线性代数习题3.4 向量组的秩
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答完整版线性代数习题及解答HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A ．??A B 可逆，且其逆为-1-1A B B ．??A B 不可逆 C ．??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???B AD ．??A B 可逆，且其逆为-1-1??A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
向量组 的秩
0 0
1 2 3
21 20 3 0
r3
3 2
r2
r2
(
1 2
)
1 0 0
1 1 0
2 1
10 00
因为 R( A) 2 ,所以向量组1,2 ,3,4的秩为2。A 的一个最
高阶非零子式为
11 D 2 0
20
由此可知, 1,2 是向量组1,2 ,3,4 的一个极大无关组。
设向量组A 满足:
矩阵的秩=矩阵列向量组的秩(称为矩阵的列秩)=矩阵 行向量组的秩(称为矩阵的行秩)
证
设 (1,2 , ,n ), R() r ,并设r 阶子式Dr≠0。由Dr
≠0知Dr所在的r 列线性无关;又由A 中所有r+1阶子式均为零知， A 中任意r+1个列向量都线性相关。因此Dr 所在的r 列是A 列 向量组的一个极大无关组,所以列向量组的秩等于r。
设向量组 0 :1,2 , ,r 是向量组A 的一个部分组,且满足
(1)向量组A0 线性无关; (2)向量组A 的任一向量都能由向量组A0 线性表示, 那么向量组A0便是向量组A 的一个极大无关组。
推论
例4 设齐次线性方程组
x1 2x2 x3 2x4 0 2x1 3x2 x4 0 x1 x2 5x3 7x4 0
等价。
(2)设向量组A 有两个极大无关组,分别为 1,2 , ,s 及 1, 2 , , t 。由(1)知,向量组 1,2 , ,s 与向量组A 等价, 向量组A 也与向量组 1, 2 , , t 等价,由等价的传递性得,向 量组1,2 , ,s 与向量组 1, 2 , , t 等价。
再证明 s=t
1,2 , ,与n
1, 2 , ,有n
3-4向量的秩
例1 : R 中T1 : {e1 , e2 , e3 },T2 : {e1 , e2 , e3 , } 其中 [b1 , b2 , b3 ] ei , 则T1 , T2等价 .
定理3.3 : 设R 中T1 : {1 , 2 , , 2 , s }, 若T1可由T2线性表示， 且r s，则向量组T1线性相关。
解 对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵
1 0 0 0 1 2 1 4 1 1 1 0 ， 0 0 1 3 0 0 0 0
A
初等行变换
~
知r ( A) 3，
故列向量组的极大无关 组含 3个向量.
而三个非零行的首个非 零元在1、 2、 4 三列，
故 a1 , a2 , a4 ,为列向量组的一个极大无关组.
事实上
2 1 1 1 （a1 , a 2 , a4 ) 1 1 4 6 2 3 6 7
初等行变换
~
1 0 0 0
1 1 1 1 0 1 0 0
则 1 , 2 ,, m线性相关。
如 r (e1 , e2 ,, en ) n, 故e1 , e2 ,, en线性无关.
再如, 若r (1 , 2 , 3 ) 2 3,
则1 , 2 , 3线性相关.
