第二章 线性规划及单纯形法
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第二章线性规划及单纯形法总结
第一章
工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工 厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位 运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？
仓库\工厂
1 2 3 需求
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
2．线性规划数学模型
解：设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i =1,2,3
1．线性规划介绍
第一章
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
第一章
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第一章
j =1,2,3)
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 50 30 10 40
st.
x11 +x21+x31 =
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 = xij 0
15
35
2．线性规划数学模型
第一章
练习4 连续投资10万元 A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15； B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元； C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元； D：每年初投资，每年末回收本利1.11。 求：使5年末总资本最大的投资方案。 分析： A 1 x1A 2 x2A x2C x1D x2D x3D x4D x5D 3 x3A 4 x4A 5
第二章 图解法与单纯形法
表1-4 XB
基变量 x1 x2
进基列 x3
bi /ai2，ai2>0 x4 b
将3化为1
(1)
θi 40 10
出 基 行
x3
x4
2
1 3
1
3 4
1
0 0
0
1 0
40
30
σj
x3
乘 以 1/3 后 得 到
5/3
0 1 0 0 1
1 0 0 3/5 -1/5
-1/3 1/3 -4/3 -1/5 2/5
x2
40
例题
2 x1 x2 40 x1 1.5x2 30
(15,10)
max Z 3x1 4x2 2 x1 x2 40
30
x1 1.5 x2 30 x1 0, x2 0
20
最优解X=(15,10) 最优值Z=85
10
O
10
20
30
40
x1
2.1 线性规划问题的图解法
θ M 20
0 λj
0 2 λj 1 2 λj
x5
x4 x2 x1 x2
1/3 1
3 1/3 1/3 1 0 0
1 2
0 1 0 0
5 1
17 5 －9 17/3
0 0
1 0 0 1/3
1 0
3 1 －2 1
20
75 20 25
25 60
1 0
28/9 －1/9 2/3 －98/9 －1/9 －7/3
1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式 2.作图的关键有三点 (1)可行解区域要画正确 (2)目标函数增加的方向不能画错 (3)目标函数的直线怎样平行移动
运筹学复习要点
运筹学复习要点运筹学复习要点第二章线性规划与单纯形法一、标准型：规定具有下述条件的线性规划问题为标准型式的线性规划问题：1、目标函数为求最大；2、约束条件为等式约束；3、决策变量为非负。
二、线性规划问题具有的特征：1、每一问题都用一组决策变量（x1, x2, . . . ,xn）表示某一方案；2这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量值是非负的；3、存在一定的约束条件，它们可用线性等式或不等式表示；4、都有一个要求达到的目标，它们可用决策变量的线性函数表示，称目标函数。
根据问题不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
三、图解法的结论：1、可行域一定是凸集，即该区域内任意两点间连线上的点仍在该区域内；2、线性规划最优解不可能在凸集内的点上实现；3、线性规划问题有可能存在无穷多最优解；4、如果可行域无界，则最优解可能是无界解；5、如果不存在可行域，则没有可行解，也一定不存在最优解；6图解法只适用于两个决策变量的情况。
四、单纯形法：其基本思路是首先确定一个初始基可行解，然后判断该基可行解是否为最优解。
如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换找出另一个基可行解，该基可行解的目标函数值应该优于原基可行解。
再判断新的基可行解是否为最优解，如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换再找出另一个新基可行解，如此进行下去，直到找到最优解为止。
五、最优性检验与解的形式：最优解的判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, ……… ,b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，则X(0)为最优解，称σj为检验数。
无穷最多解判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, …… , b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，又存在某个非基变量的检验数σm+k= 0，则线性规划问题有无穷多最优解。
运筹学单纯形法
总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能确保基 可行解旳非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行旳初等变换不能把0变成1。 ③主元素不能为负数。因为用行旳初等变换把负数变成1会 把常数列中相应旳常数变成负数。
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
第2章线性规划建模及其单纯形法
目标函数 Max z =1500x1+2500x2 约束条件 s.t. 3x1+2x2≤65
2x1+x2≤40 3x2≤75 x1 ,x2 ≥ 0
7
