第3章实用计算方法

y
T 1
M y1
y1
1 2
ψ 1T M ψ 1 =1 (9)
3.2.6 力相关的里兹向量
由式(9)和式(11)可得
ˆ 2 = y 2 a1 2 ψ 1 = K ψ
1
式(10-b)第一项可如下得到
a 1 2 = ψ 1T M y 2
M ψ 1 ψ 1T M
(A)
K
1
M ψ 1 ψ1
3.2.5 里兹向量的选择
解得
k 0 .2 0 .2 0 .2 2 .2 m 2 .0 0 .2 0 .2 z 1 0 2 .5 z 2
1 0 .0 8 2 3 8( k / m )
1 .3 2 9 z1 0 .1 3 6 0
s s ss s
1 u K P t K s us
Ms 0
s K ss 0 u K s 0 u
K s us Ps t K u P t
3.2.2 “最佳”近似
下面证明与所选Ritz向量有关的所有可能的近似特征 值中，与体系固有频率相关的值最接近真实频率 —— “最佳” 的意义。 为此引入如下瑞利商
uT Ku z TΨ T KΨz z T Kz T T T T u Mu z Ψ MΨz z Mz
(3)
（可以证明）瑞利商具有如下特性： 1）如果[u]是第i振型向量，则i=i2； 2）瑞利商在真实特征值的邻域内取驻值； 3）瑞利商在最小和最大特征值间有界。 为了说明式(2)特征值具有“最佳”性，将式(3)改写为
5）相对精确解的误差 此结论具有一般性！
对动荷载为[P]f(t)时，本节讨论如何生成Ritz向量。 第 一个Ritz向量由荷载 [P]引起的静位移产生
3.2.6 力相关的里兹向量
K y1 P ψ 1 =
第二个Ritz向量[]2由与第一个向量[]1相关的惯性力 分布给出的作用力引起的静位移向量[y]2来确定，向 量[y]2通过求解下式得到 (10-a) K y2 M ψ1 向量[y]2一般包含前面向量[]1的成分，因此可表为 ˆ 2 + a1 2 ψ 1 y2 =ψ (10-b) 式中第一项与[]1无关，也即它应与[]1正交，故可得 ˆ 2 + a 1 2 ψ 1T M ψ 1 a 1 2 ψ 1T M ψ 1 (11) ψ 1T M y 2 = ψ 1T M ψ
2 1 K k 0 0 0
3.2.5 里兹向量的选择
1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2
和K 2）根据所设里兹向量求 M
Ψ ψ 1 0 .2 0 .4 ψ 2 = 0 .6 0 .8 1 .0 0 .5 1 .0 0 .5 0 .0 1 .0
ziTΨ T MΨz j ziTΨ T KΨz j =0 i j
(e) (e)
考虑到式(7-b)，则上式可改写作
φiT Mφ j φiT Kφ j =0 i j
近似振型向量的正交性证毕。
3.2.5 里兹向量的选择
瑞利-里兹法的成功与否取决于Ritz向量的线性组合是 否很好地近似于固有振型，因此，合理选择Ritz向量是 很重要的。 首先介绍一种依据一些基本概念假设Ritz向量的方法。 考虑到第一振型恒正、第二振型改变一次符号、第三振 型改变两次符号等等，再考虑剪切型结构、剪弯型结构 和弯曲型结构的变形特点，可以对其各振型做出符合概 在有一定计算经验的情况下，还可根据以往经 念的假设。 验对需计算体系作出更合理的假设。 下面以一具体例子加以说明。
Ψ T M Ψ = m 2 .2 M 0 .2 Ψ T K Ψ = k 0 .2 K 0 .2
0 .2 2 .5 0 .2 2 .0
M )z 0 3）求解缩减的特征值问题 ( K
k 0 .2 0 .2 0 .2 2 .2 m 2 .0 0 .2 0 .2 z 1 0 2 .5 z 2
3.2.2 “最佳”近似
为了说明式(2)特征值具有“最佳”性，将式(3)改写为
k K ij

