拓扑优化代码
ANSYS拓扑优化实例-三维块的优化
ANSYS拓扑优化实例如下图所示的长方体，受到一个1000N的集中载荷，四周为固定端，弹性模量为E=2e11，泊松比为0.3。
1.设定分析作业名从实用菜单中选择Utility Menu：File>Change Jobname 命令，将打开Change Jobname对话框，如图所示，输入example of topology单击OK。
2.设定分析标题从实用菜单中选择Utility Menu：File>Change Title 命令，将打开Change Title对话框，如图所示，输入single-load example of topo单击OK。
3.定义单元类型（1）从主菜单中依次选择Main Menu：Preprocessor-Element Type-Add/Edit/Delete命令将打开Element Type（单元类型）对话框。
（2）单击Add，将打开Library of Element Type ，选择Solid95，依次单击Apply、OK。
如下图所示，单元类型对话框将会出现两个单元类型（拓扑优化只优化单元类型为1（Type1）的部分）。
（3）单击Close，完成设置。
4.定义材料属性（1）从主菜单中选择Main Menu：Preprocessor-Material Props-Material Models将打开Define Material Model Behavior（定义材料属性）窗口，左窗口Material Model Number 1。
（2）依次在右窗口双击Structural>Linear>Elastic>Isotropic,给出弹性模量EX=2e11和泊松比PRXY=0.3。
（3）单击OK回到Define Material Model Behavior（定义材料属性）窗口，关闭窗口完成设置。
5.创建几何模型由于体的一部分不作优化，所以划分网格时，会要求不同部分选择不同的单元类型。
如何通过CAD快捷键命令进行拓扑优化
如何通过CAD快捷键命令进行拓扑优化在计算机辅助设计（CAD）软件中，拓扑优化是一个重要的工具，可以帮助工程师和设计师在设计过程中优化产品的结构和性能。
通过使用CAD软件的快捷键命令，可以更快速、高效地进行拓扑优化。
本文将介绍如何通过CAD快捷键命令进行拓扑优化。
1. 了解CAD软件的基本操作在开始使用CAD快捷键命令进行拓扑优化之前，首先需要熟悉CAD软件的基本操作。
这包括了解如何创建、编辑和删除几何图形，以及如何进行测量和标注等操作。
只有对CAD软件的基本操作有一定的了解，才能更好地应用快捷键命令进行拓扑优化。
2. 熟悉CAD软件的快捷键命令CAD软件通常提供了许多快捷键命令，可以帮助用户更快速地完成各种操作。
这些快捷键命令可以通过查阅软件的帮助文档或进行在线搜索来学习。
熟悉并掌握这些快捷键命令，可以大大提高工作效率。
3. 使用CAD快捷键命令进行几何图形的创建和编辑在进行拓扑优化时，首先需要创建几何图形。
通过使用CAD软件的快捷键命令，可以快速创建各种几何图形，如线段、圆、矩形等。
此外，还可以使用快捷键命令进行几何图形的编辑，如移动、旋转、缩放等操作。
通过熟练掌握这些快捷键命令，可以更加灵活地进行几何图形的创建和编辑，从而满足拓扑优化的需求。
4. 使用CAD快捷键命令进行几何图形的约束和连接在进行拓扑优化时，几何图形的约束和连接是非常重要的。
通过使用CAD软件的快捷键命令，可以快速添加和编辑几何图形的约束和连接。
例如，可以使用快捷键命令将两个图形的端点对齐，或者将一个图形的中心点与另一个图形的中心点对齐。
通过熟练掌握这些快捷键命令，可以更好地控制几何图形的约束和连接，从而实现拓扑优化的目标。
5. 使用CAD快捷键命令进行几何图形的分析和优化在进行拓扑优化时，需要对几何图形进行分析和优化。
通过使用CAD软件的快捷键命令，可以快速进行几何图形的分析和优化。
例如，可以使用快捷键命令计算几何图形的面积、体积和质心等属性，或者使用快捷键命令对几何图形进行优化，如减少材料的使用量、提高结构的强度等。
如何利用ANSYS进行拓扑优化(转)
如何利用ANSYS进行拓扑优化前言就目前而言，利用有限元进行优化主要分成两个阶段：（1）进行拓扑优化，明确零件最佳的外形、刚度、体积，或者合理的固有频率，主要目的是确定优化的方向；（2）进行尺寸优化，主要目的是确定优化后的的零件具体尺寸值，通常是在完成拓扑优化之后，再执行尺寸优化。
在ANSYS中，利用拓扑优化，可以完成以下两个目的：（1）在特定载荷和约束的条件下，确定零件的最佳外形，或者最小的体积（或者质量）；（2）利用拓扑优化，使零件达到需要的固有频率，避免在使用过程中产生共振等不利影响。
本文主要就在ANSYS环境中如何执行拓扑优化进行说明。
1、利用ANSYS进行拓扑优化的过程在ANSYS中，执行优化，通常分为以下6个步骤：定义需要求解的结构问题选择合理的优化单元类型设定优化和非优化的区域定义载荷步或者需要提取的频率对优化过程进行定义和控制计算并查看结果1.1、定义需要求解的结构问题对于结构进行优化分析，定义结构的物理特性必不可少，例如，需要定义结构的杨氏模量、泊松比（其值在0.1～0.4之间）、密度等相关的结构特性方面的信息，以供结构计算能够正常执行下去。
1.2、选择合理的优化单元类型在ANSYS中，不是所有的单元类型都可以执行优化的，必须满足如下的规定：（1）2D平面单元：PLANE82单元和PLANE183单元；（2）3D实体单元：SOLID92单元和SOLID95单元；（3）壳单元：SHELL93单元。
上述单元的特性在帮助文件中有详细的说明，同时对于2D单元，应使用平面应力或者轴对称的单元选项。
1.3、指定优化和非优化的区域在ANSYS中规定，单元类型编号为1的单元，才执行优化计算；否则，就不执行优化计算。
例如，对于结构分析中，对于不能去除的部分区域将单元类型编号设定为≥2，就可以不执行优化计算，请见下面的代码片段：…………Et,1,solid92Et,2,solid92……Type,1Vsel,s,num,,1,2Vmesh,all……Type,2Vsel,s,num,,3Vmesh,all…………说明：上述代码片段定义相同的单元类型（solid92），但编号分别为1和2，并将单元类型编号1利用网格划分分配给了1＃体和2＃体，从而对其进行优化计算；而单元编号为2利用网格划分分配给了3＃体，从而不执行优化计算。
拓扑优化的代码
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拓扑优化经典99行
% Please sent your comments to the author: [email]sigmund@fam.dtu.dk[/email]%
% %
%%%% A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLE SIGMUND, JANUARY 2000 %%%
%%%% CODE MODIFIED FOR INCREASED SPEED, September 2002, BY OLE SIGMUND %%%
% DESIGN UPDATE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD
[x] = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc);
% PRINT RESULTS
change = max(max(abs(x-xold)));
disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ...