这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。 其中，“Max”是英文单词“Maximize”的缩写，含 义为“最大化”； “s.t.”是“subject to”的缩写，表示“满足于…”。 因此，上述模型的含义是：在给定条件限制下，求 使目标函数z达到最大的x1 ,x2的取值
a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn≤ b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn≤ bm
x1 , x2 , … , xn≥0
20
•标准形式 •目标函数： Max z=c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件： a11x1 + a12x2 + … + a1nxn=b1 a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn=b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn=bm x1 , x2 , … , xn≥0
4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4≤-58 x1 , x3 , x4 ≥0
31
解8x3:+7首x4先；，将目标函数转换成极大化:令z=-f=3x1–5x2– 其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变量 x5 ,x6 ,x7 ≥0 ； 由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0 x2”≥0 由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两端乘 以-1。 于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问题：
2x1+x2≤40 3x2≤75 x1 ,x2 ≥ 0
7
这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。 其中，“Max”是英文单词“Maximize”的缩写，含 义为“最大化”； “s.t.”是“subject to”的缩写，表示“满足于…”。 因此，上述模型的含义是：在给定条件限制下，求 使目标函数z达到最大的x1 ,x2的取值
a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn≤ b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn≤ bm
x1 , x2 , … , xn≥0
20
•标准形式 •目标函数： Max z=c1x1 + c2x2 + … + cnxn
•约束条件： a11x1 + a12x2 + … + a1nxn=b1 a21x1 + a22x...2 + … + a2nxn=b2 am1x1 + am2x2 + … + amnxn=bm x1 , x2 , … , xn≥0
4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4≤-58 x1 , x3 , x4 ≥0
31
解8x3:+7首x4先；，将目标函数转换成极大化:令z=-f=3x1–5x2– 其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变量 x5 ,x6 ,x7 ≥0 ； 由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0 x2”≥0 由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两端乘 以-1。 于是，我们可以得到以下标准形式的线性规划问题：
第2章 线性规划与单纯形法(2)
max z = 20 x1 + 30 x2 3 x1 + 10 x2 ≤ 150, x1 ≤ 30, x1 + x2 ≥ 40, x1 , x2 ≥ 0.
管
max z = 20 x1 + 30 x2 − Mx6 3x1 + 10 x2 + x3 = 150, x1 + x4 = 30, x1 + x2 − x5 + x6 = 40, xi ≥ 0, i = 1, 2,..., 6
管
理
运
筹
学
4
要注意到人工变量是与松弛、剩余变量不同的。 松弛变量、剩余变量它们可以取零值，也可以取 正值，而人工变量只能取零值。一旦人工变量取 正值，那么有人工变量的约束方程和原始的约束 方程就不等价了，这样所求得的解就不是原线性 规划的解了。为了竭尽全力地要求人工变量为零， 我们规定人工变量在目标函数中的系数为－M， M 这里M为任意大的数。这样为了使目标函数实现 最大就必须把人工变量从基变量中换出。如果一 直到最后，人工变量仍不能从基变量中换出，也 就是说人工变量仍不为零，则该问题无可行解。 以下讨论如何解含有人工变量的线性规划问题
• 由于不存在单位矩阵,在第1,2个约束条件加上 一个人工变量x6,x7,并在目标函数中加上-Mx6Mx7得到的线性规划问题：
max f ' = −2 x1 − 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 − Mx6 − Mx7
x1 + x 2 − x 3 + x 6 = 3 5 0, x1 − x 4 + x 7 = 1 2 5, 2 x1 + x 2 + x 5 = 6 0 0, x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0 .
2.2 单纯形法
不过,若原(LP)是非退化的,则其任一个基本可行
解均是非退化的,从而不会出现此问题.
2＞ 检验数向量 有不只一个正分量. 理论上任意可选取一个正分量作为定理中的 k
0
由 Th3 , k x k : 0 1 , 目标函数的值减少 k
ˆ c x c x k
T T
T
x
目标函数的典式
令
j c B A j c j , j 1, , n 检验数
T
常数项
z0 c x cB b
T T
A1 , , Am
Aj e j
B
1
B Im
XJTU
第二章 线性规划
T T
OR
j 1, , m
T
j c B A j c j c B e j c j c j c j 0,
cB B
T 1
Ac
T
T
1 , , n
0 , cB BT 1 NhomakorabeaT
对应于 x 的
B , N
T
N cN
检验数向量
b 对应于基本可行解 x , 原标准形式(LP) 0
m in z z 0 s .t. xB B x 0
单纯形法求解原LP问题：或者求得一最优解，或者 判定原LP问题无界。
XJTU
设原LP问题为：
m in c x s .t.
