线性系统

第七讲

线性系统的可控性

一、可控性的定义及判别定理

1.可控性的定义

任一非零状态一个状态的可控性任非零状态个状态的可控性系统完全可控性

任非零状态个状态的可控性

任一非零状态一个状态的可控性

系统完全可控性

一、可控性的定义及判别定理

1.可控性的定义

任一非零状态

定义2-3:

例2-4:

+

y _

+_x 1Ω

1Ω_+1Ω

1Ω

关于定义的几点说明：

1.无约束容许控制

2.有限时间

33.状态空间中任何初态转移到零状态4.系统的不可控性

5.到达原点的可控性

2. 可控性的一般判别准则定理24

定理2-4

证明：充分性。

1.

称为可控性Gram矩阵。2.

必要性。

证完。

推论2-4推论24例：

3. 可控性的一个实用判据

k

定理2—5存在有限

证明：证明

n t 1−

∂

证完。

例2—7

注：

仅是一个充分条件

二、可达性的概念

定义2—4任一起于原点的可控性t 0t 1可达t 0

t 1可控

定理：

可达性Gram矩阵

这里只考虑充分性证明：

三、时不变系统的可控性判据

定理2-6

证明的主要思路：

(1)(2)(5)

(3)

()

(4)()

(6)

等价性：⇔

明（1）（2），即下列命

证题的

证明：

等价：（2）（5）：即明下列命

⇔证题

与(2)的等价性：（2）（3）：即明下列命

⇔证题

证明：

14的明如下：

⇔证

14:

⇒

14：⇐

思考题：

⇔证

46的明如下：46:

⇒

反证法

6

4

⇐

证明步骤如下：证明步骤如下

1.引入引理：

引引理：A A B ⎡121A T A T ,−⎤==

2利用上述引理考虑矩阵

2.利用上述引理，考虑矩阵

A I

B λ−

证完证完。

引理：12

1A A A T A T ,B −⎡⎤==

证明思路：

)1

11] U T[B AB A B [B AB A B −−==""n n 12,A A A B=⎡⎤==0就可以了A 3只要证明0就可以了2−

n

2）U

U

U

证完