建筑力学第二章 平面力系的基本计算
建筑力学平面一般力系的平衡方程及其应用
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能 转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
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3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
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例4-4 梁AB一端是固定端支座，另一端无
约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
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在使用三力矩式计算出结果后，可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m，集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m
建筑力学 平面一般力系的平衡
Fcy F 2 sin 60 F ND 20 0.866 8.66 8.66kN
（2） 取梁AC为研究对象,受力图如图(c)
M
A
(F
)
0,
F1
2
F
' Cy
6
F
NB
4
0
F
NB
F1 2
F
' Cy
4
6
10 2
8.66 6 4
17.99kN()
F
x
0,
F
Ax
F
' Cx
0
F
Ax
F
' Cx
10kN()
（1） 取梁CD 为研究对象,受力图如图（b）
M C (F ) 0, F 2 sin 60 2 F ND 4 0
F
ND
sin
60
2
8.66 k N()
F x 0, Fcx F 2 cos60 0
Fcx F 2 cos60 20 0.5 10kN
F y 0, F cy F ND F 2 sin 60 0
F
y
0,
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
0
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
17.99
10
8.66
0.67k
N()
求解物体系统平衡问题的要领如下： （1） “拆”：将物体系统从相互联系的地方拆开，在拆开的地方用 相应的约束力代替约束对物体的作用。这样，就把物体系统分解为若 干个单个物体，单个物体受力简单，便于分析。 （2）“ 比”：比较系统的独立平衡方程个数和未知量个数，若彼此 相等，则可根据平衡方程求解出全部未知量。一般来说，由n 个物体 组成的系统，可以建立3n 个独立的平衡方程。 （3） “取”：根据已知条件和所求的未知量，选取研究对象。通常 可先由整体系统的平衡，求出某些待求的未知量，然后再根据需要适 当选取系统中的某些部分为研究对象，求出其余的未知量。 （4） 在各单个物体的受力图上，物体间相互作用的力一定要符合作 用与反作用关系。物体拆开处的作用与反作用关系，是顺次继续求解 未知力的“桥”。在一个物体上，可能某拆开处的相互作用力是未知 的，但求解之后，对与它在该处联系的另一物体就成为已知的了。可 见，作用与反作用关系在这里起“桥”的作用。 （5） 注意选择平衡方程的适当形式和选取适当的坐标轴及矩心，尽 可能做到在一个平衡方程中只含有一个未知量，并尽可能使计算简化。
建筑力学讲义之平面任意力系_secret
3、平面任意力系3．1力的投影、力对点的矩3.1.1 力在坐标轴上的投影已知合力求分力公式：已知分力求合力公式：力投影的要点：力平移力在坐标轴上投影不变；力垂直于某轴，力在该轴上投影为零；力平行于某轴，力在该轴上投影的绝对值为力的大小。
3.1.2 力对点的矩力F与距离d两者的乘积Fd来量度力F对物体的转动效应。
转动中心O称为力矩中心，简称矩心。
矩心到力作用线的垂直距离d，称为力臂。
改变力F绕O点转动的方向，作用效果也不同。
力F对物体绕O点转动的效应，由下列因素决定：（1）力的大小与力臂的乘积Fd。
（2）力使物体绕O点的转动方向。
M O(F)= ±Fd通常规定：逆为正，反之为负。
在平面问题中，力矩为代数量。
力矩的单位：米牛顿⋅（m N ⋅）或米千牛顿⋅（m kN ⋅）。
M O (F )=±2△AOB力矩在下列两种情况下等于零： （1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。
3．2平面任意力系的简化3.2.1 力的平移定理平面任意力系：指各力的作用线位于同一平面内但不全汇交于一点，也不全平行的力系。
力的平移定理：作用在刚体上的力F ，可以平移到同一刚体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于力F 对新作用点之矩。
