研究生矩阵论课后习题习题三

合集下载

研究生矩阵理论课后答案3章习题

#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特征值都是实数. 证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P-1)*BP-1=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相同,故BA的特征值也都是实数. 证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B)) =det A det(A-1-B)=0. 但det A >0,A-1正定和det(A-1-B)=0的根全为实数(见例3.9.1的相关证明)
xa
i 1 j 1
n
n
i ij
yj
xa x ya
i ij j i j i j
n
n
n
n
i ij
yj
习题3-3(1)
#3-3(1):已知A= ,试求UUnn使U*AU=R为上三角矩阵. 解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值. 显然,1=(0,1,0)T是A的一个特征向量.作酉矩阵 V=(1,2,3),2=(1,0,0)T,3=(0,0,1)T,则 V*AV=
习题3-19设A是正定Hermite矩阵且 AUnn,则A=E
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*) 其中1,…,n是A的特征值的任意排列. A 是正定蕴含 i>0,i=1,…,n AUnn 蕴含|i|=1,i=1,…,n 因此 i=1,i=1,…,n ∴ A=Udiag(1,…,n)U*=UEU*=UU*=E.
习题3-14
#3-14:若AHnn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).

《矩阵论》习题答案,清华大学出版社,研究生教材习题 2.2

= k1 1 ( 1 , ) k 2 2 ( 2 , ) = k1 H 1 k 2 H 2 故是线性变换.又因为
( H , H ) ( ( , ) , ( , ) ) ( , ) ( , ) 2 ( 2 2 )
, (i 1, , n 2) .如此
又因为各行与第 n 1 行正交，故 ai ,n1 0 由下往上逐行递推，即得结果.
8
17. 证：因为
( A S )( A S ) ( A S ) ( A S ) ( A S )
1 T 1 T T
5. 证：由 ( ( ( 得
cos , ( , )
( ), ( ), (β),
(β))= ( , β) ( ))=( , ) (β))= (β, β)
. ( ), (β))／｜ ( ), (β)＞ ( ) ｜｜ (β)) ｜
= (
= cos＜
1
1
，使
1
( 1 ) 1 . 令
1
( j ) j ( j 2,3, , n) ，如果 j j , j 2,3, , n ，则
2
=
，结论
成立.否则可设 2 2 ，再作镜面反射
2
：
2 2 2 2
( ) 2( , ) ,

于是
2
( 2 ) 2 ，且可验算有
2
(1 ) 1 .
如此继续下去，设经 s 次正交变换
1 , 2 , n , 1 , 2 , , n
1 , 2 , 3, , n 1 , 2 , , n

矩阵论课后题答案(研究生用书)改

⎞ ⎠
⎠
A
P
⎞ ⎠
⎠ ⎞
P
⎠
− 1
A
⎠
A
J
P
P
A P
J
A f f A f E E A A A A
⎞ ⎠
A
A
A
A
E
A
E
⎞
A
A A E
A
⎠
f A
A
A
A
A
A
E
A
E
E
A A
⎠
⎞
A A A
A
A
E
2
f
E
A
f A
⎞ ⎠
A
A A A E A
A
E
A
A
⎠ ⎞
E
A
E
⎠
⎞
⎞ ⎠
f A E
E
⎞
A
A
E
⎞ ⎠
f A E E E
0 0
x
x
x
A A
E
E E A A A A A E
⎞ ⎠
j
E
E A A A A
A
E E
A E
E A
A
A
E A
A
A
F
j
F
j
j
A
E
A
A
A A E A g A E A E A E A g A A E A E E A A A E
A
A
A
F
A
A
H
A
A A A A
F
A
H
A
A
A
A
A
A
F

