经济数学课件 7.2连续型随机变量
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似地服从指数分布，其参数 视具体情况而异。
作业:
习题7-2:5.6.7
第二节 连续型随机变量
一、分布函数
定义:
设 X 为一个随机变量，x 是任意实数，函数
F(x) P{X x}称为随机变量 X 的分布函数。
分布函数的基本性质:
1. F ( x) 是一个不减函数。 2. 0 F( x) 1 ，且 F() lim F(x) 0 ；
x
F() lim F( x) 1 。 x
例3:某公共汽车站每隔6分钟有一辆汽车通 过．乘客到达该汽车站的任一时刻是等可能的，
求乘客等车时间不超过2分钟的概率
解： 由题意知，等车时间 X 是一个均匀分布
的随机变量，即 X ~ U[0,6] ，
二、三个重要分布
则它的密度函数为
1
f
(
x)
6
0
0 x6 其它
因此
P{X 2}
21
21
dx
xk x
xk x
二、连续型随机变量的密度函数
定义:
设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数，如果
存在非负可积函数 f ( x) ，使对任意实数 x ，有
x
F ( x) f (t )dt
那么称 X 为连续型随机变量，其中 f (x) 称为 X 概率密度函数或概率密度。
性质:
1.
f (x) 0
，且
f ( x)dx 1
2.
b
P{a X b} F (b) F (a) a f ( x)dx
(a b)
3. 连续型随机变量 X 在任意一点处的概率
为0，即 P{X x} 0
例2 已知连续型随机变量 具有密度函数
kx 1,
f (x)
0,
0 x2 其它
求：（1）系数 k 及分布函数；（2）P{1.5 3}
2
当1 x 时，P{X x} P{X 0} P{X 1} 1
．
于是 X 的分布函数为：
0,
F(x)
1, 2 1,
x0 0 x1
x1
定义:
一般地，设离散型随机变量 X 的分布列为：
P{ X xk } pk (k 1, 2, )
随机变量 X 的分布函数为：
F( x) P{X x} P{X xk } pk
3. F( x 0) F( x) ，即 F ( x) 是右连续的。
根据分布列计算分布函数:
例1 求掷硬币的随机变量 X 的分布函数。
随机变量 X 的分布列为： X 0 1
p1 2
1 2
所以 当 x 0 时，P{X x} 0 ；
当 0 x 1时，P{X x} P{X 0} 1 ；
0
0dt
21 (1 x)dx
x
0dx 0 1 0 1
02
2
所以分布函数为：
0,
F(x)
x
x2 4
,
1,
x0 0 x2
x2
（2）P{1.5 3} F(3) F(1.5)
1.52 1 1 (1.5 )
4 16
例3 设随机变量 的分布函数为： F( x) A B arctan x
＝
(1 2
1
arctan1) ( 1 2
1
arctan(1))
＝
1 2
３）
f (x)
＝
F
(
x)
＝(1
2
1
arctan
x)
＝
1
(1
x2)
三、几个重要的连续型随机变量
1）均匀分布
设随机变量 X 在区间 a,b 上的概率密度函数
f ( x) 为常数 1 ，即
ba
1
f
(
x)
b
aBaidu Nhomakorabea
0
a xb 其它
则称X 在a,b上服从均匀分布，记作 X ~ U(a,b)。
。
06
63
即乘客等车时间不超过2分钟的概率为33%。
2）指数分布
设随机变量 X 具有概率密度函数
ex ,
f (x) 0,
x0 x0
其中 0，则称随机变量 X 服从参数为
的指数分布，记作 X ~ E( ) 。
说明:
在实际应用中，指数分布运用于多种“寿 命”分布。如无线电元件寿命，动物寿命，电 话通话时间，随机服务系统的排队时间等都近
求：１）常数 A ；２） P{1 1} ；
３） 的概率密度函数 f ( x) 。
解：１） lim ( A Barctan x) ＝ A B＝０
x
2
lim ( A
x
B arctan x)
＝A
2
B
＝１
A
1 2
，B
1
F ( x) 1 1 arctan x 2
２） P{1 1} ＝ F(1) F(1)
解: （1）因为
f ( x)dx 1
即 所以
2
(kx 1)dx
k (
x2
x) 2
2k
2
1
0
1
2
0
k
2
当
x
0
时， F ( x)
P{
x}
0
0dt
0
当
0
x
2时，F ( x)
P{
x}
x
f
(t )dt
x
(1
1
x)dx
x
1
x2
0
2
4
x
当 x 2 时，F ( x) P{ x} f (t)dt
作业:
习题7-2:5.6.7
第二节 连续型随机变量
一、分布函数
定义:
设 X 为一个随机变量，x 是任意实数，函数
F(x) P{X x}称为随机变量 X 的分布函数。
分布函数的基本性质:
1. F ( x) 是一个不减函数。 2. 0 F( x) 1 ，且 F() lim F(x) 0 ；
x
F() lim F( x) 1 。 x
例3:某公共汽车站每隔6分钟有一辆汽车通 过．乘客到达该汽车站的任一时刻是等可能的，
求乘客等车时间不超过2分钟的概率
解： 由题意知，等车时间 X 是一个均匀分布
的随机变量，即 X ~ U[0,6] ，
二、三个重要分布
则它的密度函数为
1
f
(
x)
6
0
0 x6 其它
因此
P{X 2}
21
21
dx
xk x
xk x
二、连续型随机变量的密度函数
定义:
设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数，如果
存在非负可积函数 f ( x) ，使对任意实数 x ，有
x
F ( x) f (t )dt
那么称 X 为连续型随机变量，其中 f (x) 称为 X 概率密度函数或概率密度。
性质:
1.