K(edof,edof) = K(edof,edof) + x(ely,elx)^penal*KE;
end
end
% DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM)
F(2,1) = -1;
fixeddofs = union([1:2:2*(nely+1)],[2*(nelx+1)*(nely+1)]);
% The author reserves all rights but does not guaranty that the code is %
变密度拓扑优化
%%%% A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLE SIGMUND, JANUARY 2000 %%%%%%% CODE MODIFIED FOR INCREASED SPEED, September 2002, BY OLE SIGMUND %%%function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin);nelx=100;nely=50;volfrac=0.4;penal=3;rmin=2;% INITIALIZEx(1:nely,1:nelx) = volfrac;loop = 0;change = 1.;% START ITERATIONwhile change > 0.01loop = loop + 1;xold = x;% FE-ANAL YSIS[U]=FE(nelx,nely,x,penal);% OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANAL YSIS[KE] = lk;c = 0.;for ely = 1:nelyfor elx = 1:nelxn1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;n2 = (nely+1)* elx +ely;Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1);c = c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue;%目标函数dc(ely,elx) = -penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue;endend% FILTERING OF SENSITIVITIES[dc] = check(nelx,nely,rmin,x,dc);% DESIGN UPDA TE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD[x] = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc);for i = 1:nelyfor j = (nelx-1):nelxx(i,j)=1;endend% PRINT RESULTSchange = max(max(abs(x-xold)));disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ...' Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ...' ch.: ' sprintf('%6.3f',change )])% PLOT DENSITIEScolormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axis off;pause(1e-6);end%%%%%%%%%% OPTIMALITY CRITERIA UPDATE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc)l1 = 0; l2 = 100000; move = 0.2;while (l2-l1 > 1e-4)lmid = 0.5*(l2+l1);xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))));if sum(sum(xnew)) - volfrac*nelx*nely > 0;l1 = lmid;elsel2 = lmid;endend%%%%%%%%%% MESH-INDEPENDENCY FILTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc)dcn=zeros(nely,nelx);for i = 1:nelxfor j = 1:nelysum=0.0;for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx)for l = max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely)fac = rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2);sum = sum+max(0,fac);dcn(j,i) = dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k);endenddcn(j,i) = dcn(j,i)/(x(j,i)*sum);endend%%%%%%%%%%FE-ANAL YSIS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%function [U]=FE(nelx,nely,x,penal)[KE] = lk;K = sparse(2*(nelx+1)*(nely+1), 2*(nelx+1)*(nely+1));F = sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1); U = zeros(2*(nely+1)*(nelx+1),1);for elx = 1:nelxfor ely = 1:nelyn1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;n2 = (nely+1)* elx +ely;edof = [2*n1-1; 2*n1; 2*n2-1; 2*n2; 2*n2+1; 2*n2+2; 2*n1+1; 2*n1+2];K(edof,edof) = K(edof,edof) + x(ely,elx)^penal*KE;endend% DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM)for ely = 1:nelyn1 = (nely+1)*(nelx-1)+ely;n2 = (nely+1)*nelx+ely;F((2*n1-1),1) = 1;endF((2*(nelx+1)*(nely+1)-1),1)=1;fixeddofs = [1,2,2*(nely+1)-1,2*(nely+1)];alldofs = [1:2*(nely+1)*(nelx+1)];freedofs = setdiff(alldofs,fixeddofs);% SOLVINGU(freedofs,:) = K(freedofs,freedofs) \ F(freedofs,:);U(fixeddofs,:)= 0;%%%%%%%%%% ELEMENT STIFFNESS MATRIX %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [KE]=lkE = 1;nu = 0.3;k=[ 1/2-nu/6 1/8+nu/8 -1/4-nu/12 -1/8+3*nu/8 ...-1/4+nu/12 -1/8-nu/8 nu/6 1/8-3*nu/8];KE = E/(1-nu^2)*[ k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7) k(8)k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4) k(3)k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5) k(2)k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2) k(5)k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3) k(4)k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8) k(7)k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1) k(6)k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6) k(1)];% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%。
拓扑优化
控制臂拓扑优化（可设计（棕色）和非设计性的区域（蓝色））在本教程里包含如下练习：1.在HyperMesh中建立拓扑设计变量如图中所示约束方向。
2.在HyperMesh中设置的优化问题。
3.在HyperView中显示后处理结果。
Step1启动桌面上的HyperMesh和加载用户配置文件1.启动桌面上的HyperMesh。
2.在用户配置文件对话框中选择OptiStruct。
3.单击OK。
Step2打开controlarm.hm文件1.从工具栏上的文件菜单，选择Open....2.选择controlarm.hm文件，位于HyperWorks的安装目录<install_directory>/教程/hwsolvers/OptiStruct下。
3.点击打开。
Step3创建图示约束方向的拓扑优化设计变量1.从Analysis页面中选择optimization面板。
2.选择topology面板。
3.在面板的左侧确定create单选按钮是选择的。
4.在desvar中键入dv1。
5.点击props并选择Design（设计区域棕色）。
6.点击select。
7.在类型中（type）选择PSOLID。
8.点击create。
9.点击draw单选按钮，在draw type中选择single。
10.点击anchor nod并输入3029按Enter。
11.点击first node并输入4716按Enter。
12.在obstacle下双击props，选择Non-design（非设计区域蓝色）并点击select。
13.点击update。
14.点击return返回optimization面板。
Step4创建优化响应1.选择responses面板。
2.在response空白中输入Volfrac并按Enter。
3.在response type下设置成volumefra。
4.点击create。
5.同样，在response空白中再次输入Compl并按Enter。
拓扑优化99行算法解读
拓扑优化99行算法解读
拓扑优化算法是一种常用的计算机科学算法，可以在网络和图形相关问题中求
解最优解。
拓扑优化99行算法是一种高效的算法，只需要99行代码即可实现，被广泛应用于各种领域。
该算法主要用于解决拓扑优化问题，即在给定的网络结构中，寻找一个最优的
拓扑结构，以满足特定的性能需求。
拓扑结构涉及到节点和边的连接方式，而性能需求则可以是最小化通信开销、最大化网络吞吐量或最小化传输延迟等。
拓扑优化99行算法的核心思想是通过迭代的方式，不断进行拓扑结构的调整，直到找到最优解。
算法首先定义了一个初始拓扑结构，然后通过计算当前拓扑结构的性能评价指标，如通信开销或吞吐量，来评估当前解的质量。
在每一次迭代中，算法会对当前拓扑结构进行一系列操作，如增加或删除边、
移动节点等，以生成新的拓扑结构。
然后，通过计算新拓扑结构的性能指标，与当前解进行比较，选择更优的解作为下一次迭代的起点。
拓扑优化99行算法的关键在于如何确定新的拓扑结构，并评估其性能指标。
在算法中，可以使用一些启发式方法，如局部搜索或模拟退火等，来探索可能的拓扑结构。
同时，需要定义一种合适的性能评价函数，以便准确地衡量不同拓扑结构的性能。
除了调整拓扑结构外，拓扑优化99行算法还可以考虑其他因素，如带宽限制、延迟约束等。
通过在算法中引入这些约束条件，可以实现更加现实的拓扑优化方案。
总结来说，拓扑优化99行算法是一种简洁高效的算法，用于解决拓扑结构优
化问题。
通过迭代的方式，不断调整拓扑结构，以求得最优解。
该算法可以应用于各种领域，如计算机网络、电路设计等，为问题求解提供了一种有效的方法。
拓扑优化99行代码翻译
拓扑优化中的99行matlab代码——o.sigmund摘要这篇文章描述了用matlab语言来简洁的实现在静态负载下符合最小化原理的拓扑优化。
总共只需要输入99行代码，包括优化程序和有限元分析子程序。
这99行代码中，其中36行为主程序，12行为基于最优控制器的优化程序，16行为敏度过滤分析，其余35行代码作为有限元分析。
实际上，除去注释行以及输出行、有限元分析行，仅有49行matlab代码输入用于解决一个适定的拓扑优化问题。
再加上3行补充程序代码，这个程序就可以解决多种负载工况问题。
这个代码主要是以教育指导为用，完整的matlab代码在附录中给出，同时也可以在网页http://www.topopt.dtu.dk上下载。
关键词拓扑优化教育最优准则万维网matlab代码1 简介文中展示的matlab代码主要是为工程教育所用。
学生和在拓扑领域的新手可以在网页http://www.topopt.dtu.dk上下载。
这个代码可以用于结构最优化课程学习，学生们可以在多重负载工况、独立网格选择策略、无源场进行扩展应用。
另一种可能就是用来激发学生们的直觉来进行最优化设计。
研究生可以推测探究在给定边界条件和容量的情况下的拓扑优化并、比较得出最优策略。
在文献中，你可以找到很多处理拓扑优化问题的方法。
在一篇Bendsøe and Kikuchi (1988)的原创论文中，基于对现存结论的学习，所谓微观结构或均化作用的方法被使用。
均化作用方法在很多文章中都被采用，但它也存在一些缺点，比如对微观结构最优化方法果断的评估与决策很麻烦的，而且结果很难获得如果没有对微观结构进行确定的长度衡量。
然而，在这个意义上来说均化作用方法对拓扑优化也是很重要的，它可以在结构的理论分析上提供一定的界限。
拓扑优化的另一种方法叫做“幂律法则”或者SIMP法（(Solid Isotropic Material with Penalization) (Bendsøe1989; Zhou and Rozvany 1991; Mlejnek 1992)）。
ansys拓扑优化形状优化实例1