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二1．化下列矩阵为Smith 标准型：（1）222211λλλλλλλλλ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦; （2）22220000000(1)00000λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; （3）2222232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+--+-⎢⎥+--+-⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦;(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦. 解：（1）对矩阵作初等变换133122222222111001100(1)c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦23221311(1)1010000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦，则该矩阵为Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+)1(1λλλ；（2）矩阵的各阶行列式因子为44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,从而不变因子为222341234123()()()()1,()(1),()(1),()(1)()()()D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ===-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦；（3）对矩阵作初等变换1332212132132222222222242322(2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤+--+----⎢⎥⎢⎥+--+-−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3122131211342322(2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+↔+--⨯-↔⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+---++-⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥−−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1)⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦故该矩阵的Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--)1()1(112λλλ; (4)对矩阵作初等变换152323230100014360220002206200020101001010033122003312200c c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦12213231322000100010002200000020002010100100000100001000c c r r c c c c λλλλλλλλλλλλλλ+-+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2143145425222000101000000000000000000001000000010010000001r r c c c c c c c c λλλλλλλλλλ--↔-↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦在最后的形式中，可求得行列式因子3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===,于是不变因子为2541234534()()()()()1,()(1),()(1)()()D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ=====-==-故该矩阵的Smith 标准形为2100000100000100000(1)00000(1)λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 2.求下列λ-矩阵的不变因子：（1）210021002λλλ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）10010000λαββλαλαββλα+⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦；（3）100100015432λλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎣⎦；（4）0012012012002000λλλλ+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦. 解：（1）该λ-矩阵的右上角的2阶子式为1，故12()()1,D D λλ==而33()(2)D λλ=-，所以该λ-矩阵的不变因子为2123()()1,()(2)d d d λλλλ===-;（2）当0β=时，由于4243()(),()()D D λλαλλα=+=+，21()()1D D λλ==，故不变因子为12()()1d d λλ==，2234()(),()()d d λλαλλα=+=+当0β≠时，由于224()[()]D λλαβ=++，且该λ-矩阵中右上角的3阶子式为2(),βλα-+且4(2(),())1D βλαλ-+=，则3()1D λ=，故21()()1D D λλ==，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===224()[()]d λλαβ=++;（3）该λ-矩阵的右上角的3阶子式为1-，故123()()()1,D D D λλλ===而4324()2345D λλλλλ=++++，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ=== 4324()2345d λλλλλ=++++;（4）该λ-矩阵的行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(2)D λλ=+,所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(2)d λλ=+.3．求下列λ-矩阵的初等因子：（1）333232212322λλλλλλλλ⎡⎤++⎢⎥--+--+⎣⎦；（2）3223222212122122λλλλλλλλλλ⎡⎤-+--+⎢⎥-+--⎣⎦. 解：(1)该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλ==+-，故初等因子为21,(1)λλ+-；(2) 该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλλ=-=+-，故不变因子为12()1,()(1)(1),d d λλλλλ=-=+-因此，初等因子为1,1,1λλλ+--.4．求下列矩阵的Jordan 标准形：（1）131616576687⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦；（2）452221111-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（3）3732524103-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（4）111333222-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（5）03318621410⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（6）1234012300120001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解：（1）设该矩阵为A ，则210001000(1)(3)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦，故A 的初等因子为2(1)(3)λλ-+，则A 的Jordan 标准形为300011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）设该矩阵为A ，则310001000(1)E A λλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，故A 的初等因子为3(1)λ-，从而A 的Jordan 标准形为110011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（3）设该矩阵为A ，则210001000(1)(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦,故A 的初等因子为1,,,i