微分几何--第二章1曲面的概念1.3曲面上的曲线族和曲线网
微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念ppt课件
方 向 称 为 曲 面.的 法 方 向 过 该 点 平 行 于直 法线 方叫 向做 的曲 面 在
法 法 单线 .向 位 N 量 法 rn u r向 vr， urv量 .
P
rr ppt精选版 uv
如果任意两条异族曲线不相切，则称该曲线网为
正规曲线网.
注 (1)正则曲面上的曲纹 网坐 是标 正规. 网 (2)曲面的正常点总则 在曲 一面 正片上，
因而其上的曲纹是 坐正 标规 网. 网
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12
从 则 在 r u ( ru 事u 而 此 0 实,v r上0 u) 连 ， 邻 rr v u如 ( .u 续 0 rv ,域 果 总 v 0 ) 0 点 P,存 (0 内 u,(0因u,在 v0为,0v曲)为 0面)的 是正光一 滑常的，点 个U ， ， 邻 ru,r域 v连 续 , 于 是P点 (u0,v0)在 邻U域 所 对 应 的 正 则 曲 ，面 片 其 上 的 曲 纹 坐 标 网 是规正网. 命题1曲面在正常点的邻域 总中 可以用形如
法线方程为： XxYyZz.
p q 1
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19
例1求圆 (S):柱 r {R 面 co ,R ss i,n t}在任 P (一 ,t)处
解：的 r { R 切 co ,R 平 ss i ,面 t} .n ,和法线方程
r { R si,R n co ,0 }rs t,{0,0,1},
z z ( x ,y ) 或 y y ( x ,z ) 或 x x ( y ,z )
证： 设总 的点P参存 (u数0(,u表v在 00,示)v为0.)的 正常一点则 个 ，r u U( ， u 邻 0 在 ,v 0 域 ) 此 r v ( u 0 ,邻 v r0 u ) r0 v域 ,0 ,
曲面论复习(一)
1.1 简单曲面及参数表示 一 简单曲面 1 约当(Jordan)曲线: 平面上不自交的闭曲线。 2 初等区域：约当曲线把平面分成为两部分，有限的那部分区域 初等区域 叫初等区域。(约当曲线的内部) 3 简单曲面：平面上初等区域到三维空间的一一的、双方连续的 简单曲面 映射的像叫简单曲面。 二 （简单） 简单）曲面的参数方程 1 曲面的参数方程、 曲面的参数方程、曲纹坐标 设 G 是初等区域， G 中点的笛氏坐标是 (u,v) ,G 在空间的一一的 双方连续的像是曲面 S，S 上的点笛氏坐标为（x,y,z), 则 x,y,z 都是
r
r
r
r r r r ( ρ − r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) = 0
切平面方程用行列式表示为：
。
x − x(u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
y − y (u0 , v0 ) z − z (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) = 0 yv (u0 , v0 )
是什么曲线?
θ -曲线：是垂直于 z 轴 的平面与旋转面的交线（纬线）
t - 曲线：是旋转面的母线（经线）
1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 一 光滑曲面,正常点,正规坐标网 1 C k 类曲面: 如果曲面的分量函数有直到 k 阶的连续偏导数,则 称为 k 阶正则曲面或称为 C k 类曲面.
2
2 光滑曲面: C 类曲面叫做光滑曲面.以后假定讨论的曲面都是 光滑曲面. 3 正常点: 对曲面 S 上一点 P0 (u0 , v0 ) , 过 P0 的 u-曲线: r = r (u , v0 ) ,其切向量为 ru (u0 , v0 ) ； 过 P0 的 v-曲线: r = r (u0 , v) ,其切向量为 如果
微分几何第二章
2.3 空间曲线-密切平面方程
设曲线 C: r = (x(t), y(t), z(t)) 是光滑的，P 是曲线上一点，其参数是 t0．设 R = (X, Y, Z) 是 P 点的密切平面上任意一点，则密切平面 方程为：
(R – r(t0), r'(t0), r''(t0)) = 0. 用坐标把密切平面方程表示为：
r'' (t) = (– cost, – sint, 0). 在给定点 P 处的参数 t = 0，所以有
r(0) = (1,0,0)， r' (0) = (0,1,1)， r'' (0) = (– 1,0,0)． 代入密切平面方程并整理得
– Y + Z = 0．
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2.3 空间曲线-基本向量与伏雷内标架
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2.1 曲线的概念
一元向量函数 r(t) 所描绘的图形 C 叫曲线， r(t)叫曲线 C 的参数化，或者叫曲线的向量函 数，t 叫曲线的参数．曲线 C 连同它的参数化 r(t) 一起叫参数曲线．
参数曲线用 C : r = r(t) 表示．如果对某个 t0 使得 r'(t0) ≠ 0，就称 r(t0)（或者简称 t0）是曲 线的正则点．如果曲线上处处是正则点，就称 该曲线是正则曲线，相应的参数叫正则参数．
p /2
L 0 | r(t) | dt
3a
p
/2
sint
costdt
3a.
0
2
因此，星形线的弧长为 6a．
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练习题 1．求旋轮线 x = a(t – sint), y = a(1 – cost) 在0
≤ t ≤ 2p 一段的弧长． 2．求圆柱螺线 x = 3acost, y = 3asint, z = 4at
微分几何曲面论曲面的概念
曲面论
§1 曲面的概念
1.简单曲面及其参数表示；
主要内容 2.光滑曲面 曲面的切平面和法线； 3.曲面上的曲线族和曲线网.
