的求解
在物理学中的波动方程求解中，单位冲激函数可以 用于表示波前的传播和扩散。
其他物理现象的模拟与解 释
单位冲激函数还可以用于模拟和解释其他物 理现象，如电磁波的传播、量子力学的波函 数等。
05
单位冲激函数的扩展与展望
单位冲激函数的扩展
01
定义域扩展
将单位冲激函数的定义域从实数 轴扩展到复数域，以便更好地处 理复数信号和系统。
离散化
02
03
多维扩展
将单位冲激函数离散化，以适应 数字信号处理和计算机模拟的需 求。
将单位冲激函数从一维扩展到多 维，以处理更复杂的多维信号和 系统。
单位冲激函数的研究展望
深入研究单位冲激函数的性质
起源
单位冲激函数的概念最初由英国物理学家和数学家狄拉克提出， 用于描述量子力学中的粒子状态。
发展
随着数学和物理学的发展，单位冲激函数在各个领域得到了广泛的 应用，如信号处理、控制系统、概率论等。
现代应用
在现代科学和技术中，单位冲激函数在处理瞬态信号、解决奇异积 分方程以及量子力学等领域仍然发挥着重要的作用。
单位冲激函数的重要性
dirac函数
dirac函数
Dirac函数是一种重要的数学函数，也被称为δ型函数或点函数。
它是一种非常特殊的函数，它的值只在一个点上取得最大值，而在其他任何地方都取得零值。
它最初是由英国数学家和物理学家保罗·狄拉克于1928年发明的。
Dirac函数是一种重要的数学函数，在实际应用中非常重要，它可以用来描述物理系统中存在的瞬时现象。
例如，它可以用来描述质子碰撞，因为它可以模拟质子在碰撞中的瞬时响应。
它也可以被用于分析瞬时信号，并用于在瞬时信号处理中提取特征。
此外，Dirac函数也可以用于描述量子力学中的谐振现象，因为它可以模拟系统中谐振现象的瞬时行为。
在量子力学中，Dirac函数也可以用于计算量子力学系统中的瞬态现象，如量子纠缠和量子干涉。
Dirac函数还有其他的应用，比如它可以用于描述电路中的暂态现象，如瞬态电压和瞬态电流。
它还可以用于描述热物理学中的瞬态现象，如瞬态热量传递和瞬态热导率。
总之，Dirac函数是一种重要的数学函数，它在数学和物理学等领域的应用非常广泛，尤其是在瞬时现象的描述中，它发挥了重要的作用。
第八章. 狄拉克δ函数
当 时，电荷分布可看作位于 的单位点电荷。
此时把定义在区间 上，满足上述这两个要求的函数称为 函数，并记作 ，即0→l (,)−∞+∞)4(1)(=∫∞∞−dxx η)3()()(0)(00⎩⎨⎧=∞≠=x x x x x ηδ0x x =)6(1)(0=−∫∞∞−dx x x δ)(0x x −δ)5()()(0)(000⎩⎨⎧=∞≠=−x x x x x x δ根据(5)式，在 时， ，所以(6)式左边的积分不需要在 的区间进行，而只需要在一个包含 点在内的区间内进行，即引入 函数后，位于 处、电量为q 的点电荷的线电荷密度为：位于坐标原点，质量为m 的质点的质量线密度为：(,)−∞+∞0x x ≠0)(0=−x x δ0x x =⎩⎨⎧><<<=−∫),(0)(1)(0000x b x a b x a dx x x b a δδ0x )()(0x x q x −=δη)()0()(x m x m x δδη=−=说明：1.函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数： 它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出这在通常情况下没有意义。
2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才 有意义。
