积分变换法ppt课件

第四章 积分变换法
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4.1 傅立叶变换的概念和性质 4.2 傅立叶变换的应用 4.3 拉普拉斯变换的概念和性质 4.4 拉普拉斯变换的应用
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4.1 傅立叶变换的概念和性质
定义：假设 I 是数集(实数或者复数)，K(s,x) 为 I [a,b] 上的函数,这里 [a,b]为任意区间。如果 f(x) 在区间 [a,b] 有定义, 且 s I, K(s,x) f(x) 为 [a,b] 上可积函数, 则含参变量积分
1
2


ei xd

f (t )ei t
dt


f (t) f (t 0) f (t 0)
2
t是连续点 t是第一类间断点
特别的，当 f(x) 连续时
f
x
1


ei xd f (t )ei t dt
2

傅立叶逆变换定义为： f x

t
fˆ (,
)F

b
K s, x f xdx : F s
a
定义了一个从 f(x) 到 F(s) 的变换, 称为积分变换, K(s,x) 为变换的核。
常见的积分变换有傅立叶变换和拉普拉斯变换。
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4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶变换 假设 f(x) 在(,)上有定义，在(,) 上绝对 可积，在任一有限区间上有有限个极大值、极小 值，且至多有有限个第一类不连续点，则函数
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4.2 傅立叶变换的应用
可解得 U , t e2t t fˆ (, )e2 (t ) d . 0
而
F
1

e
x2 4t


e2t
2 t
则

U ,t F
1
x2 e 4t
t
fˆ (,


f (x) g x f x t g t dt f t g x t dt


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则 F f g F f F g 7
4.1 傅立叶变换的概念和性质
5) 乘积运算
F f g 1 F f F g.
2 傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立 了一个对偶关系。
F ei x f x dx.
称为f(t)的傅立叶变换。 记作：F () F[ f ( x)]
即是区间[a,b] (,) 上，核为 K , x ei x
的积分变换
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4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶积分定理：当 f(x) 满足上述条件时，有
6) 平移性质 F[ f ( x y)] ei y F ( f ), y R.
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4.1 傅立叶变换的概念和性质
思考： 对于u(x,y), 若以 y 为参数, 对 x 作傅立叶变换
u x, y FouxrierU , y
由傅立叶变换的线性性质
u y

x,
)F

1
x2
e 4(t ) d .
2 t 0
2 (t )

上式两边关于x作逆傅立叶变换，得
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4.2 傅立叶变换的应用
u x,t F 1 U(,t)


F 1 F
1
x2 e 4t

2 t
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4.2 傅立叶变换的应用
解得 U ,t F e2t .
为了求出原方程的解,下面对 U ,t 关于 进行
傅立叶逆变换. t是参数
u x, t f x F 1 e2t
f x
1
x2
e 4t
2 t

1

1

F ei xd
记作：
f
2
(x)

F
1[F
(
)]
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4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶变换具有如下性质:
1)线性性质：设 f,g是绝对可积的函数， , 为数
F f g F( f ) F(g)
2)微分运算性质
F f iF f
s2
f x s e 4t ds.
2 t
F f g F f F g F 1 F f F g f 1g2
4.2 傅立叶变换的应用
例 用积分变换法解方程：
u t

2u x2

f
( x, t )
u x,0 x
x R,t 0
解： 作关于 x 的傅立叶变换。设

ux,t U ,t ux,tei xdx
f x,t fˆ ,t



x





方程变为
dU ,

t 2U ,t
fˆ ,t
dt
U , t |t0
F f (n) (i)n F f
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4.1 傅立叶变换的概念和性质
3)对傅立叶变换后的函数求导数
d F f F[ix f ( x)]
d
dn
d n
F
f F[(ix)n
f ( x)]
4) 卷积性质
设 f(x)，g(x) 在 (,) 上绝对可积, 定义卷积：
u x, 0 f x
解：由自变量的取值范 围，对 x 进行傅立叶变换，设
u x, t U , t u x,t ei xdx
f x F
那么方程转变为
dU ,

t 2U , t
dt
U , t |t0 F
y
Fouxrier
U
,
y
y

d dy
U
,
y
是参数
同理,
2u y2

x,
y

Fouxrier
d2 dy2
U

,
y

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4.2 傅立叶变换的应用
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4.2 傅立叶变换的应用
例 用积分变换法解方程：
u 2u

t

x 2
,
t 0, x R .