i λλλ-+-从而A 的Jordan 标准形为1000000i i ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （4）设该矩阵为A ，则21000000E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎣⎦,故A 的初等因子为2,λλ，从而A 的Jordan 标准形为000001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （5）设该矩阵为A ，则210001000(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥+⎣⎦,故A 的初等因子为2,(1)λλ+，从而A 的Jordan 标准形为000011001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （6）设该矩阵为A ，则1234012300120001E A λλλλλ----⎡⎤⎢⎥---⎢⎥-=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦，该λ-矩阵的各阶行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(1)D λλ=-，则不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(1)d λλ=-，故初等因子为4(1)λ-，则A 的Jordan 标准形为1100011000110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 5．设矩阵142034043A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求5A .解：矩阵A 的特征多项式为2()(1)(5)A f I A λλλλ=-=--，故A 的特征值为11λ=,235λλ==.属于特征值11λ=的特征向量为1(1,0,0)Tη=,属于235λλ==的特征向量为23(2,1,2),(1,2,1)T Tηη==-.设123121[,,]012021P ηηη⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100050005⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1A P P -=Λ.,故4455144441453510354504535A P P -⎡⎤⨯⨯-⎢⎥=Λ=-⨯⨯⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎣⎦. 6.设矩阵211212112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵P ，使得1P AP J -=.解:(1) 求A 的Jordan 标准形J .221110021201011200(1)I A λλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦,故其初等因子为21,(1)λλ--，故A 的Jordan 标准形100011001J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)求相似变换矩阵P .考虑方程组()0,I A X -=即1231112220,111x x x -⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥-= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭解之,得12100,111X X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.其通解为1122k X k X +=1212k k k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭,其中21,k k 为任意常数.考虑方程组1122312111222,111x k x k x k k -⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭11212121211111122200021110002k k k k k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故当1220k k -=时,方程组有解.取121,2k k ==,解此方程组,得3001X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.则相似变换矩阵123100[,,]010111P X X X ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.7.设矩阵102011010A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算8542234A A A A I -++-. 解: 矩阵A 的特征多项式为3()21A f I A λλλλ=-=-+,由于8542320234(21)()(243710)f λλλλλλλλλ-++-=-++-+,其中532()245914f λλλλλ=+-+-. 且32A A I O -+=,故8542234A A A A I -++-=2348262437100956106134A A I --⎡⎤⎢⎥-+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.8.证明：任意可逆矩阵A 的逆矩阵1A -可以表示为A 的多项式. 证明:设矩阵A 的特征多项式为12121()n n n A n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++,则12121n n n n n A a A a A a A a I O ---+++++=,即123121()n n n n n A A a A a A a I a I ----++++=-,因为A 可逆,故(1)0nn a A =-≠,则11231211()n n n n nA A a A a A a I a -----=-++++9.设矩阵2113A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试计算4321(5668)A A A A I --++-.解: 矩阵A 的特征多项式为2()57A f I A λλλλ=-=-+,则227A A I O -+=,而432225668(57)(1)1λλλλλλλλ-++-=-+-+-,故14321111211(5668)()12113A A A A I A I ----⎡⎤⎡⎤-++-=-==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 10.已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，－1，2，试将2nA 表示为A 的二次式. 解: 矩阵A 的特征多项式为()(1)(1)(2)A f I A λλλλλ=-=-+-,则设22()()n f g a b c λλλλλ=+++,由(1)0,(1)0,(2)0,f f f =-==得21,1,422.n a b c a b c a b c ++=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩解之，得2211(21),0,(24)33n n a b c =-==--,因此2222211(21)(24)33n n n A aA bA cI A I =++=---.11.求下列矩阵的最小多项式：（1）311020111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）422575674-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（3）n 阶单位阵n I ；（4）n 阶方阵A ，其元素均为1；（5）0123103223013210a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦. 解:(1) 设311020111A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 231110002002011100(2)I A λλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故该矩阵的最小多项式为2(2)λ-.(2) 设422575674A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,则 2(2)(511)I A λλλλ-=--+,故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为2(2)(511)λλλ--+(3) n 阶单位阵n I 的最小多项式为()1m λλ=-. (4) 因为1()n I A n λλλ--=-,又2A nA =,即2A nA O -=,故该矩阵的最小多项式为()n λλ-.(5)因为22222200123[2()]I B a a a a a λλλ-=-++++,而2222200123()2()m a a a a a λλλ=-++++是I B λ-的因子,经检验知()m λ是矩阵B 的最小多项式.。

