控制系统的传递函数模型

注意： 一次因子对应于实数零极点 二次因子对应于共轭复数零极点
τ
Tj 称为时间常数 K = bm/an = K *Π (-Zi) / Π (-Pj) 称传递系数或增益
i和
1、线性性质 设f1(t)的拉普拉斯变换为F1(s)，记为 f 1 ( t ) F1 ( s )
f2(t)的拉普拉斯变换为F2(s)，记为 f 2 ( t ) F2 ( s )
传递函数
输入量及其各阶导数均为零； 输入信号的拉氏变换零初始条件

R(s)
输入量加于系统之前，系统处于稳定的工作状态， C (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm 即输出量及其各阶导数在t10-时的值也为零。 R( s) a s n a s n = a s a
在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，
可得s的代数方程为：
( T 2 s 2 3Ts 1 )uc ( s ) ur ( s )
由传递函数定义，得网络传递函数为：
uc ( s ) 1 G( s ) 2 2 ur ( s ) T s 3Ts 1
2、传递函数的性质
性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，
4、理想微分环节
微分方程 c(t)= Tdr(t)/dt 传递函数 G(s)=Ts 特点： 输出量正比输入量变化的速度，能 预示输入信号的变化趋势。 实例：集成运放的微分运算，测速发电 机输出电压与输入角度间的传递函数即为 微分环节。
5、一阶微分环节（或称比例微分环节）
微分方程 c(t)= Tdr(t)/dt + r(t) 传递函数 G(s)=Ts+1 特点： 输出量既包含与输入量成正比的量， 又包含输入信号的变化趋势。 实例：集成运放的比例微分运算等。
微分方程是在时域中描来自百度文库系统动态性能的数学
模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可
以得到系统的输出响应。
缺点：系统结构和参数变化时分析较麻烦。
拉氏变换解方程
设r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，则
对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，
R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为：
极点 j
反映系统地全面特性，
在复平面上表示传递函 数的零点和极点的图形， 称为传递函数的零极点 分布图。
z2
0
p3
零点
×
2、传递函数的时间常数表达式
( 1 s 1)( 2 s 2 2 2 s 1)( i s 1) G( s ) K (T1 s 1)(T2 s 2 2T2 s 1)(T j s 1)
7、延迟（纯迟后）环节
微分方程 c(t) = r(t -τ) 传递函数 G(s)= e-τs 式中 τ －延迟时间 特点：输出量能准确复现输入量，但须延 迟一个固定的时间间隔。 实例：D触发器，管道压力、流量等物理量 的控制，其数学模型就包含有延迟环节。
传递函数的定义及其性质 传递函数的表达式 零点和极点对输出的影响 典型环节及其传递函数
2 n 2 s( s 2 2 n s n )
tg
1
1
2

(0 1)
任何一个复杂系统都是由有限个典型环节 组合而成的。典型环节通常分为以下七种：
比例环节 积分环节 一阶微分环节
惯性环节
理想微分环节 振荡环节
延迟（纯迟后）环节
1、比例环节 微分方程 c(t)= K r(t) 传递函数 G(s)= K 式中 K-增益 特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延 迟。 实例：杠杆、电子放大器，齿轮，电阻（电 位器），感应式变送器等。
C( s ) b1 s b2 G( s ) R( s ) a0 s 2 a1 s a 2
可得s的代数方程
( a0 s a1 s a2 )C ( s ) ( b1 s b2 )R( s )
2
用微分算符置换s ，便得到相应的微分方程
d 2 c( t ) dc( t ) dr( t ) a0 a1 a2 c( t ) b1 b2 r ( t ) dt dt dt
(S Z
i 1 n j 1
m
i
)
(S P )
j
Zi (i=1,2,…,m) 是分子多项式的根，称为传递函数的零点
pj (j=1,2,…,n) 是分母多项式的根，称为传递函数的极点
K *=b0/a0
称为传递函数的传递系数（根轨迹增益）
传递函数的零极分布图
为了更直观、更形象地 p2 × p1× z1
6、振荡环节 微分方程 传递函数 G( s )
2 n 1 2 2 2 2 s 2 n n T s 2Ts 1
式中 ξ －阻尼比 (0≤ξ <1)
T = 1 /ω n
ω n -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）
特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能 量交换，其输出出现振荡。 实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。
则有： af 1 ( t ) bf 2 ( t ) aF1 ( s ) bF2 ( s ) 2、平移性质 设f (t)的拉普拉斯变换为F (s)，记为 f ( t ) F ( s ) 则有： f ( t t0 ) F ( s )e st0
f ( t )e F ( s s0 )
2
4、积分性质 设f (t)的拉普拉斯变换为F (s)，记为 f ( t ) F ( s )
则有：

