抽象函数的单调性专题

抽象函数的单调性专题突破

或例1、 ()f x 对任意,x y R ∈都有：()()()f x y f x f y +=+，当0,()0x f x ><时，又知(1)2f =-，求()f x 在

[]3,3x ∈-上的值域。

例2、()f x 对任意实数x 与y 都有

()()()2f x f y f x y -=--,当0x >时,()2f x >

（1）求证:()f x 在R 上是增函数； （2）若5

(1)2

f =

,解不等式(23)3f a -<

【专练】：1、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，

求不等式f a a ()2

223--<的解集。

2、定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ，y ∈R 都有

()()()f x y f x f y -=-，且当0,()0x f x <<时

(1)求证()f x 为奇函数； (2)若f(k ·3x

)+f(3x

-9x

-2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

或例1、()f x 是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1. (1) (1)f 和1()9

f 的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。

例2、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a f b b

=-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性,

【专练】：1、定义在(0,)+∞上的函数f(x)对任意的正实数,x y 有)()()(y f x f y

x

f -=且当01x <<时，

()0f x <. 求:(1))1(f 的值. (2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+x

f x f ；

2、 函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=又， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数（3）解不等式

2(21)2f x -<

3、设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，对任意,(0,)x y ∈+∞，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x >。

（1）求证：()()()x

f f x f y y

=-； （2）若(5)1f =，解不等式(1)(2) 2.f x f x +-<

或例1、定义在R 上的函数)(x f ，满足当0>x 时，,1)(>x f 且对任意,,R y x ∈有()()(),f x y f x f y +=⋅

又知

(1) 2.f = （1）求)0(f 的值； （2）求证：对任意R x ∈都有0)(>x f ；（3）解不等式4)3(2

>-x x f ；

【专练】：1、定义在R 上的函数()y f x =对任意的,m n 都有()()()f m n f m f n +=g ，且当0x >时，

0()1f x <<，（I ）证明：R x ∈都有0)(>x f ；（II ）求证：()y f x =在R 上为减函数；（III ）解不等式f(x)·f(2x-x 2)>1。

2、若非零函数)(x f 对任意实数b a ,均有()()()f a b f a f b +=⋅，且当0x f ； （1）求证：()0f x > ；（2）求证：)(x f 为减函数 （3）当161)4(=f 时，解不等式4

1)5()3(2

≤-⋅-x f x f ；

或

例1、已知函数()f x 满足：①对任意,x y R ∈，都有()()()f xy f x f y =g ，②(1)1,(27)9,01f f x -==≤<且当时，[)()0,1f x ∈。（I ）判断()f x 的奇偶性，（II ）判断()f x 在[)0,+∞上的单调性，并证明。（III ）若0a ≥，且

(1)f a +≤a 的取值范围。

例1、定义在[]1,1-上的奇函数()y f x =有(1)1f =,且当[],1,1m n ∈-时,总有:()()

0,()f m f n m n m n

+>≠+,

（I ）证明:()f x 在[]1,1-上为增函数,(II)解不等式:11

()(

)21

f x f x +<-,(III)若2()21f x t at ≤-+对所有[]1,1x ∈-,[]1,1a ∈-恒成立,求实数t 的取值范围.

例2、定义在（）上的函数满足，对任意都有，且当

时，有， （1）试判断的奇偶性；（2）判断的单调性；

【专练】：1、已知定义在(),1(1,)-∞-+∞U 上的奇函数满足：①(3)1f =；②对任意的2x >，均有()0f x >；

③对任意的,x y R +

∈，均有(1)(1)(1)f x f y f xy +++=+；

（1）试求(2)f 的值；（2）求证：()f x 在(1,)+∞上是单调递增；（3）已知对任意的(0,)θπ∈，不等式

2(cos sin )3f a θθ+<恒成立，求a 的取值范围，

2、已知函数f （x ）的定义域为{x | x ≠ kπ，k ∈ Z }，且对于定义域内的任何x 、y ，有f （x -y ）=

f (x )·f (y )＋1

f (y )－f (x )

成立，

且f （a ） = 1（a 为正常数），当0 < x < 2a 时，f （x ） > 0．（I ）判断f （x ）奇偶性；（II ）证明f （x ）为周期函数；（III ）求f （x ）在[2a ，3a ] 上的最小值和最大值．

3、已知()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，且(1)1f =，若任意的[1,1]a b ∈-、，总有()(()())0a b f a f b ++>．

（1）判断函数()f x 在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：(1)(12)f x f x -<-；（3）若

2()21f x m pm -+≤对所有的[1,1]x ∈-恒成立，其中[1,1]p ∈-（p 是常数），求实数m 的取值范围．