ansys拓扑优化形状优化实例1FINISH/CLEAR,START/TRIAD,OFF !关闭整体直角坐标系的三角符号H=1000 !设置比例尺，采用isoTK16=6.35/H !设置参数变量并附初值TK27=6.35/HTK38=6.35/HTK49=6.35/HTK50=4/H/PREP7ET,1,PLANE42MP,EX,1,6.89E10MP,NUXY,1,0.3K,1K,5,254/HKFILL ! 在第1至第5个关键点之间生成2,3,4关键点K,6,,TK16K,7,63.5/H,TK27K,8,127/H,TK38K,9,190.5/H,TK49K,10,254/H,TK50SPLINE,6,7,8,9,10L,1,6*REPEAT,5,1,1 !重复L命令，关键点编号自动加1，分别在2,7、3,8、4,9、5,10之间共生成4条线其中包含了、命令已生成的线，共5条LSEL,S,LINE,,5,9 !选择上述生成的5条线LESIZE,ALL,,,1 !指定线在划分网格前的等分数为1LSEL,ALLA,1,2,7,6*REPEAT,4,1,1,1,1 !重复上述命令，共生成4个面ESIZE,,4AMESH,ALLFINISH/SOLUNSEL,S,LOC,YDSYM,SYMM,X !对选择的节点施加x方向的对称约束NSEL,S,LOC,XDSYM,ASYM,Y !对选择的节点施加x方向的反对称约束NSEL,ALLFK,10,FX,66725*4 !在10号关键点施加集中载荷，实现弯矩DK,1,ALL,0 !在1号关键点施加全约束SOLVEFINISH/POST1SET,LASTETABLE,EVOL,VOLU !建立单元表，并取出每个单元的体积EVOL=每个单元的体积PRNSOL,S,PRIN !列出节点的主应力NSORT,S,1NSEL,U,LOC,X,0,230/H !选择介于0到230/H的节点*GET,STRS,SORT,,MAX !取出最大的应力值并赋给strsNSEL,ALLSSUM !体积相加*get,TVOL,ssum,,item,EVOL !取出结构总体积TVOL=TVOL*2 !由于分析时只计算了结构的一半，总体积要乘2 NSEL,U,LOC,X,250/H,265/H !选择介于250/H到265/H的节点PRNSOL,U,Y !列表显示出所选节点在y向的位移值NSORT,U,Y,,1 !位移值升序排列PRNSOL,U,Y !列出排序后的结果*GET,DEFL,SORT,,MAX !取出最大的位移值赋给defl*STATUS,PARM !显示当前参数变量的状态值DEFL=ABS(DEFL)DIF1=TK16-TK27 !设置参数值，以保证曲线的光滑性DIF2=TK27-TK38DIF3=TK38-TK49FINISHlgwrite,scratch,lgw/OPTopanl,scratch,lgw !指定分析文件opvar,TVOL,Obj,,,1/H !定义优化目标函数,收敛误差为1，结构总体积TVOL为目标函数opvar,STRS,sv,,206E6 ! 定义状态变量即优化过程的约束条件opvar,DEFL,sv,,12.5/Hopvar,DIF1,sv,,1/Hopvar,DIF2,sv,,1/Hopvar,DIF3,sv,,1/Hopvar,TK16,dv,4/H,7/H !定义第一个设计变量及其变化范围opvar,TK27,dv,4/H,7/Hopvar,TK38,dv,4/H,7/Hopvar,TK49,dv,4/H,7/Hopsave,INITIAL,opt !保存所有的优化数据到文件optp里optype,SUBP !设置优化方式,子问题逼近算法OPSUBP,30 !指定迭代次数opexe ! 执行优化PARSAV,,RSET1 !将参数的值输出到文件中且文件名为rset1oplist,all,,1 !列表显示所有序列/AXLAB,Y,TVOL !设置曲线输出时y轴的说明plvaropt,TVOL!绘图显示目标函数随优化次数的变化规律FINISH/POST1PLNSOL,U,SUM,0,1 !显示结构在优化后的总位移分布PLNSOL,S,EQV,0,1 !显示结构在优化后的应力分布FINISH。
拓扑优化
• 连续体结构拓扑优化
– 1988年，受“微结构”思想的启发，Bendsøe与Kikuchi利 用均匀化方法，将复合材料多孔介质的概念引入结构拓 扑优化中，开创了连续体结构拓扑优化新局面。
工业装备结构分析国家重点实验室
2 拓扑优化的发展
• 连续体结构拓扑优化
– 1992年，Mlejnek等提出人工变密度法； – 1999年，基于变密度法，Rozvany与zhou等提出了SIMP理论；之 后，Sigmund与Bendsøe等，完善了该理论； – 2001年，Sigmund开发了基于SIMP模型的matlab程序，极大得推 广了结构拓扑优化。同时，Sigmund将变密度法应用到更广的领 域：柔性机构拓扑优化设计、考虑几何非线性的结构设计、多物理 场振动器构型设计、声子晶体结构、带隙材料等。
– 材料属性的理性近似模型
(RAMP: Rational Approximation of Material Properties)
工业装备结构分析国家重点实验室
3.2 结构分析
• 结构分析采用结构有限元，也可以采用有限差分 法、有限体积法等。
– 修改材料属性（SIMP）
ρ↔E↔K
– 有限元分析 – 提供响应值，计算目标函数，约束函数，灵敏度等
• 棋盘格式、网格依赖性采用正则化的方法解决。
– 由于非网格相关的过滤方法实现简单，求解效率高，成为目前主流 方法。包括灵敏度过滤、密度过滤（线性密度过滤、非线性密度过 滤）
工业装备结构分析国家重点实验室
3.5 SiPESC.TOPO
• SiPESC.TOPO是依托于SiPESC平台的开放式结构 有限元分析系统与工程数据库以及后处理软件 jifex， • 基于SIMP方法以及最新拓扑优化技术开发的结构拓 扑优化程序；实现了消除棋盘格式、网格依赖性等 数值问题的方法；
拓扑优化简介拓扑优化设计流程算例教案资料
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其中，n 为迭代次数 ? 为阻尼因子，一般取为1/2
优化结果：各单元密度组成的矩阵——X
>Imagesc(-x)
内容
? 拓扑优化简介 ? OC 法拓扑优化设计流程 ? 算例
约束情况
? 左边界各节点受横向约束 ? 右下角节点受纵向约束
20 60
F(2,1) = -1; fixeddofs = union([1:2:2*(nely+1)],[2*(nelx+1)*(nely+1)]);
》top(60,20,0.5,3,3)
在Matlab 中运行程序行 ? top(60,20,0.5,3,3)
迭代次数：10
15
30
69
>imagesc
悬臂梁
左端固支
右端中间作用垂直载荷 p ? 1
F(2*nelx*(nely+1)+nely+2,1) = -1 fixeddofs = [1:2*(nely+1)] >top(80,50,0.5,3,3)
三维拓扑优化matlab代码
三维拓扑优化matlab代码
三维拓扑优化是一种复杂的工程问题，涉及到材料、结构和优
化算法等多个领域。
在MATLAB中进行三维拓扑优化需要使用一些专
门的工具和算法。
下面我将从几个方面来介绍三维拓扑优化的MATLAB代码。
首先，三维拓扑优化通常涉及有限元分析和优化算法。
在MATLAB中，有限元分析常常使用COMSOL Multiphysics或者FEATool Multiphysics等工具箱来实现。
这些工具箱提供了丰富的
有限元分析功能，可以用来建立三维结构的模型，并进行应力分析、变形分析等。
在进行拓扑优化时，可以将有限元分析的结果作为优
化算法的输入。
其次，对于优化算法，MATLAB提供了优化工具箱，包括fmincon、ga等优化函数，可以用来实现拓扑优化算法。
在进行三
维拓扑优化时，可以将结构的密度分布作为设计变量，通过优化算
法来调整密度分布，以实现结构的最优设计。
另外，在进行三维拓扑优化时，还需要考虑到约束条件的处理。
MATLAB的优化工具箱提供了丰富的约束处理功能，可以用来处理各
种约束条件，包括几何约束、材料约束等。
最后，三维拓扑优化的MATLAB代码通常需要结合自定义的函数
和脚本来实现。
这些函数和脚本可以用来处理特定的优化问题，比
如定义目标函数、约束条件等。
综上所述，进行三维拓扑优化的MATLAB代码涉及到有限元分析、优化算法、约束条件处理以及自定义函数和脚本等多个方面。
在实
际编写代码时，需要结合具体的优化问题来选择合适的工具和算法，并进行适当的定制化。
希望这些信息能够对你有所帮助。
拓扑优化的几种方法
拓扑优化的几种方法
拓扑优化是用来改进力学系统的结构或形状以提高其性能的一种方法。
以下是几种常见的拓扑优化方法：
1. DMLS优化（Density-Mass-Link-Strength）：这种方法通过
在物体内部连续地增加或减少材料的密度，来优化结构的性能。
该方法可用于改善结构的刚度、强度和减震能力等。
2. TO（Topology Optimization）：这种方法通过在给定的设计
域内选择最佳的材料分布，以满足规定的性能要求。
这种方法可以通过迭代优化算法，如有限元分析和遗传算法等来实现。
3. SIMP法（Solid Isotropic Material with Penalization）：这种
方法通过对材料的惩罚函数进行优化，实现结构的拓扑优化。
该方法通过将原始设计域中每个单元的密度设为0或1来实现材料的增加或消除。
4. BESO法（Bi-directional Evolutionary Structural Optimization）：这种方法是一种迭代的优化算法，其通过增
加或删除单元来改进结构的拓扑形状。
该方法可以在每轮迭代中实现结构体积的减少，以达到优化的目标。
5. MMA法（Method of Moving Asymptotes）：这种方法是一
种基于约束传递的优化算法，它通过在每轮迭代中修改设计变量的约束边界来优化结构的拓扑形状。
该方法可以在达到最佳结构性能的同时满足给定的约束条件。
这些方法在拓扑优化中广泛应用，并且可以根据具体的设计要求和结构特点选择适合的方法。
matlab拓扑优化99行代码
matlab拓扑优化99行代码以下是一份 MATLAB 拓扑优化的代码，该代码共99行，带有注释，共计1000字左右。
%% MATLAB 拓扑优化代码% 该代码实现了一种基于拓扑优化的算法，用于最小化结构体积并满足力学约束% 本代码适用于 MATLAB （版本 R2020a 或以上）。
使用前请确保已安装优化工具箱（Optimization Toolbox）。
% 作者：[作者姓名]% 时间：[编写时间]%% 1. 定义初始构型% 定义结构参数L = 1.0; % 长度H = 0.2; % 高度W = 0.01; % 宽度n_x = 30; % 网格数目（x-方向）n_y = 10; % 网格数目（y-方向）% 定义初始密度变量 rho（所有单元的密度都相等）rho_min = 1e-3; % 最小密度（设定为一个小值，以避免矩阵不可逆）rho = ones(n_x * n_y, 1) * 0.5; % 初始密度变量 rhorho(1:n_y) = 1.0; % 左侧固定边界rho((n_x-1)*n_y+1:n_x*n_y) = 1.0; % 右侧固定边界% 将 rho 转化为二维数组rho = reshape(rho, n_y, n_x)';rho = rho(:);% 定义单元尺寸变量 x 和 ydx = L / n_x;dy = H / n_y;x = repmat([0:dx:L]', n_y+1, 1);y = repmat([0:dy:H], n_x+1, 1)';% 绘制初始构型figurepcolor(x, y, reshape(rho, n_y, n_x))axis equalshading interpcolormap(gray)title('Initial Topology')%% 2. 定义边界和 FEA 参数% 定义边界和 FEA 网格xmin = 0; ymin = 0;xmax = L; ymax = H;nelx = n_x-1; nely = n_y-1;[xx,yy] = meshgrid(linspace(xmin,xmax,nx),linspace(ymin,ymax,ny));[II,JJ] = meshgrid(1:nelx,1:nely);% 定义单元编号矩阵（每个单元有8个节点）ind = reshape(1:(n_x+1)*(n_y+1), n_x+1, n_y+1);ind = ind(1:end-1, 1:end-1);eleInd = kron(ind, ones(8,1)) + kron(ones(size(ind)), [0 1 (n_x+1)*[1 1]+[0 1] (n_x+1)*(n_y+1)+[0 1] -n_x-1 -n_x]);%% 3. 定义拓扑优化参数% 定义拓扑优化参数volfrac = 0.45; % 允许的最大材料体积分数penal = 3; % Sigmoid 惩罚因子% 定义 Sigmoid 函数H = @(x, a) 1.0 ./ (1.0 + exp(-a .* x));% 定义材料与空气的弹性模量Emin = 1e-9; % 材料弹性模量E = H(rho, penal) * (E0-Emin) + Emin; % 节点弹性模量 % 定义 Sigmoid 求导矩阵H1rho = spdiags(H1(rho, penal), 0, dof, dof);% 定义全局刚度矩阵K = sparse(dof, dof);for el = 1:size(eleInd, 1)% 获取当前单元的节点编号nodes = eleInd(el,:);% 获取当前单元的节点坐标X = xy(nodes,:);% 计算单元刚度矩阵[Ke,~] = elestiff(X,E(nodes),nu);% 将单元刚度矩阵加入全局刚度矩阵K(nodes,nodes) = K(nodes,nodes) + Ke;end% 定义移动限制矩阵（仅移动 rho < 1 的节点）fixeddofs = union(zetax,zetay(:));freedofs = setdiff(1:dof,fixeddofs);% 定义循环参数iter = 1;change = 1.0;tol = 1e-6;maxIter = 100;rho0 = zeros(dof, 1);rho0(freedofs) = 1; % 初始密度为 1ksym = symrcm(K); % 使用对称逆消结构进行前置处理[L,U] = ilu(K(ksym,ksym)); % 使用不完全 LU 分解进行矩阵逆求解前置处理 while change > tol && iter <= maxIter% 保存当前的 rhorho_last = rho;% 使用 Sigmoud 函数更新单元弹性模量E = H(rho, penal) * (E0-Emin) + Emin;% 更新全局刚度矩阵K = sparse(dof, dof);for el = 1:size(eleInd, 1)% 获取当前单元的节点编号nodes = eleInd(el,:);% 获取当前单元的节点坐标X = xy(nodes,:);% 计算单元刚度矩阵[Ke,~] = elestiff(X,E(nodes),nu);% 将单元刚度矩阵加入全局刚度矩阵K(nodes,nodes) = K(nodes,nodes) + Ke;end% 移动节点[v,d] = eigs(K(freedofs,freedofs), 1, 'sm',struct('tol',1e-8,'maxit',500,'P',L(freedofs,freedofs),'D',U(freedofs,freedofs )));rho0(freedofs) = rho(freedofs) + v;rho = min(max(rho0, 0), 1);% 更新拓扑结构rho = update(rho, volfrac, x, y, n_x, n_y, H, H1, H1rho, Emin, penal);% 绘制拓扑结构figure(3)pcolor(reshape(rho, n_y, n_x)')shading interpaxis equaltitle(['Iteration: ', num2str(iter)])% 计算变化量change = norm(rho_last - rho);% 更新迭代计数器iter = iter + 1;end% 输出结果fprintf('Volume fraction: %f\n', sum(rho) / numel(rho)) fprintf('Compliance: %f\n', F' * full(K) * F)。
