高三数学应用题强化训练学生版

D
A
θM
O1
O2
C
B
（第 5 题图甲）
D
A
观
赏
O1
θ
长
N
O2
M
廊
C
B
（第 5 题图乙）
6.（本小题满分 14 分）如图， 在半径为 30 cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料 ABCD （点
A， B 在直径上，点 C ， D 在半圆周上） ，并将其卷成一个以 AD 为母线的圆柱体罐子的侧 面（不计剪裁和拼接损耗） ．
海岸线 l 2 上，且两点 M， N连线经过海岛 C，已知 AB=3km, AD=2km.
(1) 要使矩形 AMPN的面积大于 32km2，则 AN的长应在什么范围内 ?
(2) 当 AN的长度是多少时，矩形 AMPN的面积最小 ?并求最小面积 .
(3) 若 AN的长度不少于 6km，则当 AN的长度是多少时，矩形 AMPN的面积最小？并求出最
高三数学应用题强化训练（一）
1．近日我渔船编队在钓鱼岛附近点 A 周围海域作业， 在 B 处的海监 15 船测得 A 在其南偏东
45 方向上，测得渔政船 310 在其北偏东 15 方向上，且与 B 的距离为 4 3 海里的 C 处．某
时刻， 海监 15 船发现日本船向在点 A 周围海域作业的我渔船编队靠近， 上级指示渔政船 310 立刻全速前往点 A 周围海域执法，海监 15 船原地监测．渔政船 310 走到 B 正东方向 D 处时，
（ 1）将 OMN （ O为坐标原点）的面积 S 表示成 t 的函数 S(t ) ； 1
（ 2） 若在 t 处， S(t ) 取得最小值，求此时 a 的值及 S(t) 的最小值 .
2
y
N P
O
M
x
20. 一走廊拐角处的横截面如图所示， 已知内壁 FG和外壁 BC都是半径为 1m的四分之一圆弧，
AB、 DC分别与圆弧 BC相切于点 B、 C 两点， EF // AB, GH // CD ，且两组平行墙壁间的走
8 n2
2 n 1 万元，若每月都赢利，求出
55
a的范围 .
16．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米） ，其中容器的中间为圆柱形，
左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为
80 立方米，且 l 2r ．假设该容器的
3
建造费用仅与其表面积有关． 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元， 半球形部分每平
方米建造费用为 c （ c 3）千元．设该容器的建造费用为 y 千元．
（ 1）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（ 2）求该容器的建造费用最小时的 r ．
8
17．如图，某兴趣小组测得菱形养殖区
ABCD 的固定投食点 A 到两条平行河岸线 l1、 l 2 的距
离分别为 4m、8m，河岸线 l1 与该养殖区的最近点 D 的距离为 1m，l 2 与该养殖区的最近点 B 的 距离为 2m．
（ 1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？ （ 2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？
D
C
A
B
（第 6 题图）
3
7. 如图所示 , l 1, l 2 是两条互相垂直的海岸线， C为一海岛， ABCD是一矩形渔场，为了扩大渔
业规模，将该渔场改建成一个更大的矩形渔场
AMPN，要求点 D, N在海岸线 l 1 上，点 B，M在
f ( x) 模
型的基本要求，并分析函数
x y＝ 150＋ 2 是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
10x－ 3a （ 2）若该公司采用模型函数 y＝ x＋ 2 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数
a 的值．
7
15. 某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该
成反比，比例常数为 k (k 0) ．现已知相距 18 km 的 A， B两家化工厂（污染源）的污染强 度分别为 a, b ，它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y等于两化工厂对该处的污染指数之 和．设 AC x （ km ）．
（ 1）试将 y 表示为 x 的函数； （ 2）若 a 1 ，且 x 6 时， y 取得最小值，试求 b 的值．
10 万元到 1 000 万元的投资
收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金
y( 单位：万元 ) 随投资收益 x( 单
位：万元 ) 的增加而增加，且奖金不超过 9 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%．
（ 1）若建立函数 y＝ f ( x) 模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数
且四边形 MBCN的面积是 ABC 面积的 1 ，设 BM x,CN y ． 3
（ 1）写出 x, y 所满足的关系式，并求出 x, y 的取值范围；
（ 2）求线段 MN 长的最小值．
10. 某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，
AB至少长 3 米， C为 AB 的中点， B
到 D 的距离比 CD的长小 0.5 米，∠ BCD=600
2
5. 第十八届省运会将于 2014 年 9 月在徐州市举办． 为营造优美的环境， 举办方决定在某 “葫
芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为 之间的距离为 10 米．
10 米的圆弧围成，两圆心 O1 、 O2
（ 1）如图甲， 在花坛中建矩形喷泉， 四个顶点 A ， B ，C ， D 均在圆弧上， O1O2 AB
厂连续生产 n 个月的累计产量为
f ( n)
1 n(n 1)(2n 1) 吨， 但如果产量超过 96 吨，将会
2
给环境造成危害 .