3.2.2平面任意力系向作用面内任一点简化设在物体上作用有平面一般力系F 1，F 2，…，F n ，如图3－1（a ）所示。
为将这力系简化，首先在该力系的作用面内任选一点o 作为简化中心，根据力的平移定理，将各力全部平移到o 点（图3－1（b ）），得到一个平面汇交力系F 1′，F 2′，…，F n ′和一个附加的平面力偶系n 21,,,m m m 。
其中平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即F 1′=F 1，F 2′=F 2，…，F n ′=F n各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O 点之矩，即,)( ,)( ,)(n 0n 202101F F F M m M m M m ===由平面汇交力系合成的理论可知，F 1′，F 2′，…，F n ′可合成为一个作用于O 点的力R ˊ，并称为原力系的主矢（图3－1（c ）），即R ′= F 1′+F 2′+…+F n ′= F 1+F 2+…+F n =∑F i （3－１）求主矢R ′的大小和方向，可应用解析法。
工程力学平面基本力系课件
矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+ ···+ Fn Fi
i 1
2、平面汇交力系平衡的充要几何条件： 该力系的力多边形自行封闭，即力系中各力的矢
量和等于零。
F 0
§2–2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
例题 2-1 水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方
向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链
第 §2–1 力系的基本类型 二 章 §2–2 平面汇交力系合成与平衡的几何法
平 面
§2–3 平面汇交力系合成与平衡的解析法
基 §2–4 力对点之矩
本 力
§2–5 力偶及其性质
系 §2–6 力偶系的合成与平衡
§2–1 力系的基本类型
平面汇交力系
平面力偶系
平面汇交力系——各力的作用线都在同一平面内且
(1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。
I
P
ND
J
SB
K
(c)
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出P、SB 和ND 的闭和力三角形。
§2–2 共点力系合成与平衡的几何法
（4）由几何关系得： OE EA 24 cm
A
P
tg DE 0.25
24
OE
O
C
O B E 6 arctg0.25 142'
A B
30°
30°
C
P
a
y
SAB B
x
30°
SBC Q 30° P
b
解：
1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。
2. 画出受力图（b)。
§2–4 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2建筑力学与结构(第3版)第二章平面力系的合成与平衡
第三节 平面一般力系
在平面力系中,若各力的作用线都处于同一平面内, 既不完全汇交于一点,相互间也不全部平行,此力系 称为平面一般力系(也称平面任意力系)。平面一般 力系是工程中很常见的力系,很多实际问题都可简化 成一般力系问题得以解决。
一、力的平移定理
作用在刚体上的一个力F,可以平移到同一刚体上的 任一点O,但必须同时附加一个力偶,其力偶矩等于原 力F对新作用点O的矩。这就是力的平行移动定理, 简称力的平移定理。
三、用几何法求平面汇交力系的合力
1.两个汇交力的合成
如图(a)所示,设在物体上作用有汇交于A点的两个力 F1和F2,根据力的平行四边形法则可求得合力R。用 作图法求合力矢量时,可以作图(a)所示的力的平行四 边形,而采用作力三角形的方法得到。
其作法是:选取适当的比例尺表示力的大小,按选定 的比例尺依次作出两个分力矢量F1和F2,并使二矢量
(3)主矢为零,主矩不为零。
(4)主矢与主矩均为零。
四、平面一般力系的平衡条件及平衡方程
(一)平面一般力系的平衡条件
平面一般力系向平面内任一点简化,若主矢F'和主矩 MO同时等于零,表明作用于简化中心O点的平面汇 交力系和附加力平面力偶系都自成平衡,则原力系一 定是平衡力系;反之,如果主矢F'和主矩MO中有一个 不等于零或两个都不等于零,则平面一般力系就可以 简化为一个合力或一个力偶,原力系就不能平衡。
