线代第六节13节

aij a ji
( x1 x2
a11x1 a12 x2 a1n xn
xn
)
a21x1
a22
x2
a2n
xn
an1x1 an2 x2 ann xn
2 2 ax11 xa1211x1a12ax112xx22 aa11nnx1nxn
2 ax21xa22x11x1a2a22x22x2 2 a2an2xn2xxnn
| C1 | 0 , | C2 | 0 | C1C2 || C1 || C2 | 0
故线性变换 X (C1C2 )Z 是非退化的．
30
化二次型为标准型
1.配方法 ①二次型中含平方项
②二次型中不含平方项
例3 用配方法化下列二次型为标准形，并求 出所用的非退化线性变换：
(1)
f
( x1,
x2 ,
x 3
an1
an2
ann
6
f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 6x1x3 2x22 8x2 x3 3x32
1 1 2
1 2 2
3 2
1 1
3 2
1
1
1 3 3
3
0
1 1 3
31
2 4
4 3
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x12 x1 x2 6 x1 x3 2 x1 x4
故线性变换 Y C 1X也是非退化的．
29
⑵．如果从 X到 Y 的线性变换 X C1Y是非 退化的，从 Y 到 Z 的线性变换 Y C2Z也 是非退化的，则存在从 X到 Z 的非退化线 性变换 X (C1C2 )Z . 证明:
X C1Y , Y C2 Z X C1(C2 Z ) (C1C2 )Z
A ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ r( A) r(B)
19
⑤与对称矩阵合同的矩阵还是对称矩阵.
A
B
PT AP B AT A
BT
(PT
AP )T
PT AT P
PT AP B
⑥若A,B都是n阶实对称阵,则 A B A B
注意：合同关系主要用于对称阵，对于非对 称阵一般不谈合同．
20
A B PT AP B
(x73x(71xx31 8x22x3 9x93x) 32 )
x12 6x1x2 10x1x3 5x22 14x2 x3 9x32
1 3 5
所以二次型的矩阵为
3 5
5 7
7 9
15
对于任意 阶n矩阵 ，A 都XT是AX一个二次型， 但 不一定是A这个二次型的矩阵，除非它是 对称矩阵．
x2
c21 y1
c22
y2
...
c2n yn
xn cn1 y1 cn2 y2 ... cnn yn
称为从变量 x1, x2 , ...xn 到变量 y1, y2 , ... yn 的 一个线性变换．
24
化二次型 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) 2x1 x2 2x3 x4为标准形
为一个n元二次型，简称二次型．
f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 a12 x1x2 a13 x1x3
平方项
a22 x22 a23 x2 x3 a33 x32
例如：
乘积项
a1n x1xn a2n x2 xn a3n x3 xn ann xn2
f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 4x1x3 3x22 x2 x3 2x32 是一个３元二次型．
解
令
x1 x2
y1 y1
y2 y2
x3 y3
1 1 0
即 X C1Y
,
C1
1 0
1 0 0 1
代入可得
f 2( y1 y2 )( y1 y2 ) 2( y1 y2 ) y36( y1 y2 ) y3
(
x1
,
x2
,
x3
)
4 7
x1 x1
5 8
x2 x2
6 9
xx33
14
x1 2x2 3x3
(
x1
,
x2
,
x3
)
4 7
x1 x1
5 8
x2 x2
6 9
xx33
(xx1(12x1 2x21x22 3x31)x3 )
(x42x(41xx21 55xx222 6x23x) 3 )
x1 y1 y2
解
作线性变换
x2 x3 x4
y1 y3 y3
y2 y4 y4
（P249６③）
代入可得
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) 2( y1 y2 )( y1 y2 ) 2( y3 y4 )( y3 y4 )
2 y12 2 y22 2 y32 2 y42
xann1 xann1xx11aan2n2xxn2x2 aannnxn xn n2
10
二次型的矩阵表示法
f ( x1, x2 , , xn ) ( x1 x2 X T AX
a11 a12
xn
)
a21
a22
an1
an2
二次型f 称为对称阵Ａ的二次型； 对称阵Ａ称为二次型f 的矩阵； 对称阵Ａ的秩称为二次型f 的秩．
2 x22 4 x2 x3 2 x2 x4
1 3
x32
6 x3 x4
7
a11 a12
? f ( x1, x2,
, xn )
一一对应
a21
a22
an1
an2
a1n
a2
n
ann
8
a11 a12
设
A
a21
a22
an1
an2
a1n
a2n
(aij a ji )
ann
则 f ( x1, x2, , xn ) X T AX
x2 x1 2x3 x1
3 1
2
x22 x3 x2
1 2
x2
x3
2x32
1 1 2
1 2
3
1 2
1
2
2
对称矩阵 5
f ( x1, x2,
4 22 3 2 3 2
, xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13 x1x3 2a1n x1xn
2 2 a1221 x12x21 a22 x22 a23 x2 x3 a2n x2 xn
标准形
25
线性变换的矩阵形式
x1 c11 y1 c12 y2 ... c1n yn
x2
c21 y1
c22 y2
...
c2n
yn
xn cn1 y1 cn2 y2 ... cnn yn
X C Y x1 c11
x2
c21 ...
c12 c22 ...
... ... ...