基于深度学习的实时拓扑优化
基于深度学习的实时拓扑优化传统的拓扑优化方法依赖于耗时的迭代算法，随着背景网格自由度的增加，计算时间呈指数增长，导致所谓的“维数诅咒”问题。
为了解决这个问题，基于深度学习中卷积神经网络和条件生成对抗网络，我们分别提出了两种实时拓扑优化新方法。
该方法可近乎实时的根据位移和载荷边界条件给出较精确的优化结果。
（1）提出基于符号示意表示和深度卷积神经网络的实时拓扑优化方法。
该方法通过二维图像替代拓扑设计变量，然后利用卷积神经网络进行训练，进而得到实时生成拓扑结构的卷积模型。
放弃了传统的迭代算法进行拓扑优化，可以显著减少计算源。
通过SIMP算法使用开源拓扑优化代码生成25000个优化结构作为训练数据集。
我们使用不同的符号来表示Dirichlet边界条件，Neumann边界条件和材料属性。
数值算例表明，我们的卷积网络生成静态拓扑优化结构的方法需要大约10ms，而传统的SIMP方法需要数十秒，这说明我们的方法可以显著减少计算时间。
（2）提出基于条件生成对抗深度学习网络的实时拓扑优化方法。
首先准备以拓扑设计变量与拓扑结构相对应的仿真数据训练集，然后利用改进的条件生成对抗网络与Pix2pix网络进行训练，进而得到实时生成拓扑结构的生成对抗模型。
此方法采用了去噪的CWGAN-GP 模型，利用生成对抗模型强大的生成能力和收敛能力，来快速生成拓扑结构，再利用Pix2pix模型，对所得到的拓扑结构进行图像清晰度提升，得到高清晰、去模糊、边缘平滑的结构。
目前两种方法均可对拓扑结构进行实时结构预测，无需依赖于繁琐耗时的迭代计算。
我们研究表明深度学习可实现近乎实时的拓扑优化，这对于汽车轻量化快速设计以及深度学习与力学的结合探索具有重要的理论和应用价值。
水平集拓扑优化经典程序
function TOPLSM(DomainWidth, DomainHight, EleNumPerRow, EleNumPerCol, LV, LCur,FEAInterval, PlotInterval, TotalItNum)%=================================================================%% TOPLSM, a 199-line Matlab program, is developed and presented here for the% mean compliance optimization of structures in 2D, with the classical level set method.%% Developed by: Michael Yu WANG, Shikui CHEN and Qi XIA% First Version : July 10, 2004% Second Version: September 27, 2004% Last Modification:October 31, 2005, optimize the code.%% The code can be downloaded from the webpage:% .hk/~cmdl/download.htm%% Department of Automation and Computer-Aided Engineering,% The Chinese University of Hong Kong%Email:****************.edu.hk%%Main references:% (1.)M.Y. Wang, X. M. Wang, and D. M. Guo,A level set method for structural topology optimization,% Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192(1-2), 227-246, January 2003%%(2.) M. Y. Wang and X. M. Wang, PDE-driven level sets, shape sensitivity, and curvature flow for structural topology optimization,% CMES: Computer Modeling in Engineering & Sciences, 6(4), 373-395, October 2004. %%(3.) G. Allaire, F. Jouve, A.-M. Toader, Structural optimization using sensitivity analysis and a level-set method ,% J. Comp. Phys. Vol 194/1, pp.363-393 ,2004.%Parameters:% DomainWidth : the width of the design domain;% DomainHight : the hight of the design domain;% EleNumPerRow : the number of finite elements in horizontal direction;% EleNumPerCol : the number of finite elements in vertical direction;% LV : Lagrange multiplier for volume constraint;% LCur : Lagrange multiplier for perimeter constraint whose shape sensitivity is curvature;% FEAInterval : parameters to specify the frequency of finite element% analysis;% PlotInterval : parameters to specify the frequency of plotting;% TotalItNum : total iteration number.%=================================================================%% Step 1: Data initializationEW = DomainWidth / EleNumPerRow; % The width of each finite element.EH = DomainHight / EleNumPerCol; % The hight of each finite element.M = [ EleNumPerCol + 1 , EleNumPerRow + 1 ]; % the number of nodes in each dimension[ x , y ] = meshgrid( EW * [ -0.5 : EleNumPerRow + 0.5 ] , EH * [ -0.5 : EleNumPerCol+ 0.5 ]);[ FENd.x, FENd.y, FirstNodePerCol ] =MakeNodes(EleNumPerRow,EleNumPerCol,EW,EH); % get the coordinates of the finiteelement nodesEle.NodesID = MakeElements( EleNumPerRow, EleNumPerCol, FirstNodePerCol );LSgrid.x = x(:); LSgrid.y = y(:); % The coordinates ofeach Level Set gridfor i = 1 : length(Ele.NodesID(:,1))Ele.LSgridID(i) = find((LSgrid.x - FENd.x(Ele.NodesID(i,1)) - EW/2).^2 +... %get the ID of the level set grid that lies in the middle of a finite element(LSgrid.y - FENd.y(Ele.NodesID(i,1)) - EH/2).^2 <= 100*eps);end;cx = DomainWidth / 200 * [ 33.33 100 166.67 0 66.67 133.33 200 33.33 100166.67 0 66.67 133.33 200 33.33 100 166.67];cy = DomainHight / 100 * [ 0 0 0 25 25 25 25 50 5050 75 75 75 75 100 100 100];for i = 1 : length( cx )tmpPhi( :, i ) = - sqrt ( ( LSgrid . x - cx ( i ) ) .^2 + ( LSgrid . y -cy ( i ) ) .^2 ) + DomainHight/10; end;LSgrid.Phi = - (max(tmpPhi.')).'; % define the initiallevel set functionLSgrid.Phi((LSgrid.x - min(LSgrid.x)) .* (LSgrid.x - max(LSgrid.x)) .* (LSgrid.y- max(LSgrid.y)) .* (LSgrid.y - min(LSgrid.y)) <= 100*eps) = -1e-6;FENd.Phi = griddata( LSgrid.x, LSgrid.y, LSgrid.Phi, FENd.x, FENd.y, 'cubic'); %project Phi values from the level set function to the finite element nodesF = sparse( 2 * (EleNumPerRow + 1 ) * (EleNumPerCol + 1), 1 );F( 2 * (EleNumPerRow + 1 ) * (EleNumPerCol + 1) - EleNumPerCol ) = -1; % constructforce vectorItNum = 1;while ItNum <= TotalItNum % loops begin%Step 2: Finite element analysisdisp(' '); disp( ['Finite Element Analysis No. ', num2str(ItNum), ' starts ... '] );FEAStartTime = clock;[ FENd.u, FENd.v , MeanCompliance] = FEA(1, 1e-3, F, EleNumPerRow, EleNumPerCol, EW, EH, FENd, Ele, 0.3); % Get dispacement fieldLSgrid.Curv = CalcCurvature(reshape(LSgrid.Phi,M + 1), EW, EH); % Calculate geometric quantities%Step 3: Shape sensitivity analysis and normal velocity field calculation LSgrid.Beta = zeros(size(LSgrid.x));for e = 1: EleNumPerRow * EleNumPerColLSgrid.Beta(Ele.LSgridID(e)) = SensiAnalysis( 1, 1e-3, Ele.NodesID, FENd.u , FENd.v, EW, EH,...0.3, e, LV, LCur, LSgrid.Phi(Ele.LSgridID(e)),LSgrid.Curv(Ele.LSgridID(e)));end;LSgrid.Vn = LSgrid.Beta/ max(abs(LSgrid.Beta)); % get velocity fielddisp(['FEA costs ',num2str( etime(clock, FEAStartTime)), ' seconds']);%Step 4: Level set surface update and reinitializationLSgrid.Phi = LevelSetEvolve( reshape(LSgrid.Phi,M + 1), reshape(LSgrid.Vn,M + 1), EW, EH, FEAInterval);if (ItNum == 1)||mod(ItNum, 5) ==0LSgrid.Phi = Reinitialize(reshape(LSgrid.Phi,M + 1), EW, EH, 20);end;FENd.Phi = griddata( LSgrid.x, LSgrid.y, LSgrid.Phi, FENd.x, FENd.y, 'cubic');% Step 5: Results visualization[Obj(ItNum), VolRatio(ItNum), Compliance(ItNum)] =ObjFun( MeanCompliance,LSgrid,DomainWidth, DomainHight,EW,EH,LV);if (ItNum == 1)||(mod(ItNum,PlotInterval) == 0)subplot(1,2,1);contourf( reshape(FENd.x , M), reshape(FENd.y , M), reshape(FENd.Phi , M), [0 0] );axis equal; grid on;subplot(1,2,2); contourf( x, y, reshape(-LSgrid.Phi , M + 1), [0 0]); alpha(0.05); hold on;h3=surface(x, y, reshape(-LSgrid.Phi , M + 1)); view([37.5 30]); axis equal; grid on;set(h3,'FaceLighting','phong','FaceColor','interp', 'AmbientStrength',0.6); light('Position',[0 0 1],'Style','infinite');pause( 0.5 );end;%Step 6 : Go to step 2.ItNum = ItNum + 1;end;function [KK]=AddBoundCondition(K , EleNumPerCol)%=================================================================%% function [KK]=AddBoundCondition(K , EleNumPerCol) is used to add the boundary condition to the stiffness% Gloabal stiffness matrix K calculated by [y]=Assemble( K ,ke,elementsNodeID,EleID).