F3的投影: X3=-F3•cos30°=-80×0.866=-69.28(N) Y3=F3•sin30°=80×0.5=40(N) F4的投影: X4=-F4•cos60°=-60×0.5=-30(N) Y4=-F4•sin60°=-60×0.866=-51.96(N) 二、合力投影定理
第二章 平面力系与空间力系
一、平面一般力系的平衡
（一）平面一般力系平衡方程的基本形式
在上一节中，平面一般力系向任选的—点简化，可得到一个主矢量 RO、一个主矩 MO。
而主矢量 RO 与主矩 MO 和原来力系等效。由此而得平面一般力系平衡的必要与充分条件是
主矢量 RO 和主矩 MO 都等于零，即
∑ ∑ RO = (
Fxi )2 + (
∑M ∑M
A B
(Fi (Fi
) )
= =
0 0
∑ M C (Fi ) = 0
（A、B、C 三点不在意直线上）
（三）平面一般力系平衡方程的应用
求解平面一般力系平衡问题的步骤如下：
（2—6）
1、选取研究对象．取分离体，将荷裁、构件和约束进行简化，画受力图。
2、根据受力图中力系的特点，灵活地选取投影轴和矩心。投影轴和矩心的选取原则是：
由此可知，在一般情况下，将平面一般力系向其作用平面内任意—点 O 简化，可得到
一个作用在 O 点的力和一个力偶。O 点叫做简化中小，力矢 RO 叫做原力系的主矢量，MO 叫做原力系对 O 点的主矩。
必须注意的是，力 RO 并非原力系的合力，而只是作用在简化中心的平面汇受力系的合 力。主矢量 RO 的大小和方向与简化中心的位置无关，而主矩 MO 的大小和转向则—般将由 于所选简化中心的位置不同而改变。
R =Rxi+Ry j =-150i
由
M O (R) = xRy − yRx = −(−150) y = −900 mm
得合力作用线的位置 y = −6mm ，见图 2—6（c）。
第二节 平面力系的平衡
平面力系的平衡，是指受平面力系作用物体相对于惯性参照系处于静止或作匀速直线 运动的状态，即加速度为零的状态。平面力系的平衡条件是指受平面力系作用的物体处于 平衡状态时，作用在物体上的力系应满足的条件。
静力学平面力系
第四节
平面力系的简化
简化中心：任选一点 O
平面汇交力系
FR F1 F2 Fn F1 F2 Fn F
附加力偶系
M1 、M2 、… 、Mn
F1 F2 F3 Fn
MO M1 M 2 M n MO ( F1 ) MO ( F2 ) MO ( Fn ) MO ( F )
解 方法一 按力矩的定义计算。
O h r O
h r
O
r O
r
MO ( Fn ) Fnh Fnr cos
56.38 N m
方法二
Ft
Fn
a)
a) 图 图 2-8 2-8
Ft
1000 0.06 cos 20
Fr
Fr
b)
Fn
Fn
Fn
b)
用合力矩定理计算。
将力Fn分解为圆周力（或切向力）Ft和径向力Fr ， 则
定理 在同一平面内，力偶矩相等的两力偶等效。 证明（略）
第二章
平 面 力 系
第三节 力 偶
四、力偶的性质
性质1 力偶无合力。力偶在任意轴上的投影为零。 性质2 力偶对其作用面内任一点之矩均等于力偶矩，而 与矩心的位置无关。 性质3 只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意 移动和转动，并可任意改变力的大小和力偶臂的长短
反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出力 F 的大 小和方向：
F Fx2 Fy2
Fx cos F
cos
Fy F
第二章
平 面 力 系
第一节
力在轴上的投影与力的分解
二、力沿坐标轴分解
《建筑力学》教案
《建筑力学》教案一、教学目标1. 了解建筑力学的基本概念和原理，掌握力学的基本计算方法。
2. 能够运用建筑力学知识分析和解构建筑结构中的受力情况。
3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 第一章：建筑力学基本概念教学重点：力学的基本概念、力学单位制、牛顿运动定律。
教学难点：牛顿运动定律的理解和应用。
2. 第二章：平面力系教学重点：力的合成与分解、平行四边形法则、力的矩、力的偶矩。
教学难点：力的合成与分解的计算、力的矩的理解。
3. 第三章：空间力系教学重点：空间力的合成与分解、空间力的平行四边形法则、空间力的矩。
教学难点：空间力的合成与分解的计算、空间力的矩的理解。
4. 第四章：轴向拉伸与压缩教学重点：轴向拉伸与压缩的基本概念、应力、应变、弹性模量、屈服强度。
教学难点：应力、应变的计算、弹性模量和屈服强度的理解。
5. 第五章：扭转教学重点：扭转的基本概念、扭矩、剪切应力、扭转刚度。
教学难点：扭矩的计算、剪切应力的理解、扭转刚度的概念。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解建筑力学的基本概念和原理，并通过实例进行解释和阐述。
2. 使用图形和模型辅助教学，帮助学生建立空间想象能力。
3. 引导学生进行课堂练习和思考，培养学生的解决问题的能力。
