北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期数学(理)期末试卷及 答案

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷

高三数学（理科） 2018.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B = （A ）{|13}x x -<< （B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x <<

（D ）{|23}x x <<

2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是 （A ）1y x =-+

（B ）|1|y x =-

（C ）sin y x =

（D ）1

2y x =

3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）2 （B ）6 （C ）30 （D ）270

4．已知M 为曲线C ：3cos ,

sin x y θθ=+⎧⎨=⎩

（θ为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最

大值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3

（D ）4

5．实数,x y 满足10,10,10,x x y x y -⎧⎪

+-⎨⎪-+⎩

≥≥≥ 则2x y -的取值范围是

（A ）[0,2] （B ）(,0]-∞ （C ）[1,2]- （D ）[0,)+∞

6．设,a b 是非零向量，且,a b 不共线．则“||||=a b ”是“|2||2|+=+a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

7．已知A ，B 是函数2x

y =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线1

2

y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是 （A ）(,1)-∞-

（B ）(,2)-∞-

（C ）(1,)-+∞

（D ）(2,)-+∞

8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[H ]+）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[OH ]-）的乘积等于常数1410-．已知pH 值的定义为pH lg[H ]+=-，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么

健康人体血液中的[H ][OH ]

+-可以为

（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） （A ）12

（B ）

13

（C ）

16

（D ）

110

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数2i

1i

-对应的点的坐标为____．

10．数列{}n a 是公比为2的等比数列，其前n 项和为n S ．若21

2

a =，则n a =____；5S =____．

11．在△ABC 中，3a =，3

C 2π∠=

，△ABC 的面积为334，则 c =____．

12．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的

摆法有____种．（用数字作答）

13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的

部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何 体的表面积是____．

14．已知函数2,2,

()1, 3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪

=⎨<⎪⎩≤≤≤

若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域

是1

[,2]4

-，则实数c 的取值范围是____．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

已知函数2π

()2sin cos(2)3

f x x x =-+．

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求()f x 在区间π[0,]2

上的最大值．

16．（本小题满分13分）

已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．

表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表

日期

升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 1月1日 7:36 4月9日 5:46 7月9日 4:53 10月8日 6:17 1月21日 7:31 4月28日 5:19 7月27日 5:07 10月26日 6:36 2月10日 7:14 5月16日 4:59 8月14日 5:24 11月13日 6:56 3月2日 6:47 6月3日 4:47 9月2日 5:42 12月1日 7:16 3月22日

6:15

6月22日

4:46

9月20日

5:59

12月20日

7:31

表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表

日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 2月1日 7:23 2月11日 7:13 2月21日 6:59 2月3日 7:22 2月13日 7:11 2月23日 6:57 2月5日 7:20 2月15日 7:08 2月25日 6:55 2月7日 7:17 2月17日 7:05 2月27日 6:52 2月9日

7:15

2月19日

7:02

2月28日

6:49

（Ⅰ）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率； （Ⅱ）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X

为这两人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ． （Ⅲ）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7:31化为31

7

60

）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为

2*

s ，判断2s 与2*s 的大小．（只需写出结论）

17．（本小题满分14分）

如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160

A AC ︒

∠=.

过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1ABC ；

（Ⅱ）求证：四边形1AA EF 为平行四边形； （Ⅲ）若2

3

BF BC =，求二面角1B AC F --的大小.