f (x) 0
，且
f ( x)dx 1
2.
b
P{a X b} F (b) F (a) a f ( x)dx
(a b)
3. 连续型随机变量 X 在任意一点处的概率
为0，即 P{X x} 0
例2 已知连续型随机变量 具有密度函数
kx 1,
f (x)
0,
0 x2 其它
求：（1）系数 k 及分布函数；（2）P{1.5 3}
2
当1 x 时，P{X x} P{X 0} P{X 1} 1
．
于是 X 的分布函数为：
0,
F(x)
1, 2 1,
x0 0 x1
x1
定义:
一般地，设离散型随机变量 X 的分布列为：
P{ X xk } pk (k 1, 2, )
随机变量 X 的分布函数为：
F( x) P{X x} P{X xk } pk
3. F( x 0) F( x) ，即 F ( x) 是右连续的。
根据分布列计算分布函数:
例1 求掷硬币的随机变量 X 的分布函数。
随机变量 X 的分布列为： X 0 1
p1 2
1 2
所以 当 x 0 时，P{X x} 0 ；
当 0 x 1时，P{X x} P{X 0} 1 ；
0
0dt
21 (1 x)dx
x
0dx 0 1 0 1
02
2
所以分布函数为：
0,
F(x)
x
x2 4
,
1,
x0 0 x2
x2
（2）P{1.5 3} F(3) F(1.5)
1.52 1 1 (1.5 )
4 16
例3 设随机变量 的分布函数为： F( x) A B arctan x
＝
(1 2
1
arctan1) ( 1 2
1
arctan(1))
＝
1 2
３）
f (x)
＝
F
(
x)
＝(1
2
1
arctan
x)
＝
1
(1
x2)
三、几个重要的连续型随机变量
1）均匀分布
设随机变量 X 在区间 a,b 上的概率密度函数
f ( x) 为常数 1 ，即
ba
1
f
(
x)
b
aBaidu Nhomakorabea
0
a xb 其它
则称X 在a,b上服从均匀分布，记作 X ~ U(a,b)。
。
06
63
即乘客等车时间不超过2分钟的概率为33%。
2）指数分布
设随机变量 X 具有概率密度函数
ex ,
f (x) 0,
x0 x0
其中 0，则称随机变量 X 服从参数为
的指数分布，记作 X ~ E( ) 。
说明:
在实际应用中，指数分布运用于多种“寿 命”分布。如无线电元件寿命，动物寿命，电 话通话时间，随机服务系统的排队时间等都近
求：１）常数 A ；２） P{1 1} ；
３） 的概率密度函数 f ( x) 。
解：１） lim ( A Barctan x) ＝ A B＝０
x
2
lim ( A
x
B arctan x)
＝A
2
B
＝１
A
1 2
，B
1
F ( x) 1 1 arctan x 2
２） P{1 1} ＝ F(1) F(1)
解: （1）因为
f ( x)dx 1
即 所以
2
(kx 1)dx
k (
x2
x) 2
2k
2
1
0
1
2
0
k
2
当
x
0
时， F ( x)
P{
x}
0
0dt
0
当
0
x
2时，F ( x)
P{
x}
x
f
(t )dt
x
(1
1
x)dx
x
1
x2
0
2
4
x
当 x 2 时，F ( x) P{ x} f (t)dt