第2章随机变量及其分布1-2节【概率统计精品讲义】

则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布， 记作X～B (n, p)。
k 0, 1
特别当n=1时，X的分布律为
P( X k) pk q1k ,
(0 p 1)
X 01
pk 1-p p 则称X服从参数为p的 (0-1)分布或伯努利分布.
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反面；
P( X
1000)
P( 正面)
1 ；P( X 2
1000)
1； 2
令X 表示掷骰子出现点数的平方，则
X（i） i2，则P(X 25)
P(i 5) 1 . 6
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二、 随机变量的分类
根据随机变量 X 的取值情况，它可分为 (1) 离散随机变量:
取值只有有限个或可列无穷多个值 (2) 非离散随机变量
Cnk pk qnk Cn0 p0qn Cn1 pqn1 Cnn pnq0 1.
k 0
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二项分布（Binomial distribution）
定义：设随机变量X具有分布律
P( X k) Cnk pk qnk , k 0,1, 2, , n
其中n为正整数， 0 p 1, p q 1;
则X的所有可能取值为0,1,2,…,n,
A A A A A A;
k次 n-k次
A A A A A A A A; ……
k-1次
n-k-1次
共有Cnk种方式, 由于各次试验相互独立，
每一种方式 发生的概率均为 p k (1-p) n - k
因此事件A在n次试验中发生k次的概率为
n
P( X k) Cnk pkqnk , k 0,1, , n
X
x1 x2
xk
P
p1 p2
pk
则称为 X 的概率分布律（简称分布律）.
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(2)性质 显然，概率分布pk有下面的性质: 10 pk 0, k 1, 2,;
20 pk 1.
k
例1. 已知离散随机变量X的分布律为
P(X k) a( 2)k , (k 0,1,2) 3
求a ，且P(1<X≤2)
P(X 2) P(AB) P(A)P(B | A) 0.750.8 0.6
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或将分布律表示为
X
0
1
2
pk 0.075 0.325 0.6
或用线条图、直方图表示
01 2
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01 2
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二、 n重伯努利试验、二项分布
考虑一个简单的试验, 它只出现 (或只考虑) 两
种结果, 如某批产品抽样检查得到合格或不合格;
射击手命中目标或不命中; 发报机发出信号0或1;
掷一次骰子点数“6”是否出现等. 伯努利试验
设随机试验E只有两种可能的结果:A及A—,
且P(A)=p,则称E为伯努利试验.将E独立地重
复进行n次,则称这一串试验为n重伯努利试验。
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设X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，
连续随机变量: 取值是在某个实数区间(有界或无界)
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第二节 离散型随机变量及其分布律
一、 离散随机变量的分布律
要完整地了解一个离散随机变量,不仅要知道它的所有
可能取值,还需要知道它的所有可能取值相应的概率。
定义: 设X为离散随机变量, 其所有可能取值为
x1, x2, , xk , ( ), 且 P( X xk ) pk (k 1,2,) 或记
注：随机变量是定义在样本空间 S上的单值实函数;
e
S
X (e)
R
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随机变量的特征：
（1）随机变量的取值是随机的，事前并不知道取什么值；
（2）所取的每一个值都对应于一个随机事件；
（3）随机变量所取的每个值的概率大小是确定的；
令X 表示丢硬币赌博的赢钱数，则
1000， 正面；
X
1000，
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1. 随机变量的定义
定义: 设随机试验E的样本空间为 S {e}, 若对于每 一个样本点 e S, 变量X 都有唯一确定实数与之对应, 则X是定义在 S上的单值实函数, 即 X X (e), 称
X为随机变量. 常用X, Y, Z等或 ,, 等表示,
而表示随机变量所取的值时,常用x, y, z等.
解：X的可能取值为0，1，2.
A表示第一次罚球罚中，B表示第二次罚球罚中
P(X=0)
P(A)P(B | A) 0.250.3 0.075.
P(X=1) P( AB AB) P( AB ) P( AB) P(A)P(B | A) P(A)P(B | A) 0.750.2 0.250.7 0.325
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另外，有时我们总是将随机试验的基本结果与另外的数量 关系结合起来，比如
赢1000元钱； +1000
输1000元钱； 1000
1000 800 Βιβλιοθήκη Baidu00 2000
实际上，给随机试验的每个基本结果赋予一个数值，这样
将样本空间与实数值之间建立一种对应关系，是我们用数 学理论和方法深入和系统研究随机试验规律的基础.
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第一节 随机变量
在前一章，我们学习了随机试验和随机事件概率的计算， 随机现象大量存在，基本结果的描述也千变万化，例如
正面，反面 男孩，女孩 红球，白球，黑球
1，2，3，4，5，6
从概率的定义和前面的实例来看，计算概率时我们关心的
不是基本结果的描述，而更多的是一种数量关系.
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解：根据概率函数的规范性，有
a( 2)0 a( 2)1 a( 2)2 1
3
3
3
故a 9 . 19
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例2. 据以往的资料知道，某一篮球运动员罚球有 以下规律:若罚球两次, 第一次罚中的概率为0.75， 若第一次罚中则第二次罚中的概率为0.8，若第一 次未罚中则第二次罚中的概率为0.7.以X记罚球两 次其中罚中P(AB的) 次数，求X的分布律。
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第
样本点
一 章 随 机
几个基本概念
样本空间
随机事件
统计定义
事 件 及 其 概 率
概率的三种定义
公理化定义
概率的计算
古典定义
条件概率
概率乘法公式
全概率公式和贝叶斯公式
独立性
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第二章 随机变量及其分布
基本内容：
一、随机变量的概念 二、离散随机变量(二项分布 0-1分布 泊松分布) 三、连续随机变量(均匀分布、指数分布、正态分布) 四、随机变量的分布函数 五、二维随机变量 六、边缘分布 七、条件分布 八、随机变量的独立性 九、随机变量函数的分布