%%=================================================================%n = [ 1 : EleNumPerCol + 1 ];for i = 1 : length(n)K( 2 * n(i)-1 : 2 * n(i),:) = 0;K( : , 2 * n(i)-1: 2 * n(i)) = 0;K(2 * n(i) - 1, 2 * n(i) - 1) = 1;K(2 * n(i) , 2 * n(i)) = 1;end;KK = K;% THE END OF THIS FUNCTIONfunction [K]=Assemble(K,ke,elementsNodeID,EleID)%=================================================================%% This function assembles the element stiffness matrix ke of the% quadrilateral element into the gloabal stiffness matrix K.% This function returns the global stiffness matrix K after the element% stiffness matrix ke is assembled.% K : gloabal stiffness matrix, with the dimension (2 * TotalNodeNum)-by-(2 * TotalNodeNum).% ke : the element stiffness matrix. In terms of a quadratic element, it is% an 8-by-8 symmetric matrix.% elementsNodeID(1:TotalEleNum, 1:4): stores the node ID in a specified% element.% EleID : the serial number of a specified finite element.%%=================================================================%m = elementsNodeID(EleID,:);for i = 1 : length(m)for j = 1 : length(m)K(2*m(i)-1 : 2*m(i), 2*m(j)-1: 2*m(j)) = K(2 * m(i) - 1 : 2 * m(i) , 2 * m(j) - 1: 2*m(j) )+ ke( 2*i-1: 2*i , 2*j-1:2*j);end;end;% THE END OF THIS FUNCTIONfunction [KE] = BasicKe(E,nu, a, b)%=================================================================%% function [KE] = BasicKe(E,nu, a, b) retuerns the element% stiffness matrix of a full/empty element% E : Young's modulus;% nu: Poisson ratio;% a : geometric width of a finite element;% b : geometric hight of a finite element;% KE : a 8-by-8 stiffness matrix%%=================================================================%k = [ -1/6/a/b*(nu*a^2-2*b^2-a^2), 1/8*nu+1/8, -1/12/a/b*(nu*a^2+4*b^2-a^2), 3/8*nu-1/8, ...1/12/a/b*(nu*a^2-2*b^2-a^2), -1/8*nu-1/8, 1/6/a/b*(nu*a^2+b^2-a^2), -3/8*nu+1/8];KE = E/(1-nu^2)*...[ k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7) k(8)k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4) k(3)k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5) k(2)k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2) k(5)k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3) k(4)k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8) k(7)k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1) k(6)k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6) k(1)];% THE END OF THIS FUNCTIONfunction [ Curvature ] = CalcCurvature(Phi, dx, dy)%=================================================================%% function [Curvature]= CalcCurvature(Phi, dx, dy) calculates% curvature of the level set function,where% Phi: is an m-by-n matrix;% dx : the interval between two adjacent grids in axis X.% dy : the interval between two adjacent grids in axis Y.% Curvature:is an m-by-1 vector, which approximates the mean curvature.%%=================================================================%Matrix = Matrix4diff( Phi );Phix = (Matrix.i_plus_1 - Matrix.i_minus_1)/(2 * dx);Phiy = (Matrix.j_plus_1 - Matrix.j_minus_1)/(2 * dy);[Phiyx_Bk, Phiyx_Fw] = UpwindDiff(Phiy , dx, 'x');Phixy = (Phiyx_Bk + Phiyx_Fw)/2;Phixx =(Matrix.i_plus_1 - 2*Phi + Matrix.i_minus_1)/dx^2;Phiyy =(Matrix.j_plus_1 - 2*Phi + Matrix.j_minus_1)/dy^2;Curvature = (Phixx .* Phiy.^2 - 2 * Phix .* Phiy .* Phixy + Phiyy .* Phix.^2) ./ ((Phix.^2 + Phiy.^2).^1.5 + 100*eps);Phix = Phix(:); Phiy = Phiy(:); Curvature = Curvature(:);% THE END OF THIS FUNCTIONfunction [ke]= EleStiffMatrix(EW, EH,E1,E0,NU,Phi,EleNodeID,i)%=================================================================%% function [ke]= EleStiffMatrix(EW, EH,E1,E0,NU,Phi,EleNodeID,i) returns% the element stiffness matrix according to their relative position to the% boundary, which includes 3 cases, viz. inside the boudary, outside the% boundary or on the boundary. It calls the function ke = BasicKe(E0, NU,% EW, EH);% EW: geometric width of a finite element;% EH : geometric hight of a finite element;% E1 : Young's modulus of elastic material;% E0 : Young's modulus of void material;% NU: Poisson ratio, assume that the two materials have the same NU;% EleNodeID : the corresponding serial number of the 4 nodes in a finite% element;% i : loop number%%=================================================================%if min(Phi(EleNodeID(i,:))) > 0 % the case that the element is inside the boudary ke = BasicKe(E1, NU, EW, EH);elseif max(Phi(EleNodeID(i,:))) < 0ke = BasicKe(E0, NU, EW, EH);% the case that the element is outside the boudary else% the case that the element is cut by the boudary[ s , t ] = meshgrid([-1 : 0.1 : 1],[-1 : 0.1 : 1]);tmpPhi = (1 - s(:)).*(1 - t(:))/4 * Phi(EleNodeID(i,1)) + (1 + s(:)).*(1 - t(:))/4 * Phi(EleNodeID(i,2))...+ (1 + s(:)).*(1 + t(:))/4 * Phi(EleNodeID(i,3)) + (1-s(:)).*(1 + t(:))/4 * Phi(EleNodeID(i,4));AreaRatio = length(find( tmpPhi >= 0 ))/length(s(:));ke = AreaRatio * BasicKe(E1,NU,EW, EH);end;% THE END OF THIS FUNCTIONfunction [ u, v , MeanCompliance] = FEA(E1, E0, F, EleNumPerRow, EleNumPerCol, EW, EH, FENodes, Ele, NU)%=================================================================%% function [ u, v , MeanCompliance] = FEA(E1, E0, F, EleNumPerRow, EleNumPerCol, EW, EH, FENodes, Ele, NU)% returns the 2-dimensional displacement field and the mean compliance;% E1 : Young's modulus of elastic material;% E0 : Young's modulus of void material;% F : the force vector;% EW: geometric width of a finite element;% EH : geometric hight of a finite element;% FENodes : the structure storing finite element nodes;% Ele : the structure storing finite element;% NU: Poisson ratio, assume that the two materials have the same NU;%%=================================================================%K = sparse(2 * (EleNumPerRow + 1 )*(EleNumPerCol + 1), 2 * (EleNumPerRow + 1 )*(EleNumPerCol + 1) );for i=1:EleNumPerRow * EleNumPerColke = EleStiffMatrix(EW, EH, E1,E0, NU, FENodes.Phi, Ele.NodesID, i); K = Assemble(K, ke, Ele.NodesID, i);end;K = AddBoundCondition(K , EleNumPerCol);U = K \ F;tmp = 2 * (EleNumPerRow + 1 )*(EleNumPerCol + 1) - EleNumPerCol; MeanCompliance = F( tmp ) *U( tmp );for i = 1: 0.5 * length(U)u(i,1) = U(2 * i - 1); v( i ,1) = U(2 * i );end;% THE END OF THIS FUNCTIONfunction [Phi1] = LevelSetEvolve(Phi0, Vn, dx, dy, LoopNum)%=================================================================%% function [Phi1] = LevelSetEvolve(Phi0, Vn, dx, dy, LoopNum)% updates the level set surface using a first order space convex.