高考复习 导数及其应用大题第一问精练(文科)

高考复习 导数及其应用大题第一问精练

题型1 有关曲线切线方程的计算

1．（2018新课标Ⅲ卷）已知函数()x

e x ax x

f 1

2-+=．

（1）求曲线y=f （x ）在点（0，-1）处的切线方程； 解：（1）

=﹣

．

∴f ′（0）=2，即曲线y=f （x ）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=2，

∴曲线y=f （x ）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y ﹣（﹣1）=2x ．即2x ﹣y ﹣1=0为所求． 2．（2016新课标Ⅱ卷）已知函数()()()1ln 1--+=x a x x x f ． （I ）当a ＝4时，求曲线()x f y =在（1，f （1））处的切线方程；

解：（I ）当a ＝4时，f （x ）＝（x+1）lnx ﹣4（x ﹣1）．f （1）＝0，即点为（1，0），

函数的导数f ′（x ）＝lnx+（x+1）•

﹣4，则f ′（1）＝ln1+2﹣4＝2﹣4＝﹣2，

即函数的切线斜率k ＝f ′（1）＝﹣2，则曲线y ＝f （x ）在（1，0）处的切线方程为y ＝﹣2（x ﹣1）＝﹣2x+2； 3．（2018北京卷）设函数()()[]

x

e a x a ax x

f 23132

+++-=．

（Ⅰ）若曲线()x f y =在点（2，f （2））处的切线斜率为0，求a ；

解：（Ⅰ）函数f （x ）=[ax 2

﹣（3a+1）x+3a+2]e x

的导数为f ′（x ）=[ax 2

﹣（a+1）x+1]e x

． 曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线斜率为0，可得（4a ﹣2a ﹣2+1）e 2

=0，解得a=

2

1

； 4．（2014新课标Ⅱ卷）已知函数()232

3

++-=ax x x x f ，曲线()x f y =在点（0，2）处的切线与x 轴交点的横坐标为﹣2． （Ⅰ）求a ；

解：（Ⅰ）函数的导数f ′（x ）＝3x 2

﹣6x+a ；f ′（0）＝a ；则y ＝f （x ）在点（0，2）处的切线方程为y ＝ax+2， ∵切线与x 轴交点的横坐标为﹣2，∴f （﹣2）＝﹣2a+2＝0，解得a ＝1． 5．（2014新课标Ⅰ卷）设函数()bx x a x a x f --+=2

2

1ln （1≠a ），曲线()x f y =在点（1，f （1））处的切线斜率为0， （1）求b ； 解：（1）f ′（x ）＝

（x ＞0），∵曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，

∴f ′（1）＝a+（1﹣a ）×1﹣b ＝0，解得b ＝1．

6.（2015山东卷）设函数()()x a x x f ln +=，()x e

x x g 2

=. 已知曲线()x f y =在点（1，f(1)）处的切线与直线

02=-y x 平行．

（1）求a 的值；

解 (1)由题意知，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2，又f ′(x)＝ln x ＋a

x ＋1，所

以a ＝1.

7.（2016北京卷）设函数()c bx ax x x f +++=2

3

.

（1）求曲线()x f y =在点（0，()0f ）处的切线方程；

(1)解 由f(x)＝x 3

＋ax 2

＋bx ＋c ，得f ′(x)＝3x 2

＋2ax ＋b ，切线斜率k ＝f ′(0)＝b. 又f(0)＝c ，所以切点坐标为(0，c).所以所求切线方程为y －c ＝b(x －0)，即bx －y ＋c ＝0.

8．（2013新课标Ⅰ卷）已知函数()()x x b ax e x f x

42

--+=，曲线()x f y =在点（0，f （0））处切线方程为44+=x y ．

（Ⅰ）求a ，b 的值；

解：（Ⅰ）∵f （x ）＝e x

（ax+b ）﹣x 2

﹣4x ，∴f ′（x ）＝e x

（ax+a+b ）﹣2x ﹣4，

∵曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处切线方程为y ＝4x+4∴f （0）＝4，f ′（0）＝4∴b ＝4，a+b ＝8 ∴a ＝4，b ＝4； 题型2 求单调区间

9．（2016新课标Ⅲ卷）设函数()1ln +-=x x x f ． （1）讨论()x f 的单调性；

解：（1）函数f （x ）＝lnx ﹣x+1的导数为f ′（x ）＝﹣1，由f ′（x ）＞0，可得0＜x ＜1；由f ′（x ）＜0，可得x ＞1．即有f （x ）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）； 10．（2015新课标Ⅱ卷）设函数()()x a x x f -+=1ln ． （Ⅰ）讨论：()x f 的单调性；

解：（Ⅰ）f （x ）＝lnx+a （1﹣x ）的定义域为（0，+∞），∴f ′（x ）＝﹣a ＝，

若a ≤0，则f ′（x ）＞0，∴函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，

若a ＞0，则当x ∈（0，）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（，+∞）时，f ′（x ）＜0，所以f （x ）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，

11.（2015天津卷）已知函数()4

4x x x f -=，x ∈R .

（1）求()x f 的单调区间；

(1)解 由f(x)＝4x －x 4，可得f ′(x)＝4－4x 3

.当f ′(x)＞0，即x ＜1时，函数f(x)单调递增；

当f ′(x)＜0，即x ＞1时，函数f(x)单调递减．所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

12．（2018新课标Ⅱ卷）已知函数()()

13

123

++-=x x a x x f ． （1）若a=3，求()x f 的单调区间； 解：（1）当a=3时，f （x ）=

3

1x 3﹣3（x 2+x+1），所以f ′（x ）=x 2

-6x-3时，令f ′（x ）=0解得x=332±， 当x ∈（﹣∞，3-23），x ∈（3+23，+∞）时，f ′（x ）＞0，函数是增函数， 当x ∈（3-23，3+23）时，f ′（x ）＜0，函数是单调递减，

综上，f （x ）在（﹣∞，3-23），（3+23，+∞），上是增函数，在（3-23，3+23）上递减． 13．（2017新课标Ⅱ）设函数()()

x

e x x

f 2

1-=．

（1）讨论()x f 的单调性；

解：（1）因为f （x ）＝（1﹣x 2

）e x

，x ∈R ，所以f ′（x ）＝（1﹣2x ﹣x 2

）e x

， 令f ′（x ）＝0可知x ＝﹣1±，

当x ＜﹣1﹣

或x ＞﹣1+

时f ′（x ）＜0，当﹣1﹣＜x ＜﹣1+

时f ′（x ）＞0，

所以f （x ）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+

，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣

，﹣1+

）上单调递增；

14．（2018新课标Ⅰ卷）已知函数()1ln --=x ae x f x

． （1）设2=x 是()x f 的极值点，求a ，并求()x f 的单调区间；

解：（1）∵函数f （x ）=ae x

﹣lnx ﹣1．∴x ＞0，f ′（x ）=ae x

﹣，∵x=2是f （x ）的极值点，

∴f ′（2）=ae 2

﹣=0，解得a=

，∴f （x ）=e x

﹣lnx ﹣1，∴f ′（x ）=

，

当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，当x ＞2时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． 15.（2014安徽卷）设函数()()3

2

11x x x a x f --++=，其中a ＞0.

（1）讨论()x f 在其定义域上的单调性；

解 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝1＋a －2x －3x 2

. 令f ′(x)＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1＜x 2，

所以f ′(x)＝－3(x －x 1)(x －x 2)．

当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x)＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x)＞0.

故f(x)在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． 16．（2013大纲卷）已知函数()1332

3

+++=x ax x x f ．