三、矩阵与向量组秩的关系
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
二、向量组的极大无关组
向量组的秩例题
向量组的秩例题向量组的秩是数学中一个重要的概念，它可以提供有关一组向量的结构和属性的信息。
因此，在线性代数中，学习和理解向量组的秩是必不可少的。
本文试图通过分析给出的例题来解释向量组的秩，以便为学习者更好地掌握这一概念。
首先，需要界定向量组的秩的概念。
简单的说，向量组的秩是该向量组中的最大线性无关矢量的维数。
若向量组中存在一组相等的非零向量，则称这组向量为线性关联向量，此时，这组向量所构成的空间称为子空间。
如果向量组中没有相等的非零向量，则称这组向量为矢量无关向量，而向量组构成的空间则称为无关空间。
要明白向量组的秩，最好的方法就是从实用的角度出发，从一些例题中理解这一概念。
下面给出一组由三个向量组成的例子：第一组：v1=(1,2,3)，v2=(-2,4,6)，v3=(3,-6,9)这3个向量形成的向量组的秩可以用行线性无关性方法来计算。
考虑到，v2可以由v1和v3线性组合而成，即v2=2v1-v3，因此，这三个向量形成的向量组的秩为2。
第二组：v1=(1,2,3,4)，v2=(2,3,4,5)，v3=(3,4,5,6),v4=(4,5,6,7)这四个向量形成的向量组的秩也可以用行线性无关性方法来计算。
考虑到，v2可以由v1, v3和v4线性组合而成，即v2=v1+v3-v4，因此，这四个向量形成的向量组的秩为3。
第三组：v1=(1,2,3,4)，v2=(1,2,3,4)，v3=(3,4,5,6),v4=(4,5,6,7)这四个向量形成的向量组的秩也可以用行线性无关性方法来计算。
考虑到，v2等于v1，即v2=v1，因此，这四个向量形成的向量组的秩为3。
由上述例题可知，向量组的秩由其中矢量无关性情况决定，它能揭示出给定向量组所构成的空间的结构特征。
换言之，向量组的秩可以帮助理解给定向量组的维度，从而获得关于该向量组的一般性知识。
此外，向量组的秩还可以用来解决线性方程组的解的数目。
设线性方程组具有m个未知数，如果系数矩阵的秩等于m，则线性方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小于m，则线性方程组有无数解；如果系数矩阵的秩大于m，则线性方程组无解。
线性代数向量组的秩
512 24.
例2 求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将 其余向量用此极大线性无关组线性表示
1 1 5 1
1
113,2
131,3
892,4
713.
解 1 1 5 1 1 1 5 1
1 1 2
3 1
1 3
8 9
3 1 7
0
0 0
2 2 4
7 7 14
r(A)r(B). AP1Br(A)r(B)
或用“初等变换不改变矩阵的秩”来证明。
例3 设 123 s,213 s, , s12 s1， 证 明 ： 向 量 组 1,2, ,s 与 向 量 组 1,2, ,s有 相 同 的 秩 。 (s2)
证 (1 ,2 , ,s) (1 ,2 , ,n )A ,
将向量组的秩的计算，转化为矩阵的秩的计算。
基本问题：
给定一个向量组，求它的一个极大无关组，并 将其余向量用这个极大无关组线性表示。
例1 设向量组
1
1
0
1
2
10 01,21 21,31 11,41 2 3,54 61,
求一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组
线性表示.
解
1 1 0 1 2
由等价的传递性可知, 一个向量组的任两个极大 无关组彼此等价, 由前面性质6可知,
向(6)量两组个任线意性两无个关极且大彼无此关等组价所的包向含量的组向，量必个含数有相相同同。 定个义数的向向量量组. 的任一极大无关组所包含的向量的个数 称为向量组的秩。
规定：只含零向量的向量组的秩为零. 性质：
(1) 若向量组(Ⅰ)能被向量组(Ⅱ)线性表出, 则秩(Ⅰ) 秩(Ⅱ).
10 3
det1T(,2T,3T) 0 1 1 1 0 ,
线性代数课本第三章习题详细答案
第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。
3-4向量组的秩
~
1 −2 1 4 1 −1 1 0 0 0 2 − 6 0 0 0 0
知R( A) = 3， 故列向量组的最大无关 组含3个向量.
2 4 三列， 而三个非零行的非零首 元在 1、、三列， 故 a1 , a 2 , a4 , 为列向量组的一个最大 无关组 .
1 0 A~ 0 0 1 −2 1 4 r −r 1 2 1 −1 1 0 r −r 2 3 0 0 1 −3 0 0 0 0
1 0 0 3 0 0 1 − 3 0 0 0 0
即得
a3 = −a1 − a2 , a5 = 4a1 + 3a2 − 3a4
例3
α1 = (2, 1, 3, − 1) α 2 = (3, − 1, 2, 0)
α 3 = (1, 3, 4, − 2) α 4 = (4, − 3, 1, 1)
（1）求向量组的秩； 求向量组的秩； 求向量组的一个极大无关组. （2）求向量组的一个极大无关组.
