山东省德州市武城二中2014届高三下学期三轮复习模拟测试(数学理)
2014届高考数学模拟考试试题(3)5.23
2014届高考数学模拟试题（3）5.23一、选择题：（每小题5分，共60分） 1．集合A={}1610-2-+=x x y x ，集合B={}A x x y y ∈=,log 2，则=⋂B C A R ( )A.[]32，B.(]21，C.[]83，D.(]83， 2( ) A. 3．设函数na x x f )()(+=，其中⎰=2cos 6πxdx n ，3)0()0(-='f f ，则)(x f 的展开式中4x 的系数为( ) A ．-360 B.360 C.-60 D.604．已知复数i z 210+=在复平面上对应点为0P ，则0P 关于直线z i z l =--22:的对称点的复数表示是（ ）．A. i +1B. i -1C. i - D . i5.在实数集R 上随机取一个数x ，事件A =“0sin ≥x ,]2,0[π∈x ”，事件B =“sin 1x x +≤”，则P （B ︱A ）=（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．236．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是A ．B ．C ．D ．7. 如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（ ） （A ）1?,60+=>i i x （B ）1?,60+=<i i x （C ）1?,60-=>i i x （D ）1?,60-=<i i x8．已知函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，01007>a ，则)()()()()(20132012321a fa f a fa f a f +++++的值（）．A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负9．如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），那么从A 到B 的最短线路有（）条侧视图正视图俯视图1侧视图正视图俯视图侧视图正视图俯视图1侧视图正视图俯视图BA ．100B ．400C ．200D ．25010．如图，1F ，2F 是双曲线C＞0，b ＞0)的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | 2BF | : | 2AF |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2 D11．已知向量b a ,12==，其夹角为 120，若对任意向量m ，总有0)()(=-∙-b m a m，则的最大值与最小值之差为（ ）A ．1 B 、3 C 、5 D 、712．已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。
山东省武城县第二中学高考数学一轮总复习练习三(无答
高考第一轮总复习用卷（三）平面向量及其应用一、选择题1．已知点A （1,3），B （4，－1），则与向量AB 方向相反的单位向量为（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 2．对于非零向量,,b a “a ∥b ”是0,=+b a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若向量,a b ，c ，满足a ∥b 且⊥a c ，则c ·（b a 2+）＝（ ）A ．4B ．2C ．21 D ．0 4．已知向量)2,4(),1,2(),2,1(--==-=c b a ，则下列结论错误的是（ ） A ． 向量c 与向量b 共线B ．若),(2121R b a c ∈+=λλλλ，则2,021-==λλC ．对同一平面内任意向量d ，都存在k 1,k 2，使得c k b k d 21+=D ．向量a 在向量b 方向上的投影为05．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且BF BC DE DC 3,3==, 若AF n AE m AC +=，其中m ，n ∈R ，则m ＋n 等于（ ）A ．43B ．23 C ．3 D ．6 6．在△ABC 中，∠BAC ＝3π，｜AB ｜＝1，｜AC ｜＝2，点M 是BC 边的中点，N 是线段AM 上的动点，则NA ·（NC NB +）的最小值为（ ）A ．27B ．－27C ．87D ．－87 7．已知两点A （1，－3），B （2，－2），O 是坐标原点，点C 在第四象限，且∠AOC ＝30°，设R OB OA OC ∈+-=λλ,2，则λ的值为（ ）A ．10＋55B ．10＋35C ．10＝±35D ．10±558．已知向量b a ,满足｜a ｜＝2，｜b ｜＝3，且向量b a 在方向上的投影与向量b 在a 方向上的投影之和为2.5，则｜b a +｜＝（ ）A ．5B ．19C ．4D ．139．如图所示，在△ABC 中，点E 是AB 的中点，AC AF 31=，BF 交CE 于G ，若y x +=，则xy 等于（ ） A ．2512 B ．52 C ．53 D ．54 10．如图所示，在正方形OEFG 中，正方形ABCD 的顶点A和D 分别是OE 、OG 上的动点，AB ＝2，则OB ·OC 的取 值范围是（ ） A ．［4，8］ B ．（4,8） C ．［2,22］ D ．（2,22）二、填空题11．在四边形ABCD 中，），＝（＝,22DC AB ，||3||||BD BDBC BCBA BA=+，则 四边形ABCD 的面积为12．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE ·BD ＝13．若向量a ，b 满足a a b a a ,1||),(=+⊥与b 的夹角为43π，则｜b ｜等于14．如图所示，在圆O 中，AB 、AC 是圆O 的两条弦，且｜AB ｜＝6，｜AC ｜＝8，则AO ·BC ＝15．下列命题中，①平面向量b a 与的夹角为120°，＝（1,22），｜｜＝2，则｜-｜＝19；②若M 为△ABC 所在平面内一点，且（MC MB -）·（MA MC MB 2-+）＝0，则△ABC 是等腰三角形；③O 是△ABC 所在平面上一定点，动点P 满足：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=B AC C ABsin sin λ，λ∈（0，＋∞），则直线AP 一定通过△ABC 的内心。
山东省2014届高三高考仿真模拟冲刺考试(三)数学(理)试题(有答案)
绝密★启用前 试卷类型：A山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷（三）理科数学满分150分 考试用时120分钟参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概 率：).,,2,1,0()1()(n k p p C k P kn kkn n =-=-第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数2(1)ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ）A ．1±B ．1-C ．0D ．1 2．下列有关命题的叙述错误的是（ ）A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题B ．若p ⌝是q 的必要条件，则p 是q ⌝的充分条件C ．命题“x x R x -∈∀2,≥0”的否定是“x x R x -∈∃2,＜0” D ．“x ＞2”是“211<x ”的充分不必要条件 3．设集合{}{}|31,,|5,,A x x k k N B x x x Q ==+∈=≤∈则B 等于（ ）A ．{1,2,5}B ．{l, 2，4, 5}C ．{1，4, 5}D ．{1，2，4}4．在样本的频率分布直方图中，一共有)3(≥m m 个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m-1个小矩形面积和的41，且样本容量为100，则第3组的频数是（ ）A ．10B ．25C ．20D ．405．如右图,在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为 （ ）A ．19B ．31C ．1D ．36．已知()()()2,log 0,1x a f x a g x x a a -==>≠，若()()440f g ⋅-<，则y=()f x ，y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是（ ）7．已知()f x 为R 上的可导函数，且,x R ∀∈均有/()()f x f x >，则有（ ）A ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f ->< B ．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f -<< C ．20132013(2013)(0),(2013)(0)ef f f e f ->> D ．20132013(2013)(0),(2013)(0)ef f f e f -<>8．将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为（ ）A ．1)42sin(+-=πx yB ．x y 2cos 2= C ．x y 2sin 2=D ．x y 2cos -=9．将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有（ ） A ．192B ．144C ．288D ．24010．如果函数2()ln(1)a f x x b =-+的图象在1x =处的切线l 过点1(0,)b-，并且l 与圆C ：221x y +=相离，则点（a,b ）与圆C 的位置关系是（ ）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中横线上） 11．等差数列{a n }中，a 4+ a 10+ a 16=30，则a 18-2a 14的值为 ．12．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是 ．13．二项式（1+sinx ）n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在[0，2π]内的值为 ． 14．直线l 过点(1,3)-，且与曲线12y x =-在点(1,1)-处的切线相互垂直，，则直线l 的方程为 ；15．下列结论中正确的是 ．① 函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x+1）=- f （x ），则函数y=f （x ）的图像关于直线x=1对称；② 2~(16,),(17)0.35,(1516)0.15;N P P ξσξξ>=<<=已知若则 ③ ()(,),(,0]f x -∞+∞-∞已知是定义在上的偶函数且在上是增函数1.21(ln ),(log 3),(0.4),;43a fb fc f c a b -===<<设则④ 线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6,2a c b +==,7cos 9B =. （Ⅰ）求,a c 的值; （Ⅱ）求sin()A B -的值.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证：（Ⅰ）平面//EFG 平面ABC ;（Ⅱ）SA BC ⊥.ABCSGFE一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =，421()21x x f x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。
德州市2014届高三4月模拟考试 数学(理)
高中三年级模拟检测 数学（理科）试题2014.4本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1-2页，第II 卷3-5页，共150分，测试时间120分钟.注意事项：山东中学联盟选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案涂在答题卡上. 1.若复数z 满足()255z i i +=+（i 为虚数单位），则z 为 A.35i +B.35i -C.35i -+D. 35i --2.设集合(){}{}1lg 2,2,,x R A x y x B y y x A C A B -==-==∈⋃则A.()2+∞，B.[)2+∞，C.∅D.R3.下列命题错误的是A.命题“若2320x x x d -+==，则”的逆否命题为“若21320x x x ≠-+≠，则” B.若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C.对于命题22:1010p x R x x p x R x x ∃∈++<⌝∀∈++≥，使得，则为：，均有D.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，则满足()()1f m f <的实数m 的范围是 A.10m -<< B.01m << C.11m -<<D.11m -≤≤5.右图是函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭图象的一部分.为了得到这个函数的图象，只要将()sin y x x R =∈的图象上所有的点A.向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6.已知12e e 、是两个单位向量，若向量12122,346a e e b e e a b =-=+=-，且，则向量12e e 、的夹角是 A.6πB.4π C.3π D.2π 7.函数()()[]1sin ,,f x x x x ππ=-∈-的图象为8.执行如图所示的程序框图，则输出的a 值是 A. 2 B.3- C.12- D.139.过椭圆()222210x y a b a b+=>>左焦点F 斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，向量OA OB +与向量()3,1α=-共线，则该椭圆的离心率为C.D.10.若函数()f x 满足()()[]110,11f x x f x +=∈+，当时，()f x x =，若在区间(]1,1-上，方程()20f x mx m --=有两个实数角，则实数m 的取值范围是A.103m <≤ B.103m << C.113m <≤D.113m <<第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.已知变量,x y 满足约束条件,1,22,y x x y z x y x ≤⎧⎪+≥=-⎨⎪≤⎩则的最大值为_________.12.已知()4220322a x x dx ax ⎛=- ⎝⎰，则的展开式中x 的系数为________.13.一个几何体的三视图如图所示，其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是_________. 14.以下四个命题中：①为了解600名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑和系统抽样，则分段的间隔k 为30； ②直线()()22x-cos sin 1y kx y θθ=+-=与圆恒有公共点；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态公布()()()22,0.1N σσξ>-∞若在，内取值的概率为0.15，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.7；④若双曲线224x y k -=的渐近线方程为12y x =±，则k=1. 其中正确命题的序号是__________. 15.对任意实数,a b 定义()()1,2F a b a b a b =+--，如果函数()()()2ln ,3f x e x g x x ==-，那么()()()(),G x F f x g x =的最大值为_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）如图在,3ABC BC D AB π∆∠=中，已知A=为上一点.（I ）若CD=2，BDC S ∆BD 长； （II ）若AC=AD ，求BCD ∆周长的最大值. 17.（本小题满分12分）如图，DA ⊥平面ABC,DA//PC,90,12ACB AC AD BC PC ∠=====，，E 为PB 的中点. （I ）求证：DE//平面ABC ；（II ）求二面角E —CD —B 的余弦值.18.（本小题满分12分）某公司招聘工作人员，有甲、乙两组题目，现有A 、B 、C 、D 四人参加招聘，其中A 、B 两人独自参加甲组测试，C 、D 两人独自参加乙组测试；已知A 、B 两人各自通过的概率均为23，C 、D 两人各自通过的概率均为14. （I ）求参加甲组测试通过的人数多于参加乙组测试通过人数的概率； （II ）记甲乙两组测试通过的总人数为X ，求X 的分布列和期望. 19.（本小题满分12分） 已知数列{}11,1,1nn n n a a a a a +==+中. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）证明：对一切正常整数n ，有31271234n a a a a n +++⋅⋅⋅+<. 20.（本小题满分13分）已知函数()()()2ln 20f x a x x a x a =-+->.（I ）当2a =时，求曲线()1y f x x ==在处的切线方程； （II ）若函数()f x 的最大值是12，求a 的值； （III ）令()()()()21,g x f x a x y g x =+-=若在区间()0,2上不单调，求a 的取值范围. 21.（本小题满分14分）已知点()()4,0P a a >在抛物线()2:20C y px p =>上，P 点到抛物线C 的焦点F 的距离为5.（I ）求抛物线C 的方程；（II ）已知圆22:2E x y x +=，过圆心E 作直线l 与圆E 和抛物线C 自上而下依次交于A 、B 、C 、D ，如果2AB CD BC +=，求直线l 的方程；（III ）过点()4,2Q 的任一直线（不过P 点）与抛物线C 交于A 、B 两点，直线AB 与直线4y x =+交于点M ，记直线PA 、PB 、PM 的斜率分别为123k k k 、、，问是否存在实数λ，使得123k k k λ+=，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由.。
【2014德州市二模】山东省德州市2014届高三4月模拟考试理科数学Word版无答案
高中三年级模拟检测数学(理科)试题2014．4本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间l20分钟．注意事项：选择题为四选一题目，每小题选出答案后。
用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动。
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．若复数z 满足(z+2)i=5+5i(i 为虚数单位)，则z 为A ．3+5iB ．3-5iC ．-3+5iD ．-3-5i2．设集合A={|lg(2)x y x =-}，B={1|2,x y y x A -=∈}，则R A B ð A ．(2，+∞) B ．[2，+∞) C ．∅ D ．R3．下列命题错误的是A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若x ≠1，则2320x x -+≠”B ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题C ．对于命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝为：x ∀∈R ，均有210x x ++≥D ．“x >2”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，则满足f (m)<f (1)的实数m 的范围是A ．-l<m<0B ．0<m<1C ．-l<m<1D ．-l≤m≤15．右图是函数sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>>≤图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sin x (x ∈R )的图象上所有的点A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6．已知e l 、e 2是两个单位向量，若向量a =e l -2e 2，b =3e l +4e 2，且a b =-6，则向量e l 与e 2的夹角是A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π7．函数()(1)sin ,[,]f x x x x ππ=-∈-的图象为8．执行如图所示的程序框图，则输出的a 值是A ．2B ．-3C ．-12D ．13 9．过椭圆22221x y a b+=(a >b >0)左焦点F 斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，向量OA OB +与向量a =(3，-l)共线，则该椭圆的离心率为A B C D 10．若函数()f x 满足1()1(1)f x f x +=+，当x ∈[0，1]时，()f x x =，若在区间(-1，1]上， 方程()20f x mx m --=有两个实数解，则实数m 的取值范围是A ．0<m≤13 B ．0<m<13C ．13<m≤lD ．13<m<1 第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．已知变量x ，y 满足约束条件,1,2,y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =-的最大值为 ．12．已知220(2)a x x dx =-⎰，则43(2ax 的展开式中x 的系数为 ． 13．一个几何体的三视图如图所示，其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是 ．14．以下四个命题中：①为了解600名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为30；②直线y=kx 与圆22(cos )(sin 1x y θθ)-+-=恒有公共点；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(2，2σ)(σ>0)．若ξ在(-∞，1)内取值的概率为0．15，则ξ在(2，3)内取值的概率为0．7；④若双曲线224x y k -=的渐近线方程为12y x =±，则k =1． 其中正确命题的序号是 ．15．对任意实数a ，b ，定义F(a ，b)=12(a+b-|a-b|)，如果函数2()ln(),()3f x e x g x x ==-, 那么()((),())G x F f x g x =的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)如图在△ABC 中，已知∠A=3π，D 为AB 上一点．(I)若CD=2，S △BDCBD 长；(II)若AC=AD ，求△BCD 周长的最大值．17．(本小题满分12分)如图，DA ⊥平面ABC ，DA ∥PC ，∠ACB=90o ，AC=AD=BC=1，PC=2，E 为PB 的中点．(I)求证：DE ∥平面ABC ；(II)求二面角E —CD —B 的余弦值．18．(本小题满分12分)某公司招聘工作人员，有甲、乙两组题目，现有A 、B 、C 、D 四人参加招聘，其中A 、B 两人独自参加甲组测试，C 、D 两人独自参加乙组测试；已知A 、B两人各自通过的概率均为23，C 、D 两人各自通过的概率均为14． (I)求参加甲组测试通过的人数多于参加乙组测试通过人数的概率；(II)记甲乙两组测试通过的总人数为X ，求X 的分布列和期望．19．(本小题满分12分)已知数列{n a }中，a 1=1,a n+1=1n n a a +． (I)求{n a }的通项公式；(II)证明：对一切正整数n ，有3127...1234n a a a a n ++++<． 20．(本小题满分13分)已知函数2()ln (2)f x a x x a x =-+- (a >0)．(I)当a =2时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(II)若函数()f x 的最大值是12，求a 的值； (III)令()()2(1)g x f x a x =+-，若()y g x =在区间(0，2)上不单调，求a 的取值范围．21．(本小题满分14分)已知点P(4，a )(a >0)在抛物线C ：22y px =(p >0)上，P 点到抛物线C 的焦点F 的距离为5．( I )求抛物线C 的方程；(Ⅱ)已知圆E ：x 2+y 2=2x ，过圆心E 作直线l 与圆E 和抛物线C 自上而下依次交于A 、B 、C 、D ，如果|AB|+|CD|=2|BC|，求直线l 的方程；(III)过点Q(4，2)的任一直线(不过P 点)与抛物线C 交于A 、B 两点，直线AB 与直线y=x +4交于点M ，记直线PA 、PB 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问是否存在实数λ，使得k 1+k 2=λk 3，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．。
