白鹭洲中学2013年高中一年级下学期第一次月考(数学试题)

白鹭洲中学2013年高一下学期第一次月考（数学试题）
命题：芹 审题：高一数学备课组
第Ⅰ卷（共计50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则()U A
C B =（ ）
A.{}2
B.{}2,3
C.{}3
D.{}1,3 2．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)
()1
f x
g x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)(1,4] D ．(0,1)
3．sin300tan 240o
o
+的值是 （ ）
A ．． C ．321+- D ．32
1+ 4.幂函数m
x m m y )75(2+-=的图象不经过第三象限，则=m ( )
A ． 2或3
B ．2
C ．3
D ．4
5.已知向量),4,1(),3,2(=+=b a a 则在方向上的投影为（ ）
A.
1313 B. 1313- C. 22- D. 2
2 6.已知函数22)(2
3
--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
2)1(-=f ，625.0)5.1(=f ，984.0)25.1(-=f ，260.0)375.1(-=f ，162.0)4375.1(=f ，054.0)40625.1(-=f 。

那么方程02223=--+x x x 的一个近似解（精确到0.1）为（ ）
A.1.2
B.1.3
C.1.4
D. 1.5 7．要得到函数sin
2
x
y π=的图象，只需将函数cos
2
x
y π=的图象（ ）
A ．向左平移2π个单位长度
B ．向右平移2
π
个单位长度
C ．向左平移1个单位长度
D ．向右平移1个单位长度 8．定义在Ｒ上的偶函数),2((x ))(+=x f f x f 满足当)4,3[∈x 时，()2,x f x =则(cos1))1(sin f f 与的大
小关系为（ ）
A ．(cos1))1(sin f f <
B ．(cos1))1(sin f f =
C ．(cos1))1(sin f f >
D ．不确定
9．定义在R 若函数()ln ()g x a f x =-有4个不零点，则实数a 的取值
围是 （ ）
A ．(1,)(,)e e ⋃+∞
B ．1
(,)e +∞ C ．1(,)e e D ．1(,)(,)e e e
⋃+∞
10.如图,在平面有三个向量,,,OC OB OA 满足1==OB OA ,OA 与OB 的夹角为,120 OC 与OA 的夹角为,30 .
35=OC
设OC =m OA +n OB (),R n m ∈,则m n +等于 （ ） A.23 B.6 C.10 D.15
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上． 11．指数函数()()21x
f x a =-满足(3)(2)f f <，则实数a 的取值围是 .
12．已知cos 0()1(1)0
2
x
x f x f x x π->⎧⎪
=⎨+-≤⎪⎩，则43()()34f f +-的值等于__ ___ . 13．向量a ，b 满足(1,1)a =-，b a =，且b 与a 的方向相反，则b 的坐标为 ． 14．已知sin ,cos θθ是关于x 的方程2
2210x mx -+=的两个实根，(0,
)2
π
θ∈，
则实数m 的值为 ． 15．已知函数()()x
x
f x e e x R -=-∈，不等式(2)()0t
e f t mf t ⋅-<对于(0,1)t ∈恒成立，则实数m 的取
值围是 ．
三、解答题(本大题6小题，共75分，解答时应写出必要的文字、演算步骤或推理过程)。

16．（本小题满分12分）
设函数21y x x =
-++的定义域为A ，函数2log ()y a x =-的定义域为B ．
（1）若A B ⊆，数a 的取值围；
（2）设全集为R ，若非空集合A B C R ⋂)(的元素中有且只有一个是整数，数a 的取值围．
17．(本题满分12分)
函数()2sin()ωϕ=+f x x (0,0)2
ωϕπ><<的部分图象如下图所示，该图象与y 轴交于点(0,1)F ，与x 轴交于点,B C ，M 为最高点，且MBC ∆的面积为π． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
18. （本小题满分12分）
标原点，
在平面直角坐标系xoy 中， o 为坐
(sin ,cos ),(cos
,sin ),066
A x x
B π
π
ωωω>．
（1）求证：向量OA OB +与OA OB -互相垂直；
（2）设函数λλ,()(R x OB OA x f ∈⋅=为正实数)，函数()f x 的图象上的最高点和相邻的最低点之间
()f x 的最大值为1，求函数()f x 的单调递增区间．
19.（本小题12分)
已知()()
π,0,sin ,31,cos ,1∈
⎪⎭⎫
⎝⎛==x x b x a
（1）若//，求x x x
x cos sin cos sin -+的值；（2）若b a ⊥，求x x cos sin -的值。

