红蓝墨水问题
利用三色圆珠笔将问题分类
利用三色圆珠笔将问题分类我在读硕士时，曾经听海外学者举行的英文演讲。
演讲完毕后，就是问答时间。
基本上，日本人都是在听完演讲之后才开始思考问题，所以不会马上举手发问。
虽然看起来是在很认真地思考，但从演讲完毕到提出问题之间会出现一段空档。
这对演讲者而言，会有一种空虚感，他可能认为“没人提出问题，就表示自己的话没人听得懂”。
但欧美人在演讲完毕后就会立刻提出疑问，这就是我要强调的重点。
由于我了解这一点，所以在听演讲的同时便将问题记下来。
我的习惯是用三色圆珠笔的绿色写出疑问，对方说的话用蓝色画起来，重点部分用红色标注。
也就是说，对方所说的客观事项用蓝色和红色，自己主观思考的问题则用绿色。
用绿色标注问题，用英文写出问题，再用括号括起来或是用圆圈标注出来。
准备询问的问题用三重圆圈标注，不太重要的问题则用两个圈或一个圈来划分等级。
演讲一结束，就可以马上从最重要的问题开始依次提问。
如果只问一个最重要的问题，就不会是不好的问题。
若不经仔细思考就发问，便很容易提出愚蠢的问题。
准备5个以上的问题，再从中挑出一个最好的，这样不论是谁都能提出精辟的问题。
先思考再发问原本是理所当然的事，但很多人并没有这样的习惯。
被询问时会先思考再作答，但是在提出问题时却不加思索地脱口发问。
就连电视主播也会问一些平庸的问题，令我相当惊讶：“问这种问题能得到好答案是不可能的。
”和欧美人相比，尊崇儒教的国家对“提问能力”的认知非常薄弱，“评论能力”也很弱，我想这是因为“提问能力”低下所致。
虽然我将问题区分等级，但又是以什么作为标准呢？首先，我会将“也许个人很想问，但是别人或许没兴趣”的问题摆放在等级最低的区域。
在演讲会上，很多人会提出水平较低的问题，并且其内容多半是由自己的经验和知识延伸出来的，这就是最典型的搞不清楚状况的题目。
如果只是两个人交谈还可以接受，但在演讲会上问愚蠢问题就会占用宝贵的时间。
这种情况下，为了广大的听众，必须注意自己的问题质量。
变色花实验报告
变色花实验报告
五人组组长：岳冬组员：杨茜、王欣怡、宁晓慧、薛又中
一、实验过程
1、实验材料：带花茎淡色花（1朵）、玻璃杯（2只）、稀释为20%的红、蓝墨水（若干）、解剖刀（1把）
2、实验过程：取2个干净的玻璃杯，各倒入等量的稀释红墨水和蓝墨水，用解剖刀将淡色花的花茎从中间剖开，但不断裂。
将剖开的两部分分别插入装有红、蓝墨水的玻璃杯中，放置半小时，观察花瓣和花叶的颜色变化并解剖花茎观察花茎的变化。
取2个干净的玻璃杯
分别倒入等量的稀释为20%的红、蓝墨水
取一支刚摘下的带茎的淡色花
用解剖刀将淡色花的花茎从中间剖开，但不断裂
将花茎剖开的部分小心掰开，分别插入装有红、蓝墨水的玻璃杯中
装置放置半小时后，淡色花变成了红、蓝双色花。
二、实验结论
取出实验花枝，可以看到淡色花的花瓣变成了红、蓝两色。
而两边的叶片的叶面也呈现相应的、不均匀的红、蓝两色。
用解剖刀把花茎纵向切开可以看到一些红色和蓝色的线，这就是茎中的维管，原来，植物的茎就是通过维管束来输送水分和养料，直达植物的叶片和花瓣。
由于叶片和花瓣的蒸腾作用，红、蓝色墨水就会自下而上逐渐延伸到叶脉、花萼和花
瓣中，花也就变成了红、蓝双色花。
红色蓝色测试题及答案
红色蓝色测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 红色和蓝色混合后的颜色是什么？A. 绿色B. 紫色C. 橙色D. 棕色答案：B2. 在RGB色彩模式中，蓝色和红色的组合可以产生什么颜色？A. 青色B. 黄色C. 紫色D. 白色答案：C3. 以下哪种颜色不是由红色和蓝色混合而成的？A. 紫色B. 绿色C. 橙色D. 粉红色答案：B4. 在CMYK色彩模式中，红色和蓝色的混合色是？A. 青色B. 黄色C. 黑色D. 白色答案：C5. 红色和蓝色混合后，哪种颜色的光波长最长？A. 红色B. 蓝色C. 绿色D. 黄色答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 红色和蓝色混合后的颜色是______。
答案：紫色2. 在RGB色彩模式中，红色和蓝色的组合可以产生______色。
答案：紫色3. 在CMYK色彩模式中，红色和蓝色的混合色是______色。
答案：黑色4. 红色和蓝色混合后，红色光的波长比蓝色光的波长______。
答案：长5. 在绘画中，红色和蓝色混合后得到的颜色通常用于表现______。
答案：阴影或暗部三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述红色和蓝色混合后的颜色特点。
答案：红色和蓝色混合后的颜色是紫色，它是一种复合色，具有红色的温暖和蓝色的冷静，给人一种神秘和深邃的感觉。
2. 在色彩理论中，红色和蓝色被称为什么颜色？答案：在色彩理论中，红色和蓝色被称为原色。
3. 请描述一下红色和蓝色在心理感受上的差异。
答案：红色通常与激情、活力、危险和爱情等情感相关联，而蓝色则与平静、稳定、智慧和信任等情感相关联。
4. 在设计中，红色和蓝色如何搭配使用？答案：在设计中，红色和蓝色可以作为对比色使用，以增强视觉冲击力和吸引注意力。
它们也可以用来创造平衡和和谐的效果，例如在标志或品牌设计中。
四、论述题（每题10分，共20分）1. 结合实际例子，论述红色和蓝色在不同文化中的象征意义。
答案：在中国文化中，红色通常象征着喜庆和好运，而蓝色则与天空和大海相关，象征着广阔和深远。
(中考类)初中数学竞赛讲座精讲与练习题之精讲篇(一)
基础知识1．面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．设△ABC ，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，a h 为a 的高，R 、r 分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，)(21c b a p ++=．则△ABC 的面积有如下公式：（1）a ABC ah S 21=∆；（2）A bc S ABCsin 21=∆ （3）))()((c p b p a p p S ABC ---=∆（4）pr c b a r S ABC =++=∆)(21（5）Rabc S ABC 4=∆（6）C B A R S ABC sin sin sin 22=∆（7）)sin(2sin sin 2C B CB a S ABC +=∆ （8）)(21a cb r S a ABC -+=∆ （9）)2sin 2sin 2(sin 212C B A R S ABC++=∆ 2．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和； （2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（6）共边比例定理：若△PAB 和△QAB 的公共边AB 所在直线与直线PQ 交于M ，则QM PM S S Q AB PAB ::=∆∆；（7）共角比例定理：在△ABC 和△C B A '''中，若A A '∠=∠或︒='∠+∠180A A ，则C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆． 3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PC PB PA ,,，设α=∠APC ，β=∠CPB ，︒<+=∠180βαAPB ，则C B A ,,三点共线的充要条件是：PCPA PB )sin(sin sin βαβα+=+．例题分析例1．梯形ABCD 的对角线BD AC ,相交于O ，且m S AOB =∆，n S COD =∆，求ABCD S 例2．在凸五边形ABCDE 中，设1=====∆∆∆∆∆EAB D EA CD E BCD ABC S S S S S ，求此五边形的面积．例3．G 是△ABC 内一点，连结CG BG AG ,,并延长与AB CA BC ,,分别交于F E D ,,，△AGF 、△BGF 、△BGD 的面积分别为40，30，35，求△ABC 的面积．例4．R Q P ,,分别是△ABC 的边BC AB ,和CA 上的点，且1====RC QR PQ BP ，求△ABC 的面积的最大值．例5．过△ABC 内一点引三边的平行线DE ∥BC ，FG ∥CA ，HI ∥AB ，点I H G F E D ,,,,,都在△ABC 的边上，1S 表示六边形DGHEFI 的面积，2S 表示 △ABC的面积．求证：2132S S ≥．例6．在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，过△ABD 的内心与△ACD 的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ，△ABC 和△AKL 的面积分别记为S 和T ．求证：T S 2≥．例7．锐角三角形ABC 中，角A 等分线与三角形的外接圆交于一点1A ，点1B 、1C 与此类似，直线1AA 与B 、C 两角的外角平分线将于一点0A ，点0B 、0C 与此类似．求证：（1）三角形000C B A 的面积是六边形111CB BA AC 的面积的二倍； （2）三角形000C B A 的面积至少是三角形ABC 的四倍．例8．在△ABC 中，R Q P ,,将其周长三等分，且Q P ,在边AB 上，求证：92>∆∆ABCPQR S S ． 例9．