2014年山东省德州市武城二中高考数学三模试卷(理科)
2014年山东省德州市武城二中高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|log2x≤0}，则A∪B=（）A.{x|-1＜x＜1}B.{x|0＜x＜1}C.{x|-1＜x≤1}D.{x|-∞＜x≤1}【答案】C【解析】解：由B中的不等式变形得：log2x≤0=log21，即0＜x≤1，∴B={x|0＜x≤1}，∵A={x|-1＜x＜1}，∴A∪B={x|-1＜x≤1}．故选：C．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.已知三条直线a，b，c和平面β，则下列推论中正确的是（）A.若a∥b，b⊂β，则a∥βB.若a∥β，b∥β，则a∥b或a与b相交C.若a⊥c，b⊥c，则a∥bD.若a⊂β，b∥β，a，b共面，则a∥b【答案】D【解析】解：A选项不正确，由于不能保证a不在面内，故无法判断线面平行；B选项，a∥β，b∥β，则a∥b或a与b相交或异面；C选项不正确，垂直于同一条直线的两个直线的位置关系可能是平行，相交，异面，故不正确；D选项正确，此是线面平行的性质定理的内容，故正确．故选：D．观察题设条件以及四个选项，A选项研究线面平行的问题用线面平行的条件进行判断，B，C，D三个选项研究线线平行的问题，用线线平行的条件进行判断，本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，求解此类题关键是熟练掌握了空间中线面之间位置关系的特征及有较好的空间想像能力．3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A+csin C+asin C=bsin B，则∠B（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵asin A+csin C+asin C=bsin B，∴由正弦定理可得，由余弦定理可得，cos B==-∵0＜B＜π∴B=．故选：D．由已知结合正弦定理可得，，然后利用余弦定理可得，cos B==-，可求B本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．4.如果执行如图的程序框图，那么输出的S的值为（）A.1740B.1800C.1860D.1984【答案】C【解析】解：由程序框图知：终止运行的最小k值为31，∴算法的功能是求S=4+8+12+…+4×30的值，∴输出S=×30=1860．故选：C．根据框图的流程得算法的功能是求S=4+8+12+…+4×30的值，利用等差数列的前n 项和公式计算可得答案．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．5.已知a是函数f（x）=2x-x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A.f（x0）=0B.f（x0）＞0C.f（x0）＜0D.f（x0）的符号不确定【答案】C【解析】解：∵在（0，+∞）上是增函数，a是函数的零点，即f（a）=0，∴当0＜x0＜a时，f（x0）＜0，故选C．a是函数的零点，函数是增函数，本题根据函数的单调性和零点的性质进行求解．函数是增函数，单调函数最多只有一个零点，a是函数的唯一零点．6.如图，设D是图中边长为2的正方形区域，E是函数y=x3的图象与x轴及x=±1围成的阴影区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据积分的几何意义可知区域E的面积S==2×=2×，区域D的面积为S1=2×2=4，∴根据几何概型的概率公式可知所求概率P=，故选：B．根据积分的公式计算出区域E的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，根据积分的几何意义求出对应区域的面积是解决本题的关键．7.若不等式x2-2x+3-a＜0成立的一个充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围应为（）A.a≥11B.a＞11C.a＞9D.a≥9【答案】A【解析】解：∵不等式x2-2x+3-a＜0成立的一个充分条件是0＜x＜4，∴当0＜x＜4时，不等式不等式x2-2x+3-a＜0成立，设f（x）=x2-2x+3-a，则满足，即，∴，即a≥11，故选：A．根据不等式的解法以及充分条件的定义，将不等式转化为函数，即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的解法是解决本题的关键．8.已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=y+ax仅在点（5，3）处取得最小值，则实数a的取值范围为（）A.（-∞，-1）B.（0，+∞）C.（，+∞）D.（1，+∞）【答案】A【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=ax+y得y=-ax+z，要使目标函数z=ax+y仅在点P（5，3）处取得最小值，则阴影部分区域在直线y=-ax+z的左上方，∴-a＞0，即a＜0，且目标函数的斜率-a大于x-y=2得斜率，即-a＞1，解得a＜-1，即实数a的取值范围为（-∞，-1），故选：A．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=ax+y仅在点P（5，3）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．9.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=则球半径R2==则该球的表面积S=4πR2=故选B根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积．本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径，是解答本题的关键．10.已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过P点（x，y）引圆C：=1的切线，则此切线长等于（）A.1B.C.D.2【答案】D【解析】解：∵x+2y=3，2x+4y=2x+22y≥2=4，当且仅当x=2y=时，等号成立，∴当2x+4y取最小值4时，P点的坐标为（，），点P到圆心C的距离为CP==，大于圆的半径1，故切线长为==2，故选：D．由条件利用基本不等式可得当2x+4y取最小值时，P点的坐标为（，），再根据CP==，大于圆的半径1，由此求得圆的切线长为的值．本题主要考查基本不等式的应用，点到直线的距离公式，直线和圆相切的性质，属于基础题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数为2+i，向量对应的复数为2+3i，向量对应的复数为3-i，则点C对应的复数______ ．【答案】3-3i【解析】解：设C（x，y），（x，y∈R）．∵=（3，-1）-（2，3）=（1，-4），∴（x，y）-（2，1）=（1，-4），化为（x，y）=（2，1）+（1，-4）=（3，-3），∴x=3，y=-3．∴点C对应的复数是3-3i．故答案为：3-3i．利用复数与向量的对应关系及其向量的坐标运算即可得出．本题考查了复数与向量的对应关系及其向量的坐标运算，属于基础题．12.设常数a∈R，若的二项展开式中x4项的系数为20，则a= ______ ．【答案】±【解析】解：∵的二项展开式的通项公式为T r+1=•a r•x10-3r，令10-3r=4，求得r=2，故二项展开式中x4项的系数为•a2=20，解得a=±，故答案为：±．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中x4项的系数，再根据x4项的系数为20，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13.抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，若过点M（0，1）任作一直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1•x2=-4，则抛物线C的方程为______ ．【答案】x2=4y【解析】解：（一般问题特殊化）根据题意可设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）过点M（0，1）任作一条直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点都有x1•x2=-4，考虑特殊情况也成立，故考虑直线为y=1时，可得A（-，1），B（，1），则有x1x2=-2p=-4，∴p=2故答案为：x2=4y．考虑本题是填空题，可一般问题特殊化，根据题意可设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点M（0，1）任作一条直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点都有x1•x2=-4，特殊情况也成立，故考虑直线为y=1时，分别求出A、B的坐标，从而可求抛物线C的方程．本题主要考查了抛物线方程的求解，要注意解答本题时应用到的方法：一般问题特殊化可以减少运算．14.若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足，则= ______ ．【答案】-【解析】解：∵∴==∴=又△ABC为边长为1的等边三角形，∴==故答案为：-根据三角形法则分别将，用，表示出来，根据向量的数量积运算法则计算出结果即可．本题主要考查了向量的三角形法则和数量积的运算，属于中档题．15.若函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，且y=f（x+1）是奇函数，则下列结论中①f（1-x）+f（x+1）=0②f′（x）（x-1）≥0③f（x）（x-1）≥0正确的序号是______ ．【答案】①③【解析】解：①∵y=f（x+1）是奇函数，∴由定义得：f（-x+1）=-f（x+1），即f（1-x）+f（x+1）=0，故①正确；②由函数f（x）的图象得：x＞1时，图象有上升，有下降，导数f'（x）先正后负；x＜1时，图象有上升，有下降，导数f'（x）先负后正．故②错误；③观察函数f（x）的图象得：x＞1时，图象在x轴上方，f（x）＞0；x＜1时，图象在x轴下方，f（x）＜0；故③正确；故答案为：①③．①根据y=f（x+1）是奇函数，运用奇函数的定义即可判断；②根据图象分析x＞1，x＜1的图象变化情况，结合导数的符号确定；③根据图象分析x＞1，x＜1的图象分布来确定函数值的符号，从而判断正确性．本题考查运用导数研究函数的单调性，以及函数的奇偶性的定义，考查通过图象分析函数的变化情况，注意函数值与导数值的区别．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知=（bsinx，acosx），=（cosx，-cosx），f（x）=•+a，其中a，b，x∈R．且满足f（）=2，f′（0）=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）-log k=0在区间[0，]上总有实数解，求实数k的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）由题意知，=，由得，∵f′（x）=asin2x+bcos2x，又′，∴，∴a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，∵，，，∴，f（x）∈[0，3]．又∵有解，即f（x）=-log3k有解，∴-3≤log3k≤0，解得，∴实数k的取值范围为，．【解析】（I）利用数量积运算和导数的运算法则即可得出；（II）利用两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性、对数的运算法则即可得出．本题考查了数量积运算和导数的运算法则、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．17.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是黑球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）求乙取到白球的概率．【答案】解：（Ⅰ）设袋中原有n个黑球，由题意知…（1分）=，解得n=4或n=-3（舍去）…（3分）∴黑球有4个，白球有3个．由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5…（4分）；，，，…（7分）（错一个扣一分，最多扣3分）∴ξ的分布列为…（8分）所以数学期望为：…（9分）（Ⅱ）∵乙后取，∴乙只有可能在第二次，第四次取球，记乙取到白球为事件A，则，…（11分）答：乙取到白球的概率为．…（12分）【解析】（Ⅰ）设袋中原有n个黑球，由题意知，求出黑球有4个，白球有3个．由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出其概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．（Ⅱ）由乙后取，知乙只有可能在第二次，第四次取球，由此能求出乙取到白球的概率．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．18.如图，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．（Ⅰ）求证：PC⊥DE；（Ⅱ）若直线AB与平面ADE所成角的正弦值为，求PA的值．【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，因为AD⊂平面PAB，所以BC⊥AD．…（2分）又AD⊥PB，BC∩PB=B，所以AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，…（4分）又PC⊥AE，AD∩AE=A，所以PC⊥平面ADE，因为DE⊂平面ADE，所以PC⊥DE…（6分）（Ⅱ）解：过点B作BE∥AP，则BZ⊥平面ABC，如图所示，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．…（7分）设PA=a，则A（2，0，0），C（0，2，0），P（2，0，a），因为PC⊥平面ADE，所以，，是平面ADE的一个法向量，所以向量与所成的角的余弦值的绝对值为，…（9分）又，，则＜，＞，解得a=1所以PA=1…（12分）【解析】（Ⅰ）先证明BC⊥平面PAB，可得BC⊥AD，证明AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，再证明PC⊥平面ADE，即可证明PC⊥DE；（Ⅱ）过点B作BE∥AP，则BZ⊥平面ABC，分别以BA，BC，BZ所在直线为x轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，根据PC⊥平面ADE，可得，，是平面ADE的一个法向量，从而向量与所成的角的余弦值的绝对值为，即可求PA的值．本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．19.各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，满足=1（n∈N*），且S5+2=a6．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：7（a n-1）2＞3n+1（n∈N*）；（Ⅲ）若n∈N*，令b n=a n2，设数列{b n}的前n项和为T n（n∈N*），试比较与的大小．【答案】（Ⅰ）解：由得，，即（a n+1+a n）（a n+1-2a n）=0，又a n＞0，∴2a n-a n+1=0，∴2a n=a n+1，则数列{a n}是公比为2的等比数列．由，得，解得a1=2．故数列{a n}的通项公式为；（Ⅱ）证明：要证7（a n-1）2＞3n+1，即证7•4n-1＞3n+1．①当n=1时，7•40=7＞3×1+1=4，不等式显然成立；②假设当n=k时，不等式7•4k-1＞3k+1成立，那么，当n=k+1时，7×4k=4×7×4k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1．综①②所述，对任意的n∈N*，均有7•4k-1＞3n+1，∴＞成立．（Ⅲ）解：∵，即数列{b n}是首项为4，公比是4的等比数列．∴，，又，∴=＜．∴对任意的n∈N*均有＜．【解析】（Ⅰ）把已知的数列递推式变形，整理后得到数列{a n}是公比为2的等比数列．再由列式求得首项，代入等比数列的通项公式得答案；（Ⅱ）把a n-1的表达式代入7（a n-1）2＞3n+1，然后由数学归纳法证明该不等式；（Ⅲ）把a n代入b n=a n2，由等比数列的求和公式求得数列{b n}的前n项和T n，然后利用作差法比较与的大小．本题是数列与不等式的综合题，考查了等比关系的确定，训练了利用数学归纳法证明不等式，考查了等比数列的前n项和，训练了作差法比较两个数的大小，是难题．20.已知函数f（x）=ax2-（2a+1）x+2lnx（a＞0）．（Ⅰ）若a≠，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当＜a＜1时，判断函数f（x）在区间[1，2]上有无零点？写出推理过程．【答案】解：（Ⅰ）∵′（x＞0）．即′（x＞0）．∵，∵＞，∴＜＜时，＞＞时，＜，由f'（x）＞0得＞或x＜2由f'（x）＜0得＜＜所以当＜＜，f（x）的单调递增区间是（0，2]和，∞，单调递减区间是，同理当＞，f（x）的单调递增区间是，和[2，+∞），单调递减区间是，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当＜＜时，f（x）在，上单调递增，在，上单调递减，故．由＜＜可知-2-2lna＜0，f（x）max＜0，故在区间[1，2]f（x）＜0．恒成立．故当＞时，函数f（x）在区间[1，2]上没有零点．（注意：仅证明f（1）＜0，f（2）＜0就说明无零点不得分）【解析】（Ⅰ）对函数f（x）进行求导，′，再分＜＜和＞两种情况讨论．（Ⅱ）结合着（Ⅰ）中的结论，得到f（x）在，上单调递增，在，上单调递减，从而判断＜0，再进一步解答．本题是导数部分的常考内容，需要注意的是，再含参数的函数式中，一般求单调区间时可能都会涉及到分类讨论，讨论时要根据导数式的特征做到“不重不漏”，导数为我们研究很多函数的性质提供了强有力的工具，也是高考中的常考知识点．21.已知直线l：x=my+1过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F，抛物线：x2=4y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=3上的射影依次为点D、K、E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且=λ1，=λ2．证明：λ1+λ2的值定值；（Ⅲ）连接AE、BD，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．【答案】解：（Ⅰ）由题设条件知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，抛物线的焦点坐标，…（1分）∴，∴a2=b2+c2=3，∴椭圆C的方程．…（3分）（Ⅱ）由题意知m≠0，且l与y轴交于，，设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）由∴，…（5分）又由，，，∴，同理∴…（7分）∵…（8分）∴所以，当m变化时，λ1+λ2的值是定值，定值为-3．…（9分）（Ⅲ）先探索，当m=0时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点N，且N（2，0），猜想：当m变化时，AE与BD相交于点N（2，0）．证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（3，y1），E（3，y2），当m变化时，首先证明直线AE过定点N（2，0），∵l AE：y-y2=（x-3），当x=2时，y=y2+•（-1）===0，∴点N（2，0）在直线l AE上，同理可证，点N（2，0）也在直线l BD上，∴当m变化时，AE与BD相交于点N（2，0）．【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，b=，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由题意知l与y轴交于，，设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），把直线代入椭圆方程，得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理能推导出当m变化时，λ1+λ2的值是定值-3．（Ⅲ）先探索，当m=0时，AE与BD相交FK的中点NN（2，0），再猜想：当m变化时，AE与BD相交于点N（2，0），然后进行证明．本题考查椭圆方程的求法，考查两数和这定值的证明．考查两直线交于定点的探索与证明，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。
山东省实验中学2014届下学期高三年级第二次模拟考试数学试卷(理科)
A. 2,8
B. 2,9
C. 8,9
D. 8,9
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11. 阅读下面程序框图，则输出的数据 S 为 ______.
2
12. 几何体的三视图如图所示（单位： m），则该几何体的体积为 ________m3.
13. 已知对于任意的 x R ，不等式 x 3 x a 5 恒成立，则实数 a 的取值范围是
D. 1，2
7. 已知点 M a,b 在由不等式组
平面区域的面积是
x0 y 0 确定的平面区域内，则点 xy2
N a b, a b 所在
A.4
B.2
C.1
D.8
8. 已知离心率为 e 的双曲线和离心率为
2 的椭圆有相同的焦点 2
F1、F2， P 是两曲线的一
个公共点，若 F1PF2
，则 e 等于
3
A. 5
已知 ABC 的面积为 1，且满足 0 AB AC 2，设 AB和 AC 的夹角为 .
3
山东省实验中学 2014 届下学期高三年级第二次模拟考试数学试卷（理科）
第 I 卷（选择题 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每个小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项 .
1. 已知集合 A x 1 x 2 , B x x 1 ，则 A C R B =
①实数集是封闭集； ③封闭集一定是无限集；
②全体虚数组成的集合是封闭集；
④若 S 为封闭集，则一定有 0 S ；
⑤若 S， T 为封闭集，且满足 S U T ，则集合 U也是封闭集 .
其中真命题是 _________________.