J J
m ij = ψiT Kψ j , M
T
J J
= ψiT Mψ j ,
(4-a) (4-b)
z Kz z T z Mz

将其进行一般化，则不难得到如下一些公式(i从3开始) K y i M ψ i -1 (13-a)
(5-b)
由此可得
k
J j 1
ij
ij z j 0 m

i 1, 2,...,J
(6-a)
将其写成矩阵方程即得縮减自由度的特征方程
M z 0 K
(6-b)
由此可以看出，应用瑞利(Rayleigh)驻值条件导出的式 (6-b)是与运动方程(2)相关的特征值问题，这就证明了本 节“最佳” 近似的含义。
2 0 .8 0 0 4 ( k / m )
0 .0 3 1 7 z2 1 .2 4 0
i =Ψzi i = i φ 4）求近似频率和振型
1 0 .2 8 7 0 k / m
2 0 .8 9 4 7 k / m
0 .3 3 3 8 0 .6 1 3 5 第一阶近似频率的误差小于 1% ，第二阶近似频率的 0 .6 6 7 6 1 .2 2 7 0 1 φ 2 = 0 .8 6 5 4 0 .6 0 0 8 Φ φ 误差小于8%，第一阶近似振型的误差小于 4%，但第二 0 .0 2 5 3 6 1 .0 6 5 阶近似振型的误差太大，可能无法使用。 1 .1 9 3 1 .2 7 1 0
3.2.3 近似频率和振型
(6-b) 按求特征方程的任一方法可得特征对(i,[z]i)， 由特征值 i可得原体系的固有频率近似值 i i (7-a) 把特征向量[z]i代入式(1)中，可得原体系固有振型的近 似向量 i Ψzi φ i 1, 2,...,J (7-b) 这些近似结果的精度对于低阶振型一般好于高阶振型。 因此，实际应用应包括比所需振型数更多的Ritz向量。 近似频率一般是真实固有频率的上限，也即 i i i 1, 2 ,...,J (8) 从上小节所得縮减自由度的特征方程
第3章 实用计算方法
在本科学习基础上补充和加深
第3章 实用计算方法 目录
§3.1 多自由度体系自由度的确定 §3.2 瑞利-里兹法 §3.3 子空间迭代法
§3.1 多自由度体系自由度的确定
在本科内容复习中已经指出体系的自由度取决于确定 质量空间（或平面）位置的独立坐标数。对于图示20层 框架结构，总计有640个结点，静力计算时每结点6个自 由度，因此共有3840个未知位移。 当然，做动力计算时可取与静力分 析相同的模型(例如用单元一致质量矩 阵建立质量矩阵)，但这是完全没有必 要的。 由于楼板在自身平面内刚度“无穷 大”，除非整体属于细长的建筑，一般 不考虑轴向变形影响，此外忽略转动 惯量的惯性作用，这样每层只有3个自 由度，总计60个动力自由度即可。
i i
i 1 j 1
zi z j mij

J J 2 m z k 2 k zm z k j 1 j ij j 1 j ij 0 2 zi zi m m
(5-b)
3.2.2 “最佳”近似
J J z k 2m j 1 z j kij 2k j 1 z j mij 0 2 zi zi m m
M )z 0 (K
3.2.4 近似振型的正交性
上小节所得的近似振型向量具有正交性，现证明如下
i Ψzi φ i 1, 2,...,J
因为[z]i是式(6-b)的特征向量，因此下式成立
z T Kz =0 ziT Mz j i j i j
(7-b) (d)
将式(c)的结果代入上式可得
§3.1 多自由度体系自由都不考虑质量的转 动惯性作用(也即取转动惯量为零)， 这样静力分析的全 部未知位移就可以分成两部分：有和无惯性作用，如果 将位移编号先编有惯性作用后编无惯性作用，则无阻尼 运动方程可写作 式中下标s表示有惯性作用，表示无惯性作用。由此可 进行如下“静力凝聚”， 由矩阵方程第二式可得 再将此式代回矩阵方程第一式，得只有未知量s的运动方 程 K K K 1 K u P t K 1 P t Mu
J i 1 J i 1
k J m z z m i j ij j 1
J
z z k i j ij j 1
因为广义坐标zi(t)是未知的，所以不能由式(4-b)求得瑞 利(Rayleigh)商。 根据特性(2)，为使取驻值，必须 J J z i 1 j 1 zi z j k ij 0 i 1, 2 ,...,J (5-a) J J z z

s
s
s


这就是缩减自由度后的运动方程。
§3.2 瑞利-里兹法
虽然用静力凝聚可以大量縮减自由度，但缩减自由度 数目和寻求低阶固有频率及振型近似解的最通用技术是 瑞利-里兹法，下面分六部分来介绍它。
3.2.1 瑞利-里兹法 3.2.2 “最佳”近似 3.2.3 近似频率和振型 3.2.4 近似振型的正交性 3.2.5 里兹向量的选择 3.2.6 力相关的里兹向量
(B) (12)
将此思路进行一般化
T ˆ ˆ 2 =1，可得第二个里兹向量为 为使 ψ 2 M ψ ˆ2 ψ ψ2= 1 2 T ˆ2 Mψ ˆ2 ψ