在锐角△ABC 的边BC 边上有两点E 、F ，满足CAF BAE ∠=∠，作AB FM ⊥，AC FM ⊥（N M ,是垂足），延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，证明四边形AMDN 与△ABC 的面积相等． 三．面积的等积变换等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．例10．凸六边形ABCDEF 内接于⊙O ，且13+===DC BC AB ，1===FA EF DE ，求此六边形的面积．例11．已知ABC ∆的三边c b a >>，现在AC 上取AB B A ='，在BA 延长线上截取BC C B ='，在CB 上截取CA A C ='，求证：C B A ABC S S '''∆∆>．例12．C B A '''∆在ABC ∆内，且ABC ∆∽C B A '''∆，求征：ABC AB C CA B BC A S S S S ∆'∆'∆'∆=++ 例13．在ABC ∆的三边AB CA BC ,,上分别取点F E D ,,，使EA CE DC BD 3,3==，FB AF 3=，连CF BE AD ,,相交得三角形PQR ，已知三角形ABC 的面积为13，求三角形PQR 的面积．例14．E 为圆内接四边形ABCD 的AB 边的中点，AD EF ⊥于F ，BC EH ⊥于H ，CD EG ⊥于G ，求证：EF 平分FH ．例15．已知边长为,,,c b a 的ABC ∆，过其内心I 任作一直线分别交AC AB ,于N M ,点，求证：bca IN MI +≤． 例16．正△PQR ≅正△R Q P '''，1a AB =，1b BC =，2a CD =，2b DE =，3a EF =，3b FA =．求证：232221232221b b b a a a ++=++．例17．在正ABC ∆内任取一点O ，设O 点关于三边AB CA BC ,,的对称点分别为C B A ''',,，则C C B B A A ''',,相交于一点P ．例18．已知CE AC ,是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点N M ,分别内分ACCE ，且使k CECNAC AM ==，如果N M B ,,三点共线，试求k 的值． 例19．设在凸四边形ABCD 中，直线CD 以AB 为直径的圆相切，求证：当且仅当BC ∥AD 时，直线AB 与以CD 为直径的圆相切．训练题1．设ABC ∆的面积为102cm ，F E D ,,分别是CA BC AB ,,边上的点，且,3,2cm DB cm AD ==若DBEF ABE S S =∆，求ABE ∆的面积．2．过ABC ∆内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC ∆分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为321,,S S S ，求三角形ABC ∆的面积．3．在ABC ∆的三边CA BC AB ,,上分别取不与端点重合的三点L K M ,,，求证：AML ∆，CLK BKM ∆∆,中至少有一个的面积不大于ABC ∆的面积的41．4．锐角ABC ∆的顶角A 的平分线交BC 边于L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 作AB 和AC 边的垂线LK 和LM ,垂足是M K ,，求证：四边形AKNM 的面积等于ABC ∆的 面积．5．在等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上取一点D ，使BC DC 31=，作ADBE ⊥交AC 于E ，求证：EC AE =．6．三条直线n m l ,,互相平行，n l ,在m 的两侧，且m l ,间的距离为2，n m ,间的距离为1，若正ABC ∆的三个顶点分别在n m l ,,上，求正ABC ∆的边长． 7．已知321P P P ∆及其内任一点P ，直线P P i 分别交对边于i Q （3,2,1=i ），证明：在332211,,PQ P P PQ P P PQ P P 这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2．8．点D 和E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上，点K 和M 将线段DE 分为三等分，直线BK 和BM 分别与边AC 相交于点T 和P ，证明：AC TP 31≤．9．已知P 是ABC ∆内一点，延长CP BP AP ,,分别交对边于C B A ''',,，其中x AP =，w C P B P A P z CP y BP ='='='==,,，且3,23==++w z y x ，求xyz 之值． 10．过点P 作四条射线与直线l l ',分别交于D C B A ,,,和D C B A '''',,,，求证：CB D A DC B A BC AD CD AB ''⋅''''⋅''=⋅⋅． 11．四边形ABCD 的两对对边的延长线分别交L K ,，过L K ,作直线与对角线BD AC ,的延长线分别F G ,，求证：KGLGKFLF=． 12．G 为ABC ∆的重心，过G 作直线交AC AB ,于F E ,，求证：GF EG 2≤．同余式与不定方程同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.1. 同余式及其应用定义:设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为或一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r （r=0，1，…，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1) 若,则m|(b-a).反过来,若m|(b-a),则;(2) 如果a=km+b(k为整数),则;(3) 每个整数恰与0,1,…，m-1，这m个整数中的某一个对模m 同余；(4) 同余关系是一种等价关系：①反身性；②对称性，则，反之亦然.③传递性，，则；（5）如果，，则①；②特别地应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2n+1能被3整除的一切自然数n.解∵∴则2n+1∴当n为奇数时，2n+1能被3整除；当n为偶数时，2n+1不能被3整除.例2 求2999最后两位数码.解考虑用100除2999所得的余数.∵∴又∴∴∴2999的最后两位数字为88.例3 求证31980+41981能被5整除.证明∵∴∴∴2．不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1) 不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例4 证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.①若x为偶数，则∴∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.②若x为奇数，则但5y2+7∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例5 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程①证明如果有整数x，y使方程①成立，则=知（2x+3y2）+5能被17整除.设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.例7 （第33届美国数学竞赛题）满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2) 不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例6 求方程的整数解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解解得例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a＜b及b+1=c.证明（因式分解法）∵a2+b2=c2，∴a2=（c-b）（c+b），又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a2.于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1＜3b，即＜.而a≣3,∴≢1，∴＜1.∴a＜b.例9（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程的正整数（a，b，c）的组数是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1³23.∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解由(y-2)x=2y-7,得分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数,∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整数解为例11 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解（不等式法）方程有整数解必须△=（y+1）2-4（y2-y）≣0，解得≢y≢.