第四章1(42) 可靠性试验设计与分析

ˆ0 。 ˆ ，t 利用选代法解上式可得参数估计值 m
三参数的威布尔分布的密度函数和可靠度函数为
− ( t −γ ) m m (t − γ ) m t0 (t − γ ) m −1 e ) ， R (t ) = exp(− t0 t0
f (t , m, t0 , γ ) =
其中 γ 为位置参数。当 γ 为负值时，表示系统中的某些部件开始工作时就已坏了，即这 些部件在储藏期间已失效。γ 为正时，表示有一段不失效的时间，例如滚珠轴承，在这段时 间内其原来的微裂纹向表面传播，但尚未引起疲劳失效。 用似然估计法， 我们可以得到类似两参数威布尔分布的三个超越方程， 同样利用选代法
ln L(θ ) = ∑ ln f (ti ,θ j )
i =1
n
当 L(θ ) 是单调函数时，使 L(θ ) 最大，等价于使 ln L(θ ) 达到最大，只要解下列方程组：
∂ ln L(θ ) =0 ∂θi
θ = (θ1 , θ 2 ,..., θl ), i = 1, 2,..., l
ˆ ,θˆ ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅,θˆ 。 通过求解上述似然方程组，可求出 θ i 的待估参数 θ 1 2 l
2
指数分布给计算带来了很大的方便。 这也是在数理统计和数据处理中常用指数分布的原因之 一。 失效率与时间无关， 这正是前述的浴盆曲线底部的失效模式， 因此指数分布可以用来描 述产品去除早期失效，进入恒定失效率期的一段失效。在这个阶段，尽管产品本身的失效机 理， 如磨损、 老化等还是存在并不断累积， 部分性能可能会退化， 但并不表现出产品的失效， 所以从产品的失效现象来说完全可以忽略。但是，严格具有这样物理背景的情况是不多的， 因此限制了它的使用范围，特别对于那些呈现明显老化、衰变的产品，用指数分布来描述就 有差距了。 对于指数分布， 其待估参数只有一个， 即故障率 λ ， 由前面可知， 其极大似然估计函数：
ˆ 可得到产品的可靠度和平均寿命的估计值分别为 由故障率的估计值 λ
ˆ = e − λˆt ， θˆ = 1 = ∑ t i R
λ
n
θˆ 的估计值与矩法得到的结果一样。
在指数分布场合，可靠寿命 t r 可以从方程 e
− tr θ
= R(tr ) 中解出，其中 λ = 1 ， R (tr ) θ
是可靠度， tr = θ ln(1/ R (tr )) ，即 t r 是平均寿命 θ 的 ln(1/ R (tr )) 倍。 例：一台机器的平均寿命为 15000 小时，假设其寿命服从指数分布，试问：其可靠度分 别为 78.40％和 61.47%时的寿命是多少？ 解：
λ (t ) = λ = Const
指 数 分 布 的 密 度 函 数 为 f (t , λ ) = λe
− λt
， 可 靠 度 函 数 R (t ) = e
− λt
，累积故障概率
F (t ) = 1 − e − λt ，平均寿命 θˆ = 1/ λ 。由于故障率为常数，且又与平均寿命互为倒数，因此
P = n!∏ f (t i ,θ 1 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,θ l )dt i
i =1
n
上述中 n! 和 dt i 为常数，为使其概率达到最大，只需下式达到最大，即得到似然函数：
L(θ ) = ∏ f (ti ,θ j )( j = 1, 2......l )
i =1
n
上式是连乘，为求解方便，对似然函数取对数（称为对数似然函数）
第四章(42) 可靠性试验设计与分析
§4.3 可靠性测定试验的参数估计 可靠性测定试验是为确定可靠性特性而进行的试验,如测定寿命分布及参数,安全余量, 环境适应性及耐久性等. 在寿命分布已知情况下，就可以求出产品的可靠度、故障概率及各种可靠性特征量， 但要确定产品的寿命分布则需要大量试验。 产品寿命分布参数不仅随产品的类型的不同而不 同，甚至随着产品的批次的不同而有所变动。由于在实际中允许的试验次数是有限的，也就 是只取部分产品（样本）的试验参数来估计产品的可靠性。将样本试验得到的有限个数据经 数理统计推断，得出产品的寿命特征参数的估计值。 用样本观测值估计总体参数值的过程称为参数估计。 §4.3.1 分布参数的点估计 点估计是用样本观测值对未知参数给出接近真值的一个估计数值。用于估计总体参数 的统计量是样本的函数，称为点估计量，用样本观测值对点估计量计算的结果叫估计值。 