矩阵论第三章答案

d1 (λ ) = L = d n −1 (λ ) = 1 ， d n (λ ) = (λ − a )
n
因此初等因子只有一个，即有 (λ − a )n .
11. 证：
A（ λ ）与 B（ λ ）相抵当且仅当它们有相同的不变因
子，当且仅当它们的各阶行列式因子相同.
1 1 ⎤ ⎡λ − 2 ⎢ 12. 解：（ 1 ）因为 λI − A = ⎢ − 2 λ + 1 2 ⎥ ⎥ 的初等因子为 ⎢ − 1 λ − 2⎥ ⎣ 1 ⎦
0 0 ⎤ r2 − (− 1)r3 ⎡1 0 0 ⎤ c 2 − (2λ − 1)c1 ⎡1 ⎢0 ⎥ ⎢ 2 λ − λ ⎥ ⎯⎯ ⎯ λ2 ⎥ ⎯⎯ ⎯ ⎯→ ⎢ ⎯→ ⎢0 λ ⎥ 2 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ c3 + (− λ )c1 ⎢ ( ) r + 1 − λ r 0 λ − λ − λ − λ 0 0 − λ − λ 3 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2. 解：（ 1）因为 A 的特征矩阵为
⎡λ + 1 ⎤ ⎢ ⎥ λ+2 ⎢ ⎥ A(λ ) = λI − A = ⎢ ⎥ λ −1 ⎢ ⎥ λ − 2⎦ ⎣
所以 A（ λ ）的行列式因子为
⎡1⎤ A=⎢ ⎥ ⎣1⎦
不变因子为
d 1 (λ ) = D1 (λ ) = 1, d 4 (λ ) = D4 (λ ) D3 (λ ) d 2 (λ ) = d 3 (λ ) = 1,
10. 解：
因为 A(λ ) = (λ − a )n ，所以 Dn (λ ) = (λ − a )n ，又因
c1 λ − a c2 O
O
= c1c 2 L c n −1 ≠ 0 ，
λ − a c n −1

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一

A = ∑∑ aij Fij ，故 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , L , Fnn 是 R n×n 中全体对称矩阵所构
i =1 j =1 n n
成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是
n(n + 1) . 2
② 令 Gij = Eij − E ji (i < j ) ，则 Gij 是反对称矩阵，易证
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ，则 Fij 是对称矩阵，易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线性无关，且对任意 n 阶对称矩阵 A = (aij ) n×n ，其中 aij = a ji ，有
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题四