例：δ⎩⎨⎧=∞≠=)0()0(0)(x x x δδ)0()()(f dx x x f =∫∞∞−δ二、 函数的性质性质1：若f (x )是定义在区间 的任一连续函数，则00())()f x x x dx f x δ+∞−∞−=∫（——将 乘上f (x )进行积分，其值为将f (x )的宗量换为 或者说： 函数具有挑选性(把f (x )在 的值挑选出来)证明：设 是任意小的正数，则由于 在 时为零， 所以 0000())())x x f x x x dx f x x x dx εεδδ+∞+−∞−−=−∫∫（（由积分中值定理有：(,)−∞+∞δ)(0x x −δ)(0x x −δ0x δ0x x =ε0x x ≠)()()()()(000000εξεδξδεε+<<−−=−∫∫+−∞∞−x x dx x x f dx x x x f x x当 时， ，连续函数 ，且所以特别地： 时，说明：也可作为 函数的定义， 即 函数可以通过它在积分号下对任一连续函数f (x )的运算性质来定义。
狄拉克delta函数
狄拉克delta函数狄拉克（Dirac）δ函数是由英国理论物理学家保罗·狄拉克提出的一种特殊的数学函数，一种奇异函数。
狄拉克δ函数在物理、工程和数学等领域起着重要的作用。
它在量子力学、信号处理、微积分和控制工程等领域具有广泛的应用。
狄拉克δ函数由以下性质定义：∫δ(x)dx = 1∫f(x)δ(x−a)dx = f(a)这意味着狄拉克δ函数是一个以0为中心，并在x=0处取无穷大值的奇异函数。
它在其他地方为0。
通过与其他函数的乘积进行积分运算，可以得到在特定点处取有限值的结果。
狄拉克δ函数在量子力学中的应用非常重要。
在量子力学中，波函数描述了粒子的位置和性质。
波函数的平方表示了在给定位置上找到粒子的概率。
狄拉克δ函数可以用来描述点状粒子，例如电子或光子。
在空间中的给定位置上，粒子可以被认为是局部集中的，因此可以使用狄拉克δ函数来描述其位置。
例如，假设有一个处于位置a的电子，其波函数可以表示为Ψ(x)。
那么，当我们在位置a处测量电子的位置时，根据量子力学原理，有一个非常高的概率它将处于a附近的一个微小区域内。
通过使用狄拉克δ函数，我们可以将测量电子位置的结果表示为Ψ(a)。
狄拉克δ函数还可以用来解决微积分中的问题，尤其是当涉及到奇异函数、积分和广义函数时。
例如，在积分运算中，狄拉克δ函数可以用来表示极限。
狄拉克δ函数可以与其他函数进行卷积运算。
卷积运算用于描述两个函数之间的关系。
通过与一个函数进行卷积，我们可以将狄拉克δ函数应用于另一个函数，并得到一个新的函数作为结果。
在信号处理中，狄拉克δ函数被广泛用于描述连续信号和离散信号之间的关系。
通过狄拉克δ函数，我们可以将一个连续信号转换为离散信号，并将离散信号转换为连续信号。
狄拉克δ函数还与控制工程密切相关。
在控制系统中，经常需要对信号进行滤波和处理。
通过将狄拉克δ函数应用于输入信号，我们可以估计系统对这个信号的响应。
这对于设计和分析控制系统非常重要。
狄拉克函数 正交 归一
狄拉克函数正交归一
狄拉克函数是一种特殊的数学函数，通常用符号δ(x)表示。
它
在数学中具有正交性和归一化的特性。
正交指的是两个不同的狄拉克函数在空间上彼此正交，即当两个
狄拉克函数的自变量不相等时，它们的乘积在整个空间上的积分为零。
这意味着狄拉克函数在不同点上的取值是完全独立的。
归一化是指对狄拉克函数进行归一化处理，使其在整个实数轴上
的积分等于1。
这样可以保证狄拉克函数在某点取值为无穷大，但在整个空间上的积分仍为有限值。
这样的归一化处理使得狄拉克函数在物
理学和工程学等领域中有着重要的应用。
总之，狄拉克函数具有正交和归一化的特性，这两个特性使得狄
拉克函数在数学和物理学中有广泛的应用。
5-3δ函数
三、δ函数为一种广义函数
由广义函数理论，δ函数的确切意义应在积分意义 下理解。 b 0 (a，b 0或a，b 0) a ( x)dx 1 (a 0 b) 可理解为某种通常函数的极限。
例：几个含参变量普通函数
sin( nx ) n ( x) x
a a ( x) (a 2 x 2 )
当n 时，n ( x) ( x)
当a 0时，a ( x) ( x)
上述极限不存在，但在积分意义下均等于1，均可 作为δ函数的定义式。
四、δ 函数的傅里叶变换
δ函数本身不满足变换条件，理解为某些通常函数
傅里叶变换的极限→广义傅里叶变换
( x) C ( )eix d
§5.3
δ函数