山东省2014届高三仿真模拟测试理科数学试题十二(word版)(精校)
山东省2014届高考仿真模拟测试试题十二高三数学（理科）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题）一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合A={|<5}x Z x ∈ ，B=|20}{x x -≥ ，A∩B 等于（ ）A. (2, 5）B. [2, 5）C. {2, 3, 4}D. {3, 4, 5} 2.在复平面内，复数12i-（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.等比数列}{n a 中，63=a ，前三项的和318S =，则公比q 的值为（ ）A.1B.21-C.1 或21-D.1- 或21-4.阅读右侧程序框图，输出结果i 的值为（ ）A. 5B. 6C.7D. 95.给出命题p ：直线310ax y ++=()2110x a y +++=与直线互相平行的充要条件是3a =-；命题q ：若210mx mx --<恒成立，则40m -<<.关于以上两个命题，下列结论正确的是（ ） A.命题“p q ∧”为真 B. 命题“p q ∨”为假 C.命题“p q ∧⌝”为真 D. 命题“p q ∨⌝”为真6.设αβγ、、为平面，l n m 、、为直线，以下四组条件，可以作为β⊥m 的一个充分条件的是（ ） A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥7.函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ）8.某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ） A. 112π+ B. 16π+C. 13π+D. 1π+ 9.将函数sin()y x θ=+的图象F 向左平移6π个单位长度后得到图象F '，若F '的一个对称中心为(,0)4π，则θ的一个可能取值是（ ） A ．12π B ．6π C ．56π D ．712π 10.已知离心率为e的椭圆有相同的焦点1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，若123F PF π∠=，则e 等于（ ）B.25C.D.3第II 卷（非选择题）二、 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上）11.…（,m n 都是正 整数，且,m n 互质），通过推理可推测m 、n 的值，则-m n =. 12.设()0sin cos a x x dx π=+⎰，则二项式6⎛⎝的展开式的常数项是_________.13.已知点)3,3(A ， O 为坐标原点，点P （x ，y ）的坐标x ， y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-0,02303y y x y x 则APCFE向量OP 在向量A O 方向上的投影的取值范围是_________.14.设区域Ω是由直线0,=1x x y π==±和所围成的平面图形，区域D 是由余弦曲线y=cos x 和直线x=0,x=π和y=1±所围成的平面图形，在区域Ω内随机抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D 的概率是_________.15.对于两个图形12,F F ，我们将图形1F 上的任意一点与图形2F 上的任意一点间的距离中的最小值，叫做图形1F 与图形2F 的距离.若两个函数图像的距离小于1，陈这两个函数互为“可及函数”.给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是_________.（写出所有正确命题的编号） ①()cos ,()2f x x g x ==； ②()x f x e =，()g x x =；③22()log (25)f x x x =-+，()sin2g x x π=； ④2()f x x x=+，()ln 2g xx =+； ⑤()f x =315()44g x x =+.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.（本小题满分12分）在ABC ∆中, c b a ,,分别是角CB A ,,的对边，且2cos cos (tan tan 1)1A CA C -=. （Ⅰ）求B 的大小; （Ⅱ）若2a c +=，b =求ABC ∆的面积. 17.（本题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，1,2==AB AD ，60=∠ABC ，⊥PA 面ABCD ，设E 为PC中点，点F 在线段PD 上且FD PF 2=． （Ⅰ）求证：//BE 平面ACF ； （Ⅱ）设二面角D CF A --的大小为θ， 若1442|cos |=θ，求PA 的长． 18.(本小题满分12分）某校高二年级进行社会实践，对[25, 55]岁的人群随机抽取n 个人进行了一次是否开通“微信”，若开通“微信”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1所示统计表，如图2所示各年龄段人数频率分布直方图： 请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n ，a ，p 的值；（2）从[40，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络“时尚达人”大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁得人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E （X ）. 19.（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和为n S 满足：221220n n n n S S ++-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12(1)(1)n n n n b S a -=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n N ∈，都有2n T <． 20. (本小题满分13分）设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （1）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （2）求函数()f x 的极值点；（3）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立． 21.（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1x y E ab+=（a ＞b ＞0）的离心率为212）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=kx+t 与圆222:C x y R +=（1＜R ＜2）相切于点A ，且l 与椭圆E 只有一个公共点B . ①求证：22214R k R-=-；②当R 为何值时，AB 取得最大值？并求出最大值．山东省2014届高考仿真模拟测试试题高三数学（理科答案）一、选择题：(51050)''⨯= CACCC DBAD10.C 解析：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，1PF m =，2PF n =，且不妨设m n >，由 12m n a +=，22m n a -=得12m a a =+，12n a a =-.又123F PF π∠=，∴222221243c m n mn a a =+-=+，∴22122234a a c c+=，即234e=，解得e =，选C.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 41 12. -160 13. [14.1124π+ 15. ②④ 三、解答题：17.解：（Ⅰ）由1,2==AB AD ， 60=∠ABC 得3=AC ，AC AB ⊥．又⊥PA 面ABCD ，所以以AP AC AB ,,分别为z y x ,,图．则),0,3,1(),0,3,0(),0,0,1(),0,0,0(-D C B A 设),0,0(c P )2,23,0(cE ．设),,(z y xF ，2=得： ）z y x c z y x ----=-,3,1(2),,(． 解得：32-=x ，332=y ，3c z =，所以)3,332,32(c F -． 所以)3,332,32(c AF -=, )0,3,0(=AC ，)2,23,1(cBE -=． 设面ACF 的法向量为),,(z y x n = ，则⎪⎩⎪⎨⎧==++-00333232y z c y x ，取)2,0,(c n =．因为0=+-=⋅c c BE n，且⊄BE 面ACF ，所以//BE 平面ACF ．（Ⅱ）设面PCD 法向量为),,(z y x =， 因为),3,0(c -=，),3,1(c --=，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-0303cz y x cz y ，取)3,,0(c m =．由1442|cos |==θ，得1442343222=++c c ．044724=-+c c ，2=c ，所以2=PA ． 18.解：（Ⅰ）第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以高为0.30.065=，频率分布直方图如下： 第一组的人数为1202000.6=， 频率为0.04×5=0.2，所以20010000.2=，所以第二组人数为1000×0.3=300，1950.65300p == 第四组的频率为0.03×5=0.15，人数为1000×0.15=150，1500.460a =⨯=.（Ⅱ）因为[40,45)岁与[45,50)岁年龄段的“时尚族”的比值为60:30=2:1，所以分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人，随机变量ξ服从超几何分布：()03126318C C 50C 204P ξ===，()12126318C C 151C 68P ξ===，()21126318C C 332C 68P ξ===， ()30126318C C 553C 204P ξ===，所以ξ的分布列为数学期望为()012322046868204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 19.解：（1）221220n n n n S S ++-=，122)0n n n n S S +-+=（)(，解得2n n S = 当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=（1n =不适合），所以12,1,2,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）当1n =时，111211211(1)(1)(21)b S a -===---，1112T b ==<； 当2n ≥时，111211(21)(21)2121n n n n n n b ---==-----， 22311111111()()()212121212121n n n T -=+-+-++------- 12221n=-<- 综上，对于任意的*n N ∈，都有2n T <．即2()220g x x x b =++>在(1)-+∞，上恒成立，∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>，∴当12b >时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，上单调递增． （2）①由（1）得，当12b >时，函数()f x 无极值点．②12b =时，3122()01x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'==+有两个相同的解12x =-， 112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点．③当12b <时，()0f x '=有两个不同解，112x -=，212x -+=，0b <时，11x =<-，20x =>，即1(1)x ∈-+∞，，[)21x ∈-+∞，．()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：0b <时，()f x 有惟一极小值点1x =当102b <<时，11x =>-，12(1)x x ∴∈-+∞，， 此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：102b <<时，()f x 有一个极大值1x =和一个极小值点2x =；综上所述：0b <时，()f x 有惟一最小值点x =；102b <<时，()f x 有一个极大值点x =和一个极小值点x =；12b ≥时，()f x 无极值点．（3）当1b =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+，令函数332()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，则22213(1)()3211x x h x x x x x +-'=-+=++．∴当[)0x ∈+∞，时，()0f x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增，又(0)0h =． (0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即32ln(1)x x x >-+恒成立．故当(0)x ∈+∞，时，有23ln(1)x x x +>-． 对任意正整数n 取1(0)x n =∈+∞，，则有23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭．所以结论成立. 21.(Ⅰ) 椭圆E 的方程为2214x y +=. （Ⅱ） ①因为直线l 与圆C : 222(12)x y R R +=<<相切于A ,得R =,即 222(1)t R k =+ ① 又因为l 与椭圆E 只有一个公共点B ，由2214y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得 222(14)8440k x ktx t +++-=,且此方程有唯一解. 则2222226416(14)(1)16(41)0,k t k t k t ∆=-+-=-+= 即22410k t -+=.②由①②,得 2221.4R k R -=- ② 设00(,)B x y ，由22214R k R -=-得 22234R t R=-,由韦达定理,222022*********t R x k R --==+,∵00(,)B x y 点在椭圆上, ∴222002141,43R y x R -=-=∴22200245OB x y R =+=-, 在直角三角形OAB 中, 22222224455(),AB OB OA R R R R=-=--=-+2244,R R +≥当且仅当R =(1,2)， ∴2max 541, 1.AB AB ≤-=∴=。
2014年高考数学(理)三轮专项模拟(通用)试卷立体几何(含新题详解)
立体几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·肇庆模拟)在△ABC 中，已知|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝2，则向量AB →·BC→＝( )A ．2B ．－2C ．23D ．－2 3【解析】 向量AB →与BC →的夹角为2π3，则AB →·BC→＝2×2×cos 23π＝－2. 【答案】 B2．(2013·东营模拟)已知等比数列{a n }，若存在两项a m ，a n 使得a m ·a n ＝a 23，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32 B ．53 C.94D.76【解析】 由等比数列的性质知m ＋n ＝6，则1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋4m n ＋n m ≥32，当且仅当4m n ＝n m ，即m ＝2，n ＝4时等号成立． 【答案】 A3．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDE ⊥平面ABCD ．平面P AE ⊥平面ABC【解析】 若平面PDF ⊥平面ABC ，则顶点P 在底面的射影在DF 上，又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心，因此结论不成立，故选C.【答案】 C4．(2013·济宁模拟)点M 、N 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1、A 1D 1的中点，用过A 、M 、N 和D 、N 、C 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图1，则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为( )图1A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．②④③【解析】 根据三视图的定义可知选B. 【答案】 B5．(2013·枣庄模拟)设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0【解析】由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，的区域BCO ，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线经过C 时，直线的截距最大，此时z ＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，所以k ＝3，解得B (－6,3)，代入z ＝x ＋y 得最小值为z ＝－6＋3＝－3，选A.【答案】 A6．(2013·课标全国卷Ⅰ)如图2，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )图2A.500π3 cm 3 B ．866π3 cm 3 C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)． 【答案】 A7．(2013·临汾模拟)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β【解析】 因为m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，所以m ∥l . 因为AB ∥l ，所以AB ∥m ，故A 一定正确． 因为AC ⊥l ，m ∥l ，所以AC ⊥m ，从而B 一定正确． 因为AB ∥l ，l ⊂β，AB ⊄β. 所以AB ∥β.故C 也正确．因为AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立，故D 不一定成立．【答案】 D8．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AB 1⊥BC 1，则平面DBC 1与平面CBC 1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 以A 为坐标原点，AC →，AA 1→的方向分别为y 轴和z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设底面边长为2a ，侧棱长为2b ，则A (0,0,0)，C (0,2a,0)，D (0，a,0)，B (3a ，a,0)，C 1(0,2a,2b )，B 1(3a ，a,2b )． 由AB 1→⊥BC 1→，得AB 1→·BC 1→＝0，即2b 2＝a 2. 设n 1＝(x ，y ，z )为平面DBC 1的一个法向量， 则n 1·DB →＝0，n 1·DC 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3ax ＝0，ay ＋2bz ＝0.又2b 2＝a 2，令z ＝1， 解得n 1＝(0，－2，1)．同理可求得平面CBC 1的一个法向量为n 2＝(1，3，0)． 利用公式cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝22，得θ＝45°.【答案】 B第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 9．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(A ＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且f (0)＝3，则函数f (3)＝________.【解析】 ω＝2π2＝π，由f (0)＝A sin π6＝3得A ＝23， 所以f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，所以f (3)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6＝－ 3.【答案】 － 310．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．【解析】 设球心为O ，正三棱柱上底面为△ABC ，中心为O ′，因为三棱柱所有棱的长都为a ，则可知OO ′＝a 2，O ′A ＝33a ，又由球的相关性质可知，球的半径R ＝OO ′2＋O ′A 2＝216a ，所以球的表面积为4πR 2＝73πa 2. 【答案】 73πa 211．(2013·南通模拟)关于直线m ，n 和平面α，β有以下四个命题： ①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ； ②若m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β，则α⊥β； ③若α∩β＝m ，m ∥n ，则n ∥α且n ∥β； ④若m ⊥n ，α∩β＝m ，则n ⊥α或n ⊥β. 其中假命题的序号是________．【解析】 命题①m 与n 也可相交或异面，所以①是假命题；命题②由条件可得m ⊥β，又m ⊂α，故α⊥β，所以②是真命题；命题③也可得到n ⊂α或n ⊂β，所以③错；命题④由已知只能得到n 垂直α与β内的一条直线，无法判定n ⊥α或n ⊥β，所以命题④错．【答案】 ①③④12．(2013·陕西高考)某几何体的三视图如图3所示，则其体积为________．图3【解析】 原几何体可视为圆锥的一半，其底面半径为1，高为2， ∴其体积为13×π×12×2×12＝π3. 【答案】 π313．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3 23＝3＋5 32＝1＋3＋5 33＝7＋9＋11 42＝1＋3＋5＋7 43＝13＋15＋17＋19 52＝1＋3＋5＋7＋953＝21＋23＋25＋27＋29根据上述分解规律，若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73，则m 的值为________．【解析】 由所给等式知，m 3分解中第1个数为数列3,5,7，…中第2＋3＋4＋…＋(m －1)＋1项，即m 2－m2项，从而m 3分解中第1个数为m 2－m ＋1，由m 2－m ＋1＝73得m ＝9.【答案】 914．(2013·南昌模拟)三棱锥S —ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：图4①异面直线SB与AC所成的角为90°.②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是1 2a.其中正确结论的序号是________．【解析】由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离12a，④正确．【答案】①②③④三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(2013·深圳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3且△ABC的面积等于3，求cos(A＋B)和a，b的值；(2)若B是钝角，且cos A＝35，sin B＝1213，求sin C的值．【解】(1)∵A＋B＋C＝π，C＝π3，∴A＋B＝π－C，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＝－cos π3＝－12.由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12ab sin C＝3，得ab＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵B 是钝角，且cos A ＝35，sin B ＝1213， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513，∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋35×1213＝1665.16．(本小题满分12分)(2013·青岛模拟)在如图5所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，且AC ＝AD ＝CD ＝DE ＝2，AB ＝1.图5(1)请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明这一结论；(2)求多面体ABCDE 的体积．【解】 (1)如图所示，由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥ED ，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接BF 、FH 、AH ，则FH 綊12ED ，又AB ＝12ED ，∴FH 綊AB ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴BF ∥AH ，又因为BF ⊄平面ACD ，AH ⊂平面ACD ，∴BF ∥平面ACD . (2)取AD 中点G ，连接CG . 因为AB ⊥平面ACD ，∴CG ⊥AB ， 又CG ⊥AD ，∴CG ⊥平面ABED ，即CG 为四棱锥C —ABED 的高，求得CG ＝3， ∴V C —ABED ＝13·(1＋2)2·2·3＝ 3.17．(本小题满分14分)(2013·黄冈模拟)如图6，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面AA 1B 1B 为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60°，AB ⊥B 1C .(1)求证：平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ； (2)若AB ＝2，求三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积．图6【解】 (1)由侧面AA 1B 1B 为正方形，知AB ⊥BB 1. 又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB ⊥平面BB 1C 1C ， 又AB ⊂平面AA 1B 1B ，所以平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C .(2)由题意，CB ＝CB 1，设O 是BB 1的中点，连接CO ，则CO ⊥BB 1.由(1)知，CO ⊥平面AA 1B 1B ，且CO ＝32BC ＝32AB ＝ 3. 连结AB 1，则VC —ABB 1＝13S △ABB 1·CO ＝16AB 2·CO ＝233. 因为VB 1—ABC ＝VC —ABB 1＝13VABC —A 1B 1C 1＝233， 故三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积VABC —A 1B 1C 1＝2 3.18．(本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋2.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1－(－1)n 2a n －1＋(－1)n2b n ，求数列{c n }的前2n 项和T 2n .【解】 (1)当n ＝1，a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1.∴{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，∴a n ＝2n . 由b n ＋1＝b n ＋2，得{b n }是等差数列，公差为2. 又首项b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n n 为奇数，－(2n －1) n 为偶数，∴T 2n ＝2＋23＋…＋22n －1－[3＋7＋…＋(4n －1)] ＝22n ＋1－23－2n 2－n .19．(本小题满分14分)如图7所示，P A⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，P A＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC.图7(1)求证：平面MOE∥平面P AC.(2)求证：平面P AC⊥平面PCB.(3)设二面角M—BP—C的大小为θ，求cos θ的值．【解】(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥P A.因为P A⊂平面P AC，OE⊄平面P AC，所以OE∥平面P AC.因为OM∥AC，因为AC⊂平面P AC，OM⊄平面P AC，所以OM∥平面P AC.因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，OE∩OM＝O，所以平面MOE∥平面P AC.(2)因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.因为P A⊥平面BAC，BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC.因为AC⊂平面P AC，P A⊂平面P AC，P A∩AC＝A，所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PCB ， 所以平面P AC ⊥平面PCB .(3)如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C —xyz .因为∠CBA ＝30°，P A ＝AB ＝2， 所以CB ＝2cos 30°＝3，AC ＝1. 延长MO 交CB 于点D . 因为OM ∥AC ，所以MD ⊥CB ，MD ＝1＋12＝32， CD ＝12CB ＝32.所以P (1,0,2)，C (0,0,0)，B (0，3，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0.所以CP→＝(1,0,2)，CB →＝(0，3，0)．设平面PCB 的法向量m ＝(x ，y ，z )． 因为⎩⎨⎧m ·CP →＝0，m ·CB →＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(1，0，2)＝0，(x ，y ，z )·(0，3，0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2z ＝0，3y ＝0.令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0. 所以m ＝(－2,0,1)．同理可求平面PMB 的一个法向量n ＝(1，3，1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝－15.因为二面角M —BP —C 为锐二面角，所以cos θ＝15.图820．(本小题满分14分)(2013·天津高考)如图8，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1-CE -C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．【解】 如图，以点A 为原点，以AD ，AA 1，AB 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)证明：易得B 1C 1→＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎨⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)． 由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1， 可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m ||B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217.所以二面角B 1—CE —C 1的正弦值为217. (3)AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)． 设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)． 可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →||AB →|＝2λλ2＋(λ＋1)2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1， 于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13(负值舍去)，所以AM＝ 2.。
