经济数学课件 7.2连续型随机变量
合集下载
连续性随机变量分布函数PPT详解
1
f ( x)dx
b
dx (b a)
∴ =1/(b-a).
a
d 1
d c
(2) P{c X d}
dx
c ba ba
（一）均匀分布 若连续型随机变量X的概率密度函数为
f
(x)
b
1
a
,
a
x
b
0, else
则称X在(a, b)上服从均匀分布，记为 X ~ U (a, b)
易知， f ( x) 0,
a
f ( x)dx
0
20
③ F(a) = F(a)
④ F(a) = 2F(a) 1
练习
2.设X为连续型随机变量，其分布函数为：
F
(
x)
A
Be
2
x
,
x0
C,
x0
求:(1)A ,B,C (2) f(x) (3) P{-2<X<1}
练习
3、设X与Y 同分布，X 的概率密度为
f
(
x)
3 8
x
2
Z的概率密度： x
1
x2
e2
2
Z的分布函数：(x) x
y ( x)
y
1 t2 e 2 dt
2
(x)
(x)
xx 1
x 0 x
x
29
标准正态分布N(0, 1)
(x)
密度函数记为 (x),
分布函数记为 (x).
(1) (0) 1 , 2
( x)
1 (x)
x 0 x
x
(2) ( x) 1 (x)
2
3 P{ X C } 3F (C ) 3(C 3) 2
连续型随机变量PPT课件
20
1
x
e 10 dx
1
x
e 10
20
10 1 0
10 10
e1 e2 0.2325
2021/5/11
33
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量X 的密度函数为
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
其中 ， 0为参数
则称随机变量X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
2021/5/11
36
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
2021/5/11
P 1或 2
11 dx 6 1 dx
3 9
29
24 2 99 3
2021/5/11
27
2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e
x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
2021/5/11
28
密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布，f x是其密度函数，则有：
例 7：
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
概率统计ppt 连续型随机变量
2
0
x
(1)曲线关于 x 对称；
(2)曲线在 x 处取得最大值；
(3)曲线以 y 0 为渐近线；
(4)曲线在 x 处取得拐点；
(5) 决定曲线的位置； 确定曲线的陡
峭程度。 (6)对于某固定长度的区间[a,b]，若此区
间越靠近 ，则X落在此区间的概率越大。
X ~ N , 2 时，X的分布函数为：
第三节 连续型随机变量
一、连续型随机变量的概率密度
1. 定义 对于一随机变量X，若存在一
非负函数 f x 使得 b
Pa X b f xdx
a
则称X为连续型随机变量，f x 称为X的
(概率)密度函数。
显然，X的分布函数 F x 满足：
x
F x PX x f t dt
2. 性质
解 P6 X 8
8
6
8
7.3 2
6
7.3 2
0.35 0.65
0.35 1 0.65 0.379
练习 设X ~ N , 2 ，则 PX 1
（A）随 的增大而增大 （B）随 的增大而减小
（C）随 的增大而增大 （D）随 的增大而减小
a x
(6) F x f t dt F x f x
(7)连续型随机变量的分布函数 F x
必为连续函数。
例1 设连续型随机变量X的密度函数为
f
x
kx 0
1
0 x2 其他
求 1 k 2 F x 3 P1 X 3
解 1 f xdx 1
2 0
kx
1dx
1 2
kx 2
x
2 0
2k
2 0
x
0 x1 其他