前面我们定义的傅里叶变换要求满足狄里希利条件， 那么对一些很简单、很常用的函数，例如单位阶跃 函数等无法确定其傅里叶变换。这无疑限制了傅氏 变换的应用。
所以，我们引入广义傅里叶变换概念，即δ 函数及 其相关函数的傅氏变换，δ 函数的傅氏变换在求解 数理方程中有着特殊的作用。这里先介绍其有关基 本定义和性质。
1 sin[k ( 0 )] 1 sin[k ( 0 )] A lim A lim k k 0 0
1 sin kx lim ( x) k x
B() A ( 0) A ( 0)
所以对于无限正弦波列，它的频谱成为两条线， 一条位于ω =ω 0处，另一条位于ω =-ω 0处，振 动成为单一圆频率ω 0的振动。
1 因此 ( x) 2
1 C ( ) 2
( x )e
ix
1 ix dx e 2
δ函数的性质以及相关计算公式
δ函数就是描述物理上一些“点分布”的现象，比如点电荷的体电荷密度，或是面电荷的体电荷分布，还有线电流的体电流密度，反正就是那种在某一点发散而总体有限的物理量用δ函数描述很方便的。
delta(x)在数学上是一个无限狭窄的峰，对全空间积分（即求其曲线所包含的面积）为1。
在物理上，通常用于代表脉冲函数，或者呈点分布的物理量，例如质点、点电荷等；另外，delta函数常用于表示对物理量在某点的抽样，这一点不仅在数学物理方法这样的理论学科中常用，在实际的工程通信中也很常用，这时delta函数被用作采样函数。
定义
狄拉克δ函数的定义为：
性质
狄拉克δ函数有以下性质：
∙δ( -x) = δ(x)
∙
∙δ(ax) = | a | - 1δ(x)
∙
∙f(x) δ(x) = f(0), f(x)δ(x -a) = f(a)δ(x - a)
∙
∙δ(x2 -a2) = (2 | a | ) -1[δ(x + a) + δ(x - a)]
∙
∙
∙
表达式
狄拉克δ函数的表达式：
∙
∙
∙。
狄拉克函数(冲激函数)20160703
+∞
δ
(τ
)
f
⎛ ⎜
τ
⎟⎞d τ
=
1
f (0)
−∞
−∞
⎝−a⎠ −a −a
∫+∞ 1 δ (t) f
−∞ − a
(t )dt
=
1 −a
f
(0)
δ (at) = 1 δ (t) (a < 0)
−a
δ (at) = 1 δ (t)
a
4、卷积性质
f
(t)∗δ (t) =
+∞
∫f −∞
(t −τ )δ (τ )dτ
−∞
−∞
= δ (t)
δ ′(− t) = −δ ′(t)
4、标度变换
δ ′(at) = 1 ⋅ 1 δ ′(t)
aa
δ (k )(at ) =
1 a
1 ⋅ ak
δ (k )(t )
=
∫0+ 0−
f
(t
−τ )δ (τ )dτ
=
f
(t )
任意有界函数与狄拉克函数的卷积就是该函数自身。这一规律在系统分析上体现为：线性时不
变系统的冲激响应（在单位冲激信号下的响应）完全由系统本身的特性所决定，与系统的激
励源无关。
三、单位对偶冲激（冲激偶）
单位冲激函数的一阶导数称为单位对偶冲激函数。
f
(0)dt
=
f (0)
对于有时移的情况
∫+∞
δ
−∞
(t
−
t0
)
⋅
f (t)dt
=
f (t0 )
冲激序列对连续信号抽样结果为
+∞
x(nT ) = x(t)⋅ ∑δ (t − nT )
dirac delta 函数
dirac delta 函数
DiracDelta函数是一种特殊的函数，常被用于描述物理学中的某些现象，如波函数、电荷分布等。
它被定义为在 $x=0$ 处为正无穷，在其他点上为零的一种分布。
Dirac Delta 函数的符号表示为 $delta(x)$，它满足以下两个性质：
1. 归一性：$int_{-infty}^{infty}delta(x)dx=1$
2. 奇异性：对于任意一个函数 $f(x)$，有
$int_{-infty}^{infty}delta(x)f(x)dx=f(0)$
这个函数被称为“奇异函数”，因为它在 $x=0$ 处的值为无穷大，但在其他地方的值都为零，这样的函数在实际中并不存在，它只是一种理论上的构想。
然而，这个函数的概念却在物理学、工程学等学科中有着广泛的应用。