′ ′ ′ ′ 仅施以初等行变换： 【解】对矩阵A = (α1 α 2 α 3 α 4 ) 仅施以初等行变换：
2 1 A= 3 −1 3 −1 2 0 1 3 4 −2
2 − 1 − 1 1 2 1 1 1 1 − 2 1 4 r1 ↔ r2 2 − 1 A= 4 − 6 4 − 6 2 − 2 4 3 6 − 9 7 9 3 6 r3 − 2r2 1 1 − 2 1 4 r3 × (− 1 ) 1 4 0 0 − 3 3 −1 − 6 r2 − 2r1 r2 ↔ r3 0 0 −4 4 −4 0 r4 − 3r1 0 3 − 3 4 − 3 r4 + r3 0
《向量组的秩》课件
若向量组A可由向量组B线性表示，则A的秩不大于B 的秩。
向量组的秩的推论
推论1
若向量组A线性相关，则A的秩小于A中向量的 个数。
推论2
若向量组A线性无关，则A的秩等于A中向量的 个数。
推论3
若矩阵A的行（或列）向量线性相关，则A的秩小于其行（或列）向量的个数。
向量组的秩的证明方法
方法1
01
最多的线性无关组。
向量组的秩的性质
如果向量组a₁, a₂, ..., an线性 相关，则其秩小于向量的个数 ；反之，如果向量组a₁, a₂, ..., an线性无关，则其秩等于向
量的个数。
向量组秩的性质
性质1
向量组的秩是唯一的。
性质2
如果向量组a₁, a₂, ..., an可以由向量组b₁, b₂, ..., bn线性表示，那么向量组a₁, a₂, ..., an 的秩不大于向量组b₁, b₂, ..., bn的秩。
线性相关
如果存在不全为零的数k₁, k₂, ..., kn，使得k₁a₁ + k₂a₂ + ... + knan = 0，则称向 量组a₁, a₂, ..., an线性相关。
向量组的秩的定义
向量组的秩
向量组中线性无关向量的个数 称为向量组的秩。
最大线性无关组
在给定向量组中，选取的线性 无关向量组中含有的向量个数
向量组的秩在求解线性方程组中的应用
通过判断向量组的秩，可以确定线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解，从而选择合适的求解方 法。
在矩阵分解中的应用
向量组的秩与矩阵分解的关系
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。通过矩阵分解，可以 将一个复杂的矩阵表示为几个简单的、易于处理的矩阵的乘积。
向量组的秩
， 10
,
0 0
和向量组
1 0
， 10
，11
0 0 1
0 0 1
都是向量组
1 0
， 10 ,
0 0
，11
最大无关组。
0 0 1 1
由定义不难得出以下结论：
1.如果一个向量组的秩是 r ,那么此向量组的任意 r 个线性无关
的向量都可以是它的一个最大无关组。由此即知，一个向量组 的最大无关组不唯一。 2.向量组线性无关的充分必要条件是向量组的秩等于该向量组 所含向量的个数；向量组线性相关的充分必要条件是向量组的 秩小于该向量组所含向量的个数。
1
2 0
从而可知 R( A) 3 即向量组 1,2 ,3,4 的秩等于3 。
又因为向量组 1,2 ,4 构成的矩阵经初等行变换可以变成
1 1 1
1 1 1
r2 2r1
1 1 1
(1
,
2
,
4
)
2 2 3
1 3 6
1 61
rr4332rr11
0 0 0
3 5 3
1 3 3
实用线性代数
向量组的秩
1.1 向量组的最大无关组与秩 1.2 向量组的秩与矩阵的秩 1.3 向量空间的基与维数
1.1 向量组的最大无关组与秩
定定义义3.31.010 如果在向量组 A :1,2, 1, 2 ,, r 满足条件：
⑴ 向量组 1,2 ,,r 线性无关，
,n 中有 r 个向量
⑵ 向量组A中任意 r 1个向量（如果存在的话）都线性相关。
例如 向量组
1
A
:
a1
0
,
0
0
a2
2023大学_大学线性代数课后答案
