18章勾股定理重难点

第十八章 勾股定理

§18．1 勾股定理（一） 一、教学目标

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点

1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、学案

（一）阅读课本第64页，并完成思考题： 1、毕达哥拉斯在地板上的发现：

（1）图中线条加黑的三个小正方形围成了一个 ；

（2）若设两个较小正方形边长均为a ，则它们的面积都为 ， 设较大的正方形边长为c ，则它的面积为 。

（3）再次观察，可以发现两个小正方形的面积和 较大的正

方形面积，即有 ＋ = 。

（4）因为三个正方形边长恰好是围成的等腰直角三角形的三条

边，由 ＋ = 可知，等腰直角三角形的两条 边的平方 等于 边的平方。

2、由第1题知等腰三角形具有上述性质，是否一般的直角三角形也具有这样的性质呢？观察下图，尝试探究.（如图，每个小方格的面积均为1）

观察图（1）正方形A 中含有____个小方格， 即A 的面积是_____个单位面积；正方形B 中 含有_____个小方格，即B 的面积是_____个单

位面积；正方形C 中含有______个小方格，即 C 的面积是________个单位面积．

2）正方形A 中含有____个小方格，

即A 的面积是_____个单位面积；正方形B 中 含有_____个小方格，即B 的面积是_____个单 位面积；正方形C 中含有______个小方格，即 C 的面积是________个单位面积．

3、根据上述观察分析，你能得出什么结论．（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去四个直角三角形的面积．）

（二）归纳：直角三角形三边关系：

勾股定理： ；用公式表示为 。 变式：① ② 。 直角三角形性质归纳：

如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： ；

（2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；

（3）直角三角形斜边上的 等于斜边的 。 （4）三边之间的关系： 。

（5）已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则

c= 。（已知a 、b ，求c ） a= 。（已知b 、c ，求a ）

A

B C

A

B

C

图（1）

图（2）

A B

a b

c

b= 。（已知a 、c ，求b ）.

（三）例题精讲

例1、如图，一根旗杆在离地面9m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处，旗杆折断之前有多高?

例2：在Rt△ABC，∠C=90° ⑴ 已知a=b=5，求c 。 ⑵ 已知a=1，c=2, 求b 。 ⑶ 已知c=17，b=8, 求a 。 ⑷ 已知a ∶b=1∶2，c=5, 求a 。 ⑸ 已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。

（四）课堂基础训练

1、求出下列直角三角形中未知的边

2、（1）在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。 （2）在Rt △ABC ，∠C=90°，a=6，b=8，则c= 。

（3）已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。

3、如图：所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm ，则正方形A ，

B ，

C ，

D 的面积之和为 cm 2

。

10 30° 3 5

10 45°

81 144 x A

B C

D

7cm

F

E

第3题

§18．1 勾股定理（二） 一、教学目标

1．会用勾股定理进行简单的计算。 2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 二、重点、难点

1．重点：勾股定理的简单计算。 2．难点：勾股定理的灵活运用。 三、学案

1、直角三角形性质有：如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： ；

（2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；

（3）直角三角形斜边上的 等于斜边的 。 （4）三边之间的关系： 。

（5）已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则

c= 。（已知a 、b ，求c ） a= 。（已知b 、c ，求a ） b= 。（已知a 、c ，求b ）.

2、（1）在Rt △ABC ，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。 （2）在Rt △ABC ，∠C=90°，a=6，c=8，则b= 。 （3）在Rt △ABC ，∠C=90°，b=12，c=13，则a= 。 四、学习过程 （一）例题尝试

例1：一个门框的尺寸如图所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？（注意解题格式）

当堂练习：如下图，池塘边有两点A ，B ，点C 是与BA 方 向成直角的AC 方向上一点．测得CB ＝60m ，AC ＝20m ， 你能求出A 、B 两点间的距离吗?

例2：长3米的梯子AB ，斜着靠在竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5米． ①求梯子的底端B 距墙角O 多少米？

②如果梯的顶端A 沿墙下滑0.5米至C ，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？ ③算一算，底端滑动距离的近似值

④你还能对例题提供的问题情景进行变式训练吗？ （结果均保留两位小数）．

A C

B

a

b

c

B

C

1m

2m

A

实际问题

数学模型

O B D

C

A