4. 组织课堂讨论和小组活动，促进学生之间的交流和合作。
四、教学评估1. 课堂练习：布置相关的习题和案例，检查学生对建筑力学知识的掌握程度。
2. 小组讨论：评估学生在小组活动中的参与程度和合作能力。
3. 期末考试：全面测试学生对建筑力学的理解和应用能力。
五、教学资源1. 教材：《建筑力学》教科书。
2. 图形和模型：力学图示、建筑结构模型。
3. 计算机软件：用于辅助教学和计算的软件。
4. 网络资源：相关的在线教学资源和案例。
六、第六章：弯曲教学重点：弯曲的基本概念、弯曲应力、弯曲变形、梁的弯曲强度。
教学难点：弯曲应力、弯曲变形的计算、梁的弯曲强度的理解。
第二章 平面力系的平衡与计算
第二章 平面力系的平衡计算概述作用在物体上各个力的作用线若都处在同一平面内，则这些力所组成的力系称为“平面力系”。
平面力系中包含两种最基本的力系：平面汇交力系和平面力偶系。
除平面基本力系之外的平面力系，统称为平面一般力系。
平面任意力系在工程实际中应用最为常见，许多实际问题都可以简化为平面力系来处理。
本章主要研究平面基本力系的合成与平衡、平面任意力系的简化和平衡、物体系统的平衡问题，并介绍静定与超静定问题及摩擦问题的概念。
第一节 平面汇交力系的合成与平衡平面力系中，若力的作用线在同一平面内且汇交于一点，这样的力系叫做平面汇交力系。
图2-1表示用钢索吊起重物，铁环A 受到三个力F T1、F T2和F T3的作用，三力作用线汇交于 A 点，构成平面汇交力系。
图☞❆☞❆一、平面汇交力系合成与平衡的几何法1、平面汇交力系合成的几何法如图2-2（a ），设刚体上作用有三个力F 1、F 2、F 3，且三力汇交于一点O ，求它们的合力。
具体做法是： （1）选定比例尺，沿F 1方向作有向线段ab 表示力F 1。
a 为F 1始端，b 为F 1终端（图2-2b ）。
由b 点按同样比例尺沿F 2方向作有向线段bc 表示F 2。
（2）连ac ，矢量ac 就是力F 1、F 2两力的合力F R12，由比例尺可量出它的大小。
（3）由c 作有向线段cd ，其大小为F 3的数值，方向沿F 3。
（4）连ad ，有向线段ad 就是合力F R 。
实际上，通常只是求三力合力 F R ，因而 F 1、F 2两力的合力F R12可不必作出。
这样只要将力系中的各力矢量首尾相接得一开口多边形，最后由第一力矢量的始端到最后一力矢量的终端连一矢量，即开口多边形的封闭边就是平面汇交力系的合力。
根据一般规律，可以将上述方法推广到由n 个力组成的平面汇交力系的情况，得到如下结论：平面汇交力系的合成结果为一合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于以各力为边的力多边形的封闭边。
建筑力学 第二章 平面汇交力系
一、平面汇交力系的合成
桁架： 由若干直杆彼此在两端铰接而成的一种结构。
桁架中各杆的铰接点称为节点。
一、平面汇交力系的合成
工程实例：
一、平面汇交力系的合成
一、力在坐标轴上的投影 力 投影
X=Fx=Fcos Y=Fy=Fsin=F cos 投影 力 注：力在坐标 2 2 F Fx Fy 轴上的投影为 代数量，即标 X Fx cos Y F y 量，其值可正、 cos F F F F 可负、可为零。
一、平面交汇力系的合成
步骤）：1、据力在刚体上的可传性
原来的平面汇交力系就转 化为平面共点力系；2、据平行四边形法则求合力R。
F1 O
F2
F1 F2 O F3
F3 Fn
合力为各力的矢量和，即
Fn
R Fi
R
一、平面交汇力系的合成
F1
平面汇交 力系的合成：力的多边形法则
F2
A
F3
F3
合力：
FR
夹角：
2 2 FRx FRy 171.3N F arctan Rx 40.99o FRy
§1.2 平面汇交力系的平衡
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件 是该力系的合力为零。
Rx X 0 Ry Y 0
R 0 Rx Ry 0
45
D
所受的力。
§1.2 平面汇交力系的平衡
例题
解：
取AB为研究对象，其受力图为：
F E FA A
A
C
FC
C
F
45
45
B
B D
第2章 建筑力学
作用于同一个物体上。
说明：①对刚体来说，上面的条件是充要的
②对变形体来说，上面的条件只是必要条件(或多体中)
③二力体：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体。
二力杆Biblioteka 公理2加减平衡力系原理
在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变 原力系对刚体的作用。 推论1：力的可传性。 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一
例:如图1-28a所示，梁AB上作用有已知力F，梁的自重不计，A 端为固定铰支座，B端为可动铰支座，试画出梁AB的受力图。