练习 下面哪些函数可作为X 的密度函数
0
x
(1)曲线关于 x 对称；
(2)曲线在 x 处取得最大值；
(3)曲线以 y 0 为渐近线；
(4)曲线在 x 处取得拐点；
(5) 决定曲线的位置； 确定曲线的陡
峭程度。 (6)对于某固定长度的区间[a,b]，若此区
间越靠近 ，则X落在此区间的概率越大。
X ~ N , 2 时，X的分布函数为：
第三节 连续型随机变量
一、连续型随机变量的概率密度
1. 定义 对于一随机变量X，若存在一
非负函数 f x 使得 b
Pa X b f xdx
a
则称X为连续型随机变量，f x 称为X的
(概率)密度函数。
显然，X的分布函数 F x 满足：
x
F x PX x f t dt
2. 性质
解 P6 X 8
8
6
8
7.3 2
6
7.3 2
0.35 0.65
0.35 1 0.65 0.379
练习 设X ~ N , 2 ，则 PX 1
（A）随 的增大而增大 （B）随 的增大而减小
（C）随 的增大而增大 （D）随 的增大而减小
a x
(6) F x f t dt F x f x
(7)连续型随机变量的分布函数 F x
必为连续函数。
例1 设连续型随机变量X的密度函数为
f
x
kx 0
1
0 x2 其他
求 1 k 2 F x 3 P1 X 3
解 1 f xdx 1
2 0
kx
1dx
1 2
kx 2
x
2 0
2k
2 0
x
0 x1 其他
练习 下面哪些函数可作为X 的密度函数
连续型随机变量常见的几种分布PPT课件
(5).标准正态分布
▲ 称 0, 1的正态分布为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用 ( x)和 ( x)表示：
(x)
1
x2
e 2,
x
2
1
x t2
(x)
e 2 dt
2
其图形为:
22
第22页/共49页
(x)
(x)
密度函数( x)
分布函数 ( x)
23
第23页/共49页
▲ 标准正态分布的重要性
P(|Y | ) 0.6826 P(| Y | 2 ) 0.9544 P(| Y | 3 ) 0.9974
可以认为：
Y 的取值几乎全部集中在 [ 3 , 3 ]
区间内。这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）
31
第31页/共49页
例3.已知自动车床生产的零件的长度X(毫米)服从正
1 P( X d 80 d ) 1 (80 d )
0.5 0.5
0.5
35
第35页/共49页
即 ( 80 d ) 1 0.99 0.01 0.5
反查正态分布表，由于表中无0.01的 ( x) 的值
故采用如下方法处理:
(u) 1 (u) (u) 1 (u)
现 1 (u) 0.01 (u) 0.99
3. 正态分布
正态分布是应用最广泛的
一种连续型分布.
数学家德莫佛最早发现了二项 分布的一个近似公式，这一公式被 认为是正态分布的首次露面.
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由数 学家高斯加以推广，所以通常也称 为高斯分布.
高斯
11
第11页/共49页
(1). 正态分布的定义
连续型随机变量的分布【概率论及数理统计PPT】
1
dx =1
3
1 1 x 2
? 思考: P(-1/2<X<2)=
课堂练习
1.
证明
f
(x)
x a
e x2 2a
0
x0 x0
(a>0)
是某一个随机变量X的密度函数。
x 0 x 1
2.设随机变量X~ f ( x ) ax b 1 x 2
0
对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数
f(x) , x (,) ,使得对任意 a b , 有
b
P(a X b) a f ( x)dx
则称 X为连续型随机变量，称 f(x)为 X 的 概率密度函数，简称为概率密度或密度函数.
(III) 概率密度函数的性质
1 o f (x) 0
小
(由 ex2 dx 可得） 0
0μ
x
σ大
(2)概率密度图形是以x=μ为对称轴的R上的连续函数,
在x=μ点f(x)取得最大值; (3)若σ固定,μ改变,密度曲线随对称轴左右移动,形状保持不变;
若μ 固定, σ改变,σ越大,曲线越平坦,σ越小,曲线越陡峭.