Dirac Delta 函数的导数被称为“Dirac Delta 函数的导数”，表示为 $delta'(x)$，它的定义为：
$int_{-infty}^{infty}delta'(x)f(x)dx=-int_{-infty}^{infty}d elta(x)f'(x)dx$
这个定义可以用来求解一些微积分问题，如线性微分方程的初值问题等。
Dirac Delta 函数也有一些重要的应用，如概率密度函数、傅里叶变换、脉冲响应等。
在物理学中，它被广泛用于描述粒子的波函数
和电荷分布等。
在工程学中，它被用于描述信号的冲击响应和系统的脉冲响应等。
总之，Dirac Delta 函数是一种非常重要的数学工具，它在物理学和工程学等学科中都有着广泛的应用。
冲激函数和其导数关系
冲激函数和其导数关系
我们要探讨冲激函数和它的导数之间的关系。
首先，我们需要了解什么是冲激函数。
冲激函数，也被称为狄拉克δ函数，是一种特殊的数学函数。
它在0点处的值为无穷大，在其他点处的值为0。
数学上，冲激函数可以表示为：
δ(t) = 0 当 t ≠ 0
δ(t) = ∞当 t = 0
接下来，我们要计算冲激函数的导数。
冲激函数的导数在数学上定义为：
d/dt δ(t) = δ'(t) = -δ(-t) 当 t > 0
d/dt δ(t) = δ'(t) = 0 当 t < 0
现在，我们可以总结冲激函数和它的导数之间的关系：
1.当 t > 0 时，冲激函数的导数等于其自身的负值。
2.当 t < 0 时，冲激函数的导数为0。
3.在 t = 0 处，冲激函数的导数是无穷大。
通过这些关系，我们可以更好地理解冲激函数及其导数的性质和行为。
狄拉克δ函数 格林函数
狄拉克δ函数格林函数
1.德拉克δ函数：
德拉克δ函数（Delacôte函数）是一种用来描述波声信号、形状描述符和信号处理中自动识别过程中特征值的数学函数。
这种函数由法国数学家德拉克（Delacôte）于1973年提出，是一种用来分析波形以及时间延迟引起的音调增益等效果的函数。
它主要用来用来绘制回声或音频特征，如时延/反射曲线或其他类型的曲线，这些曲线的横轴为时间、纵轴为声浪音量（振幅）。
它可以用来描述声音在空间中衰减的变化情况，以及各种声学效果，比如回声淡出所产生的声音空间衰减性。
2.格林函数：
格林函数（Grin function）是一种重要的数学函数，是作为求解一些常微分方程，和诸如波动方程中的初始条件的一类偏微分方程的基本解的重要函数。
格林函数也可以被用来解决一些工程应用中的问题，比如热传导、热对流、振动、等离子体科学中的演化形态的计算等。
格林函数的应用在多个领域大量出现，比如计算物理、声学、电子学以及力学中的示性函数，它们在量子计算中也有着广泛的应用。
如易说，格林函数可以应用在各种复杂数学求解中，是一个重要的方法工具。
狄拉克函数积分等于1
狄拉克函数积分等于1
狄拉克函数是一种分布函数，通常表示为δ(x)，其在某些数学和物理应用中非常有用。
在数学中，狄拉克函数通常用于表示某个点的“测量值”，而在物理学中则用于描述粒子的位置和运动。
狄拉克函数的积分值在数学和物理学中也有很重要的意义。
事实上，狄拉克函数的积分等于1，这一关系在多个领域中都有应用。
例如，在量子力学中，狄拉克函数的积分可以用于描述粒子在不同位置的概率密度。
在这种情况下，狄拉克函数的积分等于1意味着粒子出现在系统中的概率为100%。
在数学中，狄拉克函数的积分也有很多应用，例如在傅里叶变换中。
在这种情况下，狄拉克函数的积分等于1表示整个信号的能量总和为1。
总之，狄拉克函数的积分等于1在数学和物理学中都有很重要的应用。
它不仅是描述粒子位置和运动的必要工具，也是在各种领域中解决问题的关键。
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证明：利用涉及 δ 函数的 “物理学家的证明方法 ”，设：左边为 D1 (x)，右边为 D2(x) 左= 右=
∞ -∞ ∞
f (x) D1(x) x = f (x) D2(x) x =
-∞