当产品的寿命分布类型已知，而分布参数未知时，可根据子样寿命数据 t1 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, t n 对 寿命分布中的参数进行估计的方法称为分布参数的点估计。不同的点估计方法给出的点估 计值不同，不同样本的观察值得到的点估计也不同。 点估计是一个随机变量，它本身也有数学期望值和标准差。估计方法有很多，如矩法， 极大似然法，图估法，最小二乘法，最好线性无偏估计等方法。 一、矩法 以子样的均值、方差作为总体期望值、方差的估计。 如抽取 n 个样本进行寿命试验，其寿命分布为 t1 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, t n ，子样的均值 t 作为总体分 布的数学期望 E (T ) = θ 的估计，子样的方差 S 作为总体方差 D (T ) = σ 的估计，因
1
数 θ i , i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, l 作为估计值，这就是极大似然估计值（通过对样本的考察，认为待估的 参数最象是取什么值作为对参数的估计） 。 设总体分布具有故障概率密度函数 f (t ,θ 1 ,θ 2 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅,θ l ) ， 其中 θ j , j = 1, 2, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, l 为待估 参数。若从总体中抽 n 个样本进行寿命试验，得到寿命数据 t1 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, t n ，假设第一个故障样 本在 (t1 , t1 + dt1 ) 区间内，第二个在 (t 2 , t 2 + dt 2 ) 内故障，……，第 n 个样本在 (t n , t n + dt n ) 区间内故障，则试验中故障出现的概率为：
t0.784 = θ ln(1/ R (t0.784 )) = 15000 ln(1/ 0.784) = 3650h t0.6147 = θ ln(1/ R (t0.6147 )) = 15000 ln(1/ 0.6147) = 7299h
如果机器每天平均工作 2h,每年 365 天，5 年共 3650h,说明 78.4%是这台机器 5 年工作的可 靠度。 (2).威布尔分布 威布尔分布是可靠性中常用的等参分布，它是由瑞典的 W. 威布尔首先提出的，首先用 正态分布需两个参数 μ 和 于处理材料疲劳寿命等问题。 负指数分布只需一个参数 λ 来描述，
2
2
此总体参数的估计值：
θˆ = t = ∑ i n
t
ˆ2 = S2 = ∑ σ
(t i − t ) 2
n
2
例：假设一产品的寿命分布服从正态分布 N ( μ , σ ) ，现随机抽取 4 台做寿命试验，得 到寿命数据为 1502h,1453h,1369h,1650h,求正态分布的待估参数。 解：
μ = θˆ = (1502h + 1253h + 1369h + 1650h) / 4 = 1493h
m n n m −1 L(t , m, t 0 ) = [ ] ∏ t i e t 0 i =1
∑ tim
i =1
n
t0
取对数： ln L(m, t 0 ) = n(ln m − ln t 0 ) + (m − 1) 解似然方程，得如下超越方程组：
∑ ln t
i =1
n
i
−
∑t
i =1
n
m i
t0
1 ⎧ ∂ ln L(m, t 0 ) n = + ∑ ln t i − ∑ t im ln t i = 0 ⎪ ∂m m t0 ⎪ ⎨ ⎪ ∂ ln L(m, t 0 ) = − n + 1 tm = 0 2 ∑ i ⎪ ∂ t t t 0 0 i ⎩
−λ t L(λ ) = λe −λt1 ⋅ λe −λt2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅λe −λtn = λn e ∑ i
对其取对数
ln L(λ ) = n ln λ − λ ∑ t i
ˆ 解似然方程，求出待估的故障率 λ
d ln L(λ ) n = − ∑ ti = 0 λ dλ ˆ= n λ ∑ ti
4.14 威布尔分布的密度函数
4.15 威布尔分布的函数