例8. 设随机变量 X~U(2 ,5). 现在对 X进行三次独立 观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
若
e x
X ~ f (x)
x0
0 x0
正态分布
一般正态分布
X ~N(μ,σ2)
定义:称 随机变量 X服从参数为 μ,σ2的正态分布, σ>0，
μ是任意实数，若
(x)2
f(x)
X ~ f (x)
e , 1
2 2
连续性随机变量详解课件
常见连续性随机变量类型
均匀分布
在给定区间内取值概率相等的连 续性随机变量，常用于描述某些
物理实验中的随机现象。
指数分布
描述两次连续事件发生时间间隔的 概率分布，常用于可靠性工程和寿 命分析。
正态分布
又称高斯分布，是一种钟形曲线分 布，广泛应用于自然科学和社会科 学的许多领域，如测量学、经济学 等。
02
概率密度函数
定义与性质
• 定义：对于连续性随机变量，概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）描述了变量取某一特定值的相 对可能性。与离散型随机变量的概率质量函数不同，概率密度 函数的值并不是概率，而是一种概率的密度，其积分结果才表 示概率。
定义与性质
偏度和峰度
定义
性质
应用
偏度衡量了数据分布的对称性，峰度 则描述了数据分布的尖锐程度。
对于正态分布，偏度为0（完全对称 ），峰度为3（适中尖锐）。其他分 布的偏度和峰度可能与这些值有所不 同。
在实际问题中，偏度和峰度可用于识 别数据的分布类型。例如，在金融风 险管理领域，偏度和峰度可能用于检 测金融数据的“厚尾”现象，即极端 事件发生的概率是否高于正态分布所 暗示的概率。这对于设计有效的风险 管理策略至关重要。
06
连续性随机变量的模拟与 计算
生成连续性随机变量的பைடு நூலகம்机数
逆变换采样法
通过利用连续型随机变量的累积分布函数的反函数来生成随机数。首先生成一个均匀分布的随机数， 然后通过反函数转换为目标分布的随机数。
接受-拒绝采样法
适用于复杂分布，不易直接生成随机数的情况下。通过选择一个容易采样的参考分布，并在满足一定 条件下接受或拒绝采样结果，以逼近目标分布。
概率论课件之连续型随机变量及其概率密度PPT课件
如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时 间、等待时间等.
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
《连续型随机变量》课件
02
对于连续型随机变量的最大值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λxtext{F}(x) = 1 - e^{-lambda x}F(x)=1−e−λx，其中λlambdaλ是随机变量的密度函数。
03
对于连续型随机变量的最小值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λ(−x)text{F}(x) = 1 - e^{-lambda (-x)}F(x)=1−e−λ(−x)。
THANKS
感谢观看
最大值和最小值在决策分析中的应用
01
在风险管理中，连续型随机变量的最大值和最小值具有重要的应用价 值。
02
通过分析最大值和最小值的概率分布、数学期望和方差，可以帮助决 策者更好地理解潜在的风险和机会，从而做出更明智的决策。
03
在金融领域，连续型随机变量的最大值和最小值可用于评估投资组合 的风险和回报，以及制定风险管理策略。
连续型随机变量的最小值的数学期望 E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)text{E}(X_{min}) = infty sum_{x=0} x P(X < x)E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)。
连续型随机变量的最小值的方差 Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)−E2(Xmin)]text{ Var}(X_{min}) = -infty sum_{x=0} [x^2 P(X < x) E^2(X_{min})]Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)− E2(Xmin)]。
03
连续型随机变量的期望和方差
期望的定义和计算
定义
连续型随机变量的期望值是所有可能取值的加权和，其中每个取值的权重等于该 取值出现的概率。
[数学]-3、连续型随机变量ppt课件
![[数学]-3、连续型随机变量ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/ab11feaf4b73f242336c5ff1.png)
9 2
9 3
30
例 7 设随机变量 X 与 Y 独立，且 X~Г(2,1)，Y 有密度
fY
( y)
ye
y2
2
0
y0 其它