T
第二章 线性规划
OR
Ax b 0 x 0
D
对此问题引入m个人工变量 x a ( x n+1 , , x n+m ) ，
第二章节 线性规划跟单纯形法
工程运筹学（教案）课程名称：工程运筹学适用专业：交通运输、农业工程、环境工程等适用年级：二年级学年学期：学年第一学期任课教师：赵秀荣编写时间：2005年9月（2010年3月修改）教案部分第一章绪论本章教学目标：通过本章的学习，了解《运筹学》的简史、性质和特点，运筹学的工作步骤，运筹学的应用范围及运筹学的学习方法等。
本章教学基本要求：（1）了解《运筹学》的简史、性质和特点（2）掌握运筹学的工作步骤（3）了解运筹学模型的分类（4）了解运筹学的应用范围及运筹学的学习方法等本章各节的教学内容与学时分配:1.1 运筹学简史1.2 运筹学性质和特点1.3 运筹学的工作步骤1.4 运筹学的模型与模型化1.5 运筹学的应用1.6 运筹学的学习方法授课学时：2学时本章教学重点：（1）运筹学的工作步骤；（2）运筹学的学习方法本章教学内容的深化和拓宽：运筹学的模型与模型化本章教学方式：多媒体本章教学过程中应注意的问题：激发学生学习运筹学的兴趣本章主要参考书目：[1]甘应爱主编.2007年.运筹学.北京：清华大学出版社[2]吴祈宗主编.《运筹学》.机械工业出版社，2002本章思考题：举例说明图解模型、相似模型、原样模型、数学模型第一章绪论：2学时教学方式与手段：多媒体讲课提纲：(注：非多媒体情况下使用)教学内容：1.1运筹学简史1914年，军事运筹学家兰彻斯特（Lanchester）提出战斗方程1917年丹麦工程师爱尔朗（Erlang）在哥本哈根电话公司研究电话通讯系统时提出排队论的一些著名公式20世纪30年代已有运用运筹思想分析商业广告、顾客心理等。
1947年丹捷格（G..B.Dantzig）发表线性规划的成果，提出了单纯形法。
1944年冯·诺依曼和摩根斯坦（O.Morgenstern）合著《对策论与经济行为》1948年英国建立运筹学会，美国1952年、法国1956年、日本1957年等。
1959年由英、美、法三国的运筹学会发起成立国际运筹学联合会（IFORS）,1980年，我国成立运筹学会，我国1982年加入（IFORS）。
第二章 线性规划与单纯形法
max z =2x1+3x2 2x1+2x2+x3=12 x1+2x2+x4=8 4x1+x5=16 4x2+x6=12 x1-6≥0
图解法
第2节 解
例8：求下述线性规划的所有基解、基可行 解及最优解。 max z =3x1+x2+3x3 x1+x2+x3＝2 x1+2x2+4x3＝6 x1，x2，x3≥0
第1节 线性规划问题及其数学模型
要求：将下列线性规划问题转化为标准型。 例4：min z =x1+2x2+3x3 -2x1+x2+x3≤9 -3x1+x2+2x3≥4 3x1-2x2-3x3=-6 x1≤0，x2≥0，x3取值无约束
第1节 线性规划问题及其数学模型
例4： x x , x x xz , z 解：令 1 13 3 3 max z′=x1′-2x2-3x3′+3x3〞+0x4+0x5 2x1′+x2+x3′-x3〞+x4=9 3x1′+x2+2x3′-2x3〞-x5=4 3x1′+2x2+3x3′-3x3〞=6 x1′，x2，x3′，x3〞，x4，x5≥0
第3节 图解法
三、图解法解的类型 唯一最优解：仅有一点使目标函数值取得最大 （小）值 无穷多（多重）最优解：线段（射线）上任意 一点都使目标函数值取得相同的最大（小）值 无界解：可行域无界，目标函数值可以增大到 无穷大 无可行解：可行域为空集 无界解和无可行解统称为无最优解
目标函数求最大值 函数约束条件全为等式 决策变量全为非负 函数约束条件右端项全为非负
图解法
第2节 解
例8：求下述线性规划的所有基解、基可行 解及最优解。 max z =3x1+x2+3x3 x1+x2+x3＝2 x1+2x2+4x3＝6 x1，x2，x3≥0
第1节 线性规划问题及其数学模型
要求：将下列线性规划问题转化为标准型。 例4：min z =x1+2x2+3x3 -2x1+x2+x3≤9 -3x1+x2+2x3≥4 3x1-2x2-3x3=-6 x1≤0，x2≥0，x3取值无约束
第1节 线性规划问题及其数学模型
例4： x x , x x xz , z 解：令 1 13 3 3 max z′=x1′-2x2-3x3′+3x3〞+0x4+0x5 2x1′+x2+x3′-x3〞+x4=9 3x1′+x2+2x3′-2x3〞-x5=4 3x1′+2x2+3x3′-3x3〞=6 x1′，x2，x3′，x3〞，x4，x5≥0
第3节 图解法
三、图解法解的类型 唯一最优解：仅有一点使目标函数值取得最大 （小）值 无穷多（多重）最优解：线段（射线）上任意 一点都使目标函数值取得相同的最大（小）值 无界解：可行域无界，目标函数值可以增大到 无穷大 无可行解：可行域为空集 无界解和无可行解统称为无最优解
目标函数求最大值 函数约束条件全为等式 决策变量全为非负 函数约束条件右端项全为非负
第二章 线性规划与单纯形法14节
2、标准形式的特征？？？
2018/10/11 10