满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例12 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.解将原方程变形得由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，12-x=1，x=11，这时y=132.故满足题设的方程的正整数解为（x，y）=（11，132）.例13（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及的不同的整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由得当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=26²31，故当且仅当x具有31t2形式时，1984x是完全平方数.∵x＜1984，∵1≢t≢7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≢x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.解法2 ∵1984=∴由此可知：x必须具有31t2形式，y 必须具有31k2形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3.练习二十1. 选择题(1)方程x2-y2=105的正整数解有( ).（A）一组（B）二组（C）三组（D）四组(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（）.（A） 3个（B）4个（C）5个（D）6个2．填空题（1）的个位数分别为_________及_________.(2)满足不等式104≢A≢105的整数A的个数是x³104+1，则x的值________.(3) 已知整数y被7除余数为5,那么y3被7除时余数为________.(4) (全俄第14届中学生数学竞赛试题)求出任何一组满足方程x2-51y2=1的自然数解x和y_________.3.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足.4．（1985年上海数学竞赛题）在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？5．求的整数解.6．求证可被37整除.7．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件的整数x，y的所有可能的值.8．（1985年上海初中数学竞赛题）已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.9.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.练习二十1.D.C.2.(1)9及1. (2)9. (3)4.(4)原方程可变形为x2=(7y+1)2+2y(y-7),令y=7可得x=50.3.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z 都不能是整数.4.可仿例2解.5.先求出,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得6.8888≡8(mod37),∴88882222≡82(mod37).7777≡7(mod37),77773333≡73(mod37),88882222+77773333≡(82+73)(mod37),而82+73=407,37|407,∴37|N.7.简解:原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≣0及y为整数可得0≢y≢5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.∵l2+m2=n2,∴l2=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l2,n-m=1.于是l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1)2.即2(l+m+1)是完全平方数.9.易知p≠q,不妨设p＞q.令=n,则m＞n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.几何解题途径的探求方法一．充分地展开想象想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。
奥林匹克训练题库·智巧问题
五智巧问题1 某国的货币有1元、50分、20分、10分、5分、2分、1分共七种硬币〔1元=100分〕.某人带了9枚硬币去买东西,凡不超过2元的东西他都能拿出假设干枚硬币支付,钱数正好,无需找钱.这9枚硬币的总面值最多是多少？最少是多少？2 A,B,C,D四人进行围棋比赛,每人都要与其他三人各赛一盘.比赛是在两张棋盘上同时进行,每天每人只赛一盘.第一天A与C比赛,第二天C 与D比赛,第三天B与谁比赛？3 有20间房子,有的开着灯,有的关着灯.在这些房子里的人都希望与大多数房子保持一致.现在,从第1间房子里的人开始,如果其余19间房子的灯开着的多,就把灯翻开,否那么就把灯关上.假设最开始时开灯与关灯的房子各10间,并且第1间房子的灯开着.那么,这20间房子里的人轮完一遍后,开着灯的房子有几间？4 甲、乙、丙三名选手参加长跑比赛.起跑后甲处在第一的位置,在整个比赛过程中,甲与乙、丙的位置次序共交换了7次.比赛结果甲是第几名？5 正义路小学共有1000名学生,为支持“希望工程〞,同学们纷纷捐书,有一半男生每人捐了9本书,另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书,另一半女生每人捐了6本书.全校学生共捐了多少本书？6 某杂志每期定价1.50元,全年共出12期.某班局部同学订半年,其余同学订全年,共需订费720元；如果订半年的改订全年,订全年的改订半年,那么共需603元.问：这个班共有多少名学生？7 某次猜谜语比赛,谜语按难易分两类,每人可以猜三条.每猜对一条较难的谜语得3分,每猜对一条较容易的谜语得1分.结果有8人得1分、7人得2分、6人得3分、5人得4分、4人得5分.恰好猜对两条谜语的有几人？8 一排六棵树〔见下列图〕分别是六个人栽的,A,B,C三人栽的是大树,D,E,F三人栽的是小树.如果A与E栽的树相隔两棵树,B与F栽的树相隔一棵树,那么C栽的树是左起第几棵？9 一个正方形大厅被分隔成16个小间〔见右图〕,每相邻两间都相通,有阴影的四间是休息室,其余布置成展览室.从A处出发,使走过的房间数最少而到达休息室〔可以是任何一间〕的不同走法共有多少种？10 整盒香烟在盒中排列如左下列图所示.抽出2支香烟后〔右下列图〕,剩下的香烟在盒中仍不能移动.要保持剩下的香烟在盒中仍不能移动,最多能抽出多少支香烟？11 有一根长8m的方木,锯成等长的5段,外表积增加了1m2,求这根方木的体积.12 生物学家发现一种胞子,每小时可分裂成3个,每个新胞子同原来的一样,一小时后它们中的每一个又都可以分裂成3个.这种过程连续不断地进行下去.一天早晨,一位生物学家在一个容器中放入一个胞子,到了中午13 兔子和乌龟在一个200米的环形跑道上赛跑,它们从同一地点同时出发,乌龟每爬行5米,兔子超过它1圈.当乌龟爬完1圈时,兔子跑了多少圈？14 兔子跑3步的时间狗跑2步,兔子一步跑1米,狗一步跑1.5米.如果狗和兔子在100米的直跑道上赛跑,赛程为一个往返,狗和兔子调头的时间相等,那么谁将获胜？15 有一口枯井深10米,一只蜗牛从井底向上爬,白天向上爬3米,晚上向下滑2米.问：这只蜗牛几天能爬出井？16 某学校进行乒乓球单打比赛,参赛选手共56人.如果采用淘汰赛,最后产生一名冠军,那么一共要比赛多少场？17 有六条铁链,每条有四个环〔见下列图〕.翻开一个环要用5分钟,闭封一个翻开的环要用7分钟.现在要把六条铁链连成一条长铁链,至少要用多少时间？18 从分别写有3,4,5,6,7,8的6张卡片中任取三张,做三个一位数的加法,问：可能得到多少种不同的结果？19 一个玩具上有红色和白色按钮各一个,还有100个能站能坐的小木偶,按一下红色按钮就会有一个小木偶坐下,按一下白色按钮就可以使站着的小木偶增加一倍.现在只有两个小木偶站着,要想使站着的小木偶增加到27个,最少按几次按钮？怎样按？20 箱子中放着一些茶杯,有一个小朋友从箱子里往外拿,每次拿出箱子里茶杯总数的一半,然后再放回一个.拿了100次之后,箱子里还有两个茶杯,求开始时箱子里的茶杯数.21 某商店规定3个空汽水瓶可以换一瓶汽水,小明有10个空汽水瓶.问：他一共可以换到多少瓶汽水？22 红、蓝墨水各一瓶,用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中,搅拌后,再从蓝墨水中吸一滴同样体积的墨水滴到红墨水中.这时红墨水中的蓝墨水多,还是蓝墨水中的红墨水多？23 足球队有18名队员,其中10人穿大号球衣,8人穿小号球衣.小马虎将10件大号球衣和8件小号球衣领回来后,一人一件地随便发给了每个队员,结果有的大个队员领到了小号球衣,小个队员领到了大号球衣.问：大个队员领到了小号球衣的人数与小个队员领到了大号球衣的人数哪个多？为什么？