求概率 P(X≥Y2)
分析 :由独立性知两边缘密度之积等于
F(x, y)
x
du
sinu 1 dv 1 cos x
0 02
2
iii) 当(x,y)∈IV
F(x, y)
y
dv
arcsinv 1 du 1 y y arcsin y
1 y2 1
0
2 arcsin v
2
iv) 当(x,y)∈V
F(x, y)
du
sin u 1 dv 1
0 02
1
2 dx
9 1 (y5)(1y)
(x5)(1y)
9
即
fY
(
y)
2
( y 5)(1 y )
9
0
5 y 1 其它
∵ f (x, y) fX (x) fY (y) , ∴ X 与 Y 不独立。
28
2)当-2<x<4 时，在 X=x 下 Y 的条件密度
fY|X ( y | x)
f (x, y) f X (x)
f (x, y) f X |Y ( x | y ) fY ( y )
如果 X 与 Y 独立，则
fX|Y (x| y) fX (x), fY|X (y | x) fY (y)
22
条件概率 P( X G | Y y) G f X|Y (x | y)dx
P(X G |Y y) P(X G,Y y) P(Y y)
f (u,v)dudv
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3. F( x 0) F( x) ，即 F ( x) 是右连续的。
根据分布列计算分布函数:
例1 求掷硬币的随机变量 X 的分布函数。
随机变量 X 的分布列为： X 0 1
p1 2
1 2
所以 当 x 0 时，P{X x} 0 ；
当 0 x 1时，P{X x} P{X 0} 1 ；
＝
(1 2
1
arctan1) ( 1 2
1
arctan(1))
＝
1 2
３）
f (x)
＝
F
(
x)
＝(1
2
1
arctan
x)
＝
1
(1
x2)
三、几个重要的连续型随机变量
1）均匀分布
设随机变量 X 在区间 a,b 上的概率密度函数
f ( x) 为常数 1 ，即
ba
1
f
(
x)
b
a
0
a xb 其它
则称X 在a,b上服从均匀分布，记作 X ~ U(a,b)。
例3:某公共汽车站每隔6分钟有一辆汽车通 过．乘客到达该汽车站的任一时刻是等可能的，
求乘客等车时间不超过2分钟的概率
解： 由题意知，等车时间 X 是一个均匀分布
的随机变量，即 X ~ U[0,6] ，
二、三个重要分布
则它的密度函数为
1
f
(
x)
6
0
0 x6 其它
因此
P{X 2}
21
21
dx
第二节 连续型随机变量
一、分布函数
定义:
设 X 为一个随机变量，x 是任意实数，函数
F(x) P{X x}称为随机变量 X 的分布函数。
分布函数的基本性质:
1. F ( x) 是一个不减函数。 2. 0 F( x) 1 ，且 F() lim F(x) 0 ；
x
F() lim F( x) 1 。 x
，且
f ( x)dx 1
2.
b
P{a X b} F (b) F (a) a f ( x)dx
(a b)
3. 连续型随机变量 X 在任意一点处的概率
为0，即 P{X x} 0
例2 已知连续型随机变量 具有密度函数
kx 1,
f (x)
0,
0 x2 其它
求：（1）系数 k 及分布函数；（2）P{1.5 3}
xk x
xk x
二、连续型随机变量的密度函数
定义:
设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数，如果
存在非负可积函数 f ( x) ，使对任意实数 x ，有
x
F ( x) f (t )dt
那么称 X 为连续型随机变量，其中 f (x) 称为 X 概率密度函数或概率密度。
性质:
1.
f (x) 0
似地服从指数分布，其参数 视具体情况而异。
作业:
习题7-2:5.6.7
0
0dt
21 (1 x)dx
x
0dx 0 1 0 1
02
2
所以分布函数为：
0,
F(x)
x
x2 4
,
1,
x0 0 x2
x2
（2）P{1.5 3} F(3) F(1.5)
1.52 1 1 (1.5 )
4 16
例3 设随机变量 的分布函数为： F( x) A B arctan x
。
06
63
即乘客等车时间不超过2分钟的概率为33%。
2）指数分布
设随机变量 X 具有概率密度函数
ex ,
f (x) 0,
x0 x0
其中 0，则称随机变量 X 服从参数为
的指数分布，记作 X ~ E( ) 。
说明:
在实际应用中，指数分布运用于多种“寿 命”分布。如无线电元件寿命，动物寿命，电 话通话时间，随机服务系统的排队时间等都近
求：１）常数 A ；２） P{1 1} ；
３） 的概率密度函数 f ( x) 。
解：１） lim ( A Barctan x) ＝ A B＝０
x
2
lim ( A
x
B arctan x)
＝A
2
B
＝１
A
1 2
，B
1
F ( x) 1 1 arctan x 2
２） P{1 1} ＝ F(1) F(1)
2
当1 x 时，P{X x} P{X 0} P{X 1} 1
．
于是 X 的分布函数为：
