高等数学下册期末复习试题及答案

高等数学下册期末复习

试题及答案

Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

一、填空题（共21分 每小题3分）

1．曲线⎩⎨⎧=+=0

12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12

2++=y x z ．

2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩

⎪

⎨⎧+=+-==t

z t y t

x L 72313:2的夹角为

2π． 3．设函数2

2232),,(z y x z y x f ++=，则=

)1,1,1(grad f }6,4,2{．

4．设级数

∑∞

=1

n n u 收敛，则=∞

→n n u lim 0

．

5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,

0,10

,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处

收敛于

2

1π+．

6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为

C

xy =．

7．写出微分方程x

e y y y =-'+''2的特解的形式

x

axe y =*．

二、解答题（共18分 每小题6分）

1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-0

20

32z y x z y x 的平面方程．

解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11

11121=--=k

j i n

(4分)

所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分

⎰⎰⎰Ω

v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面

)(22

2y x z +-=及22y x z +=

所围成的区域．

解： πθ20 ,10 ,2 :2

≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

⎰⎰⎰

Ω

v z y x f d ),,(⎰

⎰⎰-=2

210

20

d ),sin ,cos (d d r r

z z r r f r r θθθπ (6分)

3．计算二重积分⎰⎰+-=

D

y x y x e

I d d )

(22，其中闭区域.4:22≤+y x D

解 ⎰⎰-=

20

20

d d 2

r r e

I r π

θ⎰⎰--=-202

20)(d d 212

r e r πθ⎰-⋅-=202

d 22

1r e π)1(4--=e π

三、解答题（共35分 每题7分）

1．设v

ue z =，而2

2y x u +=，xy v =，求z d ．

解：

)2(232y y x x e y ue x e x

v v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分)

)2(223xy x y e x ue y e y

v v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)

2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z

所确定，求

y

z x z ∂∂∂∂,． 解：令xyz e z y x F z

-=),,(， (2分)

则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z

z -= (5分)

xy

e yz

F F x z z

z x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+-L

y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有

向弧段．

解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格

林公式

⎰⎰⎰⎰+--=+-OA D

L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)

ππ

=-⋅=02

2 (7分)

4．设曲线积分⎰++L

x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

求)(x f ． 解： 由

x

Q y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x

'=+， 即x

e x

f x f =-')()( (3分)

所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x

+⋅=⎰⎰

---⎰

)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x

． (7分)

5．判断级数∑∞

=12

)!

2()!(n n n 的敛散性．

解： 因为 )!

2()!()!22(])!1[(lim lim

2

2

1n n n n u u n n

n n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim

2

+++=∞→n n n n 14

1<= (6分) 故该级数收敛． (7分)

四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑

++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球

面2

21z y x --=的上侧．

解：添加辅助曲面1,0:2

2

1≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得

⎰⎰∑

++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1

d d d d d d y x z x z y z y x

⎰⎰∑++-

1

d d d d d d y x z x z y z y x (4分)

0d 3

-=⎰⎰⎰Ω

v (6分)

3

4213π

⋅⋅

=π2=． (7分) 五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．

解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，

且面积为)sin sin (sin 2

12

z y x R A ++=，

令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)