∞
-∞ ∞
f (x) δ(x - x0) x = f (x0) f (x) δ(x0 - x) x
-∞
-∞
令 x0 -x = t
∞
f (x0 - t) δ(t) (-t) = f (x0 )
左 = 右，故： D1(x) = D2(x)，即： δ(x - x0) = δ(x0 - x) 3. g(x) δ(x - x0) = g(x0 ) δ(x - x0 ) 证明：类似地 ，设：左边为 D1(x)，右边为 D2(x)
∞
λ(x) x = q = 1
-∞
因此，将定义在区间 (-∞ , +∞) 上，满足上述两条件的函数，称为一维 δ 函数，即：
2
z07a.nb
δ(x - x0) =
0 ∞
x - x0 ≠ 0 x - x0 = 0
，
∞
-∞
δ(x - x0) x = 1
定义了一维 δ 函数，则带电为 q ，中心位于 x = x0，长度趋于 0 的细小线段，其线电荷密度 λ(x) = q δ(x - x0)。 起初，物理上定义 δ 函数的目的仅在于简化对函数的微积分运算。直到发展了广义函数论后，才有严格的数学理论。 因此，我们在涉及 δ 函数等式的证明方面，均通过所谓用“物理学家的证明方法 ”来论证，牺牲了数学上的严谨性。 ◼ “物理学家的证明方法 ”：对于涉及 δ 函数的证明，本节均通过判断下式是否成立来论证。
k=1 N
两边同时对 x 从 xl - ε 到 xl + ε 积分，取 ε 0+ 使得 φ(x) 在积分区间 [ xl - ε, xl + ε] 仅有一个零点 xl 右=
xl +ε N N k=1 xl +ε
xl -ε k=1 xl +ε
ck δ(x - xk ) x = ck δ[φ(x)] x = δ(t) t φ′(x) = δ[φ(x)]
z07a.nb
3
4. 若 φ(x) 为连续函数，且 φ(x) 仅有一阶零点 xk , k = 1, 2, …, N，则
N
δ[φ(x)] =
k=1
δ(x - xk ) φ′ (xk )
证明：因为 δ 函数仅在其宗量 （自变量 ） 为 0 时才不为 0，故 δ[φ(x)] = ck δ(x - xk )，
k=-∞
δ 函数的常用极限表达式
sin2 (x u) π x2 u n π ε πx2 + ε2 n πn2 x2 + 1
δ(x) = lim
u∞
= lim
n∞
-n
2
x2
= lim
ε0
= lim
ε0
4
z07a.nb
Clear["Global`*"] n f[n_] := -n2 x2 ; π g1 = Plot[{f[n0 = 3], f[n0 = 5], f[n0 = 7]}, {x, - 1, 1}, PlotRange {0, 4}, PlotStyle {{Red}, {Green, Dashed}, {Blue, Dashing[0.00]}}, PlotLabel f[n], PlotLegends Placed[LineLegend[{Style["n = 3", Italic, 10], Style["n = 5", Italic, 10], Style["n = 7", Italic, 10]}, LegendMarkerSize {30, 10}], {0.8, 0.7}]]; 1 n f[n_] := ; 2 π π (n x2 + 1) g2 = Plot[{f[n0 = 5], f[n0 = 15], f[n0 = 45]}, {x, - 1, 1}, PlotRange {0, 5}, PlotStyle {{Red}, {Green, Dashed}, {Blue, Dashing[0.0]}}, PlotLabel f[n], PlotLegends Placed[LineLegend[{Style["n = 5", Italic, 10], Style["n = 15", Italic, 10], Style["n = 45", Italic, 10]}, LegendMarkerSize {30, 10}], {0.8, 0.7}]]; f[n_] := ; π