例:如图1-28a所示，梁AB上作用有已知力F，梁的自重不计，A 端为固定铰支座，B端为可动铰支座，试画出梁AB的受力图。 【解】 (1)取梁AB为研究对象。 (2)画出主动力F。 (3)画出约束力。梁B端是可动铰支座，其约束力是FB，与 斜面垂直，指向可设为斜向上，也可设为斜向下，此处假设斜 向上。A端为固定铰支座，其约束力为一个大小与方向不定的R， 用水平与垂直反力Fax、Fay，表示，如图1-28b。
公理3
力的平行四边形法则
R F1 F2
公理3
力的平行四边形法则
作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
R F1 F2
推论2：三力平衡汇交定理
刚体受三力作用而平衡，若其中两力作 用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（必共面， 在特殊情况下，力在无穷远处汇交——平行 力系。）
7、空间固定端
7、定向支座
约束力—— 沿链杆方向的力 一个力偶
第二节 结构计算简图
一、结构计算简图
工程力学平面力系
F
' R
=
O
MO
一个力和一个力偶
2、主矢、主矩
n
n
FR Fi Fi
i1
i1
(与简化中心位置无关)
n
n
MO Mi MO(Fi)
i1
i1
(与简化中心有关)
3、结论 平面任意力系向作用面内一点简化，得到一个力和一个 力偶。此力作用在简化中心，大小、方向等于主矢；此 力偶的力偶矩等于主矩。
几点说明： 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位 置无关。
的大小和方向，即
y
b´ Fy
a´
Oa
B
F
Fx
b
x
F
F2 x
Fy2
cos Fx c, os Fy
F2 x
Fy2
F2 x
Fy2
式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
应注意
（1）力的投影是代数量，而力的分量是矢量； （2) 只有在正交坐标系中力的投影才等于分力的
大小，在斜坐标系中二者的数值不相等。
2 合力投影定理 y
x 合力在任意轴上的投影，等于诸分力在同一轴上投影的代数和。
2 合力投影定理
合力在任意轴上的投影，等于诸分力在同一轴上投 影的代数和。
FRx Fx
FRy Fy
FF F R
22(
Rx Ry
F x)2 (
F y)2
tg FRy Fy
FRx
Fx
三、平面汇交力系的平衡方程
1.力在轴上的投影
力在某轴上的投影，等于力
y
的模乘以力与该轴 正向间夹角的余弦。
y
F xF cos
Fy Fcos
建筑力学2平面力系
12
2.2 力对点之矩与平面力偶 2.2.1 力对点之矩—简称为：力矩 在力的作用下，物体将发生移动和转动。力 的转动效应用力矩来衡量，即力矩是衡量力转 动效应的物理量。 讨论力的转动效 应时，主要关心 力矩的大小与转 动方向。
13
1.定义 力臂—某定点O到力F的作用线的垂直距离。
矩心—该点O称为矩心。 力对点之矩—力使物体绕某点转动效应的度量。其 数值等于力的大小F与力臂d的乘积。其方向，规 定：力使物体绕矩心逆时钟方向转动时力矩为正， 反之为负。记为 MO(F)=±Fd
F F
y
0
FAC FAC
3
解得
x
4 2 32 63.2kN 4
FT 2
2 12 2 2 FT 2
FT 1 0
0
FAB FAC FAB
1 12 2 2
解得
4 2 32 41.6kN
0
力FAC 是负值，表示该力的假 设方向与实际方向相反 ， 因此杆AC是受压班。
力的等效平移的几个性质：
1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附 加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的 位置的不同而不同。
2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内
的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原
力大小相等的平行力。
3、力平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一 个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。
9
【例2-5】重W=20kN的重物被绞车匀速吊起，绞车 的绳子绕过光滑的定滑轮A,，滑轮由不计重量的 杆AB、AC支撑，A、B、C三点均为光滑铰链， 可忽略滑轮A的尺寸。求杆AB、AC所受的力。
B
4 A FBA B A FAB FAC F’AB y A x F’AC FT2 FT1
平面力系的合成与平衡—平面一般力系的平衡方程和应用(建筑力学)
y
0
FAy FB 80 5 2 0
