范后宏教授报告一元高次方程的根式解

t3 = 1
3 2
i
3 c ( c )2 (b)3 2 23
1 3 i 2
3 c (c )2 (b)3 2 23
注：在用上述根式公式时，注意化简。 例：
3 1+ 2 3
7 =1+ 1 7
3
2
23
3 2+11 1 = 2 +
1
一般一元 4 次 方程： [1] L.Ferrari 1540年左右 准确的根式解法。 [2] Decartes解法（1637年）更“结构化”：
y5 y4 4y3 + 3y2 + 3y 1 = 0
它有 5 个根
Rk =
2πi k
(e 11
2πi k
e 11 )
= 2cos 2π k ， k = 1, 2, 3，4，5 11
R1
=
2cos
2π 11
，
R
2
=
2cos
4π 11
，
R
3
=
2cos
6π 11
，R
4
=
2cos
8π 11
，
yk 2 4d 2
yk 2 4d 2
0 ， 0
如果 yk 2 4d 0，k 1，2，3
例：x4 4x3 4x2 8x 2 0 解
1+ 2 3+ 2 , 1- 2 3- 2 ,
1+ 2 3+ 2 , 1- 2 3- 2
最简单 n 次方程 xn 1 = 0 的根式解
2πi
x4 bx2 cx d ( x2 px j) ( x2 px k )
y j+k 满足一个 3次方程：
第一步：解三次 y3 b y2 4d y (4bd c2 ) 0 得y1, y2 , y3
第二步：解二次 x2 x2
c yk 2 4d
c yk 2 4d
x x
yk yk
2
3600
3600
cos i sin
7
7
7
7
1+
1
7
3
+i
21
3
+
1 3 7 i 21 3
6 62
2
62 2
+i
1
( 1 +
1
7 21 3 +i
3
+
1
7 21 3 i
3
)2
6 62
2
62 2
（x6 x5 x4 x3 x2 x 1 0 用 y x x1化为3次）
2πi
πi
πi
= e 5 = cos i sin
= cos 360 i sin 360
5
5
= 1 + 5 i 10-2 5
4
4
（用cos 720 和 半角公式）
Vandermonde 求 x11 1=0 的根式解的方法
x11 1 = 0 有 10个根
2πi k
rk = e 11 , k = 1, 2, L ,10
讲座二,三
一元高次方程的根式解
范后宏
北京大学数学科学学院
二0一一年八月十三号至八月十六号
一元 2次 方程：
x2 bx c 0
x b (b)2 c
2
2
公元前二千纪头几个世纪， 古巴比伦人实际上知道。
大约公元820 年, 阿拉伯的 al-Khwarizmi 正式给出公 式。
一般一元 3次 方程：S.Ferro 1515年，N.Fontana （Tartagalia) 1535年给出了准确的根式解
Vandermonde“闪光”思想 ： 应该计算
V1 = （R1 R2 ２R4 ３R3 4 R５ )5
注意 R3 ，R4 调换了 位置 ！
为什么 ？
要点 1：
R 1，
R
，
2
R
3，R
，
4
R
5
除了满足根和系数通常的关系
R1+R 2 +R3 +R 4 +R5 = 1
x3 px2 rx s 0 三个解
用 平移 x t p 3
t3 b t c 0
化为
t1 = 3
c 2
( c )2 (b)3 23
+
3
c 2
( c )2 (b)3 23
1 3 i
t2 =
2
3 c ( c )2 (b)3 2 23
1 3 i 2
3 c ( c )2 (b)3 2 23
x8 1=0 一个生成根 e 8 = e 4 cos 450 i sin 450
1 +i 22
2πi
2πi 1
x9 1=0 一个生成根 e 9 = cos 400 i sin 400 = （e 3 )3
1
= ( cos1200 i sin1200 )3
3 1 +i 3 22
2πi
x10 1=0 一个生成根 e 10
x2 1=0 一个生成根 e 2 = eπi = 1
x3
1=0 一个生成根
2πi
e3
=
cos
2π
+i
sin
2π
cos1200 i sin1200
3
3
=1 + 3 i 22
2πi
πi
x4 1=0 一个生成根 e 4 = e 2 = i
2πi
x5 1=0 一个生成根 e 5
cos 2
i sin 2 = cos 720 i sin 720
2 i
2wk.baidu.com
2
3600
360 0
e 11 cos i sin cos i sin
11
11
11
11
x11 1 (x 1) (x10 x9 x8 x7 +x6 x5 x4 x3 x2 x 1) 0
x 1 0 ,
x10 x9 x8 x7 +x6 x5 x4 x3 x2 x 1 0
R
5
=
2cos
10π 11
第二步 ：
2 i
令 e5 ,
2 i
5 ( e 5 )5 e2i 1
能否仿效 Langrange３次方程 的 (r1 r2 2r3）3 , 计算
（R1 R2 ２R３ ３R４ 4R５ )5 ?
在 (1, 2) ，(1,3)，（1，4），（1，5）对换下 它 共有5个不同的值，因此 不能用它把5次降位4次。
第一步 ：简化为 5 次
x5 x4 x3 x2 x 1 x1 x2 x3 x4 x5 0
y (x x1) y2 x2 2 x2 x2 x2 y2 2 y3 (x3 3 x 3 x1 x3) x3 x3 y3 3y y4 x4 4 x2 6 4x2 x4 x4 x4 y4 4 y2 + 2 y5 (x5 5x3 10x 10x1 5x3 +x5 ) x5 x5 y5 +5y3 5y
5
5
= 1 + 5 + i 10+2 5
2
4
（x4 x3 x2 x 1 0 用 y x x1 化为 2 次）
2 i
x6 1 = 0 一个生成根 e 6
cos
i sin
cos 600 i sin 600
3
3
= 1+ 3 i 22
x7
1
=
0
一个生成根
2πi
e7
=
cos
2
i sin