二参数的威布尔分布的密度函数和可靠度函数为：
f (t , m, t0 ) =
它有两个待估计参数：
m m−1 −t m t0 tm t e ， R (t ) = exp(− ) t0 t0
t 0 (> 0) 是尺度参数
m(> 0) 是形状参数
当 m < 1 ，早期失效较多 m = 1 ，威布尔即为指数分布，即指数分布是一种特殊的威布尔分布 m > 1 ，密度是呈单峰状 m ≥ 3 ，渐呈对称状，近似正态分布。 一般 m 取 0.5 ~ 5 之间 有时用 t0 = η 来表示， η 为特征寿命，此时寿命密度函数的表达式为
1、完全寿命下的极大似然估计 完全寿命试验就是所有样本均试验到故障而得到的样本观测值。 其极大似然估计称为完 全寿命试验下的极大似然估计。 假设从总体中抽取 n 个样本进行寿命试验， 得到试验寿命数 据 t1 , t 2 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅, t n ，这些数据是服从某种分布。 下边是常见的完全寿命试验分布参数的极大似然估计。 (1).指数分布 指数分布的故障率函数是不随时间而变化的连续寿命分布。即
f (μ ,σ ) =
待估参数： μ ， σ
2
1 1 ln t − μ 2 exp{− [ ]} 2 σ 2πσ t
图 4.16 对数正态分布函数(a)和密度函数(b)的图形 其似然函数：
n
L( μ , σ 2 ) = ∏
i =1
1 ln t − μ 2 exp[− ( i ) ] 2 σ 2πσ ti 1
2 2 2 ˆ2 = S2 = ⎡ σ ⎣(1502 − 1493) + (1253 − 1493) + .....⎤ ⎦ / 4 = 1047h
二、极大似然估计（MLE——Maximum Likelihood Estimation） 极大似然估计法是一种重要的参数估计方法。其基本思想：样本来自总体，如果一次试 验中得到样本的观察值 t1 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, t n ，取一个使样本观察值结果出现概率达到最大时的待估参
ˆ0 ， γˆ 。 ˆ ，t 可解得参数估计值 m
图 4. 16 t0 = 1, m = 2, γ 值不同时的威布尔分布曲线
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(3) 对数正态分布 有不少产品的失效是由于微小因素积累而造成的，如材料的磨损，弹性元件的疲劳，部 件的断裂，由于暴露而造成的腐蚀等失效机理，是在一定的应力下，随时间的延长，微小因 素逐渐增加而使产品最后失效，这些产品的寿命都服从对数正态分布。其密度函数：
σ 来描述，而威布尔分布需要二或三个参数描述。
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威布尔分布， 许多电子和机械元件与设备的寿命都是威布尔分布， 它可从最弱环模型导 出， 最弱环模型认为故障发生在产品的构成因素中最弱部位， 这相当于构成链条的各个环节 中最弱环节的寿命就是整个链条的寿命， 假设各环节的分布是相同的， 那么链条的寿命就服 从威布尔分布。 大量实践证明， 凡是因为某一局部失效或故障就会引起全局机能停止的元件、 器件、设备等的寿命均可看作或近似看作威布尔分布，金属材料（如轴承）的寿命分布就是 威布尔分布。威布尔分布适用的范围相当宽，至今已成为有代表性的寿命模型。凡是一个串 联系统，如果每一个元件的寿命分布相同，而每一个元件的失效都相互独立，那么系统的寿 命决定于寿命最小的元件。这样系统的寿命均可认为是威布尔分布。
m
f (t , m,η ) = (m / η )(t / η ) m −1 e − (t /η )
其可靠Fra Baidu bibliotek函数为
m
R (t ) = e − (t /η )
累积失效概率
m
F (t ) = 1 − e − (t /η )
平均寿命
m
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θ = ηΓ(1/ m + 1)
其中 Γ(1/ m + 1) 是伽马函数，可查表求得。 威布尔分布的似然函数为：
取对数：
2 n ln t i2 ∑ (ln t i − μ ) n n − ln L( μ , σ 2 ) = − ln 2π − ln σ 2 − 2 2 2 2σ 2