M F 0
A
FB 4 80 2 5 2 5 0
解上述方程，得：
FAy 37.5kN
FB 52.5kN
结果均为正，说明其实际方向与假设方向相同。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
例4.10 在图示刚架中，已知q=3kN/m，F 6 2kN ，M=10kN.m，不计刚架自重。
求固定端A处的约束力。
解：(1)取刚架为研究对象；(2)画受力图；
(3) 列平衡方程：
Fx 0
Fy 0
M A F 0
解得：
1
FAx q 4 F cos45 0
2
FAy F sin 45 0
1
1
M A q 4 4 M F sin 45 3 F cos45 4 0
M
M
i
( Fi ) 0
B ( Fi ) 0
A
不能选择与力垂直
的投影轴
A、B两点的连线
不与各力作用线
平行。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
三、平面一般力系平衡方程的应用
基本步骤：
1、根据求解的问题，恰当选取研究对象：要使所取物体上既包括已知条
件，又包含待求的未知量。
2、对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
一、平面一般力系的平衡方程
平面一般力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR'=0
MO=0
因为 FR‘= （∑）2 + （∑）2
建筑力学第2章平面汇交力系和平面力偶系
图 2.14
25
小结
本章主要研究了两种特殊力系———平面汇交 力系、平面力偶系的合成与平衡问题。 （1）平面汇交力系
1）平面汇交力系的合成 ①几何法：用力的多边形法则求合力。特点是形象 、直观，但不精确。主要用在定性分 析上。 ②代数法：用合力投影定理求合力。这是一种精确 方法，也是常用的方法。
26
7
图 2.2
8
（2）力在平面直角坐标系中的投影 如果把力 F 依次在其作用面内的两个正交轴 x 、y上投影（图 2.3），则有
9
（3）合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于各个分力在同一轴上 的投影的代数和。这就是合力投影定理。
10
图 2.3
图 2.4
11
（4）平面汇交力系合成的代数法假设有一平 面汇交力系作用在刚体上的 O 点，现要求其合力 。为此，首先建立一个合适的平面直角坐标系，为 了简化计算，应让尽量多的力位于坐标轴上。然后 再把每个力进行投影；并利用式（2.4）求出合力 FR在这两个轴上的投影。于是，合力的大小和方 向可由下式确定：
20
图 2.9
图 2.10
21
图 2.11
图 2.12
22
图 2.13
23
2.3.2 平面力偶系的平衡 与平面汇交力系的平衡条件类似，平面力偶系 的平衡条件是：平面力偶系平衡的充分必要 条件是组成力偶系的各力偶的力偶矩的代数和为零 。即
24
2.3.3 平面力偶系平衡方程的应用 求解物体在平面力偶系作用下的平衡问题时， 一定要注意：力偶只能由力偶去平衡。
2
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 我们知道，若平面汇交力系是由两个力组成， 则可用力的平行四边形法则去求它们的合力。若平 面汇交力系是由两个以上的力组成时，只要先求出 任意两个力的合力，再求出这个合力和另一个力的 合力，这样继续下去，最后得出的就是这许多力的 合力。
建筑力学 第二章 平面汇交力系
图示三角支架，求两杆所受的力。 例 1 图示三角支架，求两杆所受的力。 解：取B节点为研究对象， 节点为研究对象， 画受力图 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
− FNBC sin 30 0 − F = 0
解得： 解得：
FNBA FNBC
FNBC = −2 F = −60 KN
5
力投影的要点： 力投影的要点：
①力平移，力在坐标轴上投影不变； 力平移，力在坐标轴上投影不变； 力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； ②力垂直于某轴，力在该轴上投影为零； 力平行于某轴， ③力平行于某轴，力在该轴上投影的绝对 值为力的大小。 值为力的大小。
平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 平面汇交力系的合力在任一轴上的投影， 等于各分力在同一轴上投影的代数和。 等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：
合力投影定理： 合力投影定理：
FRX = FX 1 + FX 2 + ⋅⋅⋅ + FXn = ∑ FXi FRY = FY 1 + FY 2 + ⋅⋅⋅ + FYn = ∑ FYi