24 50名同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1,2,3,…依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问：现在面向老师的同学还有多少名？25 用铁丝制成左下列图的铁丝网,重量是30克.用同型号的铁丝制成右下列图的铁丝网,重量是多少克？26 某幼儿园的孩子中,任意5个孩子的年龄之和不大于20,所有孩子的年龄之和是140.这个幼儿园至少有多少个孩子？甲杯里的水还剩多少克？：甲、乙二人谁分到的蛋糕多？29 右图中AB的长度是20cm,任意相邻两圈的距离都是1cm.求图中所有线段的长度和.30 六年级一班有20个男生,某次测试全班有24人超过90分,问：女生中超过90分的比男生中未超过90分的多几人？31 小明的左衣袋和右衣袋中分别装有相同数目的硬币,两衣袋中硬币总钱数也相等.当任意从左衣袋取出两枚硬币与右衣袋的任意两枚硬币交换时,左衣袋的钱数要么比原来多二分,要么比原来少二分.问：两个衣袋共有几分钱？32 一个人买了D元C分钱的商品〔C为一位数或两位数〕,交给售货员20元钱,售货员错误地看成C元D分,于是找给买主4.88元.按正确的价格,售货员应找给买主多少钱？33 爸爸有一个储钱罐,里面放的都是五分的硬币.爸爸清点时发现,硬币的枚数及总金额都是五位数,这两个五位数刚好由0～9这10个数码组成,即这两个五位数的所有数码互不相同.这些硬币的总金额最多是多少分？34 甲、乙合伙买了一双冰鞋后,他俩带的钱还剩下30元,如果单独买这双冰鞋,那么甲差27元,乙差30.6元,这双冰鞋多少钱？35 A,B,C,D四个钢珠,用天平两个两个称,共称了六次,最重的是B和C,第二重的是A和B.请将这四个钢珠按重量从重到轻依次排列出来.36 A,B,C,D,E住在同一栋楼里,A住的高度是B的2倍、C的3倍、D 的4倍、E的6倍,又C正好住在D的楼上.试判断他们各住在第几层.37 汽车里程表说明汽车行驶了15951千米,这个数字从两面读都一样.汽车又行驶了3时后,里程表上的数字从两面读仍一样,并且在行驶途中还出现过一次这种情况.问：汽车这3时的平均速度是多少？38 学校组织全校同学去春游,租用甲、乙两种大客车.假设用7辆甲种大客车和4辆乙种大客车那么需跑3趟,假设用8辆甲种大客车和9辆乙种大客车那么只需跑2趟〔假设每辆车都满载〕.甲、乙两种大客车哪种坐的乘客多？39 右图为某邮递员负责的邮区街道图,图中交叉点为邮户,每个小长方形的长为180米、宽为150米.如果邮递员每分行200米,在每个邮户停留半分,那么从邮局出发走遍所有邮户,再回到邮局,最少要用多少分？40 一条公共汽车线路,包括首尾两站共10站.首尾两站同时每隔3分相向发车一辆,每辆汽车行驶一个单程需要27分.要保证首、尾两站随时都有车,至少需要多少辆汽车？41 某路电车每隔5分从甲站发一辆电车到乙站,全程要走20分.有一个人从乙站出发沿电车线路前往甲站,他出发时恰有一辆电车到达乙站,在路上他又迎面遇到了10辆电车,到达甲站时恰有一辆电车从甲站开出.问：他从乙站到甲站用了多长时间？42 一辆公共汽车在线路上行驶,包括起点站和终点站沿途共有10个站.如果在每个车站上车的乘客,在以后的每个站恰好都有1人下车,那么共有多少位乘客乘坐了这辆车？43 长途汽车在甲、乙两地间运行,每天从甲、乙两地同时相对开出一辆客车,单程需要三天时间,到达终点后,休整两天再按原路返回.为了保证这条线路上客运任务能正常进行,这条线路上至少应配备几辆客车？44 长途汽车有甲、乙两个终点站,汽车要用4时才能驶完全程.从上午6点开始,每隔1时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车,最后一班车在下午4点发出.问：从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车？最少能看到几辆？45 一个圆的周长是5.4米,两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行,这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米.它们每次爬行1秒、3秒、5秒……〔连续奇数〕就调头爬行.两只蚂蚁第一次相遇时,已爬行了多长时间？46 马戏团的“猴子骑车〞节目是由5只猴子用5辆自行车表演的,每只猴子至少骑一次车,但一只猴子不能重复骑同一辆车.表演结束后,5只猴子分别骑了2,2,3,5,x次,五辆车分别被骑了1,1,2,4,y次,求x＋y.47 A,B两地相距54千米,有18人共同骑7匹马由A地到B地去,每匹马每次只能驮1人,为了轮换休息,大家决定每人骑马行1千米轮换一次.问：每人骑马、步行各多少千米？48 一次象棋比赛共有10名选手参加,他们分别来自甲、乙、丙三个队.每个人都与其余9名选手各赛一盘,每盘棋的胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.比赛结果,甲队选手平均得9分,乙队选手平均得7.2分,丙队选手平均得18分.甲、乙、丙队参赛选手各有几人？49 四名棋手进行循环赛,胜一局得2分,平一局得1分,负一局得0分.比赛结果,没有人全胜,并且各人的总分都不相同.问：至多有多少局平局？50 一次校友聚会有47人参加,在参加聚会的同学中有个有趣的现象,每个女生熟悉的男生人数各不相同,并恰好构成一串连续的自然数,最多的全熟悉,最少的也熟悉18个.问：这次聚会有多少个女生参加？51 甲、乙、丙、丁四人出同样多的钱合伙买回一批本,分本时甲比其他三人各少拿了8个本,因而这三人分别退给甲0.70元.求每个本多少钱.52 四个小朋友分20块糖,四人分到的糖数各不相同.分到糖数最多的小朋友至少能分到几块糖？53 7个人共有100元钱,他们的钱数各不相同〔均为整数元〕,试证实他们中至少有3人的钱数之和不少于50元.54 有一个吹泡机,一次恰好吹出100个肥皂泡.肥皂泡吹出后,经过12％,这些肥皂泡不到4分钟全部破了.如果吹泡机每分钟吹一次,那么到第10次吹出新的肥皂泡时,没有破的肥皂泡至多有多少个？55 甲、乙、丙和一些同学围坐在一张大圆桌旁.如果从甲开始数起,那么顺时针方向的第13人是乙,逆时针方向的第15人是丙；另外,乙是从丙开始数起,顺时针方向的第7人.问：圆桌旁总共坐有多少人？56 A,B,C,D,E,F,G七人每月都要在一张圆桌上共餐几,但他们对安排座位有个规定,一个月中每个人只能与另外六个人中的每一人相邻一次.根据这个规定,一个月中这七个人至多能坐在一起共餐几次？57 小明从1999年的日历中抽出14张,是从5月14日到5月27日连续14天的,这14天的日期数相加是287.小亮也抽出14张,也是连续的14天,这14天的日期数虽然与小明的不相同,但相加恰好也是287.小亮抽出的14张是从几月几日到几月几日？58 某校毕业生共分9个班,每班人数相等.一班的男生比二、三两个班的女生总数多1；四、五、六三个班的女生总数比七、八、九三个班的男生总数多1.求该校毕业生中男、女生人数的比.59 桌上放有345枚正面朝下的硬币,第1次翻动其中1枚,第2次翻动其中2枚,第3次翻动其中3枚……第345次翻动345枚.经过345次翻动后,能否使这345枚硬币都正面朝上？60 假设干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒中,其中只有一个盒子没装棋子.小光趁小明不在时偷偷从每个有棋子的盒子中各拿了一个棋子放在空盒中,然后把盒子重新排了一下.小明回来后仔细查看一番,没发现有人动过这些盒子和棋子.问：共有多少个盒子？61 一只用黑、白两种颜色的皮子缝制成的足球如右图所示.这只足球上有黑色皮子12块.问：这只足球上缝了多少块白色皮子？62 甲定于下午3时乘飞机到达机场,乙驾车准时到机场去接,不料飞机早到达1时,甲信步由机场沿公路向单位走去,中途遇到乙,随即乘车返回单位,结果比原来方案提前10分到单位.问：甲下飞机信步走了多长时间？。
综合智巧
例3 李明有一些红笔，王芳有一些蓝 笔，李明给王芳5支红笔后，王芳将 两种笔搅乱，再任意拿出5支笔给李 明。问：此时李明手中的蓝色笔多还 是王芳手中的红色笔多？
解析：在两人交换的过程中，各色笔的 总数没有发生变化。以李明为例，把5支 红笔给王芳后，又拿回5支笔，不管拿回 5支笔是什么颜色，每少一支红笔就必定 补上一支蓝笔，也就是说，此时李明手 中得到的蓝笔只数一定与他失去的红笔 支数相等。也就是说，此时李明手中的 蓝笔与王芳手中的红笔一样多。
14+14÷（3-1）=21（瓶）
练习 某商店规定5个空汽水瓶可以换一瓶 汽水，小明喝了189瓶汽水，其中有一些是 用喝完的空瓶换的，那么他们至少要买多 少瓶汽水？ 那么，189中共包含几个5呢？ 189÷5=37（个）……4（瓶）
需要买的 37×4+4=152（瓶） 答：他们至少要买152瓶汽水。 买4瓶就可喝5瓶 反过来，喝5瓶只需买4瓶
练习2 足球队有18名队员，其中10人穿大号 的球衣，8人穿小号的球衣，小马虎将10件 大号球衣和8件小号球衣领回后，一人一件 的随便发给每个球员，结果有的大个球员 领到了小号球衣，有的小个球员领到了大号 球衣，问：大个球员领到小号球衣的人数与 小个球员领到大号球衣的人数哪个多？
一样多
习题精练： 2、甲、乙、丙、丁四人出同样多的钱，合伙 买回一批本子。分本子时，甲比其他人各少拿 了8本，因而这三人分别退给甲1.6元，则每个 本子（ ）元。
例题5：
有一个猎人带了一条狼狗、一只兔子和 一筐青菜，要乘船到河对面去。河里只 有一条小船。因为船小，猎人一次只能 带一样东西。但是他不在时，狼狗会咬 兔子，兔子又会吃青菜。请同学们帮他 想一想，应该怎样安排过河？
思路点拨：