其中
t

F ( s ) f 1 ( 0 ) f ( )d s s
1
f
( 0 )
0

f ( )d
5、初值定理 若f(t)及df(t)/dt的拉氏变换存在，则有：
R(s) L[ (t )] 1 C(s) G(s) R(s) G(s)
c(t ) L1[C(s)] L1[G(s)R(s)] L1[G(s)] g (t )
即：传递函数G(s)的拉氏反变换g(t)是脉冲响应c(t)
1、传递函数的零极点表达式
G( s) b0 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) K* a0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
传递函数的定义及其性质 传递函数的表达式
典型环节及其传递函数
1
2 单位阶跃函数1( t ) 3
4
s
1
1
单位斜坡函数 t
t ( n 1,2 ,3 )
n
5
6
e
t e
n at
at
( n 1,2 ,3 )
s n! n 1 s 1 sa n! n 1 (sa)
2
序号
原函数 f (t )
象函数 F (s )
7 8 9 10 11
sin t
0 1 n 1 n
G( s)

例1、试求RC无源网络的传递函数
uo(s)/u (s)
i
解答：
RC网络的微分 方程表示为
Ui
R1
R2
i (t ) C 1
C2
Uo
d 2 uo ( t ) duo ( t ) R1 R2 C 1C 2 ( R1C 1 R1C 2 R2 C 2 ) 2 dt dt uo ( t ) ui ( t )
具有复变量函数的所有性质。 性质2 传递函数是一种用系统参数表示输出量与输 入量之间关系的表达式。它只取决于系统的结构或 元件的参数，而与输入量的形式无关，也不反映系 统内部的任何信息。
G( s)
u R(s)c ( s) ur ( s )
G(s)
C(s)1
T 2 s 2 3Ts 1
性质3 传递函数与微分方程有相通性。传递函数 分子多项式系数及分母多项式系数，分别与相应 微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对 应。 例如：由传递函数
序号
原函数 f (t )
象函数 F (s )
1 2 t )
12
1 n t sin( n e 1 2
s 2 2 s 2 n s n
(0 1)
tg
1
1
2

13
1 n t sin( n 1 e 2 1
1 2 t )
t 0
lim f t f 0 lim sF ( S )
s
☆☆☆6、终值定理
若f(t)及df(t)/dt的拉氏变换存在，则有：
t
lim f t f lim sF ( S )
s 0
序号
原函数 f (t )
象函数 F (s )
1
单位脉冲函数 ( t )
cos t
e
at
s s s2 2
2
2
sin t
e at cos t
( s a ) (sa) 2 2 ( s a )
2
2
2
e 1
2
n
n t sin n 1 t
2 s 2 2 n s n (0 1)
2 n
主要内容：
第一讲、 时域数学模型
第二讲、 复域数学模型 第三讲、 方框图与信号流图
本章要求：
一、了解控制系统数学模型的建立方法及数学 模型的表示形式。 二、掌握控制系统时域、复域数学模型的建立
及其相互转换。
三、熟练掌握方框图绘制和简化，信号流图的
绘制和梅逊公式的应用。
时域模型：线性常微分方程
dn d n 1 d a0 n c ( t ) a 1 n 1 c ( t ) a n 1 c ( t ) a n c ( t ) dt dt dt m m 1 d d d b0 m r ( t ) b1 m 1 r ( t ) bm 1 r ( t ) bm r ( t ) dt dt dt
性质4 传递函数G（s）的拉氏反变换是脉冲响应g（t）
A/ε 0<t<ε
脉冲函数：r (t) =
0 t<0,t>ε ∞ 0<t<ε
A —脉冲面积
（脉冲强度）
r(t)
当A=1时
δ(t) = limr(t)
ε→0
0 t<0,t>ε
t
脉冲响应（又称脉冲过渡函数）c(t)是系统在单位
脉冲输入时的输出响应。
2、惯性环节
微分方程 Tdc(t)/dt +c(t)= r(t) 传递函数 G(s)= 1/(Ts+1) 式中 T-时间常数 特点：含一个储能元件，对突变的输入 其输出不能立即复现，输出无振荡。 实例：RC网络，直流伺服电动机的传递 函数也包含这一环节。
3、积分环节
微分方程 Tdc(t)/dt= r(t) 传递函数 G(s)= 1/Ts 特点： 输出量与输入量的积分成正比例， 当输入消失，输出具有记忆功能。 实例： 集成运放的积分运算，电动机角 速度与角度间的传递函数，模拟计算机 中的积分器等。
[a0 s a1s
n m
n 1
an 1s an ]C ( s) bm1s bm ]R( s)
[b0 s b1s
m 1
一、传递函数的概念和性质
1、传递函数:
初始条件为零时，线性定常系统或元件输出 信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比值， 称为该系统或元件的传递函数。 输入量是在t≥0时才作用于系统，因此，在t=(s) 输出信号的拉氏变换 C 0-时，
s0 t
3、微分性质 设f (t)的拉普拉斯变换为F (s)，记为 f ( t ) F ( s ) 则有： df sF ( s ) f ( 0 ) dt
d f 2 s F ( s ) sf ( 0 ) f ( 0 ) 2 dt
n 1 dn f n n 1 r r s F( s ) s f ( 0 ) n dt r 0