x2 n g3 = Plot[{f[n0 = 5], f[n0 = 10], f[n0 = 20]}, {x, - 1, 1}, PlotRange {0, 7}, PlotStyle {{Red}, {Green, Dashed}, {Blue, Dashing[0.0]}}, PlotLabel f[n], PlotLegends Placed[LineLegend[{Style["n = 5", Italic, 10], Style["n = 10", Italic, 10], Style["n = 20", Italic, 10]}, LegendMarkerSize {30, 10}], {0.8, 0.7}]]; Grid[ {{g1, g2, g3}}] Sin[x n]2
7
狄拉克 δ 函数
7.1 狄拉克 δ 函数
δ 函数是一种广义函数 generalized function，也称分布 distribution。 1935年由物理学家狄拉克 (Paul Dirac) 在物理上引入。 1950 Laurent Schwartz 通过广义函数理论，从数学证明了其正确性。 更多关于广义函数的介绍，可参阅小册子 M. J. Lighthill, "An Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions " (Cambridge University 1958). SetDirectory[NotebookDirectory[]]; Import["figgeneralizedfun.jpg"]
δ 函数的性质
1. I = ∫
∞ -∞
f (x) δ(x - x0) x = f (x0), 对任意的连续函数 f (x)
证明：利用 δ 函数的定义 I=
∞ -∞
f (x) δ(x - x0 ) x = lim+ ε0
x0 +ε x0 -ε
x0 +ε x0 -ε
f (x) δ(x - x0 ) x, 其中 ε 0+ 表示 ε > 0 且 ε 0
f (x)
H (x) x
∞ 0
x
分部积分
+∞
f (x) H (x)
-∞
-∞
-
+∞
H (x) f ′(x) x
-∞
= f (∞) -
+∞
f ′(x) x = f (∞) - [ f (∞) - f (0)] = f (0)
-∞
f (x) D2(x) x =
+∞
-∞
f (x) δ(x) x = f (0) ⟹ D1 (x) = D2 (x)
n = 45
1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
选取其中之一加以证明 。 lim ε
ε0
lim
ε πx2 + ε2
=0
x≠0 x=0
ε0
=
lim π x2 + ε2 ε0 ε lim =∞ ε0 πε2 ε πx2 + ε2 x = lim 1 π
⟹
+∞
lim
ε0
-∞
ε0
tg-1
x ε
+∞
=1
-∞
◼ Heaviside 阶跃函数
z07a.nb
5
H (x) = 0 x < 0 ， ⟹ 1 x≥0 证明：令 D1(x) =
+∞
H ( x) x
= δ(x)
H (x) x
，D2 (x) = δ(x)
+∞
-∞
f (x) D1(x) x =
xl +ε
xl -ε
δ(x - xk ) x = cl 注意在一阶零点 xl 邻域，连续函数 φ′(xl) ≠ 0 ⟹ φ′(x) ≠ 0 其中 t = φ(x)， xl - ε < ξ < xl + ε
左= =
φ(x) φ′(x)
,
xl -ε
xl -ε
φ(xl +ε)
1 φ′(ξ)
φ(xl +ε) φ(xl -ε)
x0 +ε
= lim+ ε0
[ f (x) - f (x0)] δ(x - x0) x + lim+ ε0
Δ
x0 -ε
f (x0 ) δ(x - x0 ) x
= Δ + f (x0), Δ = lim+ ε0 ≤ lim+ ε0
ε0 x0 +ε
x0 -ε x0 +ε
δ(t) t ,
φ(xl -ε)