二、 线性规划的标准形
3、线性规划的标准化方法
（1）把最小化目标函数转化为求最大化问题。 （2）约束条件右端项为负时两边同乘以－1 （3）把约束方程中的不等式转化为等式。具体做法是：对于≤的 情况，引进松弛变量，对于≥的情况，引进剩余变量。 （4）将变量中的非正限制或无限制转化为非负限制。其中，对 于无限制变量的处理：一是同时引进两个非负变量，然后用它 们的差代替无限制变量，即令 二是从约束方程 ' " xk x k xk 中任取一个包含无限制变量的等式约束，解出该变量，并把它 代入目标函数和其他约束方程中去，以消除该无限制变量。
2018/10/11
13
小
结
1.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几个应用 例子 2.线性规划数学模型的组成及其特征 3.线性规划数学模型的一般表达式和标准形式。 4.
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2018/10/11
图解法
Exit
14
第二节 线性规划的图解法
1.图解法的含义 在直角坐标系中，描绘出约束条件和变量限制的公 共区域，然后通过观察确定符合目标要求的变量的取值。 2.几个概念 （ 1 ）可行解 : 由约束条件和变量取值限制围成的公共 区域中的每一个点都称为线性规划问题的可行解。 （2)可行域:所有可行解的集合，构成线性规划问题的 可行域。 (3)等值线:使目标函数取相等值的所有点的集合，称 为目标函数的等值线。 (4)法向量: 与等值线垂直的向量。分为正法向量和负 2018/10/11 15 法向量。
基：约束系数矩阵A中，m个线性无关的列向量，称为
m维实空间中的一个基。其中，每个列向量称为基向 量，全部基向量构成基矩阵（也可简称为基），剩下 的n-m个列向量称为非基向量，所有的非基向量构成 非基矩阵。
水资源系统分析第2章线性规划与单纯形法ppt课件
原材料的合理利用等生产组织问题。 – 二战期间开始应用于军事规划
(英、美)。1947年， Dantzig 美国空军----斯坦福大学教授，
提出了单纯形法求解线性规划问题。 “线性规划之父”。
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10
Dantzig 「配餐问题」
美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食 品中，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、 脂肪、维生素等等，都有定量的规定。
x11,x12…x23≥0
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8
1.2 数学模型
规划模型的要素 决策变量：规划的措施、方案，是需要 确定的未知变量。 目标函数：规划的目的和用要求 约束条件：决策变量的取值范围 线性目标和约束组成线性规划模型
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9
产生和发展
– 19世纪，法国科学家Fourier提出线性规划。 – 1939年苏联数学家康托维奇：机器负荷分配、
这些营养成份可以由各种不同的食物来提供 (例如牛奶提供蛋白质和维生素，黄油提供蛋 白质和脂肪，胡萝卜提供维生素，等等)。
由於战争条件的限制，食品种类有限，又要尽
量降低成本，於是在一盒套餐中，如何决定各
种食品的数量，使得既能满足营养成份的需要，
又可以降低成本----最佳的配餐方案。
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11
线性规划一般形式:
第二章 线性规划
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1
1 一般数学模型
1.1 问题的提出
例1 长度100米的钢材，需要截成3 米、8米、11米短材。如何截取使剩料 最少？要求：3米的最少2根，最多9根； 8米的最少4根，11米的最少1根，最多 8根。
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2
例2 某灌区在年初估算可供水量为360万m3, 计划灌溉小麦、玉米两种.总面积1000hm2,
(英、美)。1947年， Dantzig 美国空军----斯坦福大学教授，
提出了单纯形法求解线性规划问题。 “线性规划之父”。
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10
Dantzig 「配餐问题」
美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食 品中，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、 脂肪、维生素等等，都有定量的规定。
x11,x12…x23≥0
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8
