2014年广州中考数学第24、25题详细解答
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴MH＝CE＝ ，EM＝CH＝2；
∵∠1＝30°，BF＝4，∴ ，即 ，∴ ；
∴FM＝FH－MH＝ ，由勾股定理得， ，解得 .
方法三：（相似）辅助线同方法二，求FM的步骤一样.
∵∠1＋∠EFH＝90°，∠2＋∠EFH＝90°，∴∠1＝∠2；又∵∠EMF＝∠BHF＝90°，∴△EMF∽△FHB；
∴ ，即 ，解得 .
∵GH是梯形ABCD的中位线，∴BH＝2，GH∥AB，∴∠BHF＝∠CHG＝90°；
方法一：（三角函数）
∴ ，∴∠1＝30°，∴∠FBH＝∠2＋∠3＝60°；
∴∠2＝∠3＝30°，∴ ，∴ ，∴ .
方法二：（勾股定理）
过点E作EM⊥GH于M，∴∠EMH＝90°；
∵∠BCD＝∠EMH＝∠CHG＝90°，∴四边形CEMH为矩形；
方法二：由韦达定理，得 ，解得 ，故抛物线解析式为 .
求顶点C的坐标：
方法一： ，故顶点C的坐标为 .
方法二： ， .
第⑵问：
∵ ，∴点P在 轴下方的抛物线图象上；若抛物线与 轴交点为D，则点D的坐标为 ；
∵ 、 、 ，∴ ， ， ，有 ，此时 ；若点D关于对称轴的对称点为E，则点E的坐标为 ，此时有 ；
作点 关于直线 的对称点 ，则点 的坐标为 ；
设直线 的解析式为 ，有
，解得
∴直线 的解析式为 ；
当 时， ；
∴点 平移后的点 的坐标为 ；
∵ ，∴抛物线向左平移，此时 ；∵ ，∴ 满足题意.
第⑴问：
∵AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°；
∵△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，
∴BF＝BC＝4，∠2＝∠3，∠BFE＝90°，CE＝EF＝ ；
苏SIR点评
2014年广州中考数学第24题第（1）问很常规，且方法多样，很适合学生入手；第（2）问解决问题的关键是学生要知道函数图象中交点往往是解决问题的关键所在，因此要先求出抛物线与y轴的交点坐标；题目的条件给出是钝角，因此要想到分界点是直角，因此联想到勾股定理逆定理；若然数学老师在讲圆周角的时候讲过圆内角和圆外角（这样知识才能连成一个小系统），直径所对的圆周角是直角，那么通过类比，就知道直径所对的圆内角是钝角，于是思路就打开了；第（3）问求四条线段之和的最小值，其中两条在运动过程中是不变的，于是转化为求另外两条线段之和的最小值，因此把两条定线段通过平移放在一起，然后通过轴对称把同侧的两个点转化为异侧的两个点，再利用“两点之间，线段最短”，结合函数知识求得答案。本题似乎不难，但其实背景过于复杂，对学生来说，很难从中抽取出熟悉的数学模型，另外要表述清楚确实是不容易的。
第⑵问：
∵△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，∴△CEG≌△FEG，△CBG≌△FBG，BE⊥CF；
∴ ， ；∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3；
又∵∠CGE＝∠CGB＝90°，∴△CEG∽△BCG，∴ （ ）；
∴ （ ）.
第⑶问：（为节省篇幅，每一种方法只给出简解！）
方法一：（等积不变、勾股定理）
如图，点O为BE的中点，过点O分别作OG⊥CD、OH⊥AB、OM⊥BC，
过点A作AN⊥CD，连接OA、OB、OC、OD、OP.
由等腰三角形三线合一性质易得 ， ；
由矩形的性质易得 ；
由勾股定理易求得： ， ；
∵ ，
∴ ，解得 ， （舍去），∴ .
方法二：（相似、勾股定理）
如图，由梯形中位线定理ห้องสมุดไป่ตู้知， ，∴ ；
这两道压轴题都改编自课本，由此引导日常的数学教学要回归课本，一题多变。由两道题目的解决过程来看，方法是多样的，因此教学过程中要注意一题多解，当然更要重视多解归一和多题归一。
2014年广州中考数学压轴题参考答案
广州市越秀区育才实验学校 苏德杰
第⑴问：
求抛物线的解析式：
方法一：由题意，得 ，解得 ，故抛物线解析式为 .
因此当点P的坐标为 或 时，有 .
以AB为直径作圆，当抛物线上的点P 在该圆的内部时，∠APB为钝角，故 或 .
第⑶问：
显然P、C在抛物线平移过程中可看成是动点.
如图所示，把 向上平移到 ，那么 （即 ）是一个定值，只要在 上找到一点 ，使 最小；
∵ ，∴点P的坐标为 ，
∵点B、C的坐标为 、 ，∴点 的坐标为 ；
由三角形中位线定理可知， ， ；易证△OPH∽△AQH，
∴ ，即 ，∴ ，又∵ ，
∴ ，后面步骤同解法一.
方法三：（相似）
如图，由证法二知△OPH∽△AQH，由三角形中位线定理得 ；
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ；
易证△DEP∽△DPC，∴ ，即 （传说中的切割线定理^_^）
∴ ，后面步骤同解法一.
第25题对于初中求线段长度的几种常见方法：等积不变，勾股定理，相似，三角函数的考查很到位，第（1）（2）问对于优秀生是有一定优势的；本题对基本图形的考查也值得称赞，对字母的运算的要求恰到好处，体现出高中衔接的命题思路。第（1）问实际上为第（3）问的解决提供了思考的一种方向，从3个小题来看，关联性仍然不够强，有点打破常规，对习惯于解决递进关系和并列关系的学生来说，会造成一定的困难。
∵∠1＝30°，BF＝4，∴ ，即 ，∴ ；
∴FM＝FH－MH＝ ，由勾股定理得， ，解得 .