芹菜和墨水的实验,写一篇作文,三百字左右
芹菜和墨水的实验,写一篇作文,三百字左右
今天，我在一本科普杂志上看到说芹菜放在加了墨汁的水中会变色哦。
为了证实这种情况，我决定动手做一做。
我按照书里的要求，准备好了两个干净的矿泉水瓶，红墨汁和蓝墨汁各一瓶，还有一株新鲜的芹菜。
在两个矿泉水瓶里分别灌了半瓶水，将红蓝墨汁分别倒在一个细小的勺子上，一瓶红的，一瓶蓝的。
我又拿来剪刀，将芹菜的根须剪下，用剪刀把它剪成两半后分别将它们插在两瓶被染的墨水中。
我在一旁静静地等待着，眼睛一动不动地盯着芹菜。
几个小时过去了，我被发生的变化惊呆了，我连忙聚精会神地观察起来，我发现一株芹菜的茎染成了红色，上面布满一丝丝红色的茎脉，像血丝一样。
再看另一株茎内则有着一条条蓝色的纹理，绿色的芹菜茎真的变色了，一夜过去了，早晨，我睁开朦胧惺松的睡眼，跑到客厅，“哇”一夜之间，芹菜的颜色大变，展现在我眼前。
跃峰奥数W代数组合之一道印度数学奥林匹克中的染色问题
代数组合之一道印度数学奥林匹克中的染色问题冯跃峰【题目】给定正整数n 、p ，其中3<p≤2n ，将正n 边形的p 个顶点染红色，其余顶点染蓝色，证明：存在2个全等的至少有[2p ]+1个顶点的多边形，其中一个的顶点全为红色，另一个的顶点全为蓝色。
（1998年印度数学奥林匹克试题）【题感】题目条件非常简洁（正n 边形的p 个顶点染红色），看不出对解题的任何启示，宜从目标入手。
【逐步逼近】从目标看，找一个红色与蓝色“大”多边形（顶点不少于r=[2p ]+1，称为子图形）全等，可退一步，先找一个红色子图形，进而找全等的蓝色子图形。
找红色子图形就是一个很简单的问题了，题给了p 个红点，红色子图形有s=C p r +C p r+1+…+C p p 个，从中任取一个即可。
【整体思考】现在的问题是，如何适当地选取其中一个红色子图形，它能与一个蓝色子图形全等。
这自然想到整体思考，考察所有s 个红色子图形，每个都找与自己全等的子图形（发动群众），然后证明必有一个找到的为蓝色。
【充分条件】现在需要考虑的是，每个子图形如何去寻找与自己全等的子图形形呢？注意其顶点都是“正n 边形的顶点”，一个充分条件是将所有红色子图形的顶点在圆周上旋转找全等子图形（除此之外，对称法也能找全等子图形）。
显然，每个红色子图形的顶点在圆周上旋转找全等，等价于将整个红色p 边形的顶点在圆周上旋转找全等。
实际上，记图中红色顶点构成的p 边形为W 1，假定W 1旋转到W i （2≤i≤n ），则W i 的每个子多边形与与W 1对应的子多边形全等。
于是，我们只需在W i 中找到一个蓝色的子图形即可。
【整体估计】因为有n-p 个蓝点，且旋转中每个蓝点共出现在p 个W i 中（对任一蓝点A ，它与p 边形W 的各顶点重合一次，从而出现在p 个W i 中），n-p 个蓝点共旋转得（n-p ）p 个蓝点。
将其归入n-1个位置（最初位置无蓝点），由平均数抽屉原理，必有一个位7置蓝点数不少于1p --n p n ）（12n --≥n p n ）（12n -⋅=n p 21n p n ⋅-=.2p >于是，必有一个位置W i 存在蓝色子图形，它与W 1中对应的红色子图形全等，命题获证。
一元一次方程较难题
小明家对换表后最初使用的 95 度电进行测算，经测算比换表前使用 95 度电节约了 5.9
元，问小明家使用“峰时” 电和“谷时” 电分别是多少度? 27．东风织布厂现有工人 130 人，为获取更高的利润，厂方与外商签订了制衣合同，已
知每人每天能织布 20 米或制衣 4 件，每件衣服用料 1.5 米，若直接销售布每米可获利 2 元，制成衣服后销售，每件衣服可获利 30 元，每名工人一天只能做一项工作，且不
（1）设投进 B 区域得 x 分，用整式表示投进 A 区域的得分； （2）若茗茗的得分是 21 分，求投进 B 区域的得分； （3）求丽丽的得分． 19．毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花 440 元可以购进 50 本学生纪念品和 10 本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多 8 元. （1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？ （2）如果商店购进 1200 个学生纪念品，第一周以每个 10 元的价格售出 400 个，第二 周若按每个 10 元的价格仍可售出 400 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根 据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 100 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这 批纪念品共获利 2500 元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ 20．“4·20” 雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷 16800 顶，该商家 备有 2 辆大货车、8 辆小货车运送帐篷。计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷 200 顶， 大、小货车每天均运送一次。两天恰好运完。 （1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ （2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运 200m 顶， 每辆小货车每次比原计划少运 300 顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计
怎样除去红、蓝墨水迹
怎样除去红、蓝墨水迹
假如你不小心将红、蓝墨水，红、蓝色圆珠笔油或盖图章用的红、蓝色
印油沾在衣服上，是特别难用肥皂或洗衣粉洗净的。
这时能够用酸性高锰酸钾溶液除去这一类污迹。
高锰酸钾是家庭中常用的消毒剂，特别容易从药店里买到。
用时须把它配
成0.1M溶液〔重量百分浓度约为2％〕，还要在溶液里加硫酸，如此便配成
了酸性高锰酸钾溶液〔每10毫升高锰酸钾溶液加几滴浓硫酸〕。
然后把酸性高锰酸钾溶液滴在污迹处，红蓝墨水等污迹就会消逝。
什么原因高锰酸钾溶液能褪色呢？因为红、蓝墨水，印油和圆珠笔油基本上用染料配成的，而红、蓝色染料基本上有机化合物，容易被高锰酸钾氧化，变成无色的物质。
在红、蓝墨水等污迹消逝以后，上面会留下过剩的高锰酸钾溶液，它是
紫色的。
假如不把它除掉，那么会在衣服上造成新的污迹。
除去高锰酸钾的办法是在上面滴几滴3％过氧化氢溶液〔可用医用的双氧水〕，它具有还原性，能把紫色的高锰酸钾还原为无色的硫酸锰：
2KMnO4+5H2O2+3H2SO4＝K2SO4+2MnSO4+5O2↑+8H2O
最后，在衣服上的污迹被除去以后，还要用清水把衣服洗一下，以除去
衣服上残留的化学药品。
那个方法也能够用来除去纸上的红、蓝墨水等污迹，但不适合于除去衣
服上和纸上的蓝黑墨水的污迹。
因为蓝黑墨水47
的污迹中除了含有蓝色染料以外，还有三价铁盐，它不能与高锰酸钾发生反应，而要用亚硫酸钠等具有还原性的物质把它除去。
华东师范大学第二附属中学(实验班用)数学习题详解-1
第一章 集合与命题 1.1 集合及其表示法基础练习1．用描述法表示下列集合： （1）{}14916253649，，，，，，． （2）12340251017⎧⎫⋯±±±±⎨⎬⎩⎭，，，，，．解：（1）{}217y y x x x =∈*N ，，≤≤． （2）()2111n x x n n ⎧⎫-⎪⎪=±∈⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭*N ，． 2．用列举法表示下列集合： （1）{x x 是20的正约数}． （2）{}2340x x x x --<∈Z ，． 解：（1）{}12451020，，，，，． （2）解不等式得：{}140123x -<<⇒，，，． 3．设三元素的集合0b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，也可表示为{}21a a b +-，，，求20102011a b +的值． 解：由已知有()()11a b =-，，，故有201020110a b +=． 4．已知全集65M aa a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z 且，求集合M ． 解：由已知5a -=1，2，3，6，则1a =-，2，3，4，故{}1234M =-，，，． 5．给定三元集合{}21x x x -，，，求实数x 的取值范围． 解：由集合元素的互异性知0x ≠，1，2x 的取值范围是()()515151*********⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，6．若集合{}2210A x ax x a x =++=∈∈R R ，，中只有一个元素，求a ．解：当0a =时，方程只有一个根12-，则以0a =符合题意．当0a ≠时，则关于x 的方程2210ax x ++=是一元二次方程，由于集合A 中只有一个元素，则一元二次方程2210ax x ++=有两个相等的实数根，所以440a ∆=-=，解得1a =． 综上所得，0a =，1．7．若集合{}1A x xy xy =-，，，其中x ∈Z ，y ∈Z 且0y ≠，若0A ∈．求A 中元素之和． 解：由已知及集合元素的互异性知0x y ≠，，则10xy -=． 由于 x ∈Z ，y ∈Z ，则 ()()11x y =，，（舍）或()11--，， 则 A 中元素之和为0．8．设集合{}0123S a a a a =，，，，在S 上定义运算为：i j k a a a ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，0i j =，，1，2，3，则求满足关系式()20x x a a ⊕⊕=的()x x S ∈的个数． 解：由于 ()20x x a a ⊕⊕=则 ()()()2mod 41mod 4x x x ⊕≡±⇒≡±．只有1a ，3a 符合所给关系式，则x 的个数为2．分析：在4元素集合上定义一个封闭运算显得抽象而陌生，在理解题目的字面含义和数学含义后，题目的结构并不复杂，可以认为就是一个条件、一个结论：（1） 题目的条件：在S 上定义了一个运算＋。
