1-5亥姆霍兹定理

r r r r r ∇ × F = ∇ × (G + g ) = ∇ × G + ∇ × g
r ∴ ∇×g = 0
根据矢量恒等式
∇ × ∇ϕ ≡ 0
（1-5-4）
则令
r g = ∇ϕ
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பைடு நூலகம்
将（1-5-4）代入 （1-5-3） ２ ）
∇ ⋅ ∇ϕ = ∇ ϕ = 0
2
（1-5-5）
而满足拉普拉斯方程的函数不会出现极值， 而满足拉普拉斯方程的函数不会出现极值，若给定 边界条件， 边界条件，则满足拉普拉斯方程的 ϕ 函数应该是
亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。 亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。
已知
r 电荷密度ρ 矢量 F的通量源密度 在电磁场中 r r 的旋度源密度 电流密度 J 矢量 F
场域边界条件
场域边界条件
（矢量
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r F
唯一地确定） 唯一地确定）
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（3）综合（1）与（2），则 ），则 ）综合（ ） ），
r r r r F = F1 + F 2 = −∇ ϕ + ∇ × A
证毕
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应用：静电场是无旋场， 应用：静电场是无旋场，可以表示为标量 场的梯度，这个标量场就是电位；用标量 场的梯度，这个标量场就是电位； 场的电位间接表示矢量场的电场， 场的电位间接表示矢量场的电场，在数学 处理上带来许多便利。 处理上带来许多便利。
1.5
亥姆霍兹定理
一、亥姆霍兹定理： 亥姆霍兹定理：
r 在无限空间中处处单值， 若矢量场 F 在无限空间中处处单值，且其导数连
续有界，而源分布在有 限空间中，则矢量场由 限空间中， 续有界， 其散度、旋度和边界条件唯一确定 唯一确定； 其散度、旋度和边界条件唯一确定；且可表示为 一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。 一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。
r （1） 对无旋场 ∇ × F1 = 0 ）
r r r F = F1 + F 2
（1-5-6）
Q
∴ 令 F1 = −∇ ϕ （1-5-7）
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（2） 对有旋场 ）
Q ∴
r ∇ ⋅∇ × A ≡ 0 r r 令 F2 = ∇ × A
r ∇ ⋅ F2 = 0
两个重要的 恒等式之一
（1-5-8）
ϕ =c
由（1-5-4） ）
有限的常数
r g = ∇ϕ = 0
唯一
r r r r 由（1-5-2） F = G + g = G ）
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2、证 、
r r F = −∇ ϕ + ∇ × A
：
r r 可表示为一个无旋场 有散场）和一个有旋场 可表示为一个无旋场 F1 （有散场）和一个有旋场 F 2
r r Q ∇ ⋅ F = ∇ ⋅G
r r r 令 F =G+g （1-5-2） r r r r r 则 ∇ ⋅ F = ∇ ⋅ (G + g ) = ∇ ⋅ G + ∇ ⋅ g
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r ∴ ∇⋅g = 0
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（1-5-3）
2
对 （1-5-2） 两边取旋度
r r Q ∇× F = ∇×G
之和： （无散场 ）之和：
设在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场， 设在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场， 既有散度又有旋度的矢量场
即
必使其散度不会 处处为零， 任一物理场必有源来激发它， 处处为零， 任一物理场必有源来激发它，若这个场 的旋涡源和通量源都为零，则场不存在。 的旋涡源和通量源都为零，则场不存在。 Q ∇ × ∇ϕ ≡ 0 两个重要的恒 r 等式之一
r r F = −∇ ϕ + ∇ × A
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二、亥姆霍兹定理的证明： 亥姆霍兹定理的证明：
1、证矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定： 、证矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定： r r 设在无限空间中存在两个矢量函数 F 、 G ， 它们具有相同的散度和旋度。 它们具有相同的散度和旋度。