2023大学线性代数课后答案大学线性代数内容简介第一章矩阵与行列式1.0 预备知识1.0.1 集合1.0.2 数集1.0.3 数域1.0.4 求和号1.1 线性型和矩阵概念的引入1.1.1 矩阵的定义1.1.2 常用矩阵1.2 矩阵的运算1.2.1 矩阵的线性运算1.2.2 矩阵的乘法1.2.3 方阵的幂与方阵多项式1.3 方阵的行列式1.3.1 行列式的递归定义1.3.2 排列1.3.3 行列式的等价定义1.4 行列式的'基本性质1.4.1 转置行列式1.4.2 行线性性1.4.3 行列式的初等变换1.5 Laplace定理1.5.1 子式余子式代数余子式1.5.2 Laplace定理1.5.3 行列式的按行展开与按列展开 1.5.4 方阵乘积的行列式1.6 行列式的计算1.6.1 三角化1.6.2 降阶法与镶边法1.6.3 归纳与递推1.7 可逆矩阵1.7.1 可逆矩阵1.7.2 矩阵可逆的条件1.7.3 逆矩阵的求法1.8 分块矩阵1.8.1 矩阵的分块1.8.2 分块矩阵的运算1.8.3 分块对角矩阵习题一第二章线性方程组理论2.1 解线性方程组的消元法2.1.1 线性方程组的矩阵形式2.1.2 线性方程组的初等变换2.1.3 梯矩阵和简化梯矩阵2. 2向量空间Kn2.2.1 向量空间Kn及其运算性质2.2.2 子空间2.3 向量组的秩2.3.1 线性组合、线性方程组的向量形式 2.3.2 线性相关与线性无关2.3.3 极大线性无关组、向量组的秩2.4 矩阵的相抵标准形2.4.1 初等矩阵和矩阵的初等变换2.4.2 矩阵的秩2.5 Cramer法则2.5.1 Cramer法则2.5.2 求逆矩阵的初等变换法2.5.3 矩阵方程2.6 线性方程组解的结构2.6.1 线性方程组相容性判别准则2.6.2 齐次线性方程组的解空间2.6.3 非齐次线性方程组解的结构2.7 分块矩阵的初等变换2.7.1 分块矩阵的初等变换2.7.2 分块初等矩阵2.7.3 行列式和矩阵计算中的分块技巧习题二第三章相似矩阵3.1 方阵的特征值与特征向量3.1.1 方阵的特征值与特征向量3.1.2 特征值与特征向量的求法3.1.3 特征向量的性质3.2.1 矩阵相似的概念3.2.2 相似矩阵的性质3.3 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.1 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.2 特征值的代数重数和几何重数3.3.3 矩阵Jordan标准形3.4 方阵的最小多项式3.4.1 方阵的化零多项式3.4.2 最小多项式3.4.3 最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件 3.5 相似标准形的若干简单应用3.5.1 行列式求值与方阵求幂3.5.2 求与给定方阵可交换的方阵习题三第四章二次型与对称矩阵4.1 二次型及其标准形4.1.1 二次型及其矩阵表示4.1.2 二次型的标准形4.1.3 实对称矩阵的合同标准形4.2 惯性定理与二次型分类4.2.1 惯性定理4.2.2 二次型的分类4.3 正定二次型4.3.1 正定二次型4.3.2 二次型正定性判别法4.4 正交向量组与正交矩阵4.4.1 向量的内积4.4.2 正交向量组4.4.3 正交矩阵4.5 实对称矩阵的正交相似标准形4.5.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 4.5.2 实对称矩阵的正交相似标准形 4.5.3 用正交替换化二次型为标准形习题四第五章线性空间与线性变换5.1 线性空间的概念5.1.1 线性空间的定义5.1.2 线性空间的简单性质5.1.3 线性子空间5.2 线性空间的同构5.2.1 基底，维数与坐标5.2.2 基变换与坐标变换5.2.3 线性空间的同构5.3 欧氏空间5.3.1 欧氏空间的定义与基本性质5.3.2 标准正交基5.3.3 欧氏空间的同构5.4 线性变换5.4.1 线性变换的概念与运算5.4.2 线性变换的性质5.5 线性变换的矩阵5.5.1 线性变换在给定基下的矩阵5.5.2 线性变换在不同基下矩阵间的关系习题五索引参考文献大学线性代数目录《大学数学线性代数》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材“大学数学”系列教材之一，秉承上海交通大学数学基础课程“基础厚、要求严、重实践”的特点编写而成。
大学线性代数：向量组的秩
10
例：设 α1 = ( 2,1, 2, 2, −4), α 2 = (1,1, −1, 0, 2), α 3 = (0,1, 2,1, −1),
α 4 = ( −1, −1, −1, −1,1), α 5 = (1, 2,1,1,1).