奇思巧解 4年级奥数
奇思巧解1、有一个街心花园，把10棵树栽成5行，每行4棵，该怎样栽种？请画图说明。
类似的题还有：7棵树栽6行，每行3棵，问怎么栽树。
请画图说明。
2、红蓝墨水各一瓶,用一支滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中,搅拌后在从蓝墨水中吸一滴同样体积的墨水滴到红墨水中。
这时红墨水中的蓝墨水多还是蓝墨水中的红墨水多?3、有12只形状、大小完全一样的零件，其中有一只重量较轻的不合格品，你能用天平只称3次就能找出这个不合格品吗？4、有9颗外形完全相同的珠子，其中8颗是珍珠，另一颗是假珠，且假珠与珍珠重量不相同。
试问用天平（无法码）称，至少称几次可以把假珠找出来?5、袋装洗衣粉共有10堆（每堆不少于10袋），已知9堆是合格的产品，每袋1千克，1堆是不合格的，每袋900克，从外形上是看不出来哪一堆是不合格的。
若用台称一堆一堆地去称，则称的次数比较多。
请大家想想办法，能否只称一次就能找到那一堆不合格产品？6、有A、B、C三个金属球，A最重，C最轻（重量A>B>C），另外还有一个球D，试用无砝码的天平称二次，确定D依重量排序在第几个？7、甲瓶装油8千克，另有乙、丙两个空瓶，分别能装油5千克和3千克。
请你设计一下，如何把甲瓶的油分成4千克？9、有五节链子，每节上有4个环，打开一个环要5分钱，封上一个环要1角钱，现在要把这5节链子（共20环）连接成首尾相接的一个大的封闭链，问最少得花多少钱？10、有一个人带着一只狼、一只羊和一筐菜要渡过河去。
当这个人在时，狼不敢吃羊，羊不敢吃菜。
渡河时只有一条船能承载人和一件东西，问怎样渡能使人、狼、羊、菜安全渡过河？11、有一台旧天平只剩下二只砝码，一只是5克，一只是30克。
如果使用这台天平，把300克药分成三份，一份是50克，一份是100克，一份是150克，最少得称几次？12、21只桶装饲料，有7桶装得满满的，有7桶每桶只装了一半。
另外7桶还空着。
如果不允许把饲料倒来倒去，要求连桶带料平分给三位饲养员，问你该怎么办？14、1克、2克……555克，共555个砝码，请你将它们分成三堆，使每堆砝码的个数和总质量都相等。
初中红蓝墨水混合液纸上层析实验可改进之处
初中红蓝墨水混合液纸上层析实验可改进之处
1. 使用更精确的量杯和注射器来测量和混合红蓝墨水，以确保实验的准确性和可重复性。
2. 准备更多的纸层析用品，以便进行多次试验，从而可以更好地评估结果的一致性。
3. 使用不同的溶剂来改变纸上层析的条件，这可以帮助更好地分离萃取物，并解释不同的结果。
4. 根据实验目的，准备一系列不同浓度的红蓝墨水混合液，以帮助研究它们在纸上层析中的各种表现。
5. 尝试使用不同类型和颜色的墨水，以更全面地研究纸上层析实验的效果。
6. 将实验与其他分离技术如色层分离和质谱联用技术等结合使用，以更好地评估层析结果。
7. 对纸上层析实验进行时间序列监测，以研究萃取物移动的速度和分离效率随着时间的变化规律。
8. 通过对纸上层析结果进行可视化处理，例如颜色变化可视化、纸层析图像处理等，更直观地呈现分离效果。
9. 研究纸上层析实验的参数优化，例如溶剂组成比例、纸的种类和尺寸等，并寻求最佳条件以提高分离效率和准确度。
10. 对不同样品类型进行纸上层析实验，例如药物、天然产物、化学品等，以研究其分离效果和优化方法，从而适用于实际应用场景中。
红色蓝色测试题及答案
红色蓝色测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 红色和蓝色的互补色分别是：A. 黄色和绿色B. 绿色和橙色C. 橙色和黄色D. 黄色和紫色答案：B2. 以下哪种颜色不是由红色和蓝色混合而成的？A. 紫色B. 橙色C. 绿色D. 青色答案：B3. 在RGB色彩模式中，红色和蓝色的数值相加等于：A. 0B. 128C. 255D. 512答案：C4. 红色和蓝色混合后得到的是：A. 黄色B. 橙色C. 紫色D. 绿色答案：C5. 在CMYK色彩模式中，蓝色对应的是：A. CB. MC. YD. K答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 红色在RGB色彩模式中的数值是______，蓝色是______。
答案：255, 02. 红色和蓝色混合后在CMYK色彩模式中对应的数值是______。
答案：C=0, M=100, Y=100, K=03. 在色彩理论中，红色和蓝色属于______色系。
答案：原色4. 红色和蓝色的波长分别位于可见光谱的______和______端。
答案：长波，短波5. 红色和蓝色混合后得到的紫色在色彩心理学中常被认为代表______。
答案：神秘和创造力三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述红色在不同文化中的象征意义。
答案：红色在中国文化中象征着喜庆和好运，在西方文化中则常与爱情和激情联系在一起。
2. 蓝色在色彩心理学中通常代表什么情感？答案：蓝色通常代表平静、稳定和信任。
3. 红色和蓝色在设计中的应用有哪些？答案：红色常用于吸引注意力和强调重要信息，蓝色则常用于传达专业和信任感。
4. 描述一下红色和蓝色在自然界中的常见体现。
答案：红色常见于花朵和果实中，如玫瑰和苹果；蓝色则常见于天空和海洋。
结束语：以上是红色蓝色测试题及答案的全部内容，希望能够帮助大家更好地理解和掌握红色和蓝色的相关知识。
红蓝眼睛逻辑问题推理
红蓝眼睛逻辑问题推理题⽬设定是这样的，⼀个岛上有100个⼈，其中有5个红眼睛，95个蓝眼睛。
这个岛有三个奇怪的宗教规则。
1. 他们不能照镜⼦，不能看⾃⼰眼睛的颜⾊。
2. 他们不能告诉别⼈对⽅的眼睛是什么颜⾊。
3. ⼀旦有⼈知道了⾃⼰是红眼睛，他就必须在当天夜⾥⾃杀。
某天，有个旅⾏者到了这个岛上。
由于不知道这⾥的规矩，所以他在和全岛⼈⼀起狂欢的时候，不留神就说了⼀句话：【你们这⾥有红眼睛的⼈。
】最后的问题是：假设这个岛上的⼈⾜够聪明，每个⼈都可以做出缜密的逻辑推理。
请问这个岛上将会发⽣什么？举例⼦1. 假设岛上只有⼀个红眼睛, 那么这个红眼睛当晚就会⾃杀2. 假设岛上有两个红眼睛, 俩⼈都看到对⽅是红眼睛, 但第⼀天晚上俩⼈都没有⾃杀, 那么第⼆题他们就意识到⾃⼰是红眼睛3. 假设岛上有三个红眼睛. (2) 我们已经证明, 假如真有两个红眼睛的话, 第⼆天晚上俩⼈都会⾃杀, 到了第三天, 仍没有⾃杀者, 说明⾃⼰也是红眼睛4. (1,2,3)可以看出规律, 假如有 i 个红眼睛, 那么第 i 天晚上所有的红眼睛都会⾃杀5. 假如有 i+1 个红眼睛, 每个红眼睛会看到 i 个红眼睛, 假如第 i 天晚上没有⼈⾃杀, 那第 i+1 个就是⾃⼰了But, 旅⾏者提供的信息是岛上的⼈已知的...知乎上有关于这个问题的详解, 并提出旅⾏者提供的信息并不是⽆⽤的假设岛上只有⼀个红眼睛, 那么假如旅⾏者不提出, 那么这个红眼睛永不会⾃杀同时, 还讨论了公共知识和共有知识的区别共有知识只需要满⾜⼀个条件, ⼤家都知道 P⽽公共知识需要满⾜1. 所有⼈都知道 P2. 所有⼈都知道所有⼈知道 P3. 所有⼈都知道所有⼈都知道所有⼈都知道 P4. ...满⾜上⾯ 4 个条件才算得是公共知识, 博弈论上有提过这个问题, 但当初没有做公共知识和共有知识的概念同时, ⼜联系到⼤声说出来和⼼照不宣的巨⼤差别我想⾯试官问我这个题⽬的背后肯定还隐藏着很多⼩问题, 可我连第⼀个问题都没有弄出来, 实在太可惜了. 我发现⾃⼰不能⼀边和⼈聊天⼀边思考问题, 为了防⽌⾯试官 uncomfortable silence, 我⼀直都保持与他交流, 结果⾃⼰的⼤脑却阻塞了电⾯时, 我推出了第1,2个⼈的情况, 第3个⼈的情况没能成功的推出, 没想起来数学归纳法, 导致思维死锁了。
三年级下册数学五三天天练试卷第40页第四大题
三年级下册数学五三天天练试卷第40页第四大题应用题（30分）1.修一条水渠，第一周修了全长的15 ，正好是600米，第二周修了全长的35%，第二周修了多少米？2.文具店运进红蓝墨水65箱，当红墨水售出11箱，蓝墨水售出20%后，剩下的红蓝墨水相等。
问售出蓝墨水多少箱？3.修路队三天修完一段路。
第一天修了全长的25%，第二天修了400米，第三天和第二天修路的长度比是5︰4.这段路长是多少米？4.做一种零件，8人0.5小时完成64个，照这样计算，3小时要完成144个零件，需要多少个工人？5.一件工程，甲、乙两人合作18天可以完成。
甲单独做要30天完成。
现在由甲、乙两人合作6天后，再由甲独做10天，这件工程还剩几分之几？6，某商品每件成本72元，原来按定价出售，每天可售出100件，每件利润为成本的25%，后来按定价的90%出售，每天销售量提高到原来的2.5倍，照这样计算，每天的利润比原来增加几元？答案：应用题1、解：600÷1/5=3000（米）3000x35%=1050（米）答：第二周修了1050米。