山东省德州市武城县第二中学高三数学第二次考前模拟试题文
(1,3)a=(3,)b m=山东省德州市武城县第二中学2016届高三数学第二次考前模拟试题文第I卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}13,1202A x xB x x x⎧⎫=<<=+-<⎨⎬⎩⎭，则=BA （）A.122x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. {}1x x-<<3C.112x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D. {}12x x<<2.已知i为虚数单位，则12izi=-在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.函数()31logf xx=的定义域为（）A.{}x x<<1 B.{}01x x<≤ C. {}x x<1 D. {}x x>14.，,若向量ba,的夹角为m＝（）A． B．0 C.5.直线l：1+=kxy与圆O：122=+yx相交于BA,两点，则“1=k”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6.设变量,x y满足约束条件20240x yx yx y+-≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为（）A.3B.4C.6D.127.将函数()sin24f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则ϕ的最小值为（）A.58π B.38π C.4πD.8π8. 定义在R上的奇函数()f x满足()()12f xf x+=-，且在()()0,13xf x=上.则()3log54f=（）A.32B.23C.32- D.23-9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.243π+ B. 24π+C. 4π+ D. 2π+10.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若1111(),3(3),(ln )(ln )3333a f b f c f ==--=，则,,a b c 的大小关系正确的是( ) A. a b c << B. a c b << C. b c a << D. c a b <<第II 卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.执行如图所示的程序框图，输出的结果是 .12.已知函数()()122,2log 1,2x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()f f的值为 .13.在区间[]4,4-上随机地抽取一个实数x ，若x 满足2x m ≤的概率为34，则实数m 的值为 . 11题图14.已知圆222430x y x y +--+=关于直线30ax by +-=()0,0a b >>对称，则12a b+的最小值为 .15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，焦距为()20c c >.若抛物线24y cx =与该双曲线在第一象限的交点为M ，当14MF c =时，该双曲线的离心率为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）某校随机抽取100名学生调查寒假期间学生平均每天的学习时间，被调查的学生每天用于学习的时间介于1小时和[)1,3，11小时之间.按学生的学习时间分成5组；第一组第二组[)3,5，第三组[)5,7，第四组[)7,9，第五组[]9,11.绘制成如图所示的频率分布直方图. （I ）求学习时间在[)7,9的学生人数； （II ）现要从第三组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人交流学习心得，求这2人中至少有1人的学习时间在第四组的概率.17. （本小题满分12分）已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=-+>，且()y f x =的图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （I ）求函数()f x 的单调递增区间；（II ）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，角C 为锐角，且()3f C c ==，sin 2sin B A =，求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，AC BC ⊥，四边形DCBE 为矩形，点F 、M 分别为AB 、CD 的中点.（I ）求证：FM//平面ADE ；（II ）求证：平面ACD ⊥平面ADE.19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且152,30a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21nn T =-.（I ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（II ）设()11ln nn n n c nb S =+-，求数列{}n c 的前2n 项和2n A .20. （本小题满分13分）已知函数()()21ln 2f x x ax a R =-∈. （I ）若()f x 在点()()2,2f 处的切线与直线210x y -+=垂直，求实数a 的值；（II ）求函数()f x 的单调区间；（III ）讨论函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上零点的个数.21. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，左、右焦点分别为12F F 、.以原点O 为圆心，以椭圆C 的半短轴长为半径的圆与直线3450x y -+=相切.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设不过原点的直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A 、B 两点.（i ）若直线22AF BF 与的斜率分别为12k k 、且120k k +=，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（ii ）若直线l 的斜率是直线OB OA ,斜率的等比中项，求OAB ∆面积的取值范围.高三二练模拟试题1－5BBADA 6－10 DDCCB。
山东省德州市武城县第二中学高三数学第二次考前模拟试题 理
山东省德州市武城县第二中学2016届高三数学第二次考前模拟试题 理一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1.已知集合{1,2,3}A =，集合2{|680}B x x x =-+≤，则A B =I （ ）A ．{3}B ．{2,3}C ．{1,2,3}D ．[2,3]2.已知i 为虚数单位，若1zi i =-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +3.已知平面向量,,a b c r r r ，满足112a a ab ac b c ⋅=⋅=⋅=⋅=r r r r r r r，则||a b c ++r r r 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．14D ．164.已知某地区一次联考中10000名学生的数学成绩服从正态分布(120,100)N ，则数字成绩高于130分的学生人数大约为（ ）A ．3174B ．1587C ．456D ．6828附：2(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=；(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=.5.若不等式32|2||1|43x x a a +--≥--对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．[4,)+∞D ．[2,)+∞立的充6.设,x y 是两个实数，命题“,x y 中至少有一个数大于1”成分不必要条件是（ ）A ．2x y +=B ．2x y +>C ．222x y +>D ．1xy >7.执行如图所示的程序框图，若输入的0x =，则输出的S 的值为（ ）A ．22B ．37C ．38D ．638.如图，已知半径为2的半圆中，BC 为直径，O 为圆心，点A 在半圆弧上，且AB AC =，则图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所形成的几何体的体积为（ ）A ．163πB ．323πC ．16πD ．32π9.已知双曲线2213y x -=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，点P 是抛物线准线上的一个动点，点A 在抛物线上，且||4AF =，则||||PA PO +（O 为坐标原点）的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知函数2()|log |1||f x x =-，且关于x 的方程2[()]()20f x af x b ++=有6个不同的实数根，若最小的实数根为－3，则a b +的值为（ ）A ．－2B ．4C ．6D ．8二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知函数3()28,3x f x x x ≥=-+<⎪⎩，则((2))f f -=.12.已知:(1)(3)0,:34p x x q x m +-<-<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是.13.已知函数()|2|,()|4|f x x g x a x =+=--，若函数()f x 的图象恒在函数()g x 的图象的上方，则实数a 的取值范围是.14.2015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人A B C D E 、、、、除B 与E D 、与E 不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤.现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多只进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有种.15.若实数0,0a b >>，且121a b+=，则当28a b +的最小值为m 时，函数()|ln |1mxf x e x -=-的零点个数为.三、解答题（共75分） 16. （本小题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等比数列，3cos 5B =. （1）求cos cos sin sin A CA C +的值； （2）设3BA BC ⋅=u u u r u u u r，求a c +的值.17.（本小题满分12分）2015年中国汽车销售遇到瓶颈，各大品牌汽车不断加大优惠力度.某4S 店在一次促销活动中，让每位参与者从盒子中任取一个由0～9中任意三个数字组成的“三位递减数”（即个数数字小于十位数字，十位数字小于百位数字）.若“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除，则可以享受5万元的优惠；若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除，则可以享受3万元的优惠；其他结果享受1万元的优惠.（1）试写出所有个位数字为4的“三位递减数”；（2）若小明参加了这次汽车促销活动，求他得到的优惠金额X 的分布列及数字期望EX .18. （本小题满分12分）如图1，在矩形ABCD 中，24AB BC ==，,,M N E 分别为,,BC AD CD 的中点，现将ADE ∆沿AE 折起，折起过程中点D 仍记作D ，得到如图2所示的四棱锥D ABCE -.（1）证明：//MN 平面CDE ；（2）当AD BE ⊥时，求直线BD 与平面CDE 所成角的正弦值. 19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，都有324n n a S =+. （1）设2log n n b a =，求证：数列{}n b 为等差数列； （2）在（1）的条件下，设111(1)n n n n n c b b +++=-数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：122115n T ≤≤.20. （本小题满分13分）已知函数()(,x x af x a R e e+=∈为自然对数的底数， 2.71828e ≈）. （1）若曲线()y f x =在0x =处的切线的斜率为－1，求实数a 的值； （2）求()f x 在[1,1]-上的最大值()g a ；（3）当0a =时，若对任意的(0,1)x ∈，恒有()()mf x f x>，求正实数m 的最小值.21.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线2212x y -=有共同的焦点，抛物线24x y =的焦点为椭圆C 的一个顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”.直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且,A B 两点的“椭点”分别为,P Q .=，求,P Q两点的坐标；（i）若直线l的方程为y x∆的面积是否为定值？若是定值，试求出该（ii）若以PQ为直径的圆经过坐标原点O，那么AOB定值；若不是定值，请说明理由.高三数学（理科）试题答案1－5：BCBBA 6－10：BCAAA12.[5,)+∞13.(,6)-∞14. 4815.116.解析：（1）由题意知，2b ac =，由正弦定理得，2sin sin sin B A C =. 由3cos 5B =，得4sin 5B =.…………………………………………………………（3分） cos cos sin cos cos sin sin()sin 15sin sin sin sin sin sin sin sin sin 4A C C A C A A CB AC A C A C A C B +++=====.………………………………………………（6分）（2）由3BA BC ⋅=u u u r u u u r ，3cos 5B =，得5ac =，……………………………………（8分）由余弦定理得，222325ac b a c ac ==+-⨯，……………………………………（10分）故2()21a c +=，∴a c +=……………………………………………………（12分）17.解析：（1）个位数字为4的“三位递减数”有：984，974，964，954，874，864，854，764，754，654，共10个.……………………………………………………（4分）（2）由题意，不同的“三位递减数”共有310120C =个.…………………………（5分）小明得到的优惠金额X 的取值可能为5，3，1. 当5X =时，三个数字之和的可能为20或10，当三个数字之和为20时，有983，974，965，875，共4个“三位递减数”；当三个数字之和为10时，有910，820，730，721，640，631，541，532，共8个“三位递减数”，所以481(5)12010P X +===.……………………………………（7分） 当3X =时，三个数字之和只能被2整除，即这三个数字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数，但不包括能被10整除的“三位递减数”，故32155512482(3)1201205C C C P X +-====.……………………………………………（9分） 故121(1)1(5)(3)11052P X P X P X ==-=-==--=.…………………………（10分） 所以他得到的优惠金额X………………（11分）数学期望121531 2.21052EX =⨯+⨯+⨯=（万元）.………………………………（12分） 18.解析：（1）取AE 的中点F ，连接,MF NF .………………………………（1分） 因为,M F 分别为BC ，AE 的中点，所以//MF CE ，又MF ⊄平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，所以//MF 平面CDE .………………（3分） 同理，//NF 平面CDE .………………………………………………………………（4分）又,MF NF ⊂平面,MNF MF NF F =I ，所以平面//MNF 平面CDE .………（5分） 因为MN ⊂平面MNF ，所以//MN 平面CDE .……………………………………（6分） （2）在题图1中，连接BE ，因为24AB BC ==，所以22BE AE ==，222AE BE AB +=，所以BE AE ⊥.…………………………………………………（7分） 又AD BE ⊥，,AE AD ⊂平面,ADE AE AD A =I ，所以BE ⊥平面ADE ，又BE ⊂平面ABCE ，所以平面ADE ⊥平面ABCE .………………………………（8分） 连接DF ，因为ADE ∆为等腰三角形，F 为AE 的中点，所以DF AE ⊥， 所以DF ⊥平面ABCE .因为2AD DE ==，所以22AE =，所以2DF =.以点E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -， 则(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0)E B C ，(1,1,2)D -，(0,2,0)EC =u u u r，(1,1,2)ED =-.……………………………………………………………………（9分）设平面CDE 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r，即2020y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令2z =-，则2x =，故平面CDE 的一个法向量为(2,0,2)n =-r………….（10分）设直线BD 与平面CDE 所成的角为α，又(1,3,2)BD =--u u u r，则||2sin |cos ,|3||||126BD n BD n BD n α⋅=<>===⋅⨯u u u r ru u u r r r ， 即直线BD 与平面CDE 所成角的正弦值为2.……………………………………（12分）19.解析：（1）由324n n a S =+，得4(2)3n n S a =-， 当1n =时，114(2)3a a =-，解得18a =. 由4(2)3n n S a =- ①，得114(2)3n n S a ++=- ②，②－①得，114433n n n a a a ++=-，得14n n a a +=，所以{}n a 为首项为8、公比为4的等比数列，所以121842n n n a -+=⨯=.…………（5分） 所以212log 221n n b n +==+，12n n b b +-=， 所以数列{}n b 为等差数列. …………………………………………………………（6分）（2）1111114(1)111(1)(1)(1)()4(21)(23)42123n n n n n n n n c b b n n n n ++++++=-=-⨯⨯=-⨯+++++.…………………………………………………………（8分）当n 为偶数时，111111111[()()()()4355779911n T =+-+++-++ (11)()]2123n n -+++ 111()4323n =-+； 当n 为奇数时，111111111[()()()()4355779911n T =+-+++-++…11()]2123n n ++++ 111()4323n =++；………………………………………………………………（10分） 当n 为偶数时，111()4323n T n =-+，函数111()()4323f n n =-+单调递增，2112n T T ≤<，即112112n T ≤<；当n 为奇数时，111()4323n T n =++，函数111()()4323g n n =++单调递减，1121215n T T <≤=. 所以122115n T ≤≤.……………………………………………………………………（12分）20.解析：（1）2()1()()x x x xe x a e x af x e e-+--'==，(0)11f a '=-=-， 解得2a =.………………………………………………………………………………（3分） （2）由()0f x '>，得1x a <-；由()0f x '<，得1x a >-.所以()f x 的单调递增区间是(,1)a -∞-，单调递减区间是(1,)a -+∞.……………（4分） 当11a -<-，即2a >时，()f x 在[1,1]-上单调递减，max ()(1)(1)f x f a e =-=-；当111a -≤-≤，即02a ≤≤时，1x a =-为()f x 在区间[1,1]-上的极大值点，也是最大值点，所以max 11()(1)af x f a e -=-=；当11a ->，即0a < 时，()f x 在[1,1]-上单调递增，max 1()(1)af x f e +==.…………………………………………………………………（7分） 所以11,01(),02(1),2a aa e g a a ea e a -+⎧<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩.…………………………………………………………（8分）（3）当0a =时，由（2）知，()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.若01m <<，取x m =，则有()(1)f m f >，与()f x 在(,1)-∞上单调递增矛盾， 所以只有1m ≥.……………………………………………………………………（9分）当1m ≥时，11m x x ≥>，所以1()()m f f x x ≥，故只需1()()f x f x>， 即可满足()()mf x f x >.…………………………………………………………（10分）下面证明1()()f x f x>在区间(0,1)上恒成立.1()()f x f x >，即11x xx x ee >，即11x x xe e x >，即12x x x e ->，两边取对数， 得11ln ()2x x x>-.………………………………………………………………（11分）构造函数11()ln ()2h x x x x=--，则222111(1)()(1)22x h x x x x --'=-+=，对任意的(0,1)x ∈，()0h x '<，故()h x 在(0,1)上单调递减， 所以()(1)0h x h >=，所以11ln ()2x x x>-.…………………………………………（12分） 综上可知，正实数m 的最小值为1.…………………………………………………（13分）21.解析：（1）由题意知，双曲线2212x y -=的焦点坐标分别为(，（1分） 抛物线24x y =的焦点坐标为(0,1).……………………………………………………（2分） 故椭圆C的焦点坐标分别为(，其中一个顶点的坐标为(0,1)，故1,2c b a ===，………………………………………………………………（3分）所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.………………………………………………（4分） （2）（i ）由2214x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩得245x =，解得x =所以(A B，或(A B . 因为2,1a b ==，所以(P Q或(P Q .…………（5分） （ii ）设1122(,),(,)A x y B x y ，则由题意可得1212(,),(,)22x xP y Q y .①当直线AB 的斜率不存在时，1212,x x y y ==-，由以PQ 为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥u u u r u u u r，即221211210224x x x y y y ⨯+=-=，解得22114x y =.………………………………（6分） 又点11(,)A x y 在椭圆上，所以2211414y y +=，解得11|||y x ==， 所以1121||||12AOB S x y y ∆=⨯-=.………………………………………………（7分）②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+.由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，222(41)8440k x kmx m +++-=，22222(8)4(41)(44)16(41)0km k m k m ∆=-⨯+⨯-=+->，由根与系数的关系可得122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+，………………（8分） 由以PQ 为直径的圆经过坐标原点可得OP OQ ⊥u u u r u u u r ，即1212022x xy y ⨯+=，即121204x xy y +=.………………………………………………………………（9分）故1212()()4x xkx m kx m +++22121214()4k x x km x x m +=+++222221444844141k m km km m k k +--=⨯+⨯+++222282141k m m k =--+＝0，整理得2222(21)(41)80m k k m -+-=，即222410m k --=，所以22412k m +=.………………………………………………………………（10分）而222212121222844||()4()44141km m x x x x x x k k ---=+-=-⨯=++ 222216(41)(41)k m k +-+，故12|||AB x x =-= 而点O 到直线AB的距离d =所以11||22AOB S AB d ∆=⨯==1==.………………………………（12分）的面积为定值1.……………………………………………（13分）综上可知，AOB。
2014-2015学年山东省德州市武城二中高二(下)期末数学复习试卷(四)
