高等数学考试题库(附答案解析)

《高数》试卷1（上）
一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.
1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.
（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 (
)g x =（C ）()f x x = 和 (
)2
g x =
（D ）()||
x f x x
=
和 ()g x =1 2．函数()
00x f x a x ≠=⎨⎪
=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.
（A ）0 （B ）1
4
（C ）1 （D ）2
3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.
（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.
（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微
5．点0x =是函数4
y x =的（ ）.
（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点
6．曲线1
||
y x =
的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．
211
f dx x x
⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰
的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
（B ）1f C x ⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
（C ）1f C x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
（D ）1f C x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
8．
x x dx
e e -+⎰的结果是（ ）.
（A ）arctan x
e C + （B ）arctan x
e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++
9．下列定积分为零的是（ ）.
（A ）4
24arctan 1x dx x π
π-+⎰ （B ）44
arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x x
e e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()
f x 为连续函数，则()1
2f x dx '⎰等于（ ）.
（A ）()()20f f - （B ）
()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1
202
f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -
二．填空题（每题4分，共20分）
1．设函数()21
00x e x f x x a x -⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩
在0x =处连续，则a =
.
2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5
6
π，则()2f '=.
3．21
x
y x =-的垂直渐近线有条. 4．
()21ln dx
x x =
+⎰.
5．
()4
22
sin cos x
x x dx π
π
-
+=
⎰.
三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限
①21lim x
x x x →∞+⎛⎫
⎪⎝⎭ ②()
20sin 1
lim x
x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①
()()
13dx
x x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰
四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数32
3y x x =-的图像.
2．求曲线2
2y x =和直线4y x =-所围图形的面积.
《高数》试卷1参考答案
一．选择题
1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2
．- ３． ２ ４．arctanln x c + ５．２ 三．计算题 １①2
e ②
1
6
2.11x
y x y '=+- 3. ①
11
ln ||23
x C x +++
②ln ||x C + ③()1x e x C --++
四．应用题
１．略 ２．18S =
《高数》试卷2（上）
一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).
(A) ()f x x =和(
)g x = (B) ()21
1
x f x x -=-和1y x =+
(C) ()f x x =和()2
2
(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2
ln f x x =和()2ln g x x =
2.设函数()()
2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪
-⎪⎪
==⎨
⎪->⎪⎪⎩
，则()1
lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在
3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()
00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }.
(A) 0 (B)
2
π
(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln
2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
5.函数2x
y x e
-=及图象在()1,2内是( ).
(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的
6.以下结论正确的是( ).
(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.
7.设函数()y f x =的一个原函数为12x
x e ,则()f x =( ). (A) ()1
21x x e - (B)
12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12x
xe
8.若
()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).
(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则
1
2x f dx ⎛⎫
' ⎪⎝⎭
⎰
=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫
- ⎪⎢⎥⎝⎭
⎣⎦
10.定积分
b
a
dx ⎰
()a b <在几何上的表示( ).
(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)
1.设 ()()2ln 101cos 0
x x f x x
a x ⎧-⎪
≠=⎨-⎪=⎩
, 在0x =连续,则a =________.
2.设2
sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211
x
y x =
+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰
______________________.
5. 定积分21
2
1sin 1
1x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)
1.求下列极限:
①()10
lim 12x
x x →+ ②arctan 2
lim 1x x x
π
→+∞
-
2.求由方程1y
y xe =-所确定的隐函数的导数x y '.
3.求下列不定积分: ①3tan sec x xdx ⎰ ②
()22
0dx a x a
>+⎰
③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数3
13
y x x =-的图象.(要求列出表格)
2.计算由两条抛物线：2
2
,y x y x ==所围成的图形的面积.
《高数》试卷2参考答案
一.选择题：CDCDB CADDD
二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.
2211
ln 24
x x x c -+ 5.2π
三.计算题：1. ①2
e ②1 2.2
y
x e y y '=
- 3.①3sec 3
x
c +
②)
ln x c + ③()222x x x e c -++
四.应用题：1.略 2.13
S =
《高数》试卷3（上）
一、 填空题(每小题3分, 共24分)
1.
函数y =
的定义域为________________________.
2.设函数()sin 4,0,
0x
x f x x a x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.
3. 函数221
()32
x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.
4. 设()f x 可导, ()x
y f e =, 则____________.y '=
5. 22
1
lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321
4
21sin 1
x x
dx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t
d e dt dx -=⎰
8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.
二、求下列极限(每小题5分, 共15分)
1. 01lim sin x
x e x →-; 2. 233
lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2x
x x -→∞
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)
1. 2
x
y x =
+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dy
dx .
四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)
1. 12sin x dx x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
⎰. 2. ln(1)x x dx +⎰.
3.
1
20
x
e
dx ⎰
五、(8分)求曲线1cos x t y t
=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.