0,
F(x)
1, 2 1,
x0 0 x1
x1
定义:
一般地，设离散型随机变量 X 的分布列为：
P{ X xk } pk (k 1, 2, )
随机变量 X 的分布函数为：
F( x) P{X x} P{X xk } pk
解: （1）因为
f ( x)dx 1
即 所以
2
(kx 1)dx
k (
x2
x) 2
2k
2
1
0
1
2
0
k
2
当
x
0
时， F ( x)
P{
x}
0
0dt
0
当
0
x
2时，F ( x)
P{
x}
x
f
(t )dt
x
(1
1
x)dx
x
1
x2
0
2
4
x
当 x 2 时，F ( x) P{ x} f (t)dt
根据分布列计算分布函数:
例1 求掷硬币的随机变量 X 的分布函数。
随机变量 X 的分布列为： X 0 1
p1 2
1 2
所以 当 x 0 时，P{X x} 0 ；
当 0 x 1时，P{X x} P{X 0} 1 ；
＝
(1 2
1
arctan1) ( 1 2
1
arctan(1))
＝
1 2
３）
f (x)
＝
F
(
x)
＝(1
2
1
arctan
x)
＝
1
(1
x2)
三、几个重要的连续型随机变量
1）均匀分布
设随机变量 X 在区间 a,b 上的概率密度函数
f ( x) 为常数 1 ，即
ba
1
f
(
x)
b
a
0
a xb 其它
则称X 在a,b上服从均匀分布，记作 X ~ U(a,b)。
例3:某公共汽车站每隔6分钟有一辆汽车通 过．乘客到达该汽车站的任一时刻是等可能的，
求乘客等车时间不超过2分钟的概率
解： 由题意知，等车时间 X 是一个均匀分布
的随机变量，即 X ~ U[0,6] ，
二、三个重要分布
则它的密度函数为
1
f
(
x)
6
0
0 x6 其它
因此
P{X 2}
21
21
dx
第二节 连续型随机变量
一、分布函数
定义:
设 X 为一个随机变量，x 是任意实数，函数
F(x) P{X x}称为随机变量 X 的分布函数。
分布函数的基本性质:
1. F ( x) 是一个不减函数。 2. 0 F( x) 1 ，且 F() lim F(x) 0 ；
x
F() lim F( x) 1 。 x
，且
f ( x)dx 1
2.
b
P{a X b} F (b) F (a) a f ( x)dx
(a b)
3. 连续型随机变量 X 在任意一点处的概率
为0，即 P{X x} 0
例2 已知连续型随机变量 具有密度函数
kx 1,
f (x)
0,
0 x2 其它
求：（1）系数 k 及分布函数；（2）P{1.5 3}
xk x
xk x
二、连续型随机变量的密度函数
定义:
设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数，如果
存在非负可积函数 f ( x) ，使对任意实数 x ，有
x
F ( x) f (t )dt
那么称 X 为连续型随机变量，其中 f (x) 称为 X 概率密度函数或概率密度。
性质:
1.
f (x) 0
似地服从指数分布，其参数 视具体情况而异。
作业:
习题7-2:5.6.7
0
0dt
21 (1 x)dx
x
0dx 0 1 0 1
02
2
所以分布函数为：
0,
F(x)
x
x2 4
,
1,
x0 0 x2
x2
（2）P{1.5 3} F(3) F(1.5)
1.52 1 1 (1.5 )
4 16
例3 设随机变量 的分布函数为： F( x) A B arctan x
。
06
63
即乘客等车时间不超过2分钟的概率为33%。
2）指数分布
设随机变量 X 具有概率密度函数
ex ,
f (x) 0,
x0 x0
其中 0，则称随机变量 X 服从参数为
的指数分布，记作 X ~ E( ) 。
说明:
在实际应用中，指数分布运用于多种“寿 命”分布。如无线电元件寿命，动物寿命，电 话通话时间，随机服务系统的排队时间等都近
求：１）常数 A ；２） P{1 1} ；
３） 的概率密度函数 f ( x) 。
解：１） lim ( A Barctan x) ＝ A B＝０
x
2
lim ( A
x
B arctan x)
＝A
2
B
＝１
A
1 2
，B
1
F ( x) 1 1 arctan x 2
２） P{1 1} ＝ F(1) F(1)
2
当1 x 时，P{X x} P{X 0} P{X 1} 1
．
于是 X 的分布函数为：
0,
F(x)
1, 2 1,
x0 0 x1
x1
定义:
一般地，设离散型随机变量 X 的分布列为：
P{ X xk } pk (k 1, 2, )
随机变量 X 的分布函数为：
F( x) P{X x} P{X xk } pk
解: （1）因为
f ( x)dx 1
即 所以
2
(kx 1)dx
k (
x2
x) 2
2k
2
1
0
1
2
0
k
2
当
x
0
时， F ( x)
P{
x}
0
0dt
0
当
0
x
2时，F ( x)
P{
x}
x
f
(t )dt
x
(1
1
x)dx
x
1
x2
0
2
4
x
当 x 2 时，F ( x) P{ x} f (t)dt