2014-2015学年山东省德州市武城二中高二（下）期末数学复习试卷（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共30.0分)1.复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】解：由已知z==[（m-4）-2（m+1）i]在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z；令复数的实部、虚部大于0，得到不等式无解，即对应的点不在第一象限．本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；考查复数的几何意义：复数与复平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应．2.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a+b+c=0”，求证＜a”索的因应是（）A.a-b＞0B.a-c＞0C.（a-b）（a-c）＞0D.（a-b）（a-c）＜0【答案】C【解析】解：由a＞b＞c，且a+b+c=0可得b=-a-c，a＞0，c＜0．要证＜a，只要证（-a-c）2-ac＜3a2，即证a2-ac+a2-c2＞0，即证a（a-c）+（a+c）（a-c）＞0，即证a（a-c）-b（a-c）＞0，即证（a-c）（a-b）＞0．故求证“＜a”索的因应是（a-c）（a-b）＞0，故选C．由题意可得，要证＜a，经过分析，只要证（a-c）（a-b）＞0，从而得出结论．本题主要考查用分析法证明不等式，属于中档题．3.已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P（-2≤ξ≤2）=（）A.0.477B.0.625C.0.954D.0.977【答案】C【解析】解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而P（ξ＞2）=0.023，则P（ξ＜-2）=0.023，故P（-2≤ξ≤2）=1-P（ξ＞2）-p（ξ＜-2）=0.954，故选：C．画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．4.两个正整数的公因数只有1的两个数，叫做互质数，例如：2与7互质，3与4互质，在2，3，4，5，6，7的任一排列中使相邻两数都互质的不同排列方式共有种（用数字作答）．（）A.72B.24C.36D.48【答案】A【解析】解：先排3，5，7，有3！种，产生4个空，再插入6，有2种，然后连6在内又产生了5个空，再插入2，4，有3×2种，共计3×2×1×2×3×2=72种故选：A．先排3，5，7，有3！种，产生4个空，再插入6，有2种，然后连6在内又产生了5个空，再插入2，4，即可得出结论．本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．5.如图所示，在边长为l的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可知，此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，曲线y=x3与y=x所围成的图形的面积S，即满足所取的点落在阴影部分内部所对应的几何度量：S（A）=（x-x3）dx=（x2-x4）|=．则点M取自阴影部分的概率为P（A）==．故选B．欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．6.从装有颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E（X）=3，则D（X）=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意知，X～B（5，），∴EX=5×=3，解得m=2，∴X～B（5，），∴D（X）=5××（1-）=．故选B．由题意知，X～B（5，），由EX=5×=3，知X～B（5，），由此能求出D（X）．本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．7.函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为f（0）═=1，说明函数的图象过（0，1），排除C、D；因为当x＜-1时，1+x＜0，e x＞0，所以＜，即当x＜-1时，函数图象在x轴下方，排除A．故选B．本题是选择题，可采用排除法进行逐一排除，根据f（0）=1可知图象经过（0，1），以及根据当x＜-1时原函数值的符号情况，从而可以进行判定．本题主要考查了通过特殊点研究函数的图象，以及函数的图象等基础知识，属于基础题．8.设a=（cosx-sinx）dx，则二项式（x2+）6展开式中的x3项的系数为（）A.-20B.20C.-160D.160【答案】C【解析】解：由于a==（sinx+cosx）=-2，则二项式=展开式的通项公式为T r+1=•x12-2r•=（-2）r••x12-3r，令12-3r=3，解得r=3，故展开式中的x3项的系数为-8×20=-160，故选：C．计算定积分求得a的值，在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3项的系数．本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9.图中，阴影部分的面积是（）A.16B.18C.20D.22【答案】B【解析】解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，-2），（8，4）．过（2，-2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：A1=∫02[]dx=2dx=，A2=∫28[]dx=所以阴影部分的面积A=A1+A2==18故选B．从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，-2），（8，4）．过（2，-2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积．本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力．10.若函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A.[-1，0]B.[-1，+∞）C.[0，3]D.[3，+∞）【答案】D【解析】解：由f（x）=x2+ax+，得f′（x）=2x+a-=，令g（x）=2x3+ax2-1，要使函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数，则g（x）=2x3+ax2-1在x∈（，+∞）大于等于0恒成立，g′（x）=6x2+2ax=2x（3x+a），当a=0时，g′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（）≥0，解得+-1≥0，a≥3（舍）；当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（）≥0，解得+-1≥0，a≥3；当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3（舍）．故选：D．求出函数f（x）的导函数，由导函数在（，+∞）大于等于0恒成立解答案本题考查了二次函数的图象和性质，考查了导函数在求解含有参数问题中的应用，是中档题．二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)11.从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是______ ．【答案】【解析】解：由题意，b＞a时，b=2，a=1；b=3，a=1或2，即共有3种情况又从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，共有5×3=15种情况∴b＞a的概率是=故答案为：b＞a时，b=2，a=1；b=3，a=1或2，共有3种情况，从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，共有5×3=15种情况，故可求b＞a 的概率．本题考查概率的求解，解题的关键是确定基本事件的个数，属于基础题．12.若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为______ ．【答案】2【解析】解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，所以T r+1==，令12-3r=3，∴r=3，，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．a2+b2的最小值为：2．故答案为：2．利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．13.如图是一系列某种物质的结构图，则第n个图形中小黑点有______个．【答案】4n+2【解析】解：由所给的图形可以看出第一个图形中小黑点有6个，第二个图形由6+4个小黑点，第三个有6+4+4个小黑点，可以看出每增加一组，则小黑点要增加4个，∴每一个图形的小黑点组成一个等差数列，首项是6，公差是小黑点，∴通项是a n=6+4（n-1）=4n+2，故答案为：4n+2．由所给的图形可以看出第一个有6个小黑点，第二个图形由6+4个化学键，可以看出每增加一组，则化学键要增加4，每一个图形的化学键组成一个等差数列，写出通项，得到结果．本题考查归纳推理，是一个和等差数列结合起来的题目，解决这种问题的关键是看清图形变化的趋势，找出规律．14.已知p：-2≤x≤10，q：（x-a）（x-a-1）＞0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（-∞，-3）∪（10，+∞）【解析】解：q：x＜a，或x＞a+1；∴若p是q成立的充分不必要条件，则：a＞10，或a+1＜-2；∴a＞10，或a＜-3；∴实数a的取值范围是（-∞，-3）∪（10，+∞）．故答案为：（-∞，-3）∪（10，+∞）．先求出q下的不等式，得到q：x＜a，或x＞a+1，而若p是q成立的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p，所以a＞10，或a+1＜-2，这样便得到了a的取值范围．考查解一元二次不等式，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．15.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是______ （写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．【答案】②④【解析】解：易见A1，A2，A3是两两互斥的事件，．故答案为：②④本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键．本题在A1，A2，A3是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化P（B）=P（B|•A1）+P （B•A2）+P（B•A3），可知事件B的概率是确定的．概率的综合问题，需要对基本概念和基本运算能够熟练掌握．三、解答题(本大题共6小题，共74.0分)16.已知命题p：方程mx2+（m-3）x+1=0在（0，+∞）至少有一个实数根，命题q：实数m满足e m＜a，且￢q是￢p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】解：∵命题p：方程mx2+（m-3）x+1=0在（0，+∞）至少有一个实数根，∴命题￢p：方程mx2+（m-3）x+1=0在（0，+∞）没有实数根，若m=0，则方程为3x=1，此时x=，不满足条件，若m≠0，设f（x）=mx2+（m-3）x+1，∵f（0）=1＞0，∴m＞0，①若判别式△=（m-3）2-4m＜0，即此时1＜m＜9，成立，②若判别式△=（m-3）2-4m≥0，即m≥9或0＜m≤1时，对称轴满足x=，即m（m-3）≥0，则m≥3，此时m≥9，综上m＞1．∵命题q：实数m满足e m＜a，∴命题￢q：实数m满足e m≥a，∵￢q是￢p的必要不充分条件，∴当m≥9，e m≥a成立，则a≤e9，故a的取值范围是a≤e9．【解析】根据函数的性质分别求出命题￢q和￢p的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查命题充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．17.已知函数f（x）=ax-lnx，（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，设g（x）=x2+x+，若对任意x1∈（0，+∞），总存在x2∈[-1，0]，使得f（x1）＞g（x2），求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，则a＞（x＞0），令y=（x＞0），则y′=，∴（0，e）上，y′＞0，（e，+∞）上，y′＜0，∴x=e时，函数取得最大值，∴a＞；（Ⅱ）g（x）=x2+x+，∵x∈[-1，0]，∴g（x）min=1∀x1∈（0，+∞），总x2∈[-1，0]，使得f（x1）＞g（x2）成立，等价于f（x）＞g（x）min，∵f（x）=ax-lnx，∴ax-lnx＞1，∀x∈（0，+∞）恒成立，∴a＞，令h（x）=，则h′（x）=∴0＜x＜1时，h′（x）＞0，x＞1时，h′（x）＜0，∴x=1时，函数取得最大值1，∴a＞1．【解析】（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，分离参数，求最值，即可求a的取值范围；（Ⅱ）求出g（x）min=1，∀x1∈（0，+∞），总x2∈[-1，0]，使得f（x1）＞g（x2）成立，等价于f（x）＞g（x）min，分离参数，求最值，即可求a的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的最大值，正确分离参数，求最值是关键．18.设a＞0，f（x）=令，，．（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论．【答案】（1）解：∵a1=1，∴，，，猜想，…（4分）（2）证明：①n=1时，猜想正确．…（5分）②假设n=k时猜想正确，即，…（6分）则这说明，n=k+1时猜想正确．…（11分）由①②知，，…（12分）【解析】（1）根据所给函数及递推关系式，进行计算，从而可猜想数列{a n}的通项公式；（2）利用数学归纳法的证明步骤，进行证明，注意利用归纳假设．本题考查归纳猜想，考查数学归纳法证明等式，解题的关键是先猜后证．19.已知（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：（1）a1+a2+a3+…+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|．【答案】解：（1）∵已知（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，∴常数项a0=1．在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a7=-1，∴a1+a2+a3+…+a7=-2．（2）在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a7=-1①，令x=-1可得得a0-a1+a2-a3+…-a7=37②，用①减去②再除以2可得a1+a3+a5+a7=-1094．（3）用①加上②再除以2可得a0+a2+a4+a6=1093．（4）在（1+2x）7中，令x=1，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2187．【解析】（1）根据所给的等式可得常数项a0=1，在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a7=-1，从而求得a1+a2+a3+…+a7的值．（2）在所给的等式中，分别令x=1、x=-1，可得2个等式，化简这2个等式即可求得a1+a3+a5+a7的值．（3）用①加上②再除以2可得a0+a2+a4+a6的值．（4）在（1+2x）7中，令x=1，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．20.乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．【答案】解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为+=，回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为+=，故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×（1-）+（1-）×=+=．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6其中P（ξ=0）=（1-）×（1-）=；P（ξ=1）=×（1-）+（1-）×=；P（ξ=2）=×=；P（ξ=3）=×（1-）+（1-）×=；P（ξ=4）=×+×=；P（ξ=6）=×=；故ξ的分布列为：故ξ的数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×+6×=．【解析】（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．21.已知函数f（x）=ax2-（2a+1）x+2lnx（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2-2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g （x2），求a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵函数，∴′（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．（Ⅱ）′（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax-1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当＜＜时，＞，在区间（0，2）和，∞上，f'（x）＞0；在区间，上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，∞，单调递减区间是，③当时，′，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当＞时，＜＜，在区间，和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间，上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是，和（2，+∞），单调递减区间是，．（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a-2（2a+1）+2ln2=-2a-2+2ln2，所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1，故＜．②当＞时，f（x）在，上单调递增，在，上单调递减，故．由＞可知＞＞，2lna＞-2，-2lna＜2，所以，-2-2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2-1．【解析】（Ⅰ）由函数，知′（x ＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．（Ⅱ）′（x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f（x）的单调区间．（Ⅲ）对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范围．本题考查导数在求函数的最大值与最小值问题中的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是分类不清导致致出错，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．。
山东高三模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析
山东高三模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}2324x A x -=> {}5B x x =≤，则A B =（ ）．A ．752x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．552x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．52x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．{}5x x ≤2．当a<0时，则关于x 的不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x ，则1212ab x x x x =++取得最值的充分条件是（ ）A ．有最大值 1b ≤-B ．有最小值b ≥-C ．有最大值 5b ≤-D ．有最小值b ≤3．已知扇形的半径为2 圆心角为45，则扇形的弧长是（ ） A ．45B ．π4C ．2π D ．904．在极坐标中点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到圆4cos ρθ=的圆心的距离为（ ）A ．3πBC ．2D5．设0.33a = 30.3b = 0.3log 3c =，则a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．设2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++ 若78a a =，则n =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．已知直线y =双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于不同的两点A 和B F 为双曲线C 的左焦点且满足AF BF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2 C1 D8．已知函数||||12e sin 432e 2x x x f x ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．404 B ．4044 C ．2022D ．2024二、多选题9．已知复数0z 、z 其中02i 3z =-，则下列结论正确的是（ ） A ．0z 的虚部为2iB ．0z 的共轭复数02i 3z =--C ．0z 是关于x 的方程26130x x ++=的一个根D ．若03z z -=，则z 在复平面内对应的点的集合是以()3,2-为圆心 3为半径的圆 10．已知函数31()423f x x x =-+ 下列说法中正确的有（ ） A ．函数()f x 的极大值为223 极小值为103- B ．当[]3,4x ∈时，则函数()f x 的最大值为223 最小值为103- C ．函数()f x 的单调减区间为[]22-,D ．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为42y x =-+11．已知线段BC 的长度为4 线段AB 的长度为m 点D ,G 满足AD DC = 0DG AC ⋅= 且G 点在直线AB 上 若以BC 所在直线为x 轴 BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则（ ） A ．当4m =时，则点G 的轨迹为圆B ．当68m ≤≤时，则点G 的轨迹为椭圆 且椭圆的离心率取值范围为12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．当2m =时，则点G 的轨迹为双曲线 且该双曲线的渐近线方程为y =D ．当5m =时，则BCG 面积的最大值为312．我国有着丰富悠久的“印章文化” 古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成 本是官员或私人签署文件时代表身份的信物 后因其独特的文化内涵 也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件 除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2 已知正四棱柱和正四棱锥的高相等 且底面边长均为2 若该几何体的所有顶点都在球O 的表面上，则（ ）A ．正四棱柱和正四棱锥的高均为12B ．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为12+C ．球O 的表面积为9πD ．正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为α、π2βα⎛⎫< ⎪⎝⎭，则αβ<三、填空题 13．若tan 2α=，则2sin cos cos sin cos ααααα++-=__________.14．设{}n a 是等差数列 且13a = 2414a a += 若37m a =，则m =___________.15．一批电池(一节)用于无线麦克风时，则其寿命服从均值为34.3小时，则标准差为4.3小时的正态分布 随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30小时的概率为______.(参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+= ()220.9545P X μσμσ-<≤+=)16．已知函数()()e 1xf x x =+ ()()1lng x x x =+ 若()()()121f x g x m m ==>，则112ln x x x m+的最小值为______．四、解答题17．如图 在ABC 中2BC = AC =π4A = 点M ､N 是边AB 上的两点 π6MCN ∠=.(1)求ABC 的面积；(2)当BN =求MN 的长.18．已知正项等比数列{}n a 前n 项和为12,n S a = 且324,2,a S a 成等差数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log n n b a = 其前n 项和为n T 求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H ．19．盲盒 是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子 具有随机性．因其独有的新鲜性 刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱．已知M 系列盲盒共有12个款式 为调查M 系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱 向00前、00后人群各随机发放了50份问卷 并全部收回．经统计 有45%的人未购买该系列育盒 在这些未购买者当中00后占23．(1)请根据以上信息填表 并分析是否有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？(2)一批盲盒中每个盲盒随机装有一个款式 甲同学已经买到3个不同款 乙、丙同学分别已经买到m 个不同款 已知三个同学各自新购买一个盲盒 且相互之间无影响 他们同时买到各自的不同款的概率为13．①求m ；②设X 表示三个同学中各买到自己不同款的总人数 求X 的分布列和数学期望．20．已知直线,a b 平面,αβ 且a α⊂ b β⊂ //αβ．判断直线,a b 的位置关系 并说明理由． 21．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边 222cos cos 1cos A C B +=+且1b = (1)求B ； (2)若12AB AC ⋅<求11a c +的取值范围.22．已知函数32()1f x x ax bx =+++在点(1,(1))P f 处的切线方程为420x y --=． (1)求函数()f x 的单调区间(2)若函数()()g x f x m =-有三个零点 求实数m 的取值范围．参考答案与解析1．B【分析】解指数不等式求得集合A 根据集合的交集运算可得答案. 【详解】解不等式2324x -> 即232522232,2,x x x ->->∴>∴ 故{}235242x A x x x -⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭ 故552A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭故选：B 2．C【解析】计算得到124x x a += 2123x x a =计算b ≤根据充分条件的定义得到答案.【详解】不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x 故124x x a += 2123x x a =.1212114433a b x x a a x x a a ⎛⎫=++=+=--+≤-= ⎪-⎝⎭当143a a -=-即a =时等号成立 根据充分条件的定义知C 满足. 故选：C .【点睛】本题考查了充分条件 不等式的解 均值不等式 意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．C【分析】由弧长公式求解即可.【详解】因为圆心角的弧度数为π4 所以扇形的弧长是ππ242⨯=.故选：C 4．C【分析】先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程 再求点到圆心的距离得解.【详解】由题得ππ2cos 1,2sin 33x y =⨯==⨯=所以点的坐标为因为4cos ρθ= 所以24cos ρρθ= 所以2240x y x +-= 即22(2)4x y -+= 所以圆心的坐标为(2,0)2=故选：C. 5．C【分析】根据对数函数、指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为0.30331>= 300.3100.3<=< 0.30.3log 3log 10<= 所以c b a << 故选：C 6．D【分析】根据二项展开式分别求出78,a a 的表达式 解方程即可求得结果.【详解】由题可知 ()77777777C 122C n n n a x x x -=⨯⨯= 所以7772C n a =； 同理可得8882C n a =；由78a a =可得77882C 2C n n = 即78C 2C n n =所以(1)(2)(6)(1)(2)(7)212371238n n n n n n n n --⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 即7218n -⨯= 解得11n =. 故选：D 7．C【分析】由题意设A B 的坐标 代入直线和双曲线的方程可得A B 的坐标 再由AF BF ⊥ 可得数量积0FA FB →→⋅= 可得a c 的关系 进而求出离心率. 【详解】设()()0000,,,,(,0)A x y B x y F c ---则2200221x y a b-=① 因为AF BF ⊥ 所以0FA FB →→⋅=即()()0000,,0x c y x c y +⋅-+-=可得22200c x y -=②因为AB 在直线y 上 所以0y x = 由①②③得42840e e -+=解得24e =+所以1e 故选：C【点睛】本题考查双曲线的性质 及直线的垂直用数量积为0表示 属于中档题. 8．B【分析】利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】||||||12e sin 4sin 322e 2e 2x x x x x f x ++⎛⎫+==+ ⎪++⎝⎭ ()||||sin 1sin 3222e 2e 2x x x x f x --⎛⎫-+=+=- ⎪++⎝⎭所以1133422f x f x ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以12x -替换3x 得()()1111142222f x fx f x f x ⎛⎫⎛⎫-++-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令122022202320232023f f f S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=则202220211202320232023f f S f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=两式相加得220224,4044S S =⨯=. 故选：B 9．BCD【分析】利用复数的概念可判断A 选项的正误；利用共轭复数的定义可判断B 选项的正误；解方程26130x x ++=可判断C 选项的正误；利用复数的几何意义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项 复数0z 的虚部为2- A 错； 对于B 选项 02i 3z =-- B 对；对于C 选项 解方程26130x x ++= 即()()22342i x +=-=± 可得32i x +=± 解得32i x =-± C 对；对于D 选项 设()i ,z x y x y R =+∈，则()()032i z z x y -=++-所以 03z z -== 即()()22329x y ++-=故z 在复平面内对应的点的集合是以()3,2-为圆心 3为半径的圆 D 对. 故选：BCD. 10．