（ 1）请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；
（ 2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳
a 万元的环保税，已知每吨产品售
价 0.6 万元，第 n 个月的工人工资为 g (n)
9
19. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面 ( 如图所示 ) 上进行开发建设 , 阴影部分为一公共设 施建设不能开发 , 且要求用栏栅隔开 ( 栏栅要求在一直线上 ), 公共设施边界为曲线
f ( x) 1 ax2 (a 0) 的一部分 , 栏栅与矩形区域的边界交于点 M、 N，交曲线于点 P，设 P(t, f (t))
（ 1）设 AMN （ 0 （ 2）求 MN 的最小值．
），把观光长廊 MN 表示为 的函数关系式； 2
C
N P
A
M
B
1
3. 如图所示，直立在地面上的两根钢管 这两根钢管进行加固，有两种方法：
AB和 CD， AB 10 3 m， CD 3 3 m，现用钢丝绳对
（ 1）如图（ 1）设两根钢管相距 1m，在 AB上取一点 E，以 C为支点将钢丝绳拉直并固定在 地面的 F 处 , 形成一个直线型的加固（图中虚线所示） ．则 BE多长时钢丝绳最短？
（ 2）如图（ 2）设两根钢管相距 3 3 m，在 AB上取一点 E，以 C为支点将钢丝绳拉直并固定 在地面的 F 处，再将钢丝绳依次固定在 D 处、 B 处和 E 处，形成一个三角形型的加固（图
中虚线所示） ．则 BE 多长时钢丝绳最短？
A CE
A E C
F
DB
图1
F
D
B
图2
4．如图，某城市有一条公路从正西方 AO通过市中心 O 后转向东北方 OB，现要修筑一条铁 路 L， L 在 OA上设一站 A，在 OB上设一站 B，铁路在 AB部分为直线段，为了市民出行方便 与城市环境问题，现要求市中心 O到 AB的距离为 10 km ，设 OAB ． （ 1）试求 AB关于角 的函数关系式； （ 2）问把 A、 B 分别设在公路上离市中心 O多远处，才能使 AB最短，并求其最短距离．
于点 M ．设 ? AOM2 q ，求矩形的宽 AB 为多少时， 可使喷泉 ABCD 的面积最大；
（ 2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为 2 米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变
为 两 个 全 等 的 等 腰 三 角 形 ， 其 中 NA NB ， NO2 4 米 ． 若 AO2M
, ，求喷泉的面积的取值范围． 64
a 1 a 4, 且a R 个单位的药剂，它在水中释放的浓度 y g / L 随着时间 x （天）变化
的函数关系式近似为 y af x ,
16
1,0 x 4,
其中
fx 8 x
1 5 x,4 x 10.
