20届中考优选知识点题型复习讲义 第2讲 代数式及整式的运算(原卷版)

第2讲 代数式及整式的运算
一、考点知识梳理
【考点1 代数式定义及列代数式】
1.代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式． 2．代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值．
【考点2 幂的运算】
1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． a m •a n ＝a m +n （m ，n 是正整数）
2.幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （a m ）n ＝a mn （m ，n 是正整数）
3.积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab ）n ＝a n b n （n 是正整数）
4.同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． a m ÷a n ＝a m ﹣
n （a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n ） 【考点3 合并同类项】
所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项. 把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【考点4 整式的乘法】
单项式乘以多项式m(a ＋b)＝am ＋bm
多项式乘以多项式(a ＋b)(m ＋n)＝am ＋an ＋bm ＋bn 二、考点分析
【考点1 代数式定义及列代数式】
【解题技巧】(1)在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出代数式；
(2)列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言(和、差、积、商、乘以、除以等)在数学语言中的含义；
(3)注意书写规则：a×b 通常写作a·b 或ab ；1÷a 通常写作1
a
；数字通常写在字母前面，如a×3通常写作3a ；
带分数一般写成假分数，如115a 通常写作6
5
a.
【例1】（2019.海南中考）当m ＝﹣1时，代数式2m +3的值是（ ） A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
【举一反三1-1】（2019.云南中考）按一定规律排列的单项式：x 3，﹣x 5，x 7，﹣x 9，x 11，……，第n 个单项式是（ ） A ．（﹣1）n ﹣
1x 2n ﹣
1 B ．（﹣1）n x 2n ﹣
1 C ．（﹣1）n ﹣1x 2n +1
D ．（﹣1）n x 2n +1
【举一反三1-2】（2019•台湾）图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成，其中正三角形面积为a ，矩形面积为b ．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱，则图2中直角柱的表面积为何？（ ）
A ．4a +2b
B ．4a +4b
C ．8a +6b
D ．8a +12b
【举一反三1-3】（2019•台湾）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为10份意大利面，x 杯饮料，y 份沙拉，则他们点了几份A 餐？（ ）
A ．10﹣x
B ．10﹣y
C ．10﹣x +y
D ．10﹣x ﹣y
【考点2 幂的运算】
【解题技巧】1.在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a 2b 2）3与（a 2b 2）4，（x ﹣y ）2与（x ﹣y ）3等；②a 可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
2.概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
3.注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
【例2】（2019•广东中考）下列计算正确的是（）
A．b6+b3＝b2B．b3•b3＝b9C．a2+a2＝2a2D．（a3）3＝a6
【举一反三2-1】（2019•甘肃中考）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）
A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a8
【举一反三2-2】（2019•海南中考）下列运算正确的是（）
A．a•a2＝a3B．a6÷a2＝a3C．2a2﹣a2＝2D．（3a2）2＝6a4
【举一反三2-3】（2019•江苏南京中考）计算（a2b）3的结果是（）
A．a2b3B．a5b3C．a6b D．a6b3
【举一反三2-4】（2019•山东济南中考模拟）在平面直角坐标系中，任意两点A（a，b），B（c，d），定义一种运算：A*B＝[（3﹣c），]，若A（9，﹣1），且A*B＝（12，﹣2），则点B的坐标是_______．【考点3 合并同类项】
【解题技巧】合并同类项时要注意以下三点：
（1）要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
（2）明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
（3）“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
（4）只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式)．
【例3】（2019•吉林长春中考）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．
【举一反三3-1】（2019•山东威海中考）下列运算正确的是（）
A．（a2）3＝a5B．3a2+a＝3a3
C．a5÷a2＝a3（a≠0）D．a（a+1）＝a2+1
【举一反三3-2】（2019•辽宁沈阳中考）下列运算正确的是（）
A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝m
C．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2
【举一反三3-3】（2019•河北石家庄中考模拟）先化简，再求值：
（5a2+2a+1）﹣4（3﹣8a+2a2）+（3a2﹣a），其中．
【举一反三3-4】（2019•山东青岛中考模拟）化简求值：已知整式2x 2+ax ﹣y +6与整式2bx 2﹣3x +5y ﹣1的差不含x 和x 2项，试求4（a 2+2b 3﹣a 2b ）+3a 2﹣2（4b 3+2a 2b ）的值． 【考点4 整式的乘法】
【解题技巧】多项式的乘法要注意多项式中每一项不要漏乘，还要注意运算符号，遵循去括号的法则。

【例4】（2019•河北邯郸中考模拟）阅读：已知二次三项式x 2﹣4x +m 有一个因式是x +3，求另一个因式及m 的值．
解“设另一个因式为x +n ，得x 2﹣4x +m ＝（x +3）（x +n ）则x 2﹣4x +m ＝x 2+（n +3）x +3n ∴
解得
∴另一个因式为x ﹣7，m 的值为﹣21
问题：仿照上述方法解答下列问题：
（1）已知二次三项式2x 2+3x ﹣k 有一个因式是2x ﹣5，求另一个因式及k 的值． （2）已知2x 2﹣13x +p 有一个因式x ﹣3，则P ＝ ．
【举一反三4-1】（2019•辽宁大连中考模拟）计算2x （3x 2+1），正确的结果是（ ） A ．5x 3+2x B ．6x 3+1 C ．6x 3+2x D ．6x 2+2x
【举一反三4-2】(2016 河北中考)若mn =m +3，则2mn +3m -5nm +10=_____.
