高中数学-函数的基本性质

函数的基本及性质

2．图象法

3．性质法：

(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；

(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；

(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．

提醒：

(1)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应地化简解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．

(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．

(3)性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．

例1判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝(x＋1)1－x

1＋x

；(3)f(x)＝

4－x2

|x＋3|－3

.

变式

1．函数f(x)＝1

x

－x的图象关于( )．

A y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称

2．若函数f(x)＝

x

2x＋1x－a

为奇函数，则a＝( )．

A．1

2

B．

2

3

C．

3

4

D．1

二、函数奇偶性的应用

1．已知函数的奇偶性求函数的解析式，往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．

2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．

3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

4．若f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若f(x)是偶函数且在x＝0处有定义，就不一定有f(0)＝0，如f(x)＝x2＋1是偶函数，而f(0)＝1.

例2设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．

(1)求b，c的值；

(2)求g(x)的单调区间与极值．

变式

1.设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝( )．

A．{x|x＜－2，或x＞0} B．{x|x＜0，或x＞4}

C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}

2.设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(－b，b)内的函数f(x)＝lg 1＋ax

1＋2x

是奇函数，则a＋b的取值范围为__________．

.

三、函数的周期性及其应用

抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：

(1)若函数满足f(x ＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；

(2)若满足f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以2a 是函数的一个周期；

(3)若满足f(x ＋a)＝1f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝1f(x ＋a)

＝f(x)，所以2a 是函数的一个周期； (4)若函数满足f(x ＋a)＝－

1f(x)，同理可得2a 是函数的一个周期； (5)如果T 是函数y ＝f(x)的周期，则①kT(k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f(x)的周期，即f(x ＋kT)＝f(x)；②若已知区间[m ，n](m ＜n)的图象，则可画出区间[m ＋kT ，n ＋kT](k ∈Z 且k ≠0)上的图象．

例1已知定义在R 上的函数f(x)满足

)2

3()(+-=x f x f ，且f(1)＝3，则f(2 014=_______________)

变式

已知函数f(x)满足f(x ＋1)＝

1＋f x 1－f x ，若f(1)＝2 014，则f(103)＝__________.

【随堂练习】

1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )．

A ．y ＝2|x|

B ．y ＝lg(x ＋

x2＋1) C ．y ＝2x ＋2－x D ．y ＝lg

1x ＋1

2．已知函数f(x)对一切x ，y ∈R ，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)为( )．

A ．偶函数

B ．奇函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数

3．函数f(x)的定义域为R ，且满足：f(x)是偶函数，f(x －1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )．

A ．－9

B ．9

C ．－3

D ．0

4．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x －4(x ≥0)，则不等式f(x －2)＞0的解集为( )．

A ．{x|x ＜－2，或x ＞4}

B ．{x|x ＜0，或x ＞4}

C ．{x|x ＜0，或x ＞6}

D ．{x|x ＜－2，或x ＞2}

5．已知定义在R 上的奇函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，f(－1)＝1，则f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝__________.

【课后作业】

一、选择题

1．f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x －2，则)6(log 2

1f 的值等于( )．

A ．－4

3 B ．－72 C ．12 D ．－12

2．函数f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝－x ＋1，则当x ＜0时，f(x)的表达式为( )．

A ．－x ＋1

B ．－x －1

C ．x ＋1

D ．x －1