2
若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之
和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于
（ 1）如图甲，养殖区在投食点 A 的右侧，若该小组测得 BAD 60 ，请据此算出养殖区的
面积； （ 2）如图乙，养殖区在投食点 出养 殖区的最小面积．
l1
A
A 的两侧，试在该小组未测得
D
l1
BAD 的大小的情况下，估算
D A
C
C
B
B
l2 （图甲）
l2 （图乙）
18. 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方
廊宽度都是 1m， （ 1）若水平放置的木棒 MN的两个端点 M、 N 分别在外壁 CD和 AB上，且木棒与内壁圆
弧相切于点 P，设 CMN
rad ，试用 表示木棒 MN的长度 f ；
（ 2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，则求木棒长度的最大？
10
高三数学应用题强化训练（一）
参考答案
1. 解：由题设， BC 4 3, BD 4 2, CBD 75 , ABD 45 , ABC 120 , 在 CBD 中，由余弦定理得，
测得距离 B 为 4 2 海里．若渔政船 310 以 23 海里 / 小时的速度航行，求其到达点 A所
需的时间．
C
B
DBaidu Nhomakorabea
A
2. 如图， AB, AC 为湖岸边相互垂直的两条直路 ( AB 1km, AC 1km ) ，计划在湖中距 AB 距 离为 216m、且距 AC 距离为 512m的点 P 处建造一个观景小亭，并修建一条经过小亭且连接 AB, AC 的直．的观光长廊，设观光长廊与 AB, AC 分别交于 M , N ．
小面积 .
8．用 2 平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，
且材料的厚度忽略不计，底面半径长为 x ，圆锥母线的长为 y ．
（ 1）建立 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
S
（ 2）当圆锥的底面半径为多少时，圆锥的体积最大？
B
O
A
4
9．在直角 ABC 中， AB 15, AC 12, C 90 ， M是 AB 边上一点， N是 AC边上一点，
积最小值．
图1
图2
12. 如图，某生态园将一三角形地块
ABC 的一角 APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角
120 ,AB , AC 的长度均大于 200 米，现在边界 AP， AQ处建围墙，在 PQ处围竹篱笆 .
（ 1）若围墙 AP,AQ总长度为 200 米，如何围可使得三角形地块 APQ的面积最大？
4 g / L 时，它才能起到有效治污的作用．
(1) 若一次投放 4 个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
(2) 若第一次投放 2 个单位的药剂， 6 天后再投放 a个单位的药剂，要使接下来的
4 天中能
够持续有效治污，试求 a的最小值（精确到 0.1 ，参考数据： 2 取 1.4 ） .
14．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得
CD 48 32 2 4 3 4 2 cos75 2( 6 2) ，
在 CBD 中，由正弦定理得， BD
CD
4 2 sin 75
, sin C
sin C sin 75
为使绿地更加美观，现从圆弧上一点 P 作圆弧的切线 BD，分别与 AM、 AN延长线交于 B、 D，
并以 AB、AD为邻边构造矩形 ABCD，再以 C 为圆心制作一块与 AMN形状形同的绿地（图 2）．
（ 1）求矩形 ABCD的面积最小值；
（ 2）若由于地形条件限制，使得矩形一边 AB的长度不能超过 5 米，求此时矩形 ABCD的面
（ 1）若 CD x , BC y , 将支架的总长度表示为 y 的函数， 并写出函数的定义域 . （注： 支架
的总长度为图中线段 AB、 BD和 CD长度之和）
（ 2）如何设计 AB, CD 的长，可使支架总长度最短．
_D
_B
_C _A
5
11．公园里原有一块四分之一圆面形状的绿地
AMN（图 1），其中 AM=AN=4米，∠ MAN=900，
（ 2）已知 AP段围墙高 1 米， AQ段围墙高 1.5 米，造价均为每平方米 100 元.
若围围墙用了 20000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
A Q
P
C
B
6
13．因发生意外交通事故，一辆货车装载的某种液体泄露到一鱼塘中．为了治污，根据环保 部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放