6
平面平行力系：各力作用线平行的力系。 平面平行力系：各力作用线平行的力系。
平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面一般力系：除了平面汇交力系、平面力偶系、 平面平行力系之外的平面力系。 平面平行力系之外的平面力系。
解： 轴销作为研究对象，画出其受力图。 1. 取滑轮B 的轴销作为研究对象，画出其受力图。
13
2、列出平衡方程： 列出平衡方程： 建立平衡方程： 由 ∑FY = 0 ，建立平衡方程：
解得： 解得： 建立平衡方程： 由 ∑FX = 0 ，建立平衡方程： 解得： 解得： 为负值， 反力FNBA 为负值，说明该力实际指向与图上假定 实际上受拉力。 指向相反。即杆AB 实际上受拉力。 指向相反。
建筑力学 第2版课件第二章 平面力系的合成与平衡
平面力系的合成与平衡
➢ 力偶
平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系可合成一个合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩之和:
M M1 M 2
n
Mi Mi
i 1
平面力偶系的平衡条件是各分力偶的代数和为零,即：
n
M
i 1
i
0
2-
平面力系的合成与平衡
例2-3
如图2-12，已知
F1 F1' 5kn
➢ 力的平移定理
作用于刚体上某点力F，可以平行移动到刚体上任意一点，但须同时附加一个力
偶，此附加力偶的矩等于原力F 对新作用点的矩。
m Fd m0 ( F )
2-
平面力系的合成与平衡
➢ 力的平移定理
力线平移的几个性质：
1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶矩的大小与正负一般要随指
平面汇交力系平衡问题的解析法解题步骤如下:
步骤一
步骤二
选取研究对象，画受力图
建立坐标系
步骤三
根据平衡条件列出平衡方程，并求解未知量
2-
平面力系的合成与平衡
例2-7
如图2-20a所示简易起重机，已知起吊重物重10kN，α=45°，β=60°，滑轮和杆的
自重不计，滑轮大小和滑轮轴承的摩擦忽略不计。支架A、B、C三处的连接均为铰接，
➢ 解析法
3、用解析法求平面汇交力系的合力
（1）可选直角坐标系，先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影，
（2）再根据合力投影定理求得合力在x，y轴上的投影Rx,Ry
（3）合力R的大小和方向由下式定，即
R R R ( Fx ) ( Fx )
2
x
2
建筑力学第二章完整版
各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系，称为平面汇交力系（coplanar concurrent forces），它是一种基本的力系，也是工程结构中常见的较为简单的力系。
本章研究平面汇交力系的合成（简化）与平衡，重点是讨论平衡问题。
研究的方法有：(1) 几何法（矢量法）；(2) 解析法（投影法）。
平面汇交力系的平衡问题不仅是研究复杂力系平衡问题的基础，而且由于它所涉及的基本概念和分析方法具有一般性，因而在整个静力学理论中占有重要的地位。
一、三力情况设刚体上作用有汇交于同一点O的三个力 F → 1 、 F → 2 、 F → 3 ，如图2-1a 所示。
显然，连续应用力的平行四边形法则，或力的三角形法则，就可以求出合力（resultant force）。
首先，根据力的可传性原理，将各力沿其作用线移至O点，变为平面共点力系（图2-1b），然后，按力的三角形法则，将这些力依次相加。
为此，先选一点A，按一定比例尺，作矢量AB →平行且等于 F → 1 ，再从B点作矢量 BC →平行且等于 F → 2 ，于是矢 AC →即表示力 F → 1 与 F → 2 的合力 F → 12 （图2-1c）。
仿此，再从C点作矢量 CD →平行且等于 F → 3 ，于是矢量 AD →即表示力 F → 12 与 F → 3 的合力，也就是 F →1 、 F → 2 和 F → 3 的合力 F → R 。
其大小可由图上量出，方向即为图示方向，而合力的作用线通过汇交点O（图2-1e）。
图2-1其实，由图2-1c可见，作图时中间矢量 AC →是可以省略的。
只要把各矢量 F → 1 、F → 2 、 F → 3 首尾相接，形成一条折线ABCD，最后将 F → 1 的始端A与 F → 3 的末端D相连，所得的矢量 AD →就代表合力 F → R 的大小和方向。
这个多边形ABCD叫力多边形（force polygon），而代表合力的 AD →边叫力多边形的封闭边。
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X 4 60(kN )
Y4 0
RX X1 X 2 X 3 X 4 42.42 0 48 60 65.58(kN )