20．（本小题满分13分）
天计）每件的销售价格()P x （百元）与时间x （天）的函
数关系近似满足()1(k
P x k x
=+为正常数)，日销售量()Q x （件）与时间x （天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为121（百元）． （1）求k 的值；
（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+，②()25Q x a x b =-+，③()x
Q x a b =⋅，④
()log b Q x a x =⋅．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量
()Q x （件）与时间x （天）的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该服装的日销售收入()(130,)f x x x N ≤≤∈的最小值．
21．(本题满分14分)定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0≥M ，成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的一个上界.
（1）若函数)(x g 为奇函数，数a 的值；
（2）若1a =-，判断)(x g 在区间，并求)(x g 上界的最小值； （3）若函数)(x f 在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，数a 的取值围.
白鹭洲中学2013年高一下学期第一次月考数学答案
一、选择题： DBABA CDADD
二、填空题：11.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12. 22- 13. (1,1)- 14. 2 15. )
2
1,e ⎡++∞⎣ 三、解答题：
16．解：（1）由20
1210
x x x -≥⎧⇒-≤≤⎨
+≥⎩，[1,2]A ∴=-． ………3分
由0a x ->得x a <，(,)B a ∴=-∞． ………5分
,2A B a ⊆∴>． ………6分
（2）
(,)B a =-∞，
),[+∞=∴a B C R ． ………8分
又A B C R ⋂)(的元素中有且只有一个是整数，
12a ∴<≤． ………12分
17．解：（I ）∵
，∴周期
．
由，得，
∵，∴，
∴．
（Ⅱ）43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，52sin()sin ()126410ππαπα⎡
⎤+=++=⎢⎥⎣⎦。

18.解：（1）
(sin ,cos ),(cos
,sin )66
OA x x OB ωω==， 1,1OA OB ∴==． ………2分 ()OA OB ∴+）()OA OB -=2
2
2
2
110OA OB OA OB -=-=-=．…4分
OA OB ∴+与OA OB -互相垂直. ………5分
（2）()(sin cos
cos sin )sin()666
f x OA OB x x x π
ππ
λλωωλω==+=+ ………7分
()f x 的最大值为1，1λ∴=. ………8分
设()f x 的最小正周期为T ，
由条件有
21,2,2T T T
πωπ=====， ………10分 ()sin()6
f x x π
π∴=+.
令222
6
2
k x k π
π
π
πππ-
≤+
≤+
，则21
22()33
k x k k Z -
≤≤+∈． 故()f x 的单调递增区间为212,2()33k k k z ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
． ………12分
19.解：（1）
11//sin cos tan 23a b x x x ⇒=
⇒=…………3分
11
sin cos tan 132
1sin cos tan 1
13x x x x x x +++∴===----…………6分
（2）
11
sin cos 0sin cos 33a b x x x x ⊥⇒
+=⇒=-………8分
25
(sin cos )12sin cos 3x x x x ∴-=-=
…………10分
又
(0,)sin cos 0(,)sin cos 0
2x x x x x x π
ππ∈<⇒∈⇒->且……11分
sin cos x x ∴-=
………………12分
20．解：（1）依题意有：(10)(10)(10)f P Q =⋅，
即(1)11012110
k
+
⨯=，所以1k =． ………2分 （2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调， 故只能选②()25Q x a x b =-+. ………4分 从表中任意取两组值代入可求得：
()2512512525Q x x x =--+=--． ………6分 （3）100,(125)
()12525150.(2530)x x Q x x x x +≤<⎧=--=⎨-≤≤⎩
，
100101,(125)()150149.(2530)x x x
f x x x x
⎧++≤<⎪⎪∴=⎨⎪-+≤≤⎪⎩． ………8分
①当125x ≤<时，100
x x
+
在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数， 所以，当10x =时，min ()121f x =（百元）． ………10分 ②当2530x ≤≤时，
150
x x
-为减函数， 所以，当30x =时，min ()124f x =（百元）． ………12分 综上所述：当10x =时，min ()121f x =（百元）． ………13分
21．（1）因为函数)(x g 为奇函数， 所以)()(x g x g =-，即 ，得1±=a ，而当1=a 时不合题意，故1-=a （2）由（1
在区间(1,)+∞上单调递增，
上的值域为]1,2[--， ，故函数)(x g 在区间 2. （3在),0[+∞上恒成立.
3)(3≤≤-x f ，在),0[+∞上恒成立.
所以)(t h 在),1[+∞上递减，显然)(t p 在),1[+∞上递增，
)(t h 在),1[+∞上的最大值为5)1(-=h ，)(t p 在),1[+∞上的最小值为1)1(=p .
所以实数a 的取值围为]1,5[-。