求秩和一个极大线性无关组。
解：转置后排列为矩阵得 ⎛ 2 1 0 ⎜ ⎜ 1 1 1 ⎜ 2 −1 2 ⎜ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 ⎝ ⎛1 ⎜ r3 ↔ r5 ⎜0 r2 ↔ r4 ⎯⎯⎯ →⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ −1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎟ ⎜ −1 2 ⎟ ⎜ 2 1 0 r1 ↔ r2 → ⎜ 2 −1 2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ r − 2 r ⎜ 0 3 2 r4 + r1 →⎜0 2 1 −1 3 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 −2 1 −3 ⎟ ⎜0 ⎜0 −2 2 0 0 ⎟ ⎠ ⎝ −1 2 ⎞ ⎛1 1 r5 + 2 r4 ⎟ 4 − r3 ⎜ −1 1 ⎟ r r3 − r2 ⎜ 0 −1 r2 − 2 r1 → ⎜ 0 −2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜0 1 ⎜0 2 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 3 −1 3 ⎟ → ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 0 −3 1 −3 ⎟ ⎜ 0 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎠ ⎝0 0 1 −1 2 ⎞ ⎟ − 2 1 −3 ⎟ 2 0 0⎟ ⎟ −1 0 0 ⎟ 1 −1 3 ⎟ ⎠ 1 −1 2 ⎞ ⎟ −1 0 0 ⎟ 3 −1 3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 0 0⎟ ⎠
线性代数-向量组的秩
= =
0, 0,
x1 − x2 − 5x3 + 7x4 = 0,
的全体解向量构成的向量组为S,
求S的秩.
解:先解方程,把系数矩阵A化成行最简形:
1 A = 21来自2 3 −11 0 −5
− 2 −1 7
r2 − 2r1 r3 − r1
1 0 0
2 −1 −3
1 −2 −6
− 2 3 9
r1 + 2r2 r3 − 3r2 r2 × (−1)
因B0组能由 B组线性表示， B组能由 A组线性 表示， A组能由 A0组线性表示 .
故B0组能由 A0组线性表示 . 即存在系数矩阵 K sr = (kij ),使得
k11 k1r
(b1 ,,br ) = (a1 ,,as )
ks1 ksr
x1
如果r > s，则方程组 K sr = 0 (简记为Kx = 0)
r3 − 5r2
~
r4 − 2r2
− 1 1 − 5 3 0 1 − 3 2
0 0
0 0
0 0
0 0
r1r1÷~−(−r21)
1 0 2 − 1
0 1 − 3
0 0
0 0
0 0
2 0 0
.
1 0 2 − 1
初等行变换
(a1 ,a2 ,b1 ,b2 ) ~
0
0 0
1 0 0
−3 0 0
二、矩阵与向量组秩的关系
定理１矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于 它的行向量组的秩 . 证 设A = (a1, a2 ,, am )，R( A) = r,并设r阶子式 Dr ≠ 0.根据4.2定理2由Dr ≠ 0知所在的r列线性无 关；又由A中所有r + 1阶子式均为零，知 A中任意 r + 1个列向量都线性相关 . 因此Dr所在的r列是A 的列向量的一个最大无 关组，所以列向量组的秩 等于r.类似可证A的行向量组的秩也等于 R( A).
线性代数11-向量组的秩
1
1 1 1 8 0 4 6 2
因此这就是 A 的一个最高阶非零子式．
结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩
是唯一的．
2 1 1 1 r 1 1 1 0 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 3 6 7 0
具体地说，就是：
若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭） 若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭） 那么就称集合 V 为向量空间．
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
解：
1 0 2 1 0 2 r 1 2 4 ~ 0 2 2 1 5 7 0 0 0
可见 r(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关，
同时， r(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关，
无关组及 Rn 的秩．
1 0 解： n 阶单位矩阵 I e1 , e2 , , en 0 0 0 1 0 的列向 0 1
量组是 Rn 的一个最大无关组，Rn 的秩等于n ．
1 0 思考：上三角形矩阵 A 0 1 1 1 1 的列向量组是 Rn 的 0 1
从而 a1, a2 是向量组 a1, a2, a3 的一个最大无关组． 事实上， a1, a3 和 a2, a3 也是最大无关组．
最大无关组的等价定义
结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的． 定义：设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 ① 向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关； ② 向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有 r + 1个向量的 话）都线性相关； ② 向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示； 那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组．