方法三：（相似）辅助线同方法二，求FM的步骤一样.
∵∠1＋∠EFH＝90°，∠2＋∠EFH＝90°，∴∠1＝∠2；又∵∠EMF＝∠BHF＝90°，∴△EMF∽△FHB；
∴ ，即 ，解得 .
∵GH是梯形ABCD的中位线，∴BH＝2，GH∥AB，∴∠BHF＝∠CHG＝90°；
方法一：（三角函数）
∴ ，∴∠1＝30°，∴∠FBH＝∠2＋∠3＝60°；
∴∠2＝∠3＝30°，∴ ，∴ ，∴ .
方法二：（勾股定理）
过点E作EM⊥GH于M，∴∠EMH＝90°；
∵∠BCD＝∠EMH＝∠CHG＝90°，∴四边形CEMH为矩形；
方法二：由韦达定理，得 ，解得 ，故抛物线解析式为 .
求顶点C的坐标：
方法一： ，故顶点C的坐标为 .
方法二： ， .
第⑵问：
∵ ，∴点P在 轴下方的抛物线图象上；若抛物线与 轴交点为D，则点D的坐标为 ；
∵ 、 、 ，∴ ， ， ，有 ，此时 ；若点D关于对称轴的对称点为E，则点E的坐标为 ，此时有 ；
作点 关于直线 的对称点 ，则点 的坐标为 ；
设直线 的解析式为 ，有
，解得
∴直线 的解析式为 ；
当 时， ；
∴点 平移后的点 的坐标为 ；
∵ ，∴抛物线向左平移，此时 ；∵ ，∴ 满足题意.
第⑴问：
∵AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°；
∵△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，
∴BF＝BC＝4，∠2＝∠3，∠BFE＝90°，CE＝EF＝ ；
苏SIR点评
2014年广州中考数学第24题第（1）问很常规，且方法多样，很适合学生入手；第（2）问解决问题的关键是学生要知道函数图象中交点往往是解决问题的关键所在，因此要先求出抛物线与y轴的交点坐标；题目的条件给出是钝角，因此要想到分界点是直角，因此联想到勾股定理逆定理；若然数学老师在讲圆周角的时候讲过圆内角和圆外角（这样知识才能连成一个小系统），直径所对的圆周角是直角，那么通过类比，就知道直径所对的圆内角是钝角，于是思路就打开了；第（3）问求四条线段之和的最小值，其中两条在运动过程中是不变的，于是转化为求另外两条线段之和的最小值，因此把两条定线段通过平移放在一起，然后通过轴对称把同侧的两个点转化为异侧的两个点，再利用“两点之间，线段最短”，结合函数知识求得答案。本题似乎不难，但其实背景过于复杂，对学生来说，很难从中抽取出熟悉的数学模型，另外要表述清楚确实是不容易的。
第⑵问：
∵△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，∴△CEG≌△FEG，△CBG≌△FBG，BE⊥CF；
∴ ， ；∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3；
又∵∠CGE＝∠CGB＝90°，∴△CEG∽△BCG，∴ （ ）；
∴ （ ）.
第⑶问：（为节省篇幅，每一种方法只给出简解！）
方法一：（等积不变、勾股定理）
如图，点O为BE的中点，过点O分别作OG⊥CD、OH⊥AB、OM⊥BC，
过点A作AN⊥CD，连接OA、OB、OC、OD、OP.
由等腰三角形三线合一性质易得 ， ；
由矩形的性质易得 ；
由勾股定理易求得： ， ；
∵ ，
∴ ，解得 ， （舍去），∴ .
方法二：（相似、勾股定理）
如图，由梯形中位线定理ห้องสมุดไป่ตู้知， ，∴ ；
这两道压轴题都改编自课本，由此引导日常的数学教学要回归课本，一题多变。由两道题目的解决过程来看，方法是多样的，因此教学过程中要注意一题多解，当然更要重视多解归一和多题归一。
2014年广州中考数学压轴题参考答案
广州市越秀区育才实验学校 苏德杰
第⑴问：
求抛物线的解析式：
方法一：由题意，得 ，解得 ，故抛物线解析式为 .
因此当点P的坐标为 或 时，有 .
以AB为直径作圆，当抛物线上的点P 在该圆的内部时，∠APB为钝角，故 或 .
第⑶问：
显然P、C在抛物线平移过程中可看成是动点.
如图所示，把 向上平移到 ，那么 （即 ）是一个定值，只要在 上找到一点 ，使 最小；
∵ ，∴点P的坐标为 ，
∵点B、C的坐标为 、 ，∴点 的坐标为 ；
由三角形中位线定理可知， ， ；易证△OPH∽△AQH，
∴ ，即 ，∴ ，又∵ ，
∴ ，后面步骤同解法一.
方法三：（相似）
如图，由证法二知△OPH∽△AQH，由三角形中位线定理得 ；
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ；
易证△DEP∽△DPC，∴ ，即 （传说中的切割线定理^_^）
∴ ，后面步骤同解法一.
第25题对于初中求线段长度的几种常见方法：等积不变，勾股定理，相似，三角函数的考查很到位，第（1）（2）问对于优秀生是有一定优势的；本题对基本图形的考查也值得称赞，对字母的运算的要求恰到好处，体现出高中衔接的命题思路。第（1）问实际上为第（3）问的解决提供了思考的一种方向，从3个小题来看，关联性仍然不够强，有点打破常规，对习惯于解决递进关系和并列关系的学生来说，会造成一定的困难。