习题四1．求下列微分方程组的通解（1）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=;34,2212211x x dt dxx x dt dx （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+=. ,3233212321,x x dt dx x x x dt dxx x dt dx解：(1)设,3421⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21x x x ,则原方程组可写为 Ax dtdx=，矩阵A 的特征方程为0)1)(5(3421=+-=----=-λλλλλA I ，则矩阵A 的特征值为51=λ,12-=λ,求得矩阵A 的特征向量分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11,21,令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1211P ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1211311P ,有 Λ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-10051AP P ,1-Λ=P P A , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==------Λt t tt t t tt t t t Ate e e e e e e e e e PPe e55555122231121100121131. 故该方程组的通解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+==------t t t t t t ttt t tt At e c c e c c e c c e c c c c e e e e e e e e c e x )2()22()2()(31222312152121521215555其中21,c c 为任意常数.(2)设,110111110⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x x ,则原方程可写为Ax dtdx=，矩阵A 的特征方程为0)1(2=-=-λλλA I ，则矩阵A 的特征值为01=λ,132==λλ.A 的属于特征值01=λ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1121η,由方程组⎩⎨⎧+==32322ηηηηηA A 解得A 的属于特征值132==λλ的广义特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,10132ηη.令[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==111101112,,321ηηηP ,则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1113121011P ,有11,100110000--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=PJP A J AP P ,由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t t tJt e te e e 000001, 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-1113121010000011111011121t t tJt At e te e P Pe e ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--+-+-+-=t t tt t tt tt t t tt te e te te e e e e te e te te e 21111222,故方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+--+-+-+-==32121111222c c c te e te te e e e e te e te te e c e x t t tt t tt tt t t tt At ,其中321,,c c c 为任意常数.2．求微分方程组Ax dtdx=满足初始条件ξ=)0(x 的解：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33,3421ξA ，（2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=001,102111121ξA .解:(1)由第1题知⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=----t t t tt t tt Ate e e e e e e e e555522231,故微分方程组Ax dtdx=满足初始条件ξ=)0(x 的解为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+==------t t t t t t ttt t tt Ate e e e e e e e e e e e e x 555555423322231ξ. (2)矩阵A 的特征方程为0)1)(3(2=+-=-λλλA I ,故矩阵A 的特征值为31=λ,132-==λλ.A 的属于特征值31=λ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121η,由方程组⎩⎨⎧-=-=32322ηηηηηA A 解得A 的属于特征值132-==λλ的广义特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=021,21232ηη,令[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==022211122,,321ηηηP ,则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-24025122312811P,有 11,100110003--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=PJP A J AP P ,又 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---t t t t Jt e te e e e 000003, 故微分方程组Ax dtdx=满足初始条件ξ=)0(x 的解为 ξξ1-==P Pe e x Jt At ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=---00124025*******000022211122813t t t te te e e⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=---t t tt t t e e e e e e 44224481333. 3．求)(t Bu Ax dtdx+=满足条件ξ=)0(x 的解：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-21,)(,41,3421c c e t u B A tξ （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101,1)(,262,0061011016ξt u B A解:(1)由第1题知⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=----t t t tt t t t Ate e e e e e e e e555522231, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=------t t t t t t ttt t tt Ate c c e c c e c c e c c c c e e e e e e e e e )2()22()2()(31222312152121521215555ξ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=------------------v t t v t t v v v t v t v t v t v t v t v t v t v t A e e e e e e e e e e e e e e v Bu e6565)()(5)()(5)()(5)()(5)(6636314222231)(故 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+--=-----⎰t t t t t ttv t A e e te e e te dv v Bu e 550)(62121631)( 则该方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--++---+++=+=-----⎰t t t t t t tv t A At te e c c e c c te e c c e c c dv v Bu e e t x 2])12()122[(312])212()21[(31)()(21521215210)(ξ(2)矩阵A 的特征方程为0)3)(2)(1(=+++=-λλλλA I ,则A 的特征值为11-=λ,3,232-=-=λλ,求得其特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231,341,651321ηηη.令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-139********,2363451111P P ,有 11,300020001--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=PJP A J AP P ,又 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---t t t Jt e e e e 32000000, 则ξξ1-=P Pe e Jt At ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---101139248111000002363451112132t t te e e ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-=------t t tt t t e e e e e e 32323289121243 , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-++-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---------------------)(3)(2)()(3)(2)()(3)(2)(1)()(2663852262)(v t v t v t v t v t v t v t v t v t v t J v t A e e e e e e e e eP Pe v Bu e故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+--=----------⎰373236453131)(3232320)(t t t tt t t tt tv t A e e e e e e e e e dv v Bu e则该方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-=+=----------------⎰37323645313189121243)()(3232323232320)(t tt tt t t tt t t t t tttv t A At e e e e e e e e e e e e e e e dv v Bu e e t x ξ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-++-=---------3732212611165313114323232t t t tt t t tt e e e e e e e e e .4．求方程te y y y y -=+'+''+'''6116满足0)0()0()0(=''='=y y y 的解.