ACD【分析】利用导数研究函数()f x 的极值、最值、单调性 利用导数的几何意义可求得曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程 根据计算结果可得答案. 【详解】因为31()423f x x x =-+ 所以2()4f x x =-'由()0f x '> 得<2x -或2x > 由()0f x '< 得22x -<<所以函数()f x 在(,2)-∞-上递增 在[]22-,上递减 在(2,)+∞上递增 故选项C 正确 所以当2x =-时，则()f x 取得极大值3122(2)(2)4(2)233f -=⨯--⨯-+=在2x =时，则()f x 取得极小值3110(2)242233f =⨯-⨯+=- 故选项A 正确当[]3,4x ∈时，则()f x 为单调递增函数 所以当3x =时，则()f x 取得最小值31(3)343213f =⨯-⨯+=-当4x =时，则()f x 取得最大值3122(4)444233f =⨯-⨯+= 故选项B 不正确因为(0)4f '=- 所以曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为24(0)y x -=-- 即42y x =-+ 故选项D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间 考查了导数的几何意义 属于基础题.11．BCD【分析】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心 半径为m 的圆B 点D 为线段AB 的中点 点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC = 利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．【详解】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心 半径为m 的圆B 点D 为线段AB 的中点 点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC =当4m =时，则线段AC 为圆B 的弦，则AC 的中垂线过圆心B 点G 即点B A 错误； 当68m ≤≤时，则如图1 点G 在线段AB 上 连接GC 则GC GB GA GB AB m +=+==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的椭圆 即,22m a c则椭圆的离心率412,23c eamB 正确； 当G 为椭圆短轴顶点时，则BCG 面积的最大 若5m =时，则则2253,2,22ac b a c 最大面积为3bc = D 正确； 当2m =时，则过点C 作圆B 的切线 切点为,M N若点A 在劣弧MN （不包括端点,M N ）上 如图2 点G 在BA 的延长线上 连接GC 则2GB GC GB GA AB -=-==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的双曲线的左半支若点A 在优弧MN （不包括端点,M N ）上 如图3 点G 在AB 的延长线上 连接GC 则2GC GB GA GB AB -=-==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的双曲线的右半支 则点G 的轨迹为双曲线∴1,2,a c b ===渐近线方程为by x a=±= C 正确； 故选：BCD ．12．BC【分析】根据正四棱柱和正四棱锥的几何的性质结合球的对称性、球的表面积公式、线面角、二面角的定义逐一判断即可.【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高为h球O的半径为r根据正四棱柱和球的对称性可知：该几何体的外接球的球心为正四棱柱的中心球的直径2r 即为正四棱柱的体对角线 且正四棱柱的体心到正四棱锥的顶点的距离32h r = 根据正四棱柱的体对角线公式得2222224348(22292)r h r r r ⇒=+⇒+==+ 因此1h = 所求球的表面积为294π4π9π4r =⋅= 故选项A 不正确 C 正确； 在直角三角形EFG中EG ==所以正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为：14222421122⨯⨯⨯+⨯⨯=+所以选项B 正确 如图所示：1tan tan 11EGFα1tan tan 12FHE β=∠==显然有tan tan αβαβ>⇒>所以选项D 不正确 故选：BC13．【详解】222221tan 2,sin 2cos ,sin 4cos 1cos 4cos cos 5αααααααα=∴=∴=⇒-=⇒= 2sin cos 116cos 3sin cos 55ααααα++=+=- 14．18【分析】根据等差数列的通项公式 结合代入法进行求解即可.【详解】设该等差数列的公差为d 因为13a =所以由2414333142a a d d d +=⇒+++=⇒=由373(1)23718m a m m =⇒+-⋅=⇒=故答案为：1815．0.84135【分析】由题知()2~34.3,4.3X N 故()()30P X P X μσ≥=≥- 再结合正态分布3σ原则求解即可得答案.【详解】解：由题意知 ()2~34.3,4.3X N所以()()()3034.3 4.3P X P X P X μσ≥=≥-=≥-故()()1110.68270.841352P X μσ≥-=--=. 所以这节电池可持续使用不少于30小时的概率为0.84135.故答案为：0.8413516．e【分析】利用函数同构及函数单调性得到12ln x x = 问题转化为求()ln x h x x =（1x >）的最小值 利用导函数 研究其单调性 求出最小值.【详解】()()()()ln 1ln e 1ln ln x g x x x x f x =+=+=，则 ()()()12ln 1f x f x m m ==> 因为()()111e 11x f x x =+> 故1>0x 又当0x >时，则()()1e 10x f x x '=++>恒成立 即()()e 1x f x x =+单调递增 所以12ln x x =，则112l l n n x x x m m m=+ 令()ln x h x x =（1x >） ()()2ln 1ln x h x x -'= 当()1,e x ∈时，则()0h x '< 当()e,+x ∈∞时，则()0h x '> 所以()h x 在e x =处取得最小值 ()e e e ln e h == 112ln x x x m +的最小值为e .故答案为：e17．【分析】（1）利用正弦定理sin sin BC AC A B = 可求得1π6B = 根据()sin sinC A B =+结合面积公式求解；（2）在BCN △中利用余弦定理求1CN = 在直角CMN 中根据tan MN MCN CN=∠求解．【详解】（1）在ABC 中BC AC >，则A B >由正弦定理得：sin sin BC AC A B = 2sin 4π=，则1sin 2B = 因为(0,π)B ∈，则1π6B =或5π6B =（不合题意 舍去）则()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=ABC 的面积为1sin 2ABC S CB CA C =⋅⋅⋅=△（2）在BCN △中2BC = BN =π6B =由余弦定理可得1CN == 则有222BC BN CN =+ 所以CN AB ⊥在直角CMN 中1CN = π6MCN ∠=πtan 6MN CN ==MN =18．(1)2n n a =； (2)21n n +.【分析】（1）设{}n a 的公比为q 列方程求得q 后可得通项公式；（2）由题可得n b n T 然后利用裂项相消法即得．【详解】（1）设{}n a 的公比为q (0q >)因为12a = 且324,2,a S a 成等差数列所以()3421244a a S a a +==+所以23224(22)q q q +=+ 即()214(1)q q q +=+ 又0q > 所以2q所以2n n a =；（2）由题可知2log n n b a n ==所以n T ()1122n n n +=+++=()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n 所以11111122121223111n n H n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 19．(1)有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关(2)① 4；②见解析【分析】（1）列出列联表 计算出2K 然后判断.（2）①利用概率的乘法公式计算；②分析X 的取值后 由概率的加法公式和乘法公式计算 得到分布列 然后计算期望.【详解】（1）由题意可得则()22100353015201009.091 6.6355050455511K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关. （2）①由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为9121211212123m m 解得20m =或4 因为012m <≤ 所以4m =.②由题X 的所有可能取值为0 1 2 33441012121236P X； 94438471212121212121236P X； 9843884221212121212129P X ； ()133P X == 其分布列为所以数学期望()174125012336369312E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．它们是平行直线或异面直线；答案见解析．【分析】利用反证法 根据两条直线交点的个数 可判断其位置关系；【详解】直线,a b 的位置关系是平行直线或异面直线；理由如下：由//αβ 直线,a b 分别在平面α β内可知直线,a b 没有公共点．因为若,a b 有公共点 那么这个点也是平面α β的公共点这与是平面α β平行矛盾．因此直线,a b 不相交 它们是平行直线或异面直线．21．(1)π2(2)()+∞【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；（2）由12AB AC ⋅<推得0c << 再由221a c +=设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭ 将11a c +转化为sin cossin cos θθθθ+ 再引入(sin cos ,t t θθ=+∈ 得(2112,1t t a c t +=∈- 最后利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b += 所以ABC 为直角三角形所以π2B =（2）221cos 2AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==< 所以0c < 而221a c += 所以设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ++=+=令(πsin cos ,4t t θθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭又因为22(sin cos )12sin cos t θθθθ=+=+ 所以21sin cos 2t θθ-=所以(2112,1t t a c t +=∈-令(222,11t y t t t t ==∈-- 因为1t t -在(t ∈上单调递增 所以21y t t =-在(t ∈上单调递减所以21y >=所以11a c +的取值范围为()+∞. 22．(1)单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (2)22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意 列出方程组求得()321f x x x x =+-+ 得到()2321f x x x '=+- 进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到()321g x x x x m =+-+- 结合条件列出不等式组 即得.（1）由题可得2()32f x x ax b '=++由题意得(1)22(1)324f a b f a b =++=⎧⎨=++='⎩ 解得1,1a b ==-所以322()1,()321f x x x x f x x x =+-+=+-'由()0f x '>得1x <-或13x > 由()0f x '<得113x -<< 所以()f x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； （2）因为322()()1,()()321g x f x m x x x m g x f x x x =-=+-+='-=+-'由（1）可知 ()g x 在=1x -处取得极大值 在13x =处取得极小值()g x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 依题意 要使()g x 有三个零点，则(1)0103g g ->⎧⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩ 即()1201220327g m g m ⎧-=->⎪⎨⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得22227m << 经检验 (2)10,(2)110g m g m -=-<=+> 根据零点存在定理 可以确定函数有三个零点所以m 的取值范围为22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
2014年高考数学(理)三轮专项模拟(通用)试卷数列、推理与证明(含新题详解)
数列、推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·黄冈模拟)集合M＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，则M∩N等于()A．[0，＋∞)B．[0,1)C．(1，＋∞) D．(0,1]【解析】由x2＋1≥1知lg(x2＋1)≥0，所以M＝{y|y≥0}，由4x＞4知x＞1，所以N＝{x|x＞1}，所以M∩N＝{x|x＞1}，故选C.【答案】 C2．如果命题“綈(p∧q)”是真命题，则()A．命题p、q均为假命题B．命题p、q均为真命题C．命题p、q中至少有一个是真命题D．命题p、q中至多有一个是真命题【解析】命题“綈(p∧q)”是真命题，则命题“p∧q”是假命题，则命题p、q中至多有一个是真命题，故选D.【答案】 D3．(2013·课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A.13B．－13C.19D．－19【解析】设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，∴⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，∴⎩⎨⎧a 1q 2＝9a 1，a 1q 4＝9，解得a 1＝19，故选C. 【答案】 C4．下列函数中与函数y ＝－3|x |奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1x B ．y ＝log 2|x | C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1【解析】 函数y ＝－3|x |是偶函数且在(－∞，0)是增函数，故选C. 【答案】 C5．(2013·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B ．19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)【解析】 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10).【答案】 C6．已知向量a 、b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为( ) A ．48 B ．32 C ．1D ．0【解析】 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋b 2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0. 【答案】 D7．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 在等比数列中，a 2a n －1＝a 1a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－qa n 1－q ＝2－32q1－q ＝62，解得q ＝2，又a n ＝a 1q n －1，所以2×2n －1＝2n ＝32，解得n ＝5.同理当a 1＝32，a n ＝2时，由S n ＝62解得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124，即n －1＝4，n ＝5.综上，项数n 等于5，故选B.【答案】 B8．(2013·东城模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 013的值是( )A ．8B ．6C ．4D ．2【解析】 a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4,4×7＝28，所以a 4＝8,4×8＝32，所以a 5＝2,2×8＝16，所以a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，所以从第三项起，a n 成周期排列，周期数为6,2 013＝335×6＋3，所以a 2 013＝a 3＝4，故选C.【答案】 C第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 9．(2013·宁波模拟)等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，使得a n ＞0的最小正整数n 为________．【解析】 由S 13＝13(a 1＋a 13)2＝0得a 1＋a 13＝2a 7＝0，所以a 7＝0，又a 1＝－12，故n ≥8时，a n ＞0.【答案】 810．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55，则sin 2α的值为________． 【解析】 由已知得sin α＝55，cos α＝－255， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎪⎫－255＝－45.【答案】 －4511．由直线y ＝2与函数y ＝2cos 2x2(0≤x ≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．【解析】 y ＝2cos 2x2＝cos x ＋1，则所求面积为S ＝∫2π0[]2－(cos x ＋1)d x ＝(x －sin x )|2π0＝2π.【答案】 2π12．(2013·潍坊模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，b 2＋c 2－a 2＝3bc ，则角B ＝________.【解析】 由b 2＋c 2－a 2＝3bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝30°.由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 得 sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin 2C ， 即sin(A ＋B )＝sin 2C ， 所以sin C ＝sin 2C . 因为0°＜C ＜180°， 所以sin C ＝1， 即C ＝90°， 所以B ＝60°. 【答案】 60°13．(2013·淄博模拟)如图1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n (n ≥2)行的第2个数为________．图1【解析】 由已知得第n (n ≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n －2)＋1]＝3＋(n －2)×2n 2＝n 2－2n ＋3.【答案】 n 2－2n ＋314．(2013·孝感模拟)现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________.【解析】 设对应的数列为{a n }，公差为d (d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n ，由a n ＋a n －1＋a n －2＝114得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，(a 1＋5d )2＝a 1(a n －1＋d )，即(10＋5d )2＝10(38＋d )，解得d ＝2，所以a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.【答案】 16三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(2013·安徽高考)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝()a n －a n＋1＋a n ＋2x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【解】 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N *，f ′(π2)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8解得{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n (n ＋1)2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－(12)n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n . 16．(本小题满分12分)(2013·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限，已知A (－1,3)．(1)若OA ⊥OB ，求tan α的值； (2)若B 点横坐标为45，求S △AOB .【解】 (1)由题可知：A (－1,3)，B (cos α，sin α)， OA→＝(－1,3)，OB →＝(cos α，sin α)，由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0， ∴－cos α＋3sin α＝0，tan α＝13. (2)∵cos α＝45，∴sin α＝1－cos 2α＝35， 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35，∴OA →＝(－1,3)，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35，∴|OA |＝(－1)2＋(3)2＝10，|OB |＝1， 得cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－1×45＋3×3510×1＝1010，∴sin ∠AOB ＝1－cos 2∠AOB ＝31010，则S △AOB ＝12|AO ||BO |sin ∠AOB ＝12×10×1×31010＝32.17．(本小题满分14分)(2013·青岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令d n ＝1＋log a a 2n ＋1＋a 2n ＋25(a ＞0，a ≠1)，记数列{d n }的前n 项和为S n，若S 2n S n 恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.【解】 (1)由题知a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1，① 所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－1.②由①－②得：a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，当n ＝2时，a 1－a 2＝－1， 因为a 1＝1，所以a 2＝2，a 2a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)因为a n ＝2n －1，所以d n ＝1＋log a a 2n ＋1＋a 2n ＋25＝1＋2n log a 2.因为d n ＋1－d n ＝2log a 2，所以{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列， 所以S 2nS n＝2n (1＋2log a 2)＋2n (2n －1)2×2log a 2n (1＋2log a 2)＋n (n －1)2×2log a 2＝2＋(4n ＋2)log a 21＋(n ＋1)log a 2＝λ⇒(λ－4)n log a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0， 因为S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ，所以⎩⎨⎧(λ－4)log a 2＝0，(λ－2)(1＋log a 2)＝0，解得λ＝4，a ＝12.18．(本小题满分14分)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式． (2)设该生产线前n 年的维护费用为S n ，求S n .【解】 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，故a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列，则此时a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，n ≥8.(2)当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ， 当n ≥8时，由S 7＝70，得S n ＝70＋16×54×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －71－54 ＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10，所以该生产线前n 年的维护费用为 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋3n ，1≤n ≤7，80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10，n ≥8. 19．(本小题满分14分)(2013·天津模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝1，且点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式． (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和D n .(3)设c n ＝a n ·sin 2n π2－b n ·cos 2n π2(n ∈N *)，求数列{c n }的前2n 项和T 2n . 【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，所以a n ＝2n ，又点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上，所以b n ＋1＝b n ＋2， 所以{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，所以b n ＝2n －1. (2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)×2n ，所以D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，① 2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1.②①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1 ＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6， 则D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.(3)c n ＝⎩⎨⎧2n， n 为奇数，－(2n －1)， n 为偶数，T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(b 2＋b 4＋…＋b 2n ) ＝2＋23＋…＋22n －1－[3＋7＋…＋(4n －1)]＝22n ＋1－23－2n 2－n .20．(本小题满分14分)(2013·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝2n a n .(1)求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ＋1n a n 的前n 项和为T n ，证明：n ∈N *且n ≥3时，T n ＞5n2n ＋1.(3)设数列{c n }满足a n (c n －3n )＝(－1)n －1λn (λ为非零常数，n ∈N *)，问是否存在整数λ，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1＞c n .【解】 (1)在S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，即a 1＝12，当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋2，所以a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以2a n ＝a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1.因为b n ＝2n a n ，所以b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ＝2n a n ，所以a n ＝n2n (n ∈N *)． (2)由(1)得c n ＝n ＋1n a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以T n ＝2×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，①12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.② 由①－②得12T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝1＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1，所以T n ＝3－n ＋32n ，T n －5n 2n ＋1＝3－n ＋32n －5n2n ＋1＝(n ＋3)(2n －2n －1)2n (2n ＋1)，于是确定T n 与5n 2n ＋1的大小关系等价于比较2n 与2n ＋1的大小，由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；… 可猜想当n ≥3时，2n ＞2n ＋1，证明如下： 方法一：①当n ＝3时，对上式验算显示成立． ②假设当n ＝k 时成立，则n ＝k ＋1(k ≥2)时，2k ＋1＝2·2k ＞2(2k ＋1)＝4k ＋2＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)＞2(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．综合①②可知，对一切n ≥3的正整数，都有2n ＞2n ＋1. 方法二：当n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2＞2n ＋1，综上所述，当n ≥3时，T n ＞5n 2n ＋1.(3)因为c n ＝3n＋(－1)n －1λ·na n＝3n ＋(－1)n －1λ·2n ，所以c n ＋1－c n ＝[3n ＋1＋(－1)n λ·2n ＋1]－[3n ＋(－1)n －1λ·2n ] ＝2·3n －3λ(－1)n －1·2n ＞0， 所以(－1)n －1·λ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.①当n ＝2k －1(k ＝1,2,3，…)时，①式即为λ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫322k －2，②依题意，②式对k ＝1,2,3，…都成立，所以λ＜1，当n ＝2k ，k ＝1,2,3，…时，①式即为λ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫322k －1，③ 依题意，③式对k ＝1,2,3，…都成立，所以λ＞－32，所以－32＜λ＜1，又λ≠0，所以存在整数λ＝－1，使得对任意n ∈N *有c n ＋1＞c n .。