1.2 数学模型
规划模型的要素 决策变量：规划的措施、方案，是需要 确定的未知变量。 目标函数：规划的目的和用要求 约束条件：决策变量的取值范围 线性目标和约束组成线性规划模型
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9
产生和发展
– 19世纪，法国科学家Fourier提出线性规划。 – 1939年苏联数学家康托维奇：机器负荷分配、
这些营养成份可以由各种不同的食物来提供 (例如牛奶提供蛋白质和维生素，黄油提供蛋 白质和脂肪，胡萝卜提供维生素，等等)。
由於战争条件的限制，食品种类有限，又要尽
量降低成本，於是在一盒套餐中，如何决定各
种食品的数量，使得既能满足营养成份的需要，
又可以降低成本----最佳的配餐方案。
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11
线性规划一般形式:
第二章 线性规划
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1
1 一般数学模型
1.1 问题的提出
例1 长度100米的钢材，需要截成3 米、8米、11米短材。如何截取使剩料 最少？要求：3米的最少2根，最多9根； 8米的最少4根，11米的最少1根，最多 8根。
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2
例2 某灌区在年初估算可供水量为360万m3, 计划灌溉小麦、玉米两种.总面积1000hm2,
数学建模 - 第二章 线性规划及单纯形法
p j a1 j , a2 j ,, amj 为A的第j列向量
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
11
第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
11
第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。
第二章 线性规划及单纯形法
标准形式
目标函数： 目标函数： 约束条件： 约束条件： Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0 ，
（一）一般式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn ≥(=, ≤)b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn ≥(=, ≤)b2 … … … am1X1+ am2X2+…+ amnXn ≥(=, ≤)bm Xj ≥0(j=1,…,n) 0( )
三、线性规划问题的标准形式 线性规划问题的标准形式
2、约束条件不是等式的问题： 约束条件不是等式的问题： 设约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi
可以引进一个新的变量s ，使它等于约束右边与左 边之差
s=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) (
一、问题提出
Ⅰ 设备A 设备 设备B 设备 调试工序 利润 0 6 1 2
例1生产计划问题
Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
两种家电各生产多少, 可获最大利润? 两种家电各生产多少, 可获最大利润
运筹学
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
图中红粗线和红点是顶点. 图中红粗线和红点是顶点. 红粗线 是顶点
3. 线性规划基本定理
定理1 定理 1
若线性规划问题存在可
行解,则问题的可行域是凸集. 行解,则问题的可行域是凸集.
方法1 证 (方法1) 若满足线性规划约束条件 下面给予证明. C内,下面给予证明. 设 X1 = (x11, x12,, x1n )T 即
一,关于标准型解的若干基本概念
线性规划问题 :
max z =
∑c
j =1
n
j
xj ( i = 1, , m ) ( j = 1, , n )
(2.1) (2.2) (2.3)
n ∑ a ij x j = bi j =1 x ≥ 0 j
可行解:满足上述约束条件( 可行解:满足上述约束条件(2.2),(2.3)的解 X = (x1, xn )T ,称为线性 , 规划问题的可行解.全部可行解的集合称为可行域 可行域. 规划问题的可行解.全部可行解的集合称为可行域. 最优解:使目标函数( 最优解:使目标函数(2.1)达到最大值的可行解称为最优解. 达到最大值的可行解称为最优解. 基:设 A 为约束方程组(2.2)的 m×n 阶系数矩阵,(设n>m),其秩 为约束方程组( 阶系数矩阵, m), 是矩阵A中的一个m 阶的满秩子系数矩阵, 为m,B是矩阵A中的一个m×m阶的满秩子系数矩阵,称B是线性规划问题的 一个基. 一个基.