4
二次型与对称阵
３元二次型
f ( x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 4x1x3 3x22 x2 x3 2x32
x12 2 x1 x2 4 x1 x3
2x1 x3 2x3 x1
x1 x2 x2 x1 3 x22
x2 x3 2x32
1 2
x2
x3
1 2
x3
x2
f ( x1, x2 , x3 ) x12 x1 x2 2x1 x3
如果|Ｃ|=0,即Ｃ不可逆，则称该线性变 换为退化线性变换(或不可逆线性变换)．
28
注：⑴．如果从 X 到Y 的线性变换X CY是非
退化的，则存在从 Y 到 X 的逆变换 Y C1X . 证明:
X CY C 1X C 1CY Y C 1X
| C | 0 | C1 | 1 0 |C |
( x1 2 x2 )2 2 x22 3x32 4 x2 x3
( x1 2 x2 )2 2( x2 x3 )2 2 x323x32 ( x1 2 x2 )2 2( x2 x3 )2 5x32
令
y1 y2
x1 2 x2 x2 x3
y3 x3
得标准形 f y12 2 y22 5 y32
12
对称阵 A
二次型 XT AX
如果A不对称，XT A还X 是二次型吗？
13
1 2 3
例2
已知
A
4
5
6
,
是f（X二）次X型T AX吗？
7 8 9
如果是，求该二次型的矩阵.
1 2 3 x1
解
f（X） X T AX
(
x1
,
x2
,
x3
)
4 7
5 8
6 9
x2 x3
x1 2x2 3x3
性质 ①反身性：A A ②对称性：A B B A ③传递性：A B, B C A C
18
④合同矩阵具有相同的秩.
A B PT AP B
P 可逆
初等矩阵的转 置还是初等阵
P可以表示成一些初等矩阵的乘积
即 P P1P2 Ps
B PT AP ( P1P2 Ps )T A( P1P2 Ps ) PsT P2T P1T AP1P2 Ps
a21 x2 x1
2 a1331 x13x31 a2332 x23 x32 a33 x32 a3n x3 xn
(a2ij1 a1j2i )
a1nn1 x1nxn1 a2nn2 x2n xn2 a3nn3 x3n xn3 ann xn2
一一对应
a11 a12
对称阵
a21
a22
a1n
a2
n
0 y4 1 y4 1 y4
x1 1 1 0 0 y1
X Y
xC2
x3
x4
1 0 0
1 0 0
0 1 1
0
y2
1 1
y3 y4
27
X CY
系数矩阵 C称为线性变换的矩阵． 如果|Ｃ|≠0,即Ｃ可逆，称该线性变换为 非退化线性变换(或可逆线性变换)．
二次型的标准形
二次型理论的核心就 是化二次型为标准形
定义 只含有平方项的二次型
f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 a22 x22 称为二次型的标准形．
ann xn2
a11
标准形的矩阵为对角阵：
a22
ann
23
线性变换
关系式
x1 c11 y1 c12 y2 ... c1n yn
B PsT P2T P1T AP1P2 Ps
对合同关系的 如第果3A经行过乘交 第成23换对的行交 第、换 3列列变乘换2能变
另一种理解： 成加Ｂ到，则第1行Ａ一,2乘与行行Ｂ合1列 加同,2乘到列第一列
2
２
请做249页第4题
21
第六章 二次型
❖ §6.1 二次型与对称矩阵 ❖ §6.2 化二次型为标准形 ❖ §6.3 正定二次型
)
x12
2 x22
3 x32
4x1 x2
4x2 x3
(2) f ( x1, x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
31
(1)
f
( x1,
x2 ,
x 3
)
x12
2 x22
3 x32
4x1 x2
4x2 x3
解
f ( x1 2 x2 )2 4 x22 2 x22 3x32 4 x2 x3
1 2 3
1 3 5
X
T
4
7
5 8
6 9
X
的矩阵是
3 5
5 7
7 9
16
二次型
1 2 2
X
T
3
5
1
X
6 9 6
二次型的矩阵
1
1 2
4
1 2
5
5
4
5
6
请做251页填空题第③题
17
矩阵的合同关系:
定义 设A,B为n阶方阵，若存在n阶 可逆阵P，使得
PT AP B
则称Ａ合同于Ｂ,记为 A B
c1n c2n
y1 y2
...
xn
cn1
cn2
...
cnn
yn
26
x1 y1 y2
x2 x3 x4
y1 y3 y3
y2 y4 y4
x1 1 y1 1 y2 0 y3 0 y4
x x x
2 3 4
1 y1 0 y1 0 y1
1 y2 0 y3 0 y2 1 y3 0 y2 1 y3
1
第六章 二次型
❖ §6.1 二次型与对称矩阵 ❖ §6.2 化二次型为标准形 ❖ §6.3 正定二次型
第六章 二次型
❖ §6.1 二次型与对称矩阵 ❖ §6.2 化二次型为标准形 ❖ §6.3 正定二次型
ｎ元二次型
定义 含有ｎ个变量 x1, x2 , , xn 的二二次次齐齐次次多多项项式式称
32
令
y1 y2
x1 2 x2 x2 x3
y3 x3
x1 y1 2 y2 2 y3
x2
y2 y3
x3 y3
得标准形 f y12 2 y22 5 y32
所用非退化线性变换为 X CY , 其中
1 2 2
C
0
1
1
0 0 1
33
(2) f ( x1, x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
x1 x2
a11 a12
xn
a21
a22
an1
an2
x1
X
x2
xn
a1n x1
a2n
x2
ann
xn
9
f ( x1, x2 , , xn ) ( x1 x2
a11 a12
xn )
a21
a22
an1
an2
a1n x1
a2n
x2
ann
xn
a1n x1
a2n
x2
ann
xn
11
例1 已知二次型
f（x1，x2，x3） 5x12 5x22 cx32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3
的秩为2，求c 的值．
解: 二次型的矩阵为
5 1 3 1 5 3
A
1
5
3
3 3 c
0
0
2 0
1
c 3
r（A） 2 c 3