线性代数课件3-4矩阵秩与向量组秩的关系
1
其 中 i a i 1 , a i 2 , a in 是 A的 第 i 行 构 成 的 向 量
i= 1 ,2 , m
将该矩阵按列分块得到
A 1
a1 j a2 j 其中 j a 是 A 的 第 j列 构 成 的 mj
3 2 0 0
10 3 0 0
2 3 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
3 2 0 0
2 3 B 0 0
所以
r ( A ) r (B ) 2
故列向量组的 秩为2，即列向量 组的极大无关组含有2个向量，显然，
1 0 0 0
4 7 22 15
5 14 44 30
10 21 66 45
1 0 0 0
4 7 22 15
5 14 44 30
10 1 r2 21 7 1 1 r3 , r 66 22 15 45
2
n
向量
j= 1 ,2 , n
1 , m 称为A的行向量组 1， n 称为A的列向量组
定义9 矩阵A的行向量组的秩成为A 的行秩，A的列向量组的秩称为A的 列秩。 矩阵A的秩与其行秩和列秩有 什么关系呢？
先看一个例子
课后作业： P147 ：8（4）
并试用数学软件 MATLAB来解次题
1 0 B 0 0 0 0 1 0 0 0 a1 a2 0 0 0 0 0 1 0 0 b1 b2 b3 0 0 0 0 0 1 0
此矩阵为具有4个非零行的 B-型矩阵
RB 4
向量组的秩-例题选讲
A
14
证 因为向量组(I)可由(II) 线性表示, 故有
1k111k212 ks1s
r k1r1k2r2 ksrs
k11 k12
k1r
(1 ,2 , ,r) (1 ,2 , ,s) k 2 1 k 2 2
k
2r
(I)
(II)
k
s1
k s2
k sr
r r(1,2, ,r)r(BK) r ( K ) s
复习线性相关性的判定理论
单个向量组成的向量组 : (1)若 = 0, 则线性相关; (2)若 0, 则线性无关. 两个向量组成的向量组, :
(1)若对应分量成比例,则线性相关; (2)若对应分量不成比例,则线性无关.
A
1
设有n维向量组成的向量组:1,2,…,m
(1)包含0向量线性相关.
(m2)
(2) 1,2,4 是该向量组的一个极大无关组,
( 1,3,4 和 2,3也,是4 ).
(3) 31204 A
27
总结:向量组的有关结论
一、理解A=BC 二、 S的极大无关组 (1)定义
(2)S,则 可被极大无关组线表,且表法唯一
(3) S与极大无关组; 极大无关组～极大无关组 (4) S的各极大无关组含向量个数相等 --秩
定理4.4 r(An×m)=A的列向量组 1,2,,m的秩.
分析 记r(A)=r,往证 1,2, 的,秩m 为r, 即
只要证 1,2, 的,极m大无关组含r个向量.
证 r(A)= r
A存在r阶子式 Dr ≠0
记 Dr 对应的r 列为 ,i1 i2, ,ir ,
是r 维线性无关向量的接长,仍线性无关.
等价的向量组等秩
向量组的秩例题
向量组的秩例题
向量组的秩例题1
由题目不难看出，题目问“向量组的秩”，但是对于很多同学来说，有时候都忘了向量组的秩。
因为向量组有很多特殊情况，所以下面列举一些比较常见的特殊情况：(1)向量组的秩等于向量的个数。
(2)每个向量都是零向量。
(3)两个相同的向量可以用一个向量加上一个向量来表示。
(4)把一个向量平方得到的新向量还是零向量。
(5)如果一个向量和另外两个向量都垂直，那么这三个向量组成的向量组的秩等于零。
(6)如果一个向量垂直于另外两个向量，那么这两个向量组成的向量组的秩等于这两个向量的个数之积。
2。
向量组的秩与向量组的数目关系例题1
3。
向量组的秩与正方形面积的关系例题2(1)(2)(3)(4)(5)(6)解析：
3。
求向量组的秩向量组的秩与向量组的数目关系相似，但是主要区别在于，向量组的秩与正方形的面积没有关系。
4。
求向量组的秩例题1(1)(2)(3)(4)(5)(6)解析：(1)一个向量平方之后的新向量还是零向量。
(2)每个向量都是零向量。
(3)如果一个向量与另外两个向量都垂直，则这三个向量组成的向量组的秩为零。
(4)把一个向量平方得到的新向量不一定是零向量。
(5)如果一个向量垂直于另外两个向量，那么这两个向量组成的向量组的秩为零。
(6)如果一个向量垂直于另外两个向量，那么这两个向量组成的向量组的秩等于这两个向量的个数之积。
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解： 1 1 2 1 4 A ~ 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 阶梯形矩阵
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§3.4 向量组的秩
解： 1 1 2 1 4 1 0 1 0 4 A ~ 0 1 1 1 0 ~ 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 1 3 阶梯形矩阵 R( A) 3 a1 , a2 , a4为列向量组的一个最大 无关组 a3 a1 a2 0 a4 a5 4a1 3a2 3a4
方程组的向量形式： k1a1 k2a2 a3
1 a3 a1 a2 2
a4 a1 a2
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§3.4 向量组的秩
1 1 2 1 4 例4 设 A 2 1 1 1 2 3 6 9 7 9 求矩阵 A的列向量组的一个最大 无关组，并把不属
a11 a21 矩阵A a m1 a12 a22 am1 a1n a2 n 的行向 amn
定义
量组成的向量组的秩， 称为矩阵 A的行秩，记为 r ( A).它的列向量组成的向量 组的秩，称为矩阵 A 的列秩，记为 c( A).