若线性规划问题存在可行解, 则所有可行解的集合——可 若线性规划问题存在可行解, 则所有可行解的集合——可 —— 是凸集. 行域 C = {X| AX= b,X ≥0 }是凸集. 是凸集 证明: 方法 证明:(方法 2) 设 X1∈C,X2 ∈C,则 A X1=b,A X2=b,X1 ≥0,X2 ≥0 , , , 在 X1, X2 连线上任取一点 X 故 AX =A[αX 1 + ( 1 α ) X 2 ] =αAX 1 + ( 1 α ) AX 2 = b
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
线性规划与单纯形法2.精选PPT
1 2
x1
1 2
x2
1 2
x3
0
1 4
x1
3 4
x2
1 4
x3
0
s.t .
3 4
x4
1 4
x5
1 4
x6
0
1 2
x4
1 2
x5
1 2
x6
0
x
1
x2
x4 x5
x7 x8
100 100
x3
x6
x9 100
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 0
由表 2中的原材料价格： 6(A 5CB CD C) 原材料 C 3(A 5PB PD P) 原材料 P 3(A 5HB HD H ) 原材料 H
设：
x1=AC x2=AP x3=AH
x4=BC x5=BP x6=BH
x7=DC x8=DP x9=DH
m z a 5 (x 1 x 0 x 2 x 3 ) 3 (x 4 5 x 5 x 6 ) 2 (x 7 5 x 8 x 9 ) 6 (x 1 5 x 4 x 7 ) 2 (x 2 5 x 5 x 8 ) 3 (x 3 5 x 6 x 9 )
1 AP 4 A
BC
1 2
B
1 4AC4 3AP1 4AH0
311 4BC4BP4BH0
111 2BC2BP2BH0
由表 2 中供应量限制： A CB CC CC100 A PB PC PP100 A HB HC HH 100
由表 1中的产品价格： 5(A 0CA PA H ) 产品 A 3(B 5CB PB H ) 产品 B 2(D 5CD PD H ) 产品 D
第2章 线性规划及单纯形法1-2节
2x1+ x2 400
A
B
最优解 (50, 250)
x2 250
x1 + x2 300
C
100 —
50 —
可 行 域
x1+ x2=300 x2=250
O0 50x1 + 100x2 =0
| | | |D | | | | 50 100 150 200 250 300 350 400
x1
二、线性规划问题解的存在情况：
例5:
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65 (A) 2x1+x2≤ 40 (B) 3x2≤ 75 (C)
x1 ,x2 ≥0 (D、E)
B
x2
(5,25)T
A
40
C
25
目标函数 等值线
Z
0
20
Z
x1
存在唯一最优解
例6: 目标函数变为： Max z = 1500 x1 + 1000 x2
线性规划问题的规范形式和标准形式
规范形式：
Max Z =c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1 +a12x2 +…+a1nxn ≤b1 a21x1 +a22x2 +…+a2nxn ≤b2 am1x1 +am2x2 +…+amnxn ≤bm x1 , x2 ,… , xn ≥0
矩阵型式:
§2.3 线性规划的图解法
一、线性规划的图解法
概念
线性规划的图解法(解的几何表示)对于只有 两个变量的线性规划问题，可以在二维直角 坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概 念，并求解。 图解法有助于理解LP问题的求解原理。
A
B
最优解 (50, 250)
x2 250
x1 + x2 300
C
100 —
50 —
可 行 域
x1+ x2=300 x2=250
O0 50x1 + 100x2 =0
| | | |D | | | | 50 100 150 200 250 300 350 400
x1
二、线性规划问题解的存在情况：
例5:
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65 (A) 2x1+x2≤ 40 (B) 3x2≤ 75 (C)
x1 ,x2 ≥0 (D、E)
B
x2
(5,25)T
A
40
C
25
目标函数 等值线
Z
0
20
Z
x1
存在唯一最优解
例6: 目标函数变为： Max z = 1500 x1 + 1000 x2
线性规划问题的规范形式和标准形式
规范形式：
Max Z =c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1 +a12x2 +…+a1nxn ≤b1 a21x1 +a22x2 +…+a2nxn ≤b2 am1x1 +am2x2 +…+amnxn ≤bm x1 , x2 ,… , xn ≥0
矩阵型式:
§2.3 线性规划的图解法
一、线性规划的图解法
概念
线性规划的图解法(解的几何表示)对于只有 两个变量的线性规划问题，可以在二维直角 坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概 念，并求解。 图解法有助于理解LP问题的求解原理。
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运筹学
OPERATIONAL RESEARCH
--
第一章 线性规划及单纯形法
--
2
第一节 线性规划问题及其数学模型
第二节 图解法
第三节 单纯形法原理
第四节 单纯形法计算步骤
第五节 第六节 第七节
单纯形法的进一步讨论 数据包络分析 其他应用例子
--
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、问题的提出 二、线性规划问题的与模型 三、线性规划的数学模型 四、线性规划模型的应用 五、线性规划问题的标准形式