六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x y
y e x
'+
=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案
一．1．3x
< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e
5.12
6.0
7.22x xe -
8.二阶
二.1.原式=0
lim 1x x
x
→= 2.3
11lim
36
x x →=+ 3.原式=1
122
21lim[(1)]2x x e x
--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2
y y x ==+
2.cos sin x dy xe dx =-
3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+
'x y x y e y xy y
y x e x xy
++--⇒==--
四.1.原式=lim 2cos x x C -+
2.原式=2
2
21lim(1)()lim(1)[lim(1)]22
x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰
=2
2111
lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰
=22
1lim(1)[lim(1)]222
x x x x x C +--+++
3.原式=1
221200111(2)(1)222
x x e d x e e ==-⎰
五.sin 1,122
dy dy t
t t y dx dx ππ
=====且 切线：1,1022
y x y x ππ
-=---+=即 法线：1(),102
2
y x y x ππ-=--+--=即
六.1
2210013(1)()22
S x dx x x =+=+=⎰
11
22420
5210
(1)(21)228()5315
V x dx x x dx
x x x ππππ=+=++=++=⎰⎰
七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)
x
r r r i
y e C x C x -++=⇒=-±=+
八.1
1
()dx
dx
x
x x y e e e
dx C -
⎰⎰=+⎰
1
[(1)]x x e C x
=-+ 由10,0y x C ==⇒=
1x
x y e x
-∴=
《高数》试卷4（上）
一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++
-=x x y 的定义域是（ ）.
A []1,2-
B [)1,2-
C (]1,2-
D ()1,2- 2、极限x
x e ∞
→lim 的值是（ ）.
A 、 ∞+
B 、 0
C 、∞-
D 、 不存在 3、=--→2
11)
1sin(lim
x x x （ ）.
A 、1
B 、 0
C 、 2
1-
D 、21
4、曲线 23
-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.
A 、)(2
x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx =
C 、)5(x d dx --=
D 、2
2
)()(dx x d =
6、设
⎰+=C x
dx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x
- C 、 C x +2sin D 、2sin 2x -
7、⎰=+dx x
x ln 2（ ）.
A 、C x x
++-22ln 212 B 、 C x ++2
)ln 2(21
C 、 C x ++ln 2ln
D 、 C x
x
++-2
ln 1 8、曲线2
x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰
1
4
dx x π B 、
⎰1
ydy π
C 、⎰
-1
)1(dy y π D 、⎰
-1
04
)1(dx x π
9、⎰=+1
01dx e e x
x
（ ）. A 、21ln
e + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、2
21ln e + 10、微分方程 x
e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.
A 、x e y 273=
* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 27
2
=*
二、填空题（每小题4分）
1、设函数x
xe y =，则 =''y ； 2、如果3
2
2sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .
3、
=⎰-1
1
3
cos xdx x
；
4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .
5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；
三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim
； 2、求x x y sin ln cot 2
12
+= 的导数；
3、求函数 1133+-=x x y 的微分；
4、求不定积分⎰++1
1x dx
；
5、求定积分
⎰
e
e
dx x 1ln ； 6、解方程
21x
y x
dx dy -=
；
四、应用题（每小题10分）
1、 求抛物线2
x y = 与 2
2x y -=所围成的平面图形的面积.
2、 利用导数作出函数3
2
3x x y -= 的图象.
参考答案
一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；
二、1、x
e x )2(+； 2、9
4 ； 3、0 ； 4、x
e x C C y 221)(-+= ； 5、8，0
三、1、 1； 2、x 3
cot - ； 3、dx x x 2
32
)
1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、3
8
； 2、图略
《高数》试卷5（上）
一、选择题（每小题3分） 1、函数)
1lg(1
2++
+=
x x y 的定义域是（ ）.
A 、()()+∞--,01,2
B 、 ()),0(0,1+∞-
C 、),0()0,1(+∞-
D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.
A 、 x x cos lim 0→
B 、x x arctan lim ∞→
C 、x x sin lim ∞→
D 、x
x 2lim +∞
→
3、=+∞
→x
x x
x )1(
lim （ ）. A 、e B 、2
e C 、1 D 、
e
1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.
A 、dx x x )3sin 33cos (+-
B 、dx x x x )3cos 33(sin +
C 、dx x x )3sin 3(cos +
D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）.
A 、⎰++=
-C x dx x 1
1
1αα
α B 、⎰+=C x a dx a x x ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C x
xdx 2
11
tan 7、计算⎰
xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.
A 、C e
x
+sin B 、C x e x +cos sin
C 、C x e
x
+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin
8、曲线2
x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰
1
4
dx x π B 、
⎰1
ydy π
C 、⎰
-1
)1(dy y π D 、⎰
-1
04
)1(dx x π
9、设 a ﹥0，则
=-⎰
dx x a a
22（ ）.
A 、2
a B 、
22a π
C 、241a 0
D 、24
1
a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程. A 、0ln
2
=+'x
y
y x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2
=-'+y y y x D 、0)6(2
=-+'dy x y dx y x
二、填空题（每小题4分）
1、设⎩⎨⎧+≤+=0
,0
,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+
→)(lim 0x f x ；
2、设 x
xe y = ，则 =''y ；
3、函数)1ln()(2
x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；
4、
=⎰-1
1
3
cos xdx x
；
5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .
三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2
311(
lim 21
-+--→x x x x ；
2、求 x x y arccos 12-= 的导数；
3、求函数2
1x
x y -=的微分；
4、求不定积分⎰+dx x
x
ln 21 ；
5、求定积分 ⎰
e
e
dx x 1ln ；
6、求方程y xy y x =+'2
满足初始条件4)2
1(=y 的特解.
四、应用题（每小题10分）
1、求由曲线 2
2x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.
2、利用导数作出函数 4962
3
-+-=x x x y 的图象.
参考答案（B 卷）
一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.
二、1、 2 ，b ； 2、x
e x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、x
x
e
C e C 221+.
三、1、
31 ； 2、1arccos 12---x x
x ； 3、dx x x 221)1(1-- ；
4、C x ++ln 22 ；
5、)1
2(2e
- ； 6、x e x y 1
22-= ；
四、1、 2
9
； 2、图略。