解:令y x y x y x ''='==321,,,则⎪⎩⎪⎨⎧+---='''='='='-,6116 , ,32133221t e x x x y x x x x x 写成向量方程组为t Be Ax x -+=',其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100,6116100010B A .对于矩阵A ,有J PAP=-1,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-321,132********,9413211111J P P于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---t tt Jt e e e e 32, 1-=P Pe e Jt At⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+--+--+--+-+-+-+-=---------------------------t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tt t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 3232323232323232329827325182463491656126238526621由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000)0(x ,则⎰⎰----=+=tv v t A t v v t A At dv Be e dv Be e x e t x 0)(0)()0()(⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-----+--+--=---------)1(29)1(8)1(23)1(4)1(21)1(221232232232t t tt t t t t t t t t tt t e e e e te e e e e te e e e e te故原方程的解为t t t t t t t t t e e e te e e e e te x y 322321414321)]1(21)1(2[21--------+-=-+--==5．试证明：若A 为2阶方阵，其特征值为21,λλ，特征向量为21,P P ，则方程Ax dtdx= 的解一定能表示成221121P e c P e c x t t λλ+=，其中21,c c 由下式确定:2211)0(P c P c x +=，然后利用这一结论求解定解问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11)0(,651021x x x dt dx 的解,并将这一结论推广到n 阶方阵情形.(1)证明:令],[21P P P =,则,,121211--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P P A AP P λλλλ于是x P P dt dx121-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=λλ, x P dt dx P 1211--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=λλ 令,1x P y -=则dtdxP dt dy 1-=,微分方程化为 y dt dy ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21λλ 其解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121c c e e y t tλλ, 故方程Ax dtdx=的解一定能表示成 221121212121],[c e c P e c c c e e P P Py x t t t tλλλλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡== 若是定解问题,则21,c c 由2211)0(P c P c x +=确定.(2)解:矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6510的特征值为5,121-=-=λλ,特征向量分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=51,1121P P , 则方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=216510x x dt dx 的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------t t t t t te c e c e c e c e c e c 52152152155111,由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11)0(x ,则⎩⎨⎧=--=+1512121c c c c , 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧-==212321c c , 故原方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----t t t t e e ee x x 552125232123. (3) n 阶方阵的情形:设微分方程组Ax dtdx=, 其中系数矩阵A 为n 阶可对角化矩阵，其特征值为n λλλ,,,21 ，特征向量分别为n P P P ,,,21 ，则该方程组的通解为n t n t P e c P e c P e c x n t λλλ+++= 221121,其中n c c c ,,,21 为任意常数.若为定解问题,则常数n c c c ,,,21 可由初始条件确定.6．已知),(0t t Φ是方程组)()()(t x t A dtt dx = 的转移矩阵，试证)(),(),(0000t A t t t t dt d ΦΦ-=. 证明:由于I t t t t =ΦΦ),(),(00,两边对0t 求导得,0),(),(),(),(000000=ΦΦ+ΦΦdt t t d t t t t dt t t d , 由于),(0t t Φ是方程组)()()(t x t A dtt dx =的转移矩阵,则 ),()(),(00t t t A dtt t d Φ=Φ, ),()(),(0000t t t A dt t t d Φ=Φ, 故0),()(),(),(),(000000=ΦΦ+ΦΦt t t A t t t t dt t t d , 两边右乘),(),(001t t t t Φ=Φ-,得 0)(),(),(0000=Φ+Φt A t t dt t t d , 即)(),(),(0000t A t t t t dt d ΦΦ-=. 7．求时变系统⎪⎩⎪⎨⎧===00)()()(x t x t x t A dtdx t t 的解，其中0),(x t A 分别如下：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-101)(t e t A ，0,1100=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t x （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=111,000)1(100110)(022x t t t A [该题有误: )()()()(1221t A t A t A t A ≠]（3）0,11,21)(00=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t x t t t A 解:（1）对任意的21,t t ,有)()(101)()(122121t A t A e e t A t A t t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--, 故方程组的转移矩阵为+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰=Φ⎰⎰⎰30200)()(!31)(!21)()0,(0t t t dv v A dv v A dv v A dv v A I e t t由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎰t e t dv v A t t01)(0, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰22200)1(2!21)(!21t e t t dv v A t t ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰323300)1(3!31)(!31t e t t dv v A t t , ……… ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎰n t n n n t t e nt t n dv v A n 0)1(!1)(!110 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-++++++++=- 323232!31!2110)1)(!31!211(!31!211)0,(t t t e t t t t t t t t Φ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-t t t t t t te e e e e e e 010)1(. 故该方程组的解为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Φ=t t t t t e e e e e x t t x 121101)0,()(0 (3) 由于)(t A 各元素在区间],0[t 上有界,则该方程组的转移矩阵为⎰⎰⎰++=t v t dv v A dv v A dv v A I t 00221101)()()()0,(Φ ⎰⎰⎰++21033002211)()()(v t v dv v A dv v A dv v A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++= 4233428123122181231t t t t t t t t 故该方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-++-+-=Φ= 43243208123218121231)0,()(t t t t t t t t x t t x 8．求下列定解问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=,00)(),()()()(x t x t u t B t x t A dt dx 其中（1）0,11,1)()(,101)(00=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-t x t t u t B e t A t （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=111,01)()(,000)1(100110)(022x t t u t B t t t A 解:(1)由于系统所对应的齐次系统的转移矩阵为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Φ----00000),(20t t t t t t t e e e e t t , 则该系统的解为⎰Φ+Φ=t dv v Bu v t x t t x 00)(),()0,()( dv v e e e e e e e t v t v v t v t t t t⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰----10110102 ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----t v t v v t v t t dv e e e ve e 021 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1223211t t t t e t e e e ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-112321t e e t t。