% Phi0: is an m-by-n matrix. It's the level set surface before evolution.% Vn: is an m-by-n matrix.It's the normal velocity field.% Phi1: is an m*n-by-1 vector. It's the level set surface after evolution. %%=================================================================%DetT = 0.5 * min(dx,dy)/max(abs(Vn(:)));for i = 1 : LoopNum[Dx_L, Dx_R] = UpwindDiff(Phi0 , dx , 'x');[Dy_L, Dy_R] = UpwindDiff(Phi0 , dy , 'y');Grad_Plus = ((max(Dx_L,0)).^2 + (min(Dx_R , 0)).^2 + (max(Dy_L,0)).^2 + (min(Dy_R,0)).^2 ).^0.5;Grad_Minus = ((min(Dx_L,0)).^2 + (max(Dx_R , 0)).^2 + (min(Dy_L,0)).^2 + (max(Dy_R,0)).^2 ).^0.5;Phi0 = Phi0 - DetT .* (max(Vn, 0) .* Grad_Plus + min(Vn, 0) .* Grad_Minus); end;Phi1 = Phi0(:);% THE END OF THIS FUNCTIONfunction [EleNodesID]=MakeElements(EleNumPerRow,EleNumPerCol,FirstNodePerCol) %=================================================================%% function[EleNodesID]=MakeElements(EleNumPerRow,EleNumPerCol,FirstNodePerCol)% is used to produce finite elements.% EleNodesID(1:NumEle, 1:4): stands for node ID that make up each element;% O----------------------O% |4 3 |% | |% | |% |1 2 |% O----------------------O% EleNumPerRow: number of element per row% EleNumPerCol: number of element per column% FirstNodePerCol: the serial number of the first node in each column%%=================================================================%EleNodesID = zeros(EleNumPerRow * EleNumPerCol , 4);for i=1:EleNumPerRowEleNodesID([i * EleNumPerCol : -1:(i-1) * EleNumPerCol + 1] , 4) = [FirstNodePerCol(i): -1:FirstNodePerCol(i) - EleNumPerCol + 1].';end;EleNodesID(:,1)=EleNodesID(:,4)- 1;EleNodesID(:,2)=EleNodesID(:,1)+ EleNumPerCol + 1;EleNodesID(:,3)=EleNodesID(:,2)+ 1;% THE END OF THIS FUNCTIONfunction [NodesX, NodesY, FirstNodePerCol] =MakeNodes(EleNumPerRow,EleNumPerCol,EleWidth,EleHight)%=================================================================%% function[nodesPosition,FirstNodePerCol]=MakeNodes(EleNumPerRow,EleNumPerCol,EleWidth,El eHight)% is used to make nodesPosition% NodesX: an n-by-1 vector discribing the x coordinates of FE nodes% NodesY: an n-by-1 vector discribing the x coordinates of FE nodes% EleNumPerRow: the number of elements in each row;% EleNumPerCol: the number of elements in each col% EleWidth: is the width of an element. Here EleWidth=1;% EleHight: is the hight of an element. Here EleHight=1;%%=================================================================%[ x , y ]= meshgrid( EleWidth * [ 0 : EleNumPerRow ], EleHight * [0 : EleNumPerCol]); FirstNodePerCol = find( y(:) == max(y(:)));NodesX = x(:); NodesY = y(:);% THE END OF THIS FUNCTIONfunction [Matrix] = Matrix4diff( Phi )%=================================================================%% function [Matrix] = Matrix4diff( Phi ) produces a structure used for% upwind finite diffence.% Phi: is an m-by-n matrix;% Matrix: a structure which includes 4 matrixes used to calculate finite% difference.%=================================================================%Matrix.i_minus_1 = zeros(size(Phi));Matrix.i_plus_1 = Matrix.i_minus_1;Matrix.j_minus_1 = Matrix.i_minus_1;Matrix.j_plus_1 = Matrix.i_minus_1;Matrix.i_minus_1(:, 1) = Phi(:, end);Matrix.i_minus_1(:, 2:end) = Phi(:,1:end-1);Matrix.i_plus_1(:, end) = Phi(:,1);Matrix.i_plus_1(:, 1:end-1) = Phi(:,2:end);Matrix.j_minus_1(1, :) = Phi(end, :);Matrix.j_minus_1(2:end , :) = Phi(1:end-1,:);Matrix.j_plus_1(end,:) = Phi(1,:);Matrix.j_plus_1(1:end-1, :) = Phi(2:end, :);% THE END OF THIS FUNCTIONfunction [SignDistPhi] = Reinitialize(Phi0, dx, dy, LoopNum)%=================================================================%%function [SignDistPhi] = Reinitialize(Phi0, dx, dy, LoopNum) is used to% regulize the level set function to be a signed distance function. We% adopt the PDE-based method proposed by Peng, Merriman, and Osher% etc.,where% Phi0: is an m-by-n matrix. It's the level set surface before reinitialization. % dx : the interval between two adjacent grids in axis X.% dy : the interval between two adjacent grids in axis Y.% SignDistPhi : is an m*n-by-1 vector. It's the level set surface after reinitialization.%%=================================================================%for i = 1 : LoopNum + 1[Dx_L, Dx_R] = UpwindDiff(Phi0 , dx , 'x');[Dy_L, Dy_R] = UpwindDiff(Phi0 , dy , 'y');Dx_C = (Dx_L + Dx_R)/2;Dy_C = (Dy_L + Dy_R)/2;S = Phi0 ./ (sqrt(Phi0.^2 + (Dx_C.^2 + Dy_C.^2) * dx^2) + eps);DetT = 0.5 * min(dx,dy)/max(abs(S(:)));Grad_Plus = ((max(Dx_L,0)).^2 + (min(Dx_R , 0)).^2 + (max(Dy_L,0)).^2 +(min(Dy_R,0)).^2 ).^0.5;Grad_Minus = ((min(Dx_L,0)).^2 + (max(Dx_R , 0)).^2 + (min(Dy_L,0)).^2 +(max(Dy_R,0)).^2 ).^0.5;Phi0 = Phi0 - DetT .* ((max(S, 0) .* Grad_Plus + min(S, 0) .* Grad_Minus) - S);end;SignDistPhi = Phi0(:);% THE END OF THIS FUNCTIONfunction [ Beta ] = SensiAnalysis( E1, E0, EleNodesID, u, v, EW , EH, NU , EleID ,L4Vol , L4Curv , Phi , curvature)%**************************************************************************% function [Vn] = Beta4NormVelocity(EW,NU,B,ae,LagrangeMulti, Phi,curvature) isused to calculate% the velocity field on a certain grid of level set function.% ae = [u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4].' : a 8*1 column vector% matrix B is a 3*8 strain matrix%%**************************************************************************ae = [ u(EleNodesID(EleID,1)); v(EleNodesID(EleID,1)); u(EleNodesID(EleID,2));v(EleNodesID(EleID,2));u(EleNodesID(EleID,3)); v(EleNodesID(EleID,3)); u(EleNodesID(EleID,4));v(EleNodesID(EleID,4))];B = 1/2*[ -1/EW, 0, 1/EW, 0, 1/EW, 0, -1/EW, 0;0, -1/EH, 0, -1/EH, 0, 1/EH, 0,1/EH;-1/EH, -1/EW, -1/EH, 1/EW, 1/EH, 1/EW, 1/EH, -1/EW];strain = B * ae;% strain isa 3*1 col. vectorif Phi> 0.75 * EWE = E1;elseif Phi< -0.75 * EWE = E0;elseDENSITY_Min = 1e-3;xd = Phi / (0.75 * EW);E = E1 * 0.75 * ( 1.0 - DENSITY_Min ) * ( xd - xd^3 / 3.0 ) + 0.5 * ( 1 + DENSITY_Min );end;D =E / (1 - NU^2) * [ 1 , NU , 0; NU , 1 , 0; 0 , 0, (1 - NU)/2 ];StainEnergy = strain.' * D * strain;Beta = L4Vol - StainEnergy - L4Curv * curvature;% THE END OF THIS FUNCTIONfunction [BackDiff, FawdDiff] = UpwindDiff(Phi , dx , strDirection)%=================================================================%% function [BkDiff, FwDiff] = UpwindDiff(Phi , dx) calculates% backward and forward finite difference,where% Phi: is an n-by-n matrix;% dx : the interval between two adjacent grids in axis X.