数学_2014年山东省德州市高考数学一模试卷(理科)_(含答案)
2014年山东省德州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分把正确答案涂在答题卡上． 1. 已知全集为R ，集合A ={x|(12)x ≤1}，B ={x|x ≥2}，A ∩∁R B =( ) A [0, 2) B [0, 2] C (1, 2) D (1, 2]2. 设复数z =2i−1+i ，则复数z 2的实部与虚部的和为( )A 0B 2C −2D 43. 对具有线性相关关系的变量x ，y ，有一组观测数据(x i , y i )(i =1, 2,…,8)，其回归直线方程是：y ̂=16x +a ，且x 1+x 2+x 3+...+x 8=3，y 1+y 2+y 3+...+y 8=6，则实数a 的值是（ ）A 116 B 18 C 14 D 11164. 若a ，b 均为实数，且方程x 2−2(a +1)x −b 2+2b =0无实根，则函数y =log （a+b ）x 是增函数的概率是（ ）A 14−12π B π4−12 C 12π D 12−14π5. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2−b 2=√3bc ，sinC =2√3sinB ，则∠A 的值为（ ） A π6 B π3 C 5π6 D 2π36. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤1x −y ≤1x ≥a ，若x +2y ≥−5恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A (−∞, −1]B [−1, +∞)C [−1, 1]D [−1, 1) 7. 函数y =x +sinx ，x ∈[−π, π]的大致图象是( )A BCD8. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的焦距为2√5，抛物线y =116x 2+1与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ） A x 28−y 22=1 B x 22−y 28=1 C x 2−y 24=1 D x 24−y 2=19. 已知平面内的三点A ，B ，O 不共线，且AP →=λOA →+μOB →，则A ，P ，B 三点共线的一个必要不充分条件是( )A λ=μB |λ|=|μ|C λ=−μD λ=1−μ10. 已知函数y =f(x)是定义在R 上的奇函数，对∀x ∈R 都有f(x −1)=f(x +1)成立，当x∈(0, 1]且x1≠x2时，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0．给出下列命题：(1)f(1)=0(2)f(x)在[−2, 2]上有5个零点(3)(2013, 0)是函数y=f(x)的一个对称中心(4)直线是函数y=f(x)图象的一条对称轴则正确命题个数是（）A 1B 2C 3D 4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11. 执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为________．12. 设a>1．若曲线y=1x与直线y=0，x=1，x=a，所围成封闭图形的面积为2，则a=________．13. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．14. 不等式|2x−1|−|x+2|≥3的解集是________．15. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x, y, z)，若x+y+z是3的倍数，则满足条件的点的个数为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 已知函数f(x)=cos(π3+x)cos(π3−x)+√3sinxcosx+14（1）求函数f(x)的最小正周期和最大值；（2）若f(θ+π12)=13，θ∈(π4，π2)，求sin2θ的值．17. 在一次综合知识竞赛中，有两道填空题和两道解答题，填空题每题5分，解答题每题10分，某参赛者答对填空题的概率都是34，答对解答题的概率都是23，解答备题的结果是相互独立的．（1）求该参赛者恰好答对一道题的概率；（2）求该参赛者的总得分X 的分布列及数学期望E(X)．18. 如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC =90∘，CD // AB ，AB =4，AD =CD =2，M 为线段AB 的中点．将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D −ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)求二面角A −CD −M 的余弦值.19. 将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排列成如图数表，已知图中的第一列数a 1，a 2，a 5⋯构成一个等差数列，记为数列{b n }，且b 2=4，b 5=10，图中每一行正中间一个数a 1，a 3，a 7，⋯构成数列{c n }，其前n 项和为S n ．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若图中从第2行开始，每一行中的数按从左到右的顺序均成等比数列，且公比是同一个正数，已知a 19=52，求S n ．20. 设函数f(x)=lnx −ax(a ∈R)（e =2.718 28…是自然对数的底数）． （1）判断f(x)的单调性；（2）当f(x)<0在(0, +∞)上恒成立时，求a 的取值范围； （3）证明：当x ∈(0, +∞)时，x+1e x(1+x)1x<e ．21. 已知点A 、B 分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的左、右端点，点C 是椭圆短轴的一个端点，且离心率e =√22，S △ABC =√2．动直线，l:y =kx +m 与椭圆于M 、N 两点．（I ）求椭圆的方程；（II ）若椭圆上存在点P ，满足OM →+ON →=λOP →（O 为坐标原点），求λ的取值范围； （III ）在(II)的条件下，当λ取何值时，△MNO 的面积最大，并求出这个最大值．2014年山东省德州市高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. C3. D4. A5. A6. C7. A8. D9. B 10. C 11. 23 12. e 2 13. 3214. (−∞, −43]∪[6, +∞)15. 25216. 解：（1）f(x)=(cos π3cosx −sin π3sinx)(cos π3cosx +sin π3sinx)+√32sin2x +14=14cos 2x −34sin 2x +√32sin2x +14 =12cos2x +√32sin2x =sin(2x +π6)，∴ 函数f(x)的最小正周期T =2π2=π，最大值为1；（2）f(θ+π12)=13，即sin(2θ+π3)=13，∵ θ∈(π4，π2)，2θ+π3∈(5π6, 4π3)， ∴ cos(2θ+π3)=−√1−(13)2=−2√23， ∴ sin2θ=sin(2θ+π3−π3)=sin(2θ+π3)cos π3−cos(2θ+π3)sin π3=13×12−(−2√23)×√32=1+2√66． 17. 解：（1）设参赛者答对填空题为事件A i (i =1, 2)，答对解答题为事件B i (i =1, 2)，则有P(A 1¯A 2¯B 1¯B 2)=P(A 1¯A 2¯B 1B 2¯)=(14)2×13×23=172， P(A 1A 2¯B 1¯B 2¯)=P(A 1¯A 2B 1¯B 2¯)=14×34×(13)2=148，所以该参赛者恰好答对一道题的概率为： P =2×172+2×148=572．（2）由题意知X 可能的取值为0，5，10，15，20，25，30， P(X =0)=P(A 1¯A 2¯B 1¯B 2¯)=(14)2•(13)2=1144，P(X =5)=P(A 1A 2¯B 1¯B 2¯)+P(A 1¯A 2B 1¯B 2¯)=2×14×34×(13)2=124， P(X =10)=P(A 1A 2¯B 1¯B 2¯)+P(A 1¯A 2¯B 1¯B 2)+P(A 1¯A 2¯B 1B 2)¯=(34)2×(13)2+2×(14)2×13×23=13144，P(X =15)=P(A 1A 2¯B 1¯B 2)+P(A 1A 2¯B 1B 2¯)+P(A 1¯A 2B 1¯B 2)+P(A 1¯A 2B 1B 2¯) =4×14×34×23×13=16．P(X =20)=P(A 1A 2B 1¯B 2)+P(A 1A 2B 1B 2¯)+P(A 1¯A 2¯B 1B 2) =2×(34)2×13×23+(14)2×(23)2=518，P(X =25)=P(A 1¯A 2B 1B 2)+P(A 1A 2¯B 1B 2) =2×14×34×(23)2=16，P(X =30)=P(A 1A 2B 1B 2)=(24)2(23)2=14，∴ X 的分布列为：∴ EX =0×1144+5×124+10×13144+15×16+20×518+25×16+30×14=1256．18. (1)证明：在图1中，可得AC =BC =2√2， ∴ AC 2+BC 2=AB 2， ∴ AC ⊥BC .取AC 中点O ，连结DO ，则DO ⊥AC .又∵ 面ADC ⊥面ABC ，面ADC ∩面ABC =AC ，DO ⊂面ACD ， ∴ OD ⊥平面ABC ，∴ OD ⊥BC .又∵ AC ⊥BC ，AC ∩OD =O ， ∴ BC ⊥平面ACD . 另在图1中，可得AC =BC =2√2， ∴ AC 2+BC 2=AB 2， ∴ AC ⊥BC .∵ 面ADC ⊥面ABC ，面ADC ∩面ABC =AC ，BC ⊂面ABC ， ∴ BC ⊥平面ACD ；(2)解：建立空间直角坐标系O −xyz 如图所示，则M(0,√2,0)，C(−√2,0,0)， D(0,0,√2)，CM →=(√2,√2,0)， CD →=(√2,0,√2).设n 1→=(x,y,z)为面CDM 的法向量，则{n 1→⋅CM →=0，n 1→⋅CD →=0 即{√2x +√2y =0，√2x +√2z =0，解得{y =−x ，z =−x ，令x =−1，可得n 1→=(−1,1,1). 又n 2→=(0,1,0)为面ACD 的一个法向量， ∴ cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=1√3=√33， ∴ 二面角A −CD −M 的余弦值为√33．19. 解：(1)设{b n }的公差为d ，依题意 得{b 1+d =4，b 1+4d =10， 解得{b 1=2，d =2，∴ b n =2+2(n −1)=2n ；(2)设每一行组成的等比数列的公比为q ，由于前n 行共有1+3+5+...+(2n −1)=n 2个数，且42<19<52， ∴ a 17=b 5=10， ∴ a 19=a 17q 2=10q 2. 又a 19=52，解得q =12，∴ c n =2n ⋅(12)n−1=n2n−2， ∴ S n =c 1+c 2+⋯+c n =12−1+220+⋯+n 2n−2，∴ 12S n =120+221+⋯+n 2n−1， 两式相减可得12S n =4−n+22n−1，∴ S n =8−n+22n−2．20. 解：（1）∵ f(x)=lnx −ax ， ∴ f′(x)=1x −a ，又函数f(x)的定义域为(0, +∞)，当a ≤0时，f′(x)>0，此时f(x)在(0, +∞)上是增函数；当a >0时，x ∈(0, 1a)时，f′(x)>0，此时f(x)在(0, 1a)上是增函数；x ∈(1a , +∞)时，f′(x)<0，此时f(x)在(1a , +∞)上是减函数； 综上，当a ≤0时，f(x)在(0, +∞)上是增函数；当a >0时，f(x)在(0, 1a)上是增函数，f(x)在(1a, +∞)上是减函数；（2）当f(x)<0在(0, +∞)上恒成立， 即a >lnx x在(0, +∞)上恒成立，设g(x)=lnx x，则g′(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0, e)时，g′(x)>0，g(x)为增函数； 当x ∈(e, +∞)时，g′(x)<0，g(x)为减函数． 故当x =e 时，g(x)取得极大值，也为最大值，且为1e ， 所以a 的取值范围是(1e , +∞)；（3）要证当x ∈(0, +∞)时，x+1e x (1+x)1x<e ，可设t =1+x ，t ∈(1, +∞)，只要证t 1+1t−1<e t ，两边取以e 为底的对数， 得tt−1lnt <lne t ，即lnt <t −1，由（1）当a =1时的情况得f(x)=lnx −x 的最大值为−1，此时x =1， 所以当t ∈(1, +∞)时lnt −t <−1， 即得lnt <t −1，所以原不等式成立．21. 解：(I)由题意，{√a 2−b 2a=√2212×2a ×b =√2，∴ a =√2，b =1∴ 椭圆的方程为x 22+y 2=1；(II)y =kx +m 代入椭圆方程整理可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0． 设点M 、N 的坐标分别为M(x 1, y 1)、N(x 2, y 2)、P(x 0, y 0)，则 x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−21+2k 2∴ y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2（1）当m =0时，点M 、N 关于原点对称，则λ=0． （2）当m ≠0时，点M 、N 不关于原点对称，则λ≠0， ∵ OM →+ON →=λOP →，∴ (x 1, y 1)+(x 2, y 2)=λ(x 0, y 0)， ∴ x 1+x 2=λx 0，y 1+y 2=λy 0， ∴ x 0=−4kmλ(1+2k 2)，y 0=2mλ(1+2k 2) ∵ P 在椭圆上，∴ [4kmλ(1+2k 2)]2+2[2mλ(1+2k 2)]2=2化简，得4m 2(1+2k 2)=λ2(1+2k 2)2． ∵ 1+2k 2≠0，∴ 有4m 2=λ2(1+2k 2)．…①又∵ △=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−2)=8(1+2k 2−m 2)， ∴ 由△>0，得1+2k 2>m 2．…② 将①、②两式，∵ m ≠0，∴ λ2<4， ∴ −2<λ<2且λ≠0． 综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是−2<λ<2； （III ）由题意，|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|，点O 到直线MN 的距离d =√1+k 2∴ S △MNO =12|MN|d =12|m||x 1−x 2|=√2|m|√1+2k 2−m 21+2k 2由①得1+2k 2=4m 2λ2，代入上式并化简可得S △MNO =√24⋅√λ2(4−λ2)∵ √λ2(4−λ2)≤λ2+(4−λ2)2=2∴ S△MNO≤√22当且仅当λ2=4−λ2，即λ=±√2时，等号成立∴ 当λ=±√2时，△MNO的面积最大，最大值为√2．2。
山东省德州市2014届高三3月模拟考试理科数学Word版无答案
德州市高中三年级模拟检测数学(理科)试题2014 .3本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1—2页．第Ⅱ卷3—4页，共150分。
测试时间120分钟。
注意事项：选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
第I 卷 (共50分)一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分把正确答案涂在答题卡上。
1．已知全集为R ，集合A={1|()12x x ≤}，B={|2x x ≥}，R A B ð= A ．[0，2) B ．[0，2] C ．(1，2) D ．(，2]2．设复数21i z i=-+，则复数2z 的实部与虚部的和为 A ．0 B ．2 C ．2 D ．43．对具有线性相关关系的变量x ，y ，有一组观测数据(i x ，i y )(i =1，2，…，8)，其回归直线方程是：16y x a =+，且12381238...3(...)6x x x x y y y y ++++=++++=，则实数a 的值是A ．116B ．18C ．14D ．11164．若a ，b 均为实数，且方程222(1)20x a x b b -+-+=无实根，则函数()log a b y x +=是增函数的概率是A ．1142π-B ．142π-C ．12πD ．1124π- 5．∆ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若22sin a b C B -==，，则A=A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π 6．已知变量x ，y 满足约束条件11x y x y x a +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，若25x y +≥-恒成立，则实数a 的取值范围为A ．(-∞，-1]B ．[-1，+∞)C ．[-1，1]D ．[-1，1)7．函数sin ,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图象是8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为21116y x =+与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为A ．22182x y -=B ．22128x y -= C ．2214y x -= D ．2214x y -= 9．已知平面内点A ，B ，O 不共线，AP OA OB λμ=+，则A ，P ，B 三点共线的必要不充分条件是A ．=λμB ．||=||λμC ．=-λμD ．=1-λμ10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈都有(1)(1)f x f x -=+成立，当(0,1]x ∈且12x x ≠时，有2121()()0f x f x x x -<-。
山东省德州市2014届高三数学考前50题
山东省德州市2014届高三数学考前50题1.如图，我国的海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东142海里处．(1)求此时该外国船只与D岛的距离；(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．(参考数据：sin 36°52′≈0.6，sin 53°08′≈0.8)解：(1)依题意，在△ABD中，∠DAB＝45°，由余弦定理得，DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠DAB＝(142)2＋162－2×142×16×22＝200，(4分)所以DB＝10 2.即此时该外国船只与D岛的距离为102海里．(5分)(2)过点B作BC⊥AD于点C.因为在Rt△BAC中，AC＝AB·cos∠BAD＝16×22＝82，BC＝AB·sin∠BAD＝16×22＝82，所以CD＝AD－AC＝142－82＝6 2.(7分)以D为圆心，12为半径作圆交BC于点E，连接AE，DE.在Rt△CED中，CE＝ED2－CD2＝62，如此BE＝82－62＝2 2.在Rt△AEC中，AE＝AC2＋CE2＝102，sin∠EAC＝CEAE ＝35，所以∠EAC≈36°52′.(9分)又外国船只到达点E的时间t＝BE4＝224＝22(小时)，(10分)所以海监船速度v ≥AE t ＝10222＝20(海里/小时)．故海监船的航向为北偏东约90°－36°52′＝53°08′，速度的最小值为每小时20海里．(13分) 2. 设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角．(1)设f (A )＝sin A ＋2sin A2，当A 取A 0时，f (A )取极大值f (A 0)，试求A 0和f (A 0)的值；(2)当A 取A 0时，AB →·AC →＝－1，求BC 边长的最小值． 解：(1)f ′(A )＝cos A ＋cos A2＝2cos 2A 2＋cos A2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos A 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2＋1.(2分) 因为0＜A ＜π，所以cos A2＋1＞0.由f ′(A )＞0，得cos A 2＞12，所以0＜A 2＜π3，即0＜A ＜2π3.(4分)所以当A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3时，f (A )为增函数；当A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π时，f (A )为减函数．故A 0＝2π3时，f (A )取极大值f (A 0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝332.(6分) (2)设a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边．由AB →·AC →＝－1知bc ＝2，(8分) 而a ＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ＝6，(10分)当且仅当b ＝c ＝2时，BC 边长的最小值为 6.(12分) 3.关于f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，有以下命题： ①假设f (x 1)＝f (x 2)＝0，如此x 1－x 2＝k π(k ∈Z)； ②f (x )图象与g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4图象一样；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π8，－3π8上是减函数；④f (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称．其中正确的命题是________．解析：①不正确，∵x 1，x 2可关于对称轴对称；∵g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋3π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－〔－2x ＋3π4〕＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故②正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π8，－3π8时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π2，∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π8，－3π8上是减函数，故③正确；当x ＝－π8时，2x ＋π4＝0，∴④正确． 答案：②③④ 4.函数f (x )＝f ′〔1〕e ·e x－f (0)·x ＋12x 2(e 是自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的解析式和单调区间；(2)假设函数g (x )＝12x 2＋a 与函数f (x )的图象在区间[－1，2]上恰有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．解：(1)由得f ′(x )＝f ′〔1〕ee x－f (0)＋x ，∴f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1.(2分) 又f (0)＝f ′〔1〕e，∴f ′(1)＝e.从而f (x )＝e x－x ＋12x 2.(4分)显然f ′(x )＝e x－1＋x 在R 上单调递增且f ′(0)＝0，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.∴f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)．(7分) (2)由f (x )＝g (x )得a ＝e x－x .令h (x )＝e x－x ，如此h ′(x )＝e x－1.由h ′(x )＝0得x ＝0.(9分)当x ∈(－1，0)时，h ′(x )＜0；当x ∈(0，2)时，h ′(x )＞0. ∴h (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增， 又h (0)＝1，h (－1)＝1＋1e，h (2)＝e 2－2且h (－1)＜h (2)，∴两个图象恰有两个不同的交点时，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e .(13分) 5.f 0(x )＝x e x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N *.(1)请写出f n (x )的表达式(不需要证明)； (2)求f n (x )的极小值；(3)设g n (x )＝－x 2－2(n ＋1)x －8n ＋8，g n (x )的最大值为a ，f n (x )的最小值为b ，证明：a －b ≥e －4.解：(1)f n (x )＝(x ＋n )·e x(n ∈N *)．(3分) (2)因为f n (x )＝(x ＋n )·e x ，所以f ′n (x )＝(x ＋n ＋1)·e x.因为x＞－(n＋1)时，f′n(x)＞0；x＜－(n＋1)时，f′n(x)＜0，所以当x＝－(n＋1)时，f n(x)取得极小值f n(－(n＋1))＝－e－(n＋1)．(6分)(3)依题意，a＝g n(－n＋1)＝(n－3)2，又b＝f n(－(n＋1))＝－e－(n＋1)，所以a－b＝(n－3)2＋e－(n＋1)．令h(x)＝(x－3)2＋e－(x＋1)(x≥0)，(8分)如此h′(x)＝2(x－3)－e－(x＋1)，又h′(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以h′(x)≥h′(0)＝－6－e－1.又h′(3)＝－e－4＜0，h′(4)＝2－e－5＞0，所以存在x0∈(3，4)使得h′(x0)＝0.(11分)所以当0≤x＜x0时，h′(x)＜0；当x＞x0时，h′(x)＞0.即h(x)在区间[x0，＋∞)上单调递增，在区间[0，x0)上单调递减，所以h(x)min＝h(x0)．(12分)又h(3)＝e－4，h(4)＝1＋e－5，h(4)＞h(3)，所以当n＝3时，a－b取得最小值e－4，即a－b≥e－4.(14分)6．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集、R为实数集，C为复数集)：①“假设a，b∈R，如此a－b＝0⇒a＝b〞类比推出“假设a，b∈C，如此a－b＝0⇒a ＝b〞；②“假设a，b，c，d∈R，如此复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d〞类比推出“假设a，b，c，d∈Q，如此a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d〞；③“假设a，b∈R，如此a－b＞0⇒a＞b〞类比推出“假设a，b∈C，如此a－b＞0⇒a ＞b〞．其中类比得到的正确结论有________．(填上所有正确的序号)①②7.函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d (b ，c ，d 为常数)，当k ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f (x )－k ＝0只有一个实根；当k ∈(0，4)时，f (x )－k ＝0有3个相异实根． 现给出如下四个命题：①f (x )－4＝0和f ′(x )＝0有一个一样的实根； ②f (x )＝0和f ′(x )＝0有一个一样的实根；③f (x )－3＝0的任一实根大于f (x )－1＝0的任一实根； ④f (x )＋5＝0的任一实根小于f (x )－2＝0的任一实根． 其中正确命题的序号是________．解析：令x 1，x 2(x 1＜x 2)为函数f (x )的极值点，由可得函数f (x )的极大值为f (x 1)＝4，极小值为f (x 2)＝0，又f ′(x 1)＝0，f ′(x 2)＝0，故①对；f (x )＝0和f ′(x )＝0有一个一样的实根x 2，②对；结合函数的图象可知f (x )＋5＝0的解均小于f (x )－2＝0的任一实根，④对；f (x )－3＝0和f (x )－1＝0均有3个实根，无法比拟大小，故正确的有①②④. 答案：①②④8.设函数f (x )＝2 013x ＋1＋2 0122 013x＋1＋2 014sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝________．