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§3.3 向量组的秩
三、结论
利用最大无关组可将第二节定理3叙述为：
Th3 设组B能由组A线性表示，则RB RA
cor 等价的向量组的秩相等 . 证 : RA r , RB S 等价 : 两个向量组能相互线性 表示，
s r, r s
即s r .
Th1 矩阵的秩等于它的列 向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩 .
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§3.4 向量组的秩
2 1 2 3 例3 设 a1 4 , a2 1 , a3 3 , a4 5 2 0 1 2 求向量组的一个最大无 关组，并把不属最大
T T T R ( B A ) R ( C ) ，同理可得 R(C ) R( B ) 又
综合便得 R(C ) min{ R( A), R( B )}
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§3.4 向量组的秩
内容小结
１.最大线性无关向量组的概念；
２.矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 ＝矩阵行向量组的秩
无关组的向量用最大无 关组线性表示 .
解： A
列
2 1 2 3 4 1 3 5 2 0 1 2
~
r
2 1 2 3 0 1 1 1 0 0 0 0
阶梯形矩阵
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§3.4 向量组的秩
解： A
2 1 2 3 r 4 1 3 5 ~ 2 0 1 2 列 R(a1 , a2 , a3 , a4 ) 2
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§3.4 向量组的秩
1 ～ 0 0 a1
1 k1 2 k2 1
k1 k 2
0 1 0
1 2 1 0
a2 a3
1 1 行最简形 k1a1 k2a2 a4 0 a4
k1 1 k2 1
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§3.4 向量组的秩
Th2 R( AB ) min{ R( A), R( B)}
证明：设 AB C，知矩阵方程 AX C 有解X B 由定理3.1.4有R( A) R( A, C ) 而 R(C ) R( A, C ) ，因此 R(C ) R( A) .
3.关于向量组秩的一些结论； 4.求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换．
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第三章 线性方程组与向量组的 线性相关性
§3.4 向量组的秩
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§3.4 向量组的秩
一．定义
组A，部分组 A0：a1 ,, ar （ 1 ）A0 : a1 , a2 ,, ar 线性无关； （ 2 ）组 A中任意 r 1个向量都线性相关，
称 A0是 A的一个最大线性无关组（最大无关组）
最大无关组所含向量个 数 r 称为向量组 A的秩. R( A) RA r R(a1 ,, am ) r
向量组 A的秩
矩阵A的秩
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§3.4 向量组的秩
＊
线性代数
1 2 2 例1 设组A : a1 2 ，a2 1 ，a3 4 ， 3 4 6 求组A的秩与它的一个最大 无关组 解： (1)a1 , a2线性无关 定义 (2) 2a1 0a2 a3 0 a1 , a2 , a3线性相关 RA 2, a1 , a2为它的一个最大无关组 a2 , a3也一个最大无关组 a1 , a3不是最大无关组
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§3.4 向量组的秩
＊
(1)只含零向量的向量组 A，规定RA 0 ( 2)线性无关的向量组为最 大无关组 (3)最大无关组不唯一 ( 4)向量组与它的最大无关 组等价
且它的最大无关组都等 价
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§3.4 向量组的秩
二．求法 （借助于矩阵）
2 1 2 3 0 1 1 1 0 0 0 0
阶梯形矩阵
1 1 1 0 2 ～ 0 1 1 1 0 0 0 0 行最简形
而非零首元在 1、 2二列，
a1 , a2为向量组的一个最大无 关组
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