研究生矩阵论课后答案

|
xk
|2
)
1 2
是范数.
k =1
(2)证明函数 || x ||∞ = max{| x1 |,| x2 |,...,| xn |}是范数.
2.设
x∈R2,
A=
⎛4 ⎜⎝1
1⎞ 4⎟⎠
,请画出由不等式||
x
||
A
≤
1决定的x的全
体所对应的几何图形.
3.在平面 R2中将一个棍子的一端放在原点,另一端放
生成子空间V,求V的正交补空间V ⊥.
15.(MATLAB)将以下向量组正交化.
(1) x1 = (1,1,1)T , x2 = (1,1, 0)T , x3 = (1, −1, 2);T
(2) f (t) = 1, g(t) = t, h(t) = t2是[0,1]上的多项式空间
的基,并且定义(
f
9.把下面矩阵A对应的λ -矩阵化为Smith标准形,并且写
出与A相似的Jordan标准形.
⎛1 −1 2 ⎞
(1)
⎜ ⎜
3
−3
6
⎟ ⎟
⎜⎝ 2 − 2 4⎟⎠
⎛ −4 2 10⎞
(2)
⎜ ⎜⎜⎝
−4 −3
3 1
7 7
⎟ ⎟⎟⎠
⎧ dx1
⎪ ⎪
dt
=
3x1
+ 8x3
10.(MATLAB)求解微分方程:
α3 = (0,1,1)T 的矩阵为: ⎡ 1
A=⎢ 1 ⎢⎣−1
0 1⎤ 1 0⎥ 2 1⎥⎦
求在基e1 = (1,0,0)T ,e2 = (0,1,0)T ,e3 = (0,0,1)T下的矩阵.
10.设S = {ε1,ε2 ,ε3,ε4}是四维线性空间V的一个基,已知

矩阵论课后习题答案

第一章线性空间与线性映射习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。

（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ；（4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ，则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。

（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。

河海大学研究生矩阵论习题答案

对 k R ，有
kf t 1 kf t dt k f t dt k f t 1
b b a a
对于 g t Ca, b，有
f t g t 1 f t g t dt f t dt g t dt
又已知
T
2

