2012-2013学年第1学期大气科学专业流体力学第5章(流体波动)

2012~2013学年第1学期课程
流体力学
李忠贤
E-mail:lizhongxian@nuist.edu.cn
南京信息工程大学大气科学学院
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第五章 流体波动
波动是流体运动的一种重要形式；尤其是地球物理流 体力学和大气动力学中的一种最为重要的流体运动形 式。
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大气长波
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水面波
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本章介绍有关波动的基本概念，并以简单而具代表性 的重力表面波和界面波为例，对流体波动进行详细的 讨论，理解流体波动的基本概念，掌握一般波动方程 的建立和求解方法。 本章主要内容 第一节 波动的基本概念 第二节 重力表面波和界面波
而x，y，z方向上的移速： C x , C y , C z ？
C x (dx / dt ) y , z , const / k x C y (dy / dt) x , z , const / k y C z (dz / dt) x , y , const / k z
k z / z
圆频率 x 方向的波数 y 方向的波数 z 方向的波数
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定义波数矢量为：
K k x i k y j k z k
（波数矢量即为波动传播的方向） 定义其模称为全波数：
y
二维为例
波数矢量垂直于等位相面（波阵面）
ky
K
kx
x
2 K K k x2 k y k z2
也就是说，在这种情况下，仍然可以采用受扰后的界面 坡度来表示流体压力的水平梯度。
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把压力梯度力项的代入方程，可得流体界面波下 层流体的运动方程组： h h u u h 0 t x x du 1 h g 1 dt 2 x
u 1 g 1 t 2 采用小扰动线性化方法 u h t H x
S三维 A cos( k x x k y y k z z t )
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三维波动的波参数
位相的普遍形式：
k x x k y y k z z t ( x , y , z , t )
其中：
/ t k x / x k y / y
du h g dt x
自由表面形式的流体连续方程为：
h hV 0 t

h h u u h 0 t x x
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描写波动运动的基本方程组
u u u h u w g t x z x
h h u u h 0 t x x
如声波。
横波：振动方向与波动传播方向垂直(垂直、水平横波) 垂直横波：质点在垂直方向上振动，波动在水平方向上 传播，如水面波。 水平横波：质点在水平方向上振动（南北振动），波动 在水平方向上传播（东西传播），例如大气长波。
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第一节 波动的基本概念
一、波动的数学模型
波动图象：反映了不同质点
重力
浮力
h(x,t) H
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从物理学角度来说，波动是指扰动（包含各种物理量 的扰动）在空间的传播，且这种扰动的传播具有在时 间、空间上的双重周期性。
流体的波动，是流体微团由于受力的作用，偏离平衡 位置，并围绕某个平衡位置产生振动，振动在空间的 传播而形成的。
7
波动的划分
这里依据波动与振动的关系，对波动进行划分： 纵波：流体质点振动方向与波动传播的方向一致。
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重力波形成机制的讨论：
h u t g x h H u t x
重力
浮力
H 辐合 辐散
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波动方程的求解：
h u t g x h H u t x
化为只含一个变量h
（3）波长 L ：波动在一个周期中传播的距离，
固定时刻相邻两同位相质点间的距离
L
L
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y A coskx t
（4）位相：表示流体波动状态的物理量。
kx t
等位相面：位相相等的各点所构成的平面（波面或波阵面 ）
kx t =常数
等位相面是平面，称为平面波(如重力表面波)；等位相面 是球面的，称为球面波（如电磁波）。
等位相面
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y A coskx t
（5）波数 k ：以相角
2 表示的单位距离内含有波长
为 L 的波的数目。
k 2 / L
（6）圆频率：以 2 相角表示的单位时间内振动的次数。
2 / T
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y A coskx t
（7）相速度（波速） c ：等位相的传播速度。
同一时刻分布图象。
以一维水面波（简谐波动）为例：
h x, t H h x, t
h( x, t ) A coskx t 1 A sinkx t 2
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二、波参数
波动的一般形式：
y A coskx t
波参数是表征波动的重要参数。 波动研究主要在于求解波参数及揭示不同波动的形成机制。
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在下层流体中，压力梯度力项为：
1 p 1 1 lim ( pB p ) A 2 x 2 x0 x
1 1 lim ( pB p ) A x 0 x 2
h pA ( x) 1 g pA x h pB pB ( x) 2 g x
问题： 波动的研究对象是物理变量的扰动部分； 方程是非线性的。
（方程的线性化问题－－－小扰动线性化方法）
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小（微）扰动线性化方法： ①任何物理量可以表示为：
A A A
扰动量
基本量（平均量） ②基本量（平均量）A 满足原来的方程 ③扰动量 A为一小量，其二阶以上项为高阶小量， 可以略去。
显然
C C xi C y j Czk
C / K 2 K K