% strDirection : is a character string. It equals to 'x'or 'y'which mean% get spacial derivatives in x direction or y direction.% BackDiff:is an n-by-n matrix, which stores (Phi(i,j) - Phi(i-1 ,j))/dx;% FawdDiff:is an n-by-n matrix, which stores (Phi(i+1,j) - Phi(i ,j))/dx;%%=================================================================%Matrix = Matrix4diff( Phi );if strDirection == 'x'BackDiff = (Phi - Matrix.i_minus_1)/dx;FawdDiff = (Matrix.i_plus_1 - Phi)/dx;elseif strDirection == 'y'BackDiff = (Phi - Matrix.j_minus_1)/dx;FawdDiff = (Matrix.j_plus_1 - Phi)/dx;end;% THE END OF THIS FUNCTION%************************************Disclaimer********************************* ***********%% The authors reserve all rights for the programs. The programs may be distributed and% used for academic and educational purposes. The authors do not guarantee that the % code is free from errors, and they shall not be liable in any event caused by the use% of the programs.%=================================================================%。
拓扑代码
namespace a{class b{/* private void button1_Click(object sender, EventArgs e){IWorkspace pWorkSpace = ArcGISMdb.OpenMdbWorkSpace(@"C:\YJDSOFT\NCLand\复件Dowith\bjMap\GH499179.mdb");if (pWorkSpace == null) return;IFeatureDataset pFeatureDataset = ArcGISMdb.GetFeatureDataset(pWorkSpace, "map");// Attempt to acquire an exclusive schema lock on the feature dataset. ISchemaLock schemaLock = (ISchemaLock)pFeatureDataset;try{chemaLock.ChangeSchemaLock(esriSchemaLock.esriExclusiveSchemaLock); ITopologyContainer pTopoCont = pFeatureDataset as ITopologyContainer;//IFeatureClass pFeatureClass=pWor. ITopology pTopology = null;// if (!ArcGISMdb.TopologyIsExists("ttt", pFeatureDataset))//不存在//{pTopology = pTopoCont.CreateTopology("ttt", pTopoCont.DefaultClusterTolerance, -1, "");IFeatureClass pFeatureClass = ArcGISMdb.GetFeatureClass(pWorkSpace, "Nc_Parcel");//pTopology.AddClass((IClass)pFeatureClass, 5, 1, 1, false);AddRuleToTopology(pTopology, esriTopologyRuleType.esriTRTAreaNoOverlap, "No Block Overlap", pFeatureClass); //}IGeoDataset geoDataset = (IGeoDataset)pTopology;IEnvelope envelope = geoDataset.Extent;ValidateTopology(pTopology, envelope);}catch (COMException comExc){//throw new Exception(String.Format( "Error creating topology: {0} Message: {1}", comExc.ErrorCode, comExc.Message), comExc);}finally{schemaLock.ChangeSchemaLock(esriSchemaLock.esriSharedSchemaLock);}}*/public void ValidateTopology(ITopology topology, IEnvelope envelope){ // Get the dirty area within the provided envelope.IPolygon locationPolygon = new PolygonClass();ISegmentCollection segmentCollection = (ISegmentCollection)locationPolygon;segmentCollection.SetRectangle(envelope); IPolygon polygon =topology.get_DirtyArea(locationPolygon);// If a dirty area exists, validate the topology.if (!polygon.IsEmpty){// Define the area to validate and validate the topology.IEnvelope areaToValidate = polygon.Envelope;IEnvelope areaValidated = topology.ValidateTopology(areaToValidate);}}public void AddRuleToTopology(ITopology topology, esriTopologyRuleType ruleType, String ruleName, IFeatureClass originClass, int originSubtype, IFeatureClass destinationClass, int destinationSubtype) {// Create a new topology rule. ITopologyRule topologyRule = new TopologyRuleClass();topologyRule.TopologyRuleType = ruleType; = ruleName;topologyRule.OriginClassID = originClass.FeatureClassID;//topolo gyRule.AllOriginSubtypes = false;topologyRule.OriginSubtype = originSubtype;topologyRule.DestinationClassID = destinationClass.FeatureClassID;topologyRule.AllDestinationSubtypes = false;topologyRule.DestinationSubtype = destinationSubtype;// Cast the topology to the ITopologyRuleContainer interface and add the rule.ITopologyRuleContainer topologyRuleContainer = (ITopologyRuleContainer)topology;if (topologyRuleContainer.get_CanAddRule(topologyRule)){topologyRuleContainer.AddRule(topologyRule);}else{throw new ArgumentException("Could not add specified rule to the topology.");}}public void AddRuleToTopology(ITopology topology, esriTopologyRuleType ruleType, String ruleName, IFeatureClass featureClass){ // Create a new topology rule.ITopologyRule topologyRule = new TopologyRuleClass();topologyRule.TopologyRuleType = ruleType; = ruleName;topologyRule.OriginClassID = featureClass.FeatureClassID;topologyRule.AllOriginSubtypes = true;// Cast the topology to the ITopologyRuleContainer interface and add the rule.ITopologyRuleContainer topologyRuleContainer = (ITopologyRuleContainer)topology;if (topologyRuleContainer.get_CanAddRule(topologyRule)){topologyRuleContainer.AddRule(topologyRule);}else{throw new ArgumentException("Could not add specified rule to the topology.");}}public void CreateTopology(){// Open the workspace and the required datasets.IWorkspaceFactory workspaceFactory = new FileGDBWorkspaceFactoryClass();//IWorkspace workspace = workspaceFactory.OpenFromFile(@"C:\arcgis\ArcTutor\BuildingaGeodatabase\Montgomery.gdb", 0);IFeatureWorkspace featureWorkspace = (IFeatureWorkspace)workspace;IFeatureDataset featureDataset = featureWorkspace.OpenFeatureDataset("Landbase");IFeatureClass blocksFC = featureWorkspace.OpenFeatureClass("Blocks");IFeatureClass parcelsFC = featureWorkspace.OpenFeatureClass("Parcels");// Attempt to acquire an exclusive schema lock on the feature dataset.ISchemaLock schemaLock = (ISchemaLock)featureDataset;try{schemaLock.ChangeSchemaLock(esriSchemaLock.esriExclusiveSchemaLock);// Create the topology.ITopologyContainer2 topologyContainer = (ITopologyContainer2)featureDataset;ITopology topology = topologyContainer.CreateTopology("Landbase_Topology", topologyContainer.DefaultClusterTolerance, -1, "");// Add feature classes and rules to the topology.topology.AddClass(blocksFC, 5, 1, 1, false);topology.AddClass(parcelsFC, 5, 1, 1, false);AddRuleToTopology(topology, esriTopologyRuleType.esriTRTAreaNoOverlap, "No Block Overlap", blocksFC);AddRuleToTopology(topology, esriTopologyRuleType.esriTRTAreaCoveredByAreaClass, "ResParcels Covered by ResBlocks", parcelsFC, 1, blocksFC, 1);// Get an envelope with the topology's extents and validate the topology.IGeoDataset geoDataset = (IGeoDataset)topology;IEnvelope envelope = geoDataset.Extent;ValidateTopology(topology, envelope);}catch (COMException comExc){throw new Exception(String.Format("Error creating topology: {0} Message: {1}", comExc.ErrorCode, comExc.Message), comExc);}finally{schemaLock.ChangeSchemaLock(esriSchemaLock.esriSharedSchemaLock);}}}}。