【举一反三4-3】（2019•台湾中考）计算（2x ﹣3）（3x +4）的结果，与下列哪一个式子相同？（ ） A ．﹣7x +4
B ．﹣7x ﹣12
C ．6x 2﹣12
D ．6x 2﹣x ﹣12
【举一反三4-4】（2019•辽宁葫芦岛中考模拟）已知y = 31x – 1,那么3
1
x 2 – 2xy + 3y 2 – 2的值是 . 三、【达标测试】 一.选择题
1.(2019 河北石家庄中考模拟)如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为x ，淇淇猜中的结果应为y ，则y ＝( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．x ＋3 2．(2019 山东青岛中考模拟)若x ＝1，则|x －4|＝( )
A ．3
B ．－3
C ．5
D ．－5 3.(2017 重庆中考)若x ＝－1
3，y ＝4，则代数式3x ＋y －3的值为( )
A ．－6
B ．0
C ．2
D ．6
4.（2019•湖南长沙中考模拟）已知x-2y=3，则代数式6-2x+4y 的值为（ ） A ．0 B ．-1 C ．-3 D ．3
5.（2019•江苏徐州中考）下列计算正确的是（ ） A ．a 2+a 2＝a 4 B ．（a +b ）2＝a 2+b 2 C ．（a 3）3＝a 9
D ．a 3•a 2＝a 6
6.（2019•深圳）下列运算正确的是（ ） A ．a 2+a 2＝a 4
B ．a 3•a 4＝a 12
C ．（a 3）4＝a 12
D ．（ab ）2＝ab 2
7.（2019•江苏徐州中考）（2019•青岛）计算（﹣2m ）2•（﹣m •m 2+3m 3）的结果（ ） A ．8m 5
B ．﹣8m 5
C ．8m 6
D ．﹣4m 4+12m 5
8.（2019•新疆中考）下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6 B ．（﹣2ab ）2＝4a 2b 2
C ．x 2+3x 2＝4x 4
D ．﹣6a 6÷2a 2＝﹣3a 3
9.（2019•成都）下列计算正确的是（ ） A ．5ab ﹣3a ＝2b B ．（﹣3a 2b ）2＝6a 4b 2
C ．（a ﹣1）2＝a 2﹣1
D ．2a 2b ÷b ＝2a 2
10.（2019•南通中考）下列计算，正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6 B ．2a 2﹣a ＝a
C ．a 6÷a 2＝a 3
D ．（a 2）3＝a 6
二、填空题
1.（2018，盐城市中考模拟）如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片 张．
2. （2018，山东省济南中考模拟）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：
所剪次数
1
2
3
4
…
n
a
b b
b a
a C B
A 第1题图
则a n ＝ （用含n 的代数式表示）．
3.（2019，河北石家庄中考模拟）下图是一个简单的数值运算程序，当输入x 的值为3时，则输出的数值为 ．
4.（2019，山东省德州中考模拟）有一组按规律排列的单项式：2
a ，4a 3，6a 5，8a 7
，…，第25个单项式
是 .
5. （2018，辽宁葫芦岛中考模拟）在图3所示的运算流程中，若输出的数y=3，则输入的数x= ．
三.解答题
1.（2019.河北沧州中考模拟）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a ＝b ＝0．我
们称使得
成立的一对数a ，b 为“相伴数对”，记为（a ，b ）．
（1）若（1，b ）是“相伴数对”，求b 的值； （2）若（m ，n ）是“相伴数对”，其中m ≠0，求； （3）若（m ，n ）是“相伴数对”，求代数式m ﹣﹣[4m ﹣2（3n ﹣1）]的值．
2.（2018，徐州巿中考模拟）已知21,2
3.x x x =
--求的值
3.（2018，内江市中考模拟）阅读下列内容后，解答下列各题： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
例如：考查代数式(1)(2)x x --的值与0的大小 当1x <时，10x -<，20x -<，(1)(2)0x x ∴--> 当12x <<时，10x ->，20x -<，(1)(2)0x x ∴--< 当2x >时，10x ->，20x ->，(1)(2)0x x ∴--> 综上：当12x <<时，(1)(2)0x x --< 当1x <或2x >时，(1)(2)0x x --> （1） 填写下表：（用“+”或“-”填入空格处）
（2）由上表可知，当x 满足 时，(2)(1)(3)(4)0x x x x ++--<； （3）运用你发现的规律，直接写出当x 满足 时，(7)(8)(9)0x x x -+-<
3.（2019，河北省沧州中考模拟）下图是某居民小区的一块面积为4ab 平方米的长方形空地，准备在空地的四个顶点处修建一个半径为a 米的扇形花台，在花台内种花，其余部分种草.如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50元，那么美化这块空地共需资金多少元？
4.（2019，海南中考）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是 ，这2019个数的和是 ．
5.（2019，吉林中考）先化简，再求值：（a﹣1）2+a（a+2），其中a＝．。