2
0 ，故 T , , 2 2 .
证：（ 1 ）充分性 . 由 C C=I 及坐标变换公式 C 可得
T
16 ．

2 2
T C C T C T C T 2 ，即
M max hi .再由
i

则有
M max hi .对任给正数，取 M ，则当 max hi 时，
i
i
4
结论恒成立. 13．证：（1）设 x1 , 面又有
x2 , , xn ，且 max xi xi 0 ，则
T B T
可得
i j i j ，由
bii bij b ji b jj 2
，
即
bij 0i j, i, j 1,, n ，故有 B=I，也就是 CTC=I.）
(2) 取正交矩阵
1 2 1 C 2 0
n
4 ．证法提示：与上题类似 . 图形在第一象限的部分由 x1 1,
x2 1 和
2 x1 x2 1 所围成. 3
5 ．证：考虑 0, 1 ,
T
1, 0T ，则当 p

《矩阵论》习题答案,清华大学出版社,研究生教材习题 2.3

1 T
当 n 为奇数时，如果 A 是反对称阵，则 A AT 1n A A ，所以
A 0 ，故不存在奇数阶可逆反对称方阵.
5. 证：（1）因为 AT A ，设 B P T AP ，所以有
B T P T AP

T
P T AT P B
则 B 为对称阵. （2）由于 A 与 B 相合，知存在满秩矩阵 P ，使 B P T AP ，又因
的特征向量，u m 为相应的特征值，因此 B 的 n 个线性无关的向量都是
A 的线性无关的向量. 从而，B 与 A 的特征向量完全一致.同理，C 与 A 的特征向量也完全一致，从而 C 与 B 的特征向量完全一致.并且，
设 C ，则有 v m C m A B m u m ，但 , 所以v m u m ，但所以 v u .这样， B 与 C 有完全一致的特征向量和相 v与u 都是正实数，应的特征值，因此 B 与 C 可用同样的矩阵 P，使 P 1 BP与P 1CP 是同样的对角矩阵，即
习题 2.3
1. 证：因为 A H A, B H B ，又
( AB) H AB B H A H AB
即 BA=AB .
2. 证：设 A 为任一复方阵，令
A BC
①
其中 B 为 Hermite 矩阵，C 为反 Hermite 矩阵，于是，可得
AH B H C H B C
由①与②联立得 B
A AH A AH ,C . 2 2
3. 证：设 V n 的标准正交基为 1 , 2 , , n ，
A ( aij ) nxn ，则有
在该基下的矩阵为
( i ) a1i 1 a 2 i 2 a ni n ,

矩阵论课后参考答案(第一二三四

矩阵为 A

1 1
18 22
15 20

，
求
T
在基 1 (1,2,1) ， 2 (3,1,2)，

1
21,2)下的矩阵。
解：由题可知1,2,3 与1,2,3 时空间 L(F 3) 的两组基，则存在一个
过渡矩阵 C 使得
3 -1 2
2 1 2
1 0 0
0 1 0
0 r 2(2)r1 1
0 r3(1)r10
1
0
3 5 -1
2 5 0
1 2 -1
0 1 0
0 0 1
1r2

5 (1)r 3
1 3 2 1 0
0
1 3 2 1 0 0
r2r30 1 0 1 0 1 r3(1)r20 1 0 1 0 1
2
1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0
，
1
0
0
0
，

0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
（3）解：同上理，对 AT A 分析可知其为一个上下成负对称的矩阵，
且对角元全为 0，则其维数为
dim(V ) (n 1) (n 2) 1 (n 1)((n 1) 1) n(n 1)
2
2
其基为 n(n 1) 个 n n 阶的矩阵，故基可写为
2
0 1 0 0 0 0 1 0
1 0
0 0
0 0
所以V1 V2 {0} 。
2）明显V1 V2 Fn