2、解：设售出蓝墨水为X箱，那么蓝墨水有X÷20%=5X箱红墨水有（65-5X）箱65-5X)-11 = 4XX = 6（箱）答：售出蓝墨水6箱。
3、解：设全长是X米3/4)X-400 : 400 = 5 : 4X = 1200（米）答：全长为1200米。
4、8个人0.5小时做64个，1个人1个小时就做16个，1个人3个小时就做48个144÷48=3所以，需要3个人答：需要3个人。
5、解：设这个工程为单位1.1÷18=1/18 （甲乙的效率和）1÷30=1/30 （甲的效率）1/18 x 6= 6/181/30 x 10=10/301-(6/18)-(10/30)=1/3答：还剩下1/3.6、原来每天的利润是72×25%×100=1800元后来每件的利润是72÷(1+25%)×(1-90%)=9元后来每天获得利润100×2.5×9=2250元所以，增加了2250-1800=450元答：增加了450元。
数学奥林匹克竞赛讲座14染色问题与染色方法
竞赛讲座14-染色问题与染色方法1．小方格染色问题最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.例1 如图29-1(a),3行7列小方格每一个染上红色或蓝色.试证:存在一个矩形,它的四个角上的小方格颜色相同.证明由抽屉原则,第1行的7个小方格至少有4个不同色,不妨设为红色(带阴影)并在1、2、3、4列（如图29-1（b））.在第1、2、3、4列（以下不必再考虑第5，6，7列）中，如第2行或第3行出现两个红色小方格，则这个问题已经得证；如第2行和第3行每行最多只有一个红色小方格（如图29-1（c）），那么在这两行中必出现四角同为蓝色的矩形，问题也得到证明.说明：（1）在上面证明过程中除了运用抽屉原则外，还要用到一种思考问题的有效方法，就是逐步缩小所要讨论的对象的范围，把复杂问题逐步化为简单问题进行处理的方法.（2）此例的行和列都不能再减少了.显然只有两行的方格盘染两色后是不一定存在顶点同色的矩形的.下面我们举出一个3行6列染两色不存在顶点同色矩形的例子如图29-2.这说明3行7列是染两色存在顶点同色的矩形的最小方格盘了.至今,染k色而存在顶点同色的矩形的最小方格盘是什么还不得而知.例2 (第2届全国部分省市初中数学通讯赛题)证明:用15块大小是4×1的矩形瓷砖和1块大小是2×2的矩形瓷砖，不能恰好铺盖8×8矩形的地面.分析将8×8矩形地面的一半染上一种颜色，另一半染上另一种颜色，再用4×1和2×2的矩形瓷砖去盖，如果盖住的两种颜色的小矩形不是一样多，则说明在给定条件不完满铺盖不可能.证明如图29-3，用间隔为两格且与副对角线平行的斜格同色的染色方式，以黑白两种颜色将整个地面的方格染色.显然，地面上黑、白格各有32个.每块4×1的矩形砖不论是横放还是竖盖，且不论盖在何处，总是占据地面上的两个白格、两个黑格，故15块4×1的矩形砖铺盖后还剩两个黑格和两个白格.但由于与副对角线平行的斜格总是同色，而与主对角线平行的相邻格总是异色，所以，不论怎样放置，一块2×2的矩形砖，总是盖住三黑一白或一黑三白.这说明剩下的一块2×2矩形砖无论如何盖不住剩下的二黑二白的地面.从而问题得证.例3 （1986年北京初二数学竞赛题）如图29-4（1）是4个1×1的正方形组成的“L”形，用若干个这种“L”形硬纸片无重迭拼成一个m×n（长为m个单位，宽为n个单位）的矩形如图29-4（2）.试证明mn必是8的倍数.证明∵m×n矩形由“L”形拼成，∴m×n是4的倍数，∴m、n中必有一个是偶数，不妨设为m.把m×n矩形中的m列按一列黑、一列白间隔染色（如图29-4（2）），则不论“L”形在这矩形中的放置位置如何（“L”形的放置，共有8种可能），“L”形或占有3白一黑四个单位正方形（第一种），或占有3黑一白四个单位正方形（第二种）.设第一种“L”形共有p个，第二种“L”形共q个，则m×n矩形中的白格单位正方形数为3p+q，而它的黑格单位正方形数为p+3q.∵m为偶数，∴m×n矩形中黑、白条数相同，黑、白单位正方形总数也必相等.故有3p+q=p+3q，从而p=q.所以“L”形的总数为2p个，即“L”形总数为偶数，所以m×n一定是8的倍数.2．线段染色和点染色下面介绍两类重要的染色问题.(1) 线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.例4 （1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识.我们不直接证明这个命题，而来看与之等价的下述命题例5（1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.证明设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.如果将例4中的六个人看成例5中六点,两人认识的连红线,不认识的连蓝线,则例4就变成了例5.例5的证明实际上用染色方法给出了例4的证明.例6 (第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.证明用平面上无三点共线的17个点A1,A2,…，A17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,讨论z连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形. 考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，…，A1A7为红色.现考查连结六点A2，A3，…，A7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证.上述三例同属图论中的接姆赛问题.在图论中,将n点中每两点都用线段相连所得的图形叫做n点完全图,记作k n.这些点叫做“顶点”，这些线段叫做“边”.现在我们分别用图论的语言来叙述例5、例6.定理1 若在k6中，任染红、蓝两色，则必有一只同色三角形.定理2 在k17中,任染红、蓝、黄三角，则必有一只同色三角形.（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.例7 （首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.证明将1986×2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个.现令一个偶数占据一个黑点和一个白色，同一个奇数要么都占黑点，要么都占白点.于是993个偶数，占据白点A1=993个，黑色B1=993个.993个奇数，占据白点A2=2a个，黑点B2=2b个，其中a+b=993.因此，共占白色A=A1+A2=993+2a个.黑点B=B1+B2=993+2b个，由于a+b=993（非偶数！）∴a≠b，从而得A≠B.这与黑、白点各有1986个矛盾.故这种排法不可能.“点”可以是有限个，也可以是无限个，这时染色问题总是与相应的几何问题联系在一起的.例8 对平面上一个点，任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种.证明:平面内存在端点同色的单位线段.证明作出一个如图29-7的几何图形是可能的,其中△ABD、△CBD、△AEF、△GEF都是边长为1的等边三角形，CG=1.不妨设A点是红色，如果B、E、D、F中有红色，问题显然得证.当B、E、D、F都为蓝点或黄点时，又如果B和D或E和F同色，问题也得证.现设B和D异色E和F异色,在这种情况下,如果C或G为黄色或蓝点,则CB、CD、GE、GF中有两条是端点同色的单位线段，问题也得证.不然的话,C、G均为红点，这时CG是端点同色的单位线段.证毕.还有一类较难的对区域染色的问题，就不作介绍了.练习二十九1．6×6的方格盘，能否用一块大小为3格，形如的弯角板与11块大小为3×1的矩形板，不重迭不遗漏地来铺满整个盘面.2．（第49届苏联基辅数学竞赛题）在两张1982×1983的方格纸涂上红、黑两种颜色，使得每一行及每一列都有偶数个方格是黑色的.如果将这两张纸重迭时，有一个黑格与一个红格重合，证明至少还有三个方格与不同颜色的方格重合.3．有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.4．如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？为什么？5．设n=6（r-2）+3（r≥3），求证：如果有n名科学家，每人至多会讲3种语言，每3名中至少有2名能通话，那么其中必有r名能用同一种语言通话.6．（1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.7．（首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的.练习二十九１．将１、４行染红色、２、５行染黄色、３、６行染蓝色，然后就弯角板盖住板面的不同情况分类讨论．２．设第一张纸上的黑格Ａ与第二张纸上的红格Ａ′重合．如果在第一张纸上Ａ所在的列中，其余的黑格（奇数个）均与第二张纸的黑格重合，那么由第二张纸上这一列的黑格个数为偶数，知必有一黑格与第一张纸上的红格重合，即在这一列，第一张纸上有一方格Ｂ与第二张纸上不同颜色的方格Ｂ′重合．同理在Ａ、Ｂ所在行上各有一个方格Ｃ、Ｄ，第二张纸上与它们重合的方格Ｃ′、Ｄ′的颜色分别与Ｃ、Ｄ不同．３．把９名数学家用点Ａ１，Ａ２，…，Ａ９表示．两人能通话，就用线连结，并涂某种颜色，以表示不同语种。