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C Cxi C y j
Cy
C py
对二维平面波
C
s A cos(kx ly wt)
其相速度 ， C = 相速度在x方向上的分量为 波动在x方向上的移速为
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定义
r xi yj zk K r t
等位相面：
K r t
=常数
三维波动的相速度 = ？
C (dr / dt)
K C
C / K 2 K K
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k x x k y y k z z t ( x , y , z , t )
同样，为了求得
u ，仍作如下假设：
u B sin k ( x ct )
不难求得：B
g A H
，于是最后有：
u B sin k ( x ct )
g A sin k ( x ct ) H
这就是水面重力波的流速场。
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如图所示，流速为 U（常数）的一维均匀水流，表面受 到扰动而产生重力表面波：根据水平运动方程及不可压 连续方程：
下面讨论的上轻下重的流体间的界面波。
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上轻下重的流体间的界面波:
上层流体
1
研究对象 下层流体
2
1 2
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根据前面的讨论，对于这样的波动，考虑下层 流体作为研究对象，满足如下的方程组：
h h u u h 0 t x x
du 1 p dt 2 x
关键问题：上层流体的影响--主要是压力梯度项处理
h h u u h 0 t x x
du 1 p dt x
采用线性化方法，导出描写流体波动的方程组；求重力 表面波的相速度。 z 自由表面 U
h x, t
H
x
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二、上轻下重流体间的界面波
上面所讨论的水面重力波，确切地将，它是空气和 水之间的流体界面波，只是在讨论问题的时候经常 不考虑空气而已。
p0 z1
p0
A
B
B’
p A pB
A’ A”
h x x
B”
1 p h h 1 1 1 1 g x g 2 x 2 2 x
x
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于是，最终可以将压力梯度力项表示为：
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1 p 1 h 1 h g 1 x g 1 x 2 x 2 2
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方程的线性化：
u u u h u w g t x z x
h h u u h 0 t x x
这里考虑最简单的情形，假设基本态为静止的。
u u u u
w w w w
h H h
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u u u ( H h) u w g t x z x
h x, t H h x, t H H 1
也就是认为水面受到扰动后产生的起伏是很小的。
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流体波动是流体的一种特定的运动形态，应该遵循流 体运动所满足的基本方程。
不计粘性和旋转效应，不可压缩流体的一维波动水平 运动方程为：
du 1 p dt x
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垂直方向近似满足静力平衡， z 流体压力可近似地表示为：
kx t =常数
dx c dt k
相速 c
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二维、三维波动
上面讨论的波动局限于一维情况， 实际上，大多数波动并非是一维的， 这涉及到二维、三维波动的问题。 同样，可以把二维、三维波动表示为如下的形式：
S二维 A cos( k x x k y y t )
2 h h gH 2 t x 2 2
为了求解上式，考虑波动的形式解为：
h( x, t ) A sin k ( x ct )
将其代入以上方程：
gHk 2 h c gH k c h
2 2
水面重力波的相速公式。
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h u t g x h H u t x
h x, t
考虑一维水面波(水渠波)。 假设水面平静时水面高度 为H为一常数。 z
h x, t
H x
一旦给水面一个小的扰动，水面将不会再保持平静的状态 ，而要发生起伏不平的变化，水面高度 h 将随空间位置和 时间而变化，即：
h x, t H h x, t
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h x, t 可以为正也可以为负，并满足：
p0 z
p( x, z, t ) gh( x, t ) z p0
有：
h x, t - z
x
1 p h g x x
流体压力梯度力可用自由表面高度的梯度来表示。
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du 1 p 水平运动方程： dt x
1 p h g x x
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y A coskx t
（1）振幅A：质点偏离平衡位置的最大距离，反映了波 动所具有的能量大小。
（2）周期T：完成一次全振动所需要时间，
或波动向前传播一个波长距离所需时间。 频率 f ：单位时间内完成全振动的次数。 T=1/f
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y A coskx t
H h ( H h) u u ( H h) 0 t t x x
根据小扰动线性化方法，二次以上高阶小量可以略去。 H为常数，其偏导数量可以略去。 描写水面重力波的闭合方程组
h u t g x h H u t x
C px
1
Cx
1
x
图5.1.3 等位相面的传播
， ；
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第二节 重力表面波和界面波
日常生活中，最形象且最直观的波动，就是由于 重力作用所产生的水面波动（重力表面波）以及 发生于不同性质流体界面的界面波，下面详细地 讨论此类波动。 流体1 空气 水
流体2
重力水面波
界面波
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一、水面（表面）重力波