a 确定性：线性规划中的参数 ij , bi , ci为确定值
--
三、线性规划问题的标准形式
线性规划的标准化
一般形式
目标函数： 约束条件：
标准形式
目标函数： 约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1
--
x11
x 21
x 31
x 41
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
x12
x32
x13
x22
x14
x 23
∑≥15
∑≥10
∑≥20
∑≥12
x11 x12 x13 x14 15 x 1 3x 1 4x 2 2x 2 3x 3 1x 3 220
x 1 2x 1 3x 1 4x 2 1x 2 2x 2 310
x14 x23 x32 x41 12
--
n
max(mZin ) CjXj j1
n
j1
aij X
j bi (i
1,2,
, m)
X j 0( j 1,2, , n)
目标函数 价值系数
技术系数 右端项常数
--
决策变量
（二）隐含的假设
比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改 变量成正比 可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它 变量 连续性：每个决策变量取连续值
决策变量：向量(x1… xn)T 决策人要考虑和控制的
因素非负 约束条件：线性等式或不等式
目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大或极小
--
（一）一般式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
最优解的目标函数值却相差一个符号，即 Min f ＝ - Max z
--
三、线性规划问题的标准形式
2、约束条件不是等式的问题： 设约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量s ，使它等于约束右边与左
边之差 s=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn )
显然，s 也具有非负约束，即s≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+s = bi
--
三、线性规划问题的标准形式
当约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≥ bi 时，
类似地令
s=(ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn)- bi 显然，s 也具有非负约束，即s≥0，这时新的约
--
一、问题提出 例1生产计划问题
Ⅰ
设备A
0
设备B
6
调试工序 1
利润
2
Ⅱ 每天可用能力
5
各生产多少, 可获最大利润?
--
解:设两种家电产量分别为变量x1 ， x2
max Z= 2x1 +x2 5x2 15
6x1 + 2x2 24 x1 + x2 5 x1，x2 0
Z2800(x1 1x2 1x3 1x4)14500(x12x22x32)6000(x13x23)730x014
--
经过上面的讨论，得到下面的LP模型：
目标函数 m Z 2 i( x n 1 8 x 1 2 0 x 1 3 x 1 0 4 ) 1 4( x 1 5 x 2 2 0 x 2 3 )
束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-s = bi
--
三、线性规划问题的标准形式
对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可 以通过以下变换，将其转化为标准形式:
--
三、线性规划问题的标准形式
1.极小化目标函数的问题： 设目标函数为 Min f = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (可以)令 z ＝ -f ， 则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
即 Max z = - c1x1 - c2x2 - … - cnxn 但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但它们
--
LP问题的三要素 1、决策变量x1 ， x2
2、目标函数max Z= 2x1 +x2 5x2 15
3、约束条件 6x1 + 2x2 24 x1 + x2 5 x1，x2 0
--
例2
--
例2
解：设x ij 表示捷运公司在第i (i=1,2,3,4)月初签订的租期为j
(j=1,2,3,4)个月的仓库面积的合同（单位为100m2)。
约束条件
60(x 013 0x2)373x1 040
x11 x12 x13 x14
st.xx1132xx1143xx1242
x21 x23
x14 x23 x32 x41
xij 0(i 1, ,4;
15 x22 x31 12 j 1,
x23 x32
,4)
10 20
--
二、线性规划模型特点
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0
--
三、线性规划问题的标准形式
可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特 点：
目标最大化； 约束为等式； 决策变量均非负； 右端项非负。
OPERATIONAL RESEARCH
--
第一章 线性规划及单纯形法
--
2
第一节 线性规划问题及其数学模型
第二节 图解法
第三节 单纯形法原理
第四节 单纯形法计算步骤
第五节 第六节 第七节
单纯形法的进一步讨论 数据包络分析 其他应用例子
--
第一节 线性规划问题及其数学模型
一、问题的提出 二、线性规划问题的与模型 三、线性规划的数学模型 四、线性规划模型的应用 五、线性规划问题的标准形式
