经济数学在微观经济学中的运用

设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; '' (2)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
做函数 f ( x ) 的驻点.
点, 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 但函数的驻点却不一定 是极值点.
3 y x , y x 0 0, 例如,
但x 0不是极值点.
图形
y
y



x0
o
y
x0
o
x0
x
y
o

x
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
充分条件
（1). 构造拉格朗日函数:
L( x , y , ) f ( x , y ) g( x, y )
L x f x gx 0 (2). 联立 L y f y gy 0 L g ( x , y ) 0
则点 ( x, y )可能为极值点. 解得
(
为常数)
x, y ,
(3). 再讨论. (根据实际问题的实际意义可以判断.)
求函数 w f ( x , y , z ) 在条件 g( x , y , z ) 0 下的极值。 （1). 构造拉格朗日函数:
L( x , y , z , ) f ( x , y , z ) g( x, y , z ) ( 为常数)
( x0 , y0 同理, f y
) 0
f x( x , y ) 0
称为函数 z
,
f y( x , y ) 0
同时成立的点,
f ( x , y ) 的驻点.
充分条件
• f (x，y)在(x0，y0)处是否取得极值的条 件如下： (1) AC B 2>0时具有极值，且当 A<0时有极大值，当A>0时有极小值； (2) AC B 2<0时没有极值； (3) AC B 20时可能有极值，也可 能没有极值．
证明:不妨设 z f ( x, y ) 在点( x0 , y0 ) 处取得极大值.
f ( x0 , y0 ), 特别地,取y y0
考虑一元函数
f ( x , y0 ) f ( x0 , y0 )
( x0 , y0 ) 0 fx
使
f ( x , y0 )
在 x=x0 点取得极大值，由一元函数极值必要条件知,
g( x , y , z ) 0 , h( x , y , z ) 0 下的极值.
构造拉格朗日函数:
F ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 1 g( x , y , z ) 2h( x , y , z )
Fx f x 1 g x 2 hx 0 F f g h 0 y y 1 y 2 y 联立 Fz f z 1 g z 2 hz 0 F g( x , y , z ) 0 1 F2 h( x , y , z ) 0
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
极值和极值点
y
y f ( x)
ax
y
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
y
o
x0
x
o
x0
x
二、函数极值的求法——一元函数
(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数 , 且在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) 0 . 定义 使导数为零的点 (即方程 f ( x ) 0 的实根)叫
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
(2) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根;
(4) 求极值.
(3) 检查 f ( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点 ;
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二元函数的极值
1、无约束极值
定义 设函数 z f ( x, y ) 在点 P( x0 , y0 ) 某邻域内有定义, 对于该邻域内任一点 ( x , y ) , 若恒有不等式
z 3x 2 4 y 2 在点(0,0) 处取得极小值. 2 2 z 2 ( x y ) 在点(0,0) 处取得极大值.
定理(必要条件)
设函数
z f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 处偏导数
存在,并取得极值, 则 则, f ( x , y ) 有
( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0 fx
经济数学在微观经济学中的运用
函数极值和函 数极值的求法
一、函数极值的定义
定义 设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义, x0是
(a , b )内的一个点, 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.
(2). 联立
L x f x gx 0 y f y gy 0 L f z g z 0 Lz g( x , y , z ) 0 L
解得 x , y , z ,
推广
求函数
u f ( x , y , z ) 在满足条件
解得 ( x, y, z )
1 ). f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) 则称该函数在点 P 处有极大值 f ( x0 , y0 )
2 ). f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) 则称该函数在点P 处有极小值 f ( x0 , y0 )
极大值与极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 如,函数
步骤：
求函数
z f ( x , y ) 极值的方法和步骤.
， ( 1 ) 求f x fy
（2）求出驻点( x0 , y0 ) （3）求出在驻点( x0 , y0 )处对应的二阶偏导数值A,B,C
2、条件极值 （拉格朗日乘数法）
求函数 z f ( x , y ) 在条件 g( x , y ) 0下的极值。 拉格朗日乘数法：