解析：依题意得，f (x )＝2 013－12 013x ＋1＋2 014sin x ，注意到12 013x ＋1＋12 013－x＋1＝1，且函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数(注：函数y ＝－12 013x＋1与y ＝2 014sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上都是增函数)，故M ＋N ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4 026－1＝4 025. 答案：4 0259.设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g 〔x 1〕k ≤f 〔x 2〕k ＋1恒成立，如此正数k 的取值范围是________．解析：∵k 为正数，∴对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g 〔x 1〕k ≤f 〔x 2〕k ＋1恒成立⇒⎣⎢⎡⎦⎥⎤g 〔x 〕kmax ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 〔x 〕k ＋1min由g′(x)＝e x ＋2〔1－x 〕e 2x＝0得x ＝1，x ∈(0，1)，g ′(x)＞0，x ∈(1，＋∞)，g ′(x)＜0， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤g 〔x 〕k max ＝g 〔1〕k ＝e k . 同理f′(x)＝e 2x 2－1x2＝0⇒x ＝1e，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e ，f ′(x)＜0， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e，＋∞， f ′(x)＞0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 〔x 〕k ＋1min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ek ＋1＝2ek ＋1， ∴e k ≤2ek ＋1，k ＞0，∴k ≥1. 答案：[1，＋∞) 10.函数f (x )＝x a的图象过点(4，2)，令a n ＝1f 〔n ＋1〕＋f 〔n 〕，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，如此S 2 013＝( )A. 2 012－1B. 2 013－1C. 2 014－1D. 2 014＋1解析：选C.由f(4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，如此f(x)＝x 12.∴a n ＝1f 〔n ＋1〕＋f 〔n 〕＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 014－2 013)＝ 2 014－1.11.数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2.假设函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x2，记y n ＝f (a n )，如此数列{y n }的前9项和为( )A ．0B ．－9C ．9D ．1解析：选C.由数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *可知该数列是等差数列，根据题意可知只要该数列中a 5＝π2，数列{y n }的前9项和就能计算得到一个定值，又因为f (x )＝sin 2x ＋1＋cos x ，如此可令数列{a n }的公差为0，如此数列{y n }的前9项和为S 9＝(sin 2a 1＋sin 2a 2＋…＋sin 2a 9)＋(cos a 1＋cos a 2＋…＋cos a 9)＋9＝9sin2a 5＋9cos a 5＋9＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋9cos π2＋9＝9.12.如下命题正确的序号为________．①函数y ＝ln(3－x )的定义域为(－∞，3]；②定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最小值为5；③假设命题p ：对∀x ∈R ，都有x 2－x ＋2≥0，如此命题綈p ：∃x ∈R ，有x 2－x ＋2＜0； ④假设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，如此1a ＋1b的最小值为1.解析：命题①中，函数的定义域是(－∞，3)，故命题①不正确；命题②中，假设函数是偶函数，如此必有a ＝－5，b ＝5，即函数f (x )＝x 2＋5，x ∈[－5，5]，其最小值为5，命题②正确；全称命题的否认是特称命题，命题③正确；命题④中，1a ＋1b ＝14(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥14⎝⎛⎭⎪⎫2＋2b a ·a b ＝1(当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立)，命题④正确． 答案：②③④13.集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0x ＋y ≥0x －y ≥0}表示的平面区域为Ω，假设在区域Ω内任取一点P (x ，y )，如此点P 的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的概率为( )A.3π32B.3π16C.π32D.π16解析：选A.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0x ＋y ≥0x －y ≥0表示的平面区域，如图三角形ABO ，且有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，B (4，－4)，所以S △ABO ＝12×423×42＝163，点P 的坐标满足不等式x 2＋y2≤2的面积S 扇形＝14×π(2)2＝π2，所以所求概率P ＝π2163＝π2×316＝3π32.14. x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，如此x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92D.112解析：选B .x ＋2y ＝8－x·(2y)≥8－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，整理得(x ＋2y)2＋4(x ＋2y)－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4. 15. 随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的25.男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有13的人的休闲方式是运动．(1)完成如下2×2列联表：(2)那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：K 2＝n 〔ad －bc 〕2〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解：(1)依题意，被调查的男性人数为2n 5，其中有n5人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为3n 5，其中有n5人的休闲方式是运动，如此2×2列联表如下：(4分)(2)由表中数据，得K 2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 5·2n 5－n 5·n 522n 5·3n 5·2n 5·3n 5＝n36，要使在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“性别与休闲方式有关〞，如此K 2≥3.841，所以n36≥3.841，解得n ≥138.276.又n ∈N *且n5∈N *，所以n ≥140，即本次被调查的人数至少是140.(9分)(3)由(2)可知：140×25＝56，即本次被调查的人中，至少有56人的休闲方式是运动．(12分)16.定义差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，现有三个集合A ，B ，C 分别用圆表示，如此集合C －(A －B )可表示如下图中阴影局部的为( )解析：选A.如下列图，A －B 表示图中阴影局部，故C －(A －B )所含元素属于C ，但不属于图中阴影局部，应当选A.17.某几何体的三视图如下列图，其中俯视图中圆的直径为4， 该几何体的体积为V 1，直径为4的球的体积为V 2，如此V 1∶V 2＝( )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶1D ．1∶4解析：选A.由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面一样的圆锥，因此V 1＝8π－8π3＝16π3，V 2＝4π3×23＝32π3，V 1∶V 2＝1∶2. 18.点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱外表上的动点，MN 是该棱 柱内切球的一条直径，如此PM →·PN →的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0，3]C ．[0，4]D ．[－2，2]解析：选C.由题意知内切球的半径为1，设球心为O ，如此PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝PO →2＋PO →·(OM →＋ON →)＋OM →·ON →＝|PO →|2－1，且1≤|OP |≤5，∴PM →·PN →∈[0，4]．19.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，且|AF |＋|BF |＝22，|AB |的最小值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)假设圆x 2＋y 2＝23的切线L 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当P ，Q 两点横坐标不相等时，OP (O 为坐标原点)与OQ 是否垂直？假设垂直，请给出证明；假设不垂直，请说明理由．解：(1)设A (x 0，y 0)，如此B (－x 0，－y 0)，F (c ，0)(c 2＝a 2－b 2)，|AF |＋|BF |＝2a ＝22，∴a ＝ 2.(2分) 又|AB |＝〔2x 0〕2＋〔2y 0〕2＝2x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2b 2＝2b 2＋c 2x 20a2，0≤x 20≤a 2，∴|AB |min ＝2b ＝2，∴b ＝1， ∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(5分)(2)由题设条件可知直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为y ＝kx ＋m .∵直线L 与圆x 2＋y 2＝23相切，∴|m |1＋k2＝63，∴m 2＝23(k 2＋1)．(7分) 将y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1中得，(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝8(2k 2＋1－m 2)＞0.令P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2， 如此x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，① x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，② y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k2.③(10分)∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝3m 2－2k 2－21＋2k2＝0， ∴OP →⊥OQ →，即OP 与OQ 垂直．(12分)20.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如下列图)，如此旗杆的高度为( )A ．10 mB ．30 mC ．10 3 mD ．10 6 m解析：选B.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°.由正弦定理得106sin 30°＝BCsin 45°，所以BC ＝206×22＝203(m)， 在Rt △CBD 中，CD ＝BC sin 60°＝203×32＝30(m)． 21.假设(x ＋2＋m)9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，如此实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3解析：选A .令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m)9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m)9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.22.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数〞(如2 013是“六合数〞)，如此“六合数〞中首位为2的“六合数〞共有( )A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个解析：选B .依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031，由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计3＋6＋3＋3＝15个．23.如图，M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出如下四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是( )A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③解析：选C.对于①，取CC1的中点N.连接AM，BN并延长分别交底面A1B1C1D1于P，Q两点，如此Q∈B1C1，MQ与AB交于一点，因此①正确；对于②结合图形知，DD1符合要求，且只有DD1，故②正确；同理④正确；过点M可有无数个平面与直线AB，B1C1都相交，故③不正确，因此选C.24.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．如下说法正确的答案是________(填上所有正确的序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.解析：连接MN交AE于点P，如此MP∥DE，NP∥AB，∵AB∥CD，∴NP∥CD.对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正确；对于②，∵AE⊥MP，AE⊥NP，∴AE⊥平面MNP，∴AE⊥MN，故②正确；对于③，∵NP∥AB，∴不论D折至何位置(不在平面ABC内)都不可能有MN∥AB，故③不正确；对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时，EC⊥平面ADE，∴EC⊥AD，故④正确．答案：①②④25.如图是多面体ABC －A 1B 1C 1和它的三视图．(1)线段CC 1上是否存在一点E ，使BE ⊥平面A 1CC 1，假设不存在，请说明理由，假设存在，请找出并证明；(2)求平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值．解：(1)由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如下列图的空间直角坐标系，如此A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (－2，0，0)，C (0，－2，0)，C 1(－1，－1，2)，如此CC 1→＝(－1，1，2)，A 1C 1→＝(－1，－1，0)，A 1C →＝(0，－2，－2)．(1分)设E (x ，y ，z )，如此CE →＝(x ，y ＋2，z )，EC 1→＝(－1－x ，－1－y ，2－z )．(3分)设CE →＝λEC 1→，如此⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－λx y ＋2＝－λ－λy ，z ＝2λ－λz如此E ⎝⎛⎭⎪⎫－λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·A 1C 1→＝0BE →·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ1＋λ＋2＋λ1＋λ＝0－2－λ1＋λ＋2λ1＋λ＝0，解得λ＝2，所以线段CC 1上存在一点E ，CE →＝2EC 1→，使BE ⊥平面A 1CC 1.(6分) (2)设平面C 1A 1C 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，如此由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0m ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0－2y －2z ＝0， 取x ＝1，如此y ＝－1，z ＝1.故m ＝(1，－1，1)，(8分)而平面A 1CA 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，如此cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13＝33，(11分)故平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值为33.(12分)26.如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝2a ，D ，E分别为AC ，AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，得到如下列图的四棱锥A ′－BCDE .(1)在棱A ′B 上找一点F ，使EF ∥平面A ′CD ；(2)当四棱锥A ′－BCDE 的体积取最大值时，求平面A ′CD 与平面A ′BE 夹角的余弦值．解：(1)点F 为棱A ′B 的中点．证明如下：取A ′C 的中点G ，连接DG ，EF ，GF ，如此由中位线定理得DE ∥BC ，DE ＝12BC ，且GF ∥BC ，GF ＝12BC .(3分)所以DE ∥GF ，DE ＝GF ，从而四边形DEFG 是平行四边形，EF ∥DG . 又EF ⊄平面A ′CD ，DG ⊂平面A ′CD ，故点F 为棱A ′B 的中点时，EF ∥平面A ′CD .(5分) (2)在平面A ′CD 内作A ′H ⊥CD 于点H ，⎭⎬⎫DE ⊥A ′DDE ⊥CD A ′D ∩CD ＝D ⇒DE ⊥平面A ′CD ⇒DE ⊥A ′H ， 又DE ∩CD ＝D ，故A ′H ⊥底面BCDE ，即A ′H 就是四棱锥A ′－BCDE 的高． 由A ′H ≤AD 知，点H 和D 重合时，四棱锥A ′－BCDE 的体积取最大值．(7分) 分别以DC ，DE ，DA ′所在直线为x ，y ，z 轴，建立如下列图的空间直角坐标系， 如此A ′(0，0，a )，B (a ，2a ，0)，E (0，a ，0)，A ′B →＝(a ，2a ，－a )，A ′E →＝(0，a ，－a )．(9分)设平面A ′BE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′B →＝0m ·A ′E →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2ay －az ＝0ay －az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －z ＝0y ＝z ，可取m ＝(－1，1，1)．同理可以求得平面A ′CD 的一个法向量n ＝(0，1，0)． 故cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－1×0＋1×1＋1×03×1＝33，故平面A ′CD 与平面A ′BE 夹角的余弦值为33.(12分)。
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山东省德州市武城二中2014届高三下学期三轮复习模拟测试（数学理）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{11}A x x =-<<，2{log 0}B x x =≤，则A B =A.{}|1x x -<<1 B.{}|01x x << C.{}|1x x -<≤1 D.{}|1x x -∞<≤2.已知三条直线,,a b c 和平面β，则下列推论中正确的是A.若ββ//,,//a b b a 则⊂B.若//a β，//b β，则//a b 或a 与b 相交C.若b a c b c a //,,则⊥⊥D.若,//,,a b a b ββ⊂ 共面，则//a b3.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin sin sin sin a A c C C b B +=．则B ∠ A.6π B.4π C.3π D.34π4.如果执行右侧的程序框图，那么输出的S 的值为 A.1740 B.1800 C.1860 D.19845.a 是函数12()2log x f x x=-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足A.0()0f x =B.0()0f x >C.0()0f x <D.0()f x 的值正负不定6.如图，设D 是图中边长为2的正方形区域，E 是函数3y x =的图象与x 轴及1x =±围成的阴影区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为A.116B.18C.14 D.127.若不等式2230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围应为 A.11a ≥B.11a >C.9a >D.9a ≥8.已知变量x y ，满足约束条件2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，若目标函数，z y ax =+仅在点(5,3)处取得最小值, 则实数a 的取值范围为A.(,1)-∞-B.(0,)+∞C.3(,)7+∞ D. (1,)+∞9.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A.192πB.π319C.173πD.133π10.已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24xy+取最小值时，过P 点(,)x y 引圆C ：2215()()124x y -++=的切线，则此切线长等于A.1D.2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.11.复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数 .12.设常数R ∈a ，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中4x 项的系数为20，则___a = .13.抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，若过点(0,1)M 任作一直线交抛物线C于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点，且124x x ⋅=-，则抛物线C 的方程为 ．14.若等边ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足1132CM CB CA=+，则MA MB ⋅= .15.若函数()f x 的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，且(1)y f x =+是奇函数，则下列结论中①(1)(1)0f x f x -++= ②'()(1)0f x x -≥③()(1)0f x x -≥ 正确的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是黑球的概率为27现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数. （Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及数学期望； （Ⅱ）求乙取到白球的概率.y19．（本题满分13分）各项均为正数的数列}{n a ,其前n 项和为n S ，满足1121n nn n a a a a ++-=（*N n ∈），且562S a +=. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式; （Ⅱ）证明：127()31n a n ->+(*)n N ∈；（Ⅲ）若*N n ∈，令2n n a b =，设数列}{n b 的前n 项和为n T （*N n ∈），试比较n n T T 4121++与4641n n +-的大小.20.(本小题满分12分）已知函数21()(21)2ln (0)2f x ax a x x a =-++>．(Ⅰ) 若12a ≠，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当112a <<时，判断函数)(x f 在区间[1,2] 上有无零点？写出推理过程.21.(本小题满分14分)已知直线:1l x my =+过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F ，抛物线：2x =的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线:3g x =上的射影依次为点D 、K 、E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且12,MA AF MB BF λλ==.证明：12λλ+的值定值；（Ⅲ）连接AE 、BD ，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.高三数学三轮复习模拟测试（理）答案17解: （Ⅰ）设袋中原有n 个黑球,由题意知22717n C C = ……………1分(1)(1)276762n n n n --==⨯⨯ ， 可得4n =或3n =- (舍去) ……………3分所以黑球有4个，白球有3个.由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5 ……………4分3432(1);(2)7767P P ξξ⨯=====⨯ 4336(3)76535P ξ⨯⨯===⨯⨯ 43233(4)765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯432131(5)7654335P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯ ………7分（错一个扣一分，最多扣3分）所以ξ的分布列为……………8分所以数学期望为:326312345277353535E ξ=+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………9分（Ⅱ）因为乙后取,所以乙只有可能在第二次,第四次取球,记乙取到白球为事件A,则2313()(2)(4)73535P A P P ξξ==+==+=……………11分答：乙取到白球的概率为1335. ……………12分19．解:（Ⅰ）由1121n nn n a a a a ++-=得，221120n n n n a a a a ++--=,即11()(2)0n n n n a a a a +++-= 又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以∴12+=n n a a 所以数列}{n a 是公比为2的等比数列. …………………………2分由562S a += 得5511(12)2212a a -+=-,解得21=a .故数列}{n a 的通项公式为*)(2N n a nn ∈=……………………………4分 （Ⅱ）由题意即证17431n n -⋅>+①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,不等式显然成立；………………………5分②假设当k n =时，不等式17431k k -⋅>+成立………6分当1+=k n 时，1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k由112a <<可知22ln 0a --<，max ()0f x <，故在区间[1,2] ()0f x <．恒成立 …………………11分故当12a >时，函数)(x f 在区间[1,2] 上没有零点.…………………12分（注意：仅证明(1)0,(2)0f f <<就说明无零点不得分） 21解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点),0,1(F ∴1=c ，抛物线2x =的焦点坐标( ………1分22b b ∴==2223a b c ∴=+=∴椭圆C 的方程22132x y +=. ……………3分（Ⅱ）易知0≠m ，且l 与y 轴交于10,M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设直线l 交椭圆于()()1122,,,A x y B x y由()2222123440132x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩∴12122244,2323m y y y y m m --+=⋅=++……………5分又由()1111111,1,MA AF x y x y m λλ⎛⎫=∴+=-- ⎪⎝⎭1111my λ∴=--，同理2211my λ=--∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=+21211112y y m λλ …………7分∵2122121211423234y y m m m y y y y m ⎛⎫+-++==⋅= ⎪+-⎝⎭……………8分∴12121111223m m y y mλλ⎛⎫+=--+=--⋅=- ⎪⎝⎭所以，当m 变化时，12λλ+的值是定值，定值为3-.……………9分（Ⅲ）先探索，当0=m 时，直线l x ⊥轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交FK 的中点N ，且()2,0N ，第11 页共11 页。