a 确定性：线性规划中的参数 ij , bi , ci为确定值
--
三、线性规划问题的标准形式
线性规划的标准化
一般形式
目标函数： 约束条件：
标准形式
目标函数： 约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1
--
x11
x 21
x 31
x 41
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
x12
x32
x13
x22
x14
x 23
∑≥15
∑≥10
∑≥20
∑≥12
x11 x12 x13 x14 15 x 1 3x 1 4x 2 2x 2 3x 3 1x 3 220
x 1 2x 1 3x 1 4x 2 1x 2 2x 2 310
x14 x23 x32 x41 12
--
n
max(mZin ) CjXj j1
n
j1
aij X
j bi (i
1,2,
, m)
X j 0( j 1,2, , n)
目标函数 价值系数
技术系数 右端项常数
--
决策变量
（二）隐含的假设
比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改 变量成正比 可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它 变量 连续性：每个决策变量取连续值
决策变量：向量(x1… xn)T 决策人要考虑和控制的
因素非负 约束条件：线性等式或不等式
目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大或极小
--
（一）一般式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
最优解的目标函数值却相差一个符号，即 Min f ＝ - Max z
--
三、线性规划问题的标准形式
2、约束条件不是等式的问题： 设约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量s ，使它等于约束右边与左
边之差 s=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn )
显然，s 也具有非负约束，即s≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+s = bi
--
三、线性规划问题的标准形式
当约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≥ bi 时，
类似地令
s=(ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn)- bi 显然，s 也具有非负约束，即s≥0，这时新的约
--
一、问题提出 例1生产计划问题
Ⅰ
设备A
0
设备B
6
调试工序 1
利润
2
Ⅱ 每天可用能力
5
各生产多少, 可获最大利润?
--
解:设两种家电产量分别为变量x1 ， x2
max Z= 2x1 +x2 5x2 15
6x1 + 2x2 24 x1 + x2 5 x1，x2 0
Z2800(x1 1x2 1x3 1x4)14500(x12x22x32)6000(x13x23)730x014
--
经过上面的讨论，得到下面的LP模型：
目标函数 m Z 2 i( x n 1 8 x 1 2 0 x 1 3 x 1 0 4 ) 1 4( x 1 5 x 2 2 0 x 2 3 )
束条件成为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn-s = bi
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三、线性规划问题的标准形式
对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可 以通过以下变换，将其转化为标准形式:
--
三、线性规划问题的标准形式
1.极小化目标函数的问题： 设目标函数为 Min f = c1x1 + c2x2 + … + cnxn (可以)令 z ＝ -f ， 则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
即 Max z = - c1x1 - c2x2 - … - cnxn 但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但它们
--
LP问题的三要素 1、决策变量x1 ， x2
2、目标函数max Z= 2x1 +x2 5x2 15
3、约束条件 6x1 + 2x2 24 x1 + x2 5 x1，x2 0
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例2
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例2
解：设x ij 表示捷运公司在第i (i=1,2,3,4)月初签订的租期为j
(j=1,2,3,4)个月的仓库面积的合同（单位为100m2)。
约束条件
60(x 013 0x2)373x1 040
x11 x12 x13 x14
st.xx1132xx1143xx1242
x21 x23
x14 x23 x32 x41
xij 0(i 1, ,4;
15 x22 x31 12 j 1,
x23 x32
,4)
10 20
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二、线性规划模型特点
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0
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三、线性规划问题的标准形式
可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特 点：
目标最大化； 约束为等式； 决策变量均非负； 右端项非负。