红墨水蓝墨水的阅读感悟
红墨水蓝墨水的阅读感悟红墨水和蓝墨水是两种不同颜色的墨水，然而在阅读的过程中，它们所带来的感悟却是相似而深刻的。
红墨水象征着热情、活力和冲动，而蓝墨水则代表着平静、深思和冷静。
这两种墨水的阅读感悟将在以下几个方面进行探讨。
首先，红墨水的阅读感悟主要体现在其强烈的情感表达能力上。
红色象征着激情和活力，当我们用红墨水书写时，文字似乎能够跃然纸上，生动有力地传达我们内心的思想和情感。
阅读红墨水所写的文字，读者容易被其热情和激情所感染，从而激发出我们内心深处的情感共鸣。
比如，阅读一本红墨水书写的激情小说，会让读者体验到作者情感的张力和热烈，进而引发我们自己的情感共鸣。
因此，红墨水的阅读感悟可以让我们更好地理解和分享作者的情感世界。
然而，蓝墨水的阅读感悟则更多地体现在其平静与冷静的特点上。
蓝色是一种温和而稳定的颜色，用蓝墨水书写的文字给人一种安静、深思的感觉。
在阅读蓝墨水所写的文字时，读者能够感受到一种宁静和放松的状态，从而更好地进入作者所创造的世界。
蓝墨水所传达的冷静和思考能力，能够帮助读者更好地理解和分析内容，提高阅读的深度和质量。
比如，阅读一本蓝墨水代表冷静和理性的哲学书籍，我们可以更好地专注思考其中的问题和观点，从而在阅读中获得深度思考的启示。
除了情感表达和思考能力之外，红墨水和蓝墨水还有助于阅读过程中的视觉效果和印象。
红色和蓝色是两种截然不同的颜色，在书写时给人带来不同的感受。
红墨水的强烈色彩容易吸引人的注意力，能够让我们更加专注于所阅读的内容。
而蓝墨水则更偏向于柔和和深沉，不会过于刺眼，更利于长时间阅读。
因此，不同颜色墨水的使用可以增强阅读的视觉效果和印象，为阅读体验增添一份独特的魅力。
综上所述，红墨水和蓝墨水的阅读感悟都是独特的而深刻的。
红墨水的强烈情感表达和激情张力能够深深地触动我们的情感共鸣，而蓝墨水的平静思考和冷静洞察则能帮助我们更好地理解和分析所阅读的内容。
无论是红墨水还是蓝墨水，它们都可以为我们带来独特的视觉效果和印象，为阅读体验增添一份特殊的魅力。
三升四数学暑假培优班讲义
三升四数学暑假培优班讲义三升四暑假班讲义老师与你们是知心朋友，喜欢爱提问的孩子。
无论你以前的数学功底如何，只要从现在开始努力，都会有美好灿烂的一天。
从现在开始，不管遇到什么样的题目，有不懂的一定要问，千万别模糊不清地让它溜走。
讲义上的每道题都要认真思考，题题过关。
良好的生活习惯，有益于身体健康；良好的研究习惯，有利于取得好的研究成绩，有利于今后的独立研究和工作。
下面谈谈该养成怎样良好的数学研究习惯：1、主动预习每天主动地把第二天要学的内容先看一看、想一想，对不理解的地方先思考一番，并作上记号。
这样带着问题进课堂，有利于培养研究的兴趣和自学探索能力。
2、认真听讲课堂上不仅要专心听老师的讲解和提问，还要专心听同学的回答。
边听边思考，并对同学的回答进行评价和补充。
3、阅读课本阅读数学课本要逐字逐句地读，包括课本中的插图，示意图及文字说明，都要边读边想，抓住重点注重理解。
阅读数学课本可以进一步加深理解数学知识，提高阅读能力。
4、独立作业按时独立完成每天的作业，是最基本的研究习惯。
作业要独立完成，做题要认真审题。
弄清条件和问题，做完后要验算，发现错误立即纠正。
5、手脑并用俗话说：百闻不如一见，百见不如一干。
学数学要学会演示实验，自己操作，手脑并用，养成画一画，摆一摆，剪一剪，拼一拼等习惯，这样，不但可以更好地理解数学知识，还有利于提高数学技能技巧。
6、质疑问难要想获得数学知识，在研究过程中，必须开动脑筋，独立思考，敢于发表自己的独立见解，也要敢于质疑问难。
7、及时总结每一次考试，每一次作业，针对自己的错误，用红笔圈出，认真思考当时自己错误的思路是什么，为什么犯错，做到“考后100分”。
8、保存好讲义知识是需要回顾的，曾经学得很好的章节也会遗忘，所以请保存好讲义，便于查看。
下学期每上一个章节，请拿出讲义看一看，尤其是概念和自己曾经做错的题。
1第一讲长方形和正方形面积的整理与复习（一）你还记得吗？具体内容重点知识1、面积的意义：物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。
红蓝墨水问题
红、蓝墨水各一瓶，用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中，搅拌后，再从蓝墨水中吸一滴同样体积的墨水滴到红墨水中。
这时红墨水中的蓝墨水多，还是蓝墨水中的红墨水多？看到这个习题，我又傻眼了，红、蓝墨水各一瓶，这一瓶到底有多少滴？谁也不知道，瓶里墨水有多少都不知道，还要比变化后瓶里的“红墨水中的蓝墨水多，还是蓝墨水中的红墨水多”这岂不是巧妇难为无米之炊？想了很长时间，仍然无果，只好向高人求救，不出几分钟，高人便告知了我答案，听到分析，我便知道自己又犯了一个经常怪学生不该犯的“想当然”的错误。
遇到难度习题，想不出当然的，只有通过假设、验证才有可能到达希望的彼岸。
比如这道习题，我首先就应该想：（1）如果每个瓶里有两滴墨水，吸掉一滴红墨水到蓝瓶里，蓝瓶里就有三滴墨水了，其中两滴是蓝墨水，一滴是红墨水，搅拌后，蓝瓶里的红墨水不管瓶里的体积发生何种变化，它的体积都是这瓶蓝墨水的三分之一。
如果从蓝瓶里还回一滴到红瓶里，这滴墨水的三分之二是蓝墨水，假设把这滴墨水看作三份、原有瓶里的那滴也一定是三份，此时瓶里便有六份，六份中两份是蓝色的，所以，红瓶里的蓝墨水便占这瓶墨水的六分之二，也就是三分之一，得出“红墨水中的蓝墨水与蓝墨水中的红墨水”一样多。
（2）如果每个瓶里有三滴墨水，吸掉一滴红墨水到蓝瓶里，蓝瓶里就有四滴墨水了，其中三滴是蓝墨水，一滴是红墨水，搅拌后，蓝瓶里的红墨水不管瓶里的体积发生何种变化，它的体积都是这瓶蓝墨水的四分之一。
如果从蓝瓶里还回一滴到红瓶里，这滴墨水的四分之三是蓝墨水，假设把这滴墨水看作四份、原有瓶里的那两滴是八份，此时瓶里便有十二份，十二份中三份是蓝色的，所以，红瓶里的蓝墨水便占这瓶墨水的十二分之三，也就是四分之一，得出“红墨水中的蓝墨水与蓝墨水中的红墨水”一样多。
……多次假设论证我们便可以得知，“红墨水中的蓝墨水与蓝墨水中的红墨水”一样多。
得出结论后，我总觉得很奇怪，怎么回事，拿一滴纯红色的墨水换回一滴混合的墨水，怎么会是这种结局？我不甘心，一整天都沉浸在这个奇怪的现象的困扰中。
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红、蓝墨水各一瓶，用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中，搅拌后，再从蓝墨水中吸一滴同样体积的墨水滴到红墨水中。
这时红墨水中的蓝墨水多，还是蓝墨水中的红墨水多？
看到这个习题，我又傻眼了，红、蓝墨水各一瓶，这一瓶到底有多少滴？谁也不知道，瓶里墨水有多少都不知道，还要比变化后瓶里的“红墨水中的蓝墨水多，还是蓝墨水中的红墨水多”这岂不是巧妇难为无米之炊？
想了很长时间，仍然无果，只好向高人求救，不出几分钟，高人便告知了我答案，听到分析，我便知道自己又犯了一个经常怪学生不该犯的“想当然”的错误。
遇到难度习题，想不出当然的，只有通过假设、验证才有可能到达希望的彼岸。
比如这道习题，我首先就应该想：（1）如果每个瓶里有两滴墨水，吸掉一滴红墨水到蓝瓶里，蓝瓶里就有三滴墨水了，其中两滴是蓝墨水，一滴是红墨水，搅拌后，蓝瓶里的红墨水不管瓶里的体积发生何种变化，它的体积都是这瓶蓝墨水的三分之一。
如果从蓝瓶里还回一滴到红瓶里，这滴墨水的三分之二是蓝墨水，假设把这滴墨水看作三份、原有瓶里的那滴也一定是三份，此时瓶里便有六份，六份中两份是蓝色的，所以，红瓶里的蓝墨水便占这瓶墨水的六分之二，也就是三分之一，得出“红墨水中的蓝墨水与蓝墨水中的红墨水”一样多。
（2）如果每个瓶里有三滴墨水，吸掉一滴红墨水到蓝瓶里，蓝瓶里就有四滴墨水了，其中三滴是蓝墨水，一滴是红墨水，搅拌后，蓝瓶里的红墨水不管瓶里的体积发生何种变化，它的体积
都是这瓶蓝墨水的四分之一。
如果从蓝瓶里还回一滴到红瓶里，这滴墨水的四分之三是蓝墨水，假设把这滴墨水看作四份、原有瓶里的那两滴是八份，此时瓶里便有十二份，十二份中三份是蓝色的，所以，红瓶里的蓝墨水便占这瓶墨水的十二分之三，也就是四分之一，得出“红墨水中的蓝墨水与蓝墨水中的红墨水”一样多。
……
多次假设论证我们便可以得知，“红墨水中的蓝墨水与蓝墨水中的红墨水”一样多。
得出结论后，我总觉得很奇怪，怎么回事，拿一滴纯红色的墨水换回一滴混合的墨水，怎么会是这种结局？我不甘心，一整天都沉浸在这个奇怪的现象的困扰中。
早上，看见家人在弄五谷豆浆，我便拿了10颗黄豆和10
玉米分放两堆，先拿2颗到玉米那，然后闭着眼睛从玉米那摸两颗回来，再看玉米里的黄豆颗数和黄豆里的玉米颗数，这不试不打紧，一试便让我自己偷笑了半天，这道题只要通过简单的设问，答案便会轻易浮出水面：玉米堆里10颗中有两颗是黄豆，那原来的两颗玉米去哪了呢？（当然在黄豆堆里！）也就是说在这种情况下如果把玉米比作雀，把黄豆比作鸠，如果“雀占鸠巢”，鸠去哪了？不言而喻，鸠占雀巢了。
因此不管你抓多少颗黄豆到玉米堆里，只要你拿回颗数相同，玉米堆里有多少颗黄豆，黄豆堆里便有多少颗玉米！
红墨水和蓝墨水虽然是液体，但其中的道理也应该是一样的。
因为两个瓶里的墨水变换后，它们的总体积不发生变化，蓝墨水的“进军”无疑占了一定的空间，这个空间谁让出来的？当
然是红墨水，红墨水去哪了？当然是在蓝墨水瓶里。
这不就是一个互换领地的游戏吗？看来考虑数学问题，不但要认真仔细的分析每个条件的变化规律，也要学会跳出习题看习题！。