RY Y1 Y2 Y3 Y4 42.42 60 36 0 53.58(kN )
R RX 2 RY 2 65.582 53.582 84.68kN
F
d F'
两个力对物体的转动效应则理应由该力偶 之矩即力偶矩决定。
m(F1, F2 ) Fd
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2 平面力偶的性质
1）力偶无合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。 力偶只能和力偶平衡，而不能和一个力平衡。
2）力偶中两个力在任意坐标轴上投影之代数和为零。
3）力偶中两力对任一点取矩恒等于力偶矩，而与矩心的位 置无关。
FRx F1x F2x F3x F4x Fx
FRy F1y F2 y F3 y F4 y Fy
x
FRx Fx
FRy Fy
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
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计算图示平面汇交力系的合力，其中 F1 F2 F3 F4 60kN
n
合力偶矩： MR Mi i 1 平面力偶系合成结果是一个合力偶,其力偶矩为各力偶
矩的代数和。
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2.5力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F ，可以平行移到刚体上任一点B，
但必须同时附加一个力偶。这个力偶的力偶矩等于原来的力
F 对新作用点B的矩。
力F
力系 F,F , F
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tg Ry Rx 53.58 65.58 0.817
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2.3力矩
1 力对点之矩
MO (F ) Fh
＋
－
力臂
A
F
h
B
O
MO (F ) 2SABO
矩心
说明：
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且与矩心位置有关。
② 力对点之矩不因力的作用线移动而改变。
③ 当F=0 或 h=0 时， MO (F ) =0。
4）力偶可以在其作用面内任意移动，不影响它对刚体的作 用效应。
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5）只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中 力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体 的作用效应。
6N
8N 3N
24Nm 24Nm
4m
3m
8m
6N
3N
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3 平面力偶的合成
对于 n 个力偶组成的平面力偶系：
1 45
X1 F1 cos1 60 cos 45 42.42(kN )
Y1 F1 sin 1 60sin 45 42.42(kN )
X2 0
Y2 F2 60(kN )
X 3 F3 cos3 60 0.8 48(kN )
Y3 F3 sin3 60 0.6 36(kN )
④ 互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
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2 平面力矩的计算方法
方法一：根据定义公式计算。 方法二：根据三角形面积计
算，大小为三角形 面积的二倍。 方法三：应用合力矩定理计算。
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2.4力偶与力偶矩
1 力偶及力偶矩的概念 由大小相等，方向相反， 作用线平行的两个力组 成的力系称为力偶。
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第二章 平面力系的基本计算
2.1力在坐标轴上的投影
1 力在平面坐标轴上的投影
y
B
Fy
F
A
o
Fx
x
Fx=F·cos Fy=F·sin
F Fx2 Fy2 cos Fx
F
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2.2合力投影定理
y
F4
FR
F3
F1
FRx
F2 F4x
o
F1x F2x
F3x
由图可看出，各分力在x 轴和在 y轴投影的和分别为：
'
M M
力 F 力偶 （F，F ）