Python在网络安全中的网络拓扑分析与优化
Python在网络安全中的网络拓扑分析与优化网络安全在当今社会中扮演着至关重要的角色，而Python作为一种强大的编程语言，在网络安全领域中也发挥着重要的作用。
本文将探讨Python在网络安全中的网络拓扑分析与优化的应用。
一、网络拓扑分析网络拓扑分析是一项重要的网络安全工作，通过对网络拓扑结构进行分析，可以帮助揭示网络中的潜在漏洞和风险。
Python提供了各种强大的库和模块，可以帮助我们进行网络拓扑分析。
1.1 网络拓扑建模在进行网络拓扑分析之前，首先需要对网络进行建模。
Python的networkx库提供了丰富的功能，可以用于构建、操作和分析复杂网络的拓扑结构。
我们可以使用networkx库来创建网络拓扑图，将网络中的各个节点和连接关系可视化出来，更好地理解网络的结构。
1.2 拓扑分析算法除了建模工具，Python还提供了许多用于拓扑分析的算法。
比如最短路径算法、图形遍历算法等等。
通过这些算法，我们可以计算网络中不同节点之间的最短路径、最长路径等信息，帮助我们了解网络中的通信模式和数据传输情况。
此外，Python的拓扑分析算法还可以帮助我们检测网络中的环路和死锁等问题，并提供相应的解决方案。
二、网络拓扑优化网络拓扑优化是网络安全的重要环节。
通过对现有网络拓扑进行优化，可以提高网络的安全性和性能。
2.1 拓扑优化策略Python可以帮助我们制定和实施网络拓扑优化策略。
通过对网络流量、数据包传输等信息进行分析，我们可以利用Python编写脚本来实现自动化的拓扑优化策略。
例如，我们可以通过分析网络中的瓶颈节点和瓶颈链路，找出网络的瓶颈所在，并进行相应的优化，以提高网络的性能和可用性。
2.2 自适应拓扑优化Python的强大功能还可以用于实现自适应的拓扑优化。
我们可以利用Python编写脚本来监控网络中的各个节点和链路的负载情况，并根据实时数据对网络拓扑进行相应的调整和优化。
例如，当网络中某个节点的负载过高时，Python可以自动将其上的任务迁移到其他空闲节点上，以避免节点过载引发的问题。
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1.2.%%%% A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLE SIGMUND, JANUARY2000 %%%3.%%%% CODE MODIFIED FOR INCREASED SPEED, September 2002, BY OLESIGMUND %%%4.%%%% 一个由 OLE SIGMUND编写的99行拓扑优化代码，2000年1月 %%%5.%%%% 为加速而修改的代码，2002年9月,由OLE SIGMUND编写 %%%6.function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin);7.% INITIALIZE8.x(1:nely,1:nelx) = volfrac;9.loop = 0;10.change = 1.;11.% START ITERATION12.while change > 0.0113. loop = loop + 1;14. xold = x;15.% FE-ANALYSIS16. [U]=FE(nelx,nely,x,penal);17.% OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANALYSIS18. [KE] = lk;19. c = 0.;20. for ely = 1:nely21. for elx = 1:nelx22. n1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;23. n2 = (nely+1)* elx +ely;24. Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2;2*n1+1;2*n1+2],1);25. c = c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue;26. dc(ely,elx) = -penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue;27. end28. end29.% FILTERING OF SENSITIVITIES30. [dc] = check(nelx,nely,rmin,x,dc);31.% DESIGN UPDATE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD32. [x] = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc);33.% PRINT RESULTS34. change = max(max(abs(x-xold)));35. disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ...36. ' Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ...37. ' ch.: ' sprintf('%6.3f',change )])38.% PLOT DENSITIES39. colormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axisoff;pause(1e-6);40.end41.%%%%%%%%%% OPTIMALITY CRITERIA UPDATE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%42.function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc)43.l1 = 0; l2 = 100000; move = 0.2;44.while (l2-l1 > 1e-4)45. lmid = 0.5*(l2+l1);46. xnew =max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))));47. if sum(sum(xnew)) - volfrac*nelx*nely > 0;48. l1 = lmid;49. else50. l2 = lmid;51. end52.end53.%%%%%%%%%% MESH-INDEPENDENCY FILTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%54.function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc)55.dcn=zeros(nely,nelx);56.for i = 1:nelx57. for j = 1:nely58. sum=0.0;59. for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx)60. for l = max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely)61. fac = rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2);62. sum = sum+max(0,fac);63. dcn(j,i) = dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k);64. end65. end66. dcn(j,i) = dcn(j,i)/(x(j,i)*sum);67. end68.end69.%%%%%%%%%% FE-ANALYSIS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%70.function [U]=FE(nelx,nely,x,penal)71.[KE] = lk;72.K = sparse(2*(nelx+1)*(nely+1), 2*(nelx+1)*(nely+1));73.F = sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1); U = zeros(2*(nely+1)*(nelx+1),1);74.for elx = 1:nelx75. for ely = 1:nely76. n1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;77. n2 = (nely+1)* elx +ely;78. edof = [2*n1-1; 2*n1; 2*n2-1; 2*n2; 2*n2+1; 2*n2+2; 2*n1+1; 2*n1+2];79. K(edof,edof) = K(edof,edof) + x(ely,elx)^penal*KE;80. end81.end82.% DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM)83.F(2,1) = -1;84.fixeddofs = union([1:2:2*(nely+1)],[2*(nelx+1)*(nely+1)]);85.alldofs = [1:2*(nely+1)*(nelx+1)];86.freedofs = setdiff(alldofs,fixeddofs);87.% SOLVING88.U(freedofs,:) = K(freedofs,freedofs) \ F(freedofs,:);89.U(fixeddofs,:)= 0;90.%%%%%%%%%% ELEMENT STIFFNESS MATRIX %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%91.function [KE]=lk92.E = 1.;93.nu = 0.3;94.k=[ 1/2-nu/6 1/8+nu/8 -1/4-nu/12 -1/8+3*nu/8 ...95. -1/4+nu/12 -1/8-nu/8 nu/6 1/8-3*nu/8];96.KE = E/(1-nu^2)*[ k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7) k(8)97. k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4) k(3)98. k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5) k(2)99. k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2) k(5)100. k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3) k(4)101. k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8) k(7)102. k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1) k(6)103. k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6) k(1)]; 104.% 105.%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%106.% This Matlab code was written by Ole Sigmund, Department of Solid %107.% Mechanics, Technical University of Denmark, DK-2800 Lyngby, Denmark. %108.% Please sent your comments to the author:[email]sigmund@fam.dtu.dk[/email]%109.% %110.% The code is intended for educational purposes and theoretical details %111.% are discussed in thepaper %112.% "A 99 line topology optimization code written in Matlab" %113.% by Ole Sigmund (2001), Structural and Multidisciplinary Optimization, %114.% Vol 21, pp.120--127. % 115.% %116.% The code as well as a postscript version of the paper can be %117.% downloaded from the web-site:[url]http://www.topopt.dtu.dk[/url] %118.% %119.%Disclaimer: %120.% The author reserves all rights but does not guaranty that the code is %121.% free from errors. Furthermore, he shall not be liable in any event %122.% caused by the use of theprogram. %。