研究生数字信号处理作业1

13级研究生现代数字信号处理作业（I）

完成人1：姓名（学号）

完成人2：姓名（学号）

完成人3：姓名（学号）

完成人4：姓名（学号）

完成人5：姓名（学号）

XXXX年XX月XX日

13级研究生现代数字信号处理作业题（I ）

一、已知模拟信号,k m ，现以采样频率500s f Hz =对其进行均匀采样，得到离散时间信号

()x n 。假设从0t =时刻开始采样，共采样N 个点，分析以下问题： （1）写出()x n 的表达式。

采样周期： s T = ()x n 的表达式为：

(x n

整理得：

（2）判断()x n 是否为周期序列，如果是周期序列，确定其最小周期。 设信号周期为T ，则根据周期性定义有关系：

带入()x n 表达式得：

0.4 0.4

其中k 和m 取正整数，最终算得最小周期50T =(s) （3）如果使用FFT 对()x n 进行频谱分析，并能分辨出()a x t 中的频率成份，请确定最小的N 值是多少？ 由公式1s s f f k k N NT =

=可知FFT 最小频率分辨力为1

s s

f f N NT ∆==

，根据题目知 10f Hz ∆=，代入公式解得50N =。

（4）写出Matlab 环境下，基于FFT 算法对该信号进行频谱分析的程序，参数使用（3）中确定的参数，要求绘制出信号的时域图形和频谱图。 程序：

clear all ; close all ;

fs=500; N=50; t=(0:N-1)*(1./fs); n=0:N-1; xn=cos(2.*pi.*100.*t)+cos(2.*pi.*110.*t); subplot(2,1,1) stem(n,xn,'fill');

xlim([0,60]);

xlabel('n'); ylabel('X(n)'); title('离散序列'); grid on ; M=50; n=0:M-1; f=500*n/M; Xk=fft(xn,M);

subplot(2,1,2)

stem(f,abs(Xk),'fill'); xlim([0,250]);

xlabel('f'); ylabel('|X(f)| ^2'); title('离散序列频谱') grid on ;

图形：

（5）在采样点数N 不变的情况下，通过补零可以增大()x n 的长度，补零增长后再基于FFT 进行频谱分析，谱分析的分辨能力是否有所提高，为什么？

信号的补零，不会引入更多的信息，因此只能提高DFT 分析的频谱密度，而无法提高DFT 分析的频谱分辨力，提高频谱分辨力在采样频率一定的情况下，只能通过增加对信号的采样点数来实现。

二、关于相关运算，分析下面的问题

（1）写出序列()x n 与()y n 的相关运算()xy r m 的计算公式，分析其与卷积运算之间的关系。

定义()x n 与()y n 的相关运算()xy r m 的计算公式如下：

()()()()()xy n n r m x n y n m x n m y n ∞

∞

=-∞

=-∞

=

-=+∑∑

定义()x n 与()y n 的卷积计算公式如下：

()()()()k x n y n x k y n k ∞

=-∞

*=

-∑

故推得两者关系如下：

()()()xy r m x m y m =*-

（2）写出序列()x n 的自相关序列()xx r m 的计算公式，并用()x n 的傅立叶变换()j X e ω

表示

()xx r m 的傅立叶变换()j R e ω。

已知()x m 的傅立叶变换为()j X e ω

，则由傅立叶变换性质知()x m -的傅立叶变换为

()j X e ω-，又有（1）知()()()xx r m x m x m =*-，则由时域卷积定理得：

2

()()()

()()

()

j j j j j j R e X e X e X e X e X e ωωωωω

ω-*=== （3）若2()cos(

)n

x n N

π=，求其自相关序列，并判断其自相关序列的周期。 将()x n 代入自相关函数计算公式，由积化和差知识化简得：

22()1422()cos()cos()cos()cos()2xx n n n n m n m m

r m N N N N N πππππ∞

∞=-∞

=-∞-==-+∑∑

()xx r m 是关于m 的函数，故()xx r m 周期为T N =。

三、关于希尔伯特变换，分析以下问题： （1）希尔伯特变换的定义；

给定一连续时间信号 f(n) ，其希尔伯特变换定义为：

[]1

()1()1

()()()f f t f t H f t d d x t t t ττττπτπτπ∧

∞

∞-∞-∞-==

==*-⎰⎰ 给定一离散时间信号 x(n) ，其希尔伯特变换定义为：

[]2

(21)

()()21

x n m x n H x n m π+∞

∧

-∞--==

+∑ （2）希尔伯特变换都有哪些主要性质；

1、希尔伯特变换保持能量守恒，即信号通过希尔伯特变换器后，信号频谱的幅度不发生变化。

2、()f t 与()f t ∧

互为奇偶函数。 3、()f t 与()f t ∧相互正交。

4、若()x t ,1()x t ,2()x t 的希尔伯特变换分别是()x t ∧

,1()x t ∧

,2()x t ∧

，且12()()()x t x t x t =*，则：

1212()()()()()x t x t x t x t x t ∧∧∧

=*=*

（3）何为解析信号，其频谱具有什么样的特征？ 给定一连续时间信号()f t ，其解析信号定义为：

()()()z t f t j f t ∧

=+

定义()f t 的希尔伯特变换()f t ∧

，与之对应的傅立叶变换分别为()F j Ω和()F j ∧

Ω。 有希尔伯特变换定义知：

()0

()()0jF j F j jF j ∧

ΩΩ<⎧Ω=⎨-ΩΩ>⎩

则解析信号()z t 的频谱函数()Z j Ω计算式如下：

2()0

()00F j Z j ΩΩ>⎧Ω=⎨Ω<⎩

故解析信号的信号频谱仅含正频率成分，利用这一特征能降低信号的抽样率。

四、若窄带信号的最高频率是5KHz ，最低频率为4KHz ，对其进行采样，试确定最小的采样频率？如果信号的最低频率是3.7KHz ，最小的采样频率应取多少。

1、窄带信号满足()H B H L f kf k f f ==-，其中k 为正整数，故最小采样频率可取

22s B f f kHz ==

2、信号最低频率改为3.7Hz 后，不再满足()H B H L f kf k f f ==-条件。 由窄带信号采样定理，采样频率s f 满足条件

1

H L s f f

f N N ≤≤-时，采样后频域不会发生频率混叠，其中N 取大于2的正整数，由此算得max 3N =，s f 最小值取10

3

kHz 。

五、总结对正弦信号进行采样应该注意的问题。

1、信号相位已知时，可以以2s m f f =进行采样。