1.1 简单曲面及其参数表示
1.简单曲面
定义1（约当曲线）平面上不自交的闭曲线称为约当曲线.
注
（约当定理）约当曲线分平面为两部分，
并 且 每 一 部 分 都 以 此 曲线 为 边 界 ，
r (u0 , v0 ) [ru(u0 , v0 ) rv (u0 , v0 )]
X x(u0 , v0 )
Y y(u0 , v0 )
Z z(u0 , v0 )
yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 )
3.曲纹坐标网
v坐标直线
v
G
f
z
.
(u0 , v0 )
v坐标曲线 P(u0 , v0 )S
O
u u坐标直线 O
y u坐标曲线
x
设u坐曲标面直( S线)的的方方程程为为 rvr(vu0,,v ),
则 过 曲面(S)上点P(u0 , v0
r r (u, v0 ) {x(u,v0 ), y(u,v0
证：设总点 的存P参(在u数0(,u表 v00,)v示为0 .)的正一常个点邻，则域ruU(，u0在,v0此)邻rv (域u0内 ,vr0u)r0v,
0,y即ຫໍສະໝຸດ urvu yv
z z
u z
,
u z
v v
x x
u x
,
u x
v v
y
u y
0,
(u, v)U .
《曲面的概念》课件
2 物理学模拟
曲面模型可用于模拟和研 究各种物理现象，如流体 力学和弹性变形。
3 医学影像
曲面重建技术在医学影像 中有广泛应用，如计算机 断层扫描和磁共振成像。
常见的曲面类型有哪些？
球面
几何球在三维空间中的外表面。
锥面
以一条直线（轴线）与平面相交，且平面上有 一点到轴线的距离与平面上的任意一点到轴线 的距离之比相等。
圆柱面
以一条直线（轴线）为轴，平行于该轴线的直 线在平面上旋转一周而成的曲面。
二次曲面
通过二次方程定义的曲面，如椭圆面、双曲面、 抛物面。
曲面的图形表示方法
曲面可以通过图形表示方法进行可视化，例如线框图、曲面细分、曲面网格等。
曲面的性质和特点
• 曲面可以具有不同的曲率，如正曲率、负曲率和零曲率。 • 曲面可以是开曲面（无边界）、封闭曲面（有边界）或无限曲面。 • 曲面可以是平面的推广，也可以是非平面的。
曲面与几何形状的关系
曲面可以与其他几何形状相交、相切或包含。它们可以在不同的维度中存在， 如二维曲面和三维几何体。
曲面的应用领域
建筑设计
曲面的创新设计使建 筑物更具视觉吸引力 和独特性。
汽车工程
曲面设计在汽车外观 和空气动力学性能方 面起着重要作用。
航空航天
曲面的流线型设计可 降低阻力，并提高飞 行和航天器的效率。
产品设计
曲面设计赋予产品美 感和
1 数学研究
曲面是数学研究中的重要 对象，对于解决许多复杂 问题具有重要意义。
《曲面的概念》PPT课件
探索曲面的奇妙世界。从曲面的定义和公式，到其应用和重要性，这份课件 将带您深入了解曲面在科学研究和工程设计中的角色。
什么是曲面？
曲面的概念-PPT精选文档45页
曲面的参数方程简写成
x x u , v ,y y u , v ,z z u , v , u , v G
曲面的向量函数的形式：
r ru ,v , u ,v G
Zz0.
谢谢！
经过曲面上每一点有惟一的一条 u-曲线 和惟一的一条 v-曲线，而且这两族曲线彼 此不相切．
这样的两族曲线称为曲面上的一个正规坐 标网．
命题1 曲面在正常点的邻域 U 中总可以有
zzx,y
形式的参数表示．
证明：由于在正常点的邻域 U 内 rurv 0 ，
即矩阵 的秩为2．
x y z
u u u
x v
y v
z v
即三个行列式
x y
y z
z x
u x,,vy u x
u y, u y,,vz u y
u z, u z,,v x u z
u x
v v
v v
v v
共面．
由此得出曲面点的切平面的方程为：
R r u 0 ,v 0 ,r u u 0 ,v 0 ,r v u 0 ,v 0 0
写成坐标的形式
Xxu0,v0 Yyu0,v0 Zzu0,v0 xuu0,v0 yuu0,v0 zuu0,v0 0 xvu0,v0 yvu0,v0 zvu0,v0
其中 R 是球面 的半径．
例3 旋转面：考虑 xOz 平面上的曲线（C）：
x t 0 ,z t , t
把此曲线绕 z 轴旋转，则得一曲面，称为旋转 面．它的 G 是一长方形：
微分几何答案(第二章)
第二章曲面论§1 曲面的概念1. 求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解 u- 曲线为r ={u cos v0 ,u sin v0,bv0}=｛0,0，bv0｝＋u { cosv0, sin v0,0}，为曲线的直母线； v- 曲线为r ={ u0cos v , u0sin v ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u- 曲线为r ={ a （ u+ v0） , b （u- v0） ,2u v0 }={ a v0, b v0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ a v0, b v0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;v- 曲线为r =｛ a（u0 +v） , b（u0 -v ） ,2 u0 v｝ =｛ a u0 , b u0 ,0 ｝ +v{a,-b,2u 0}表示过点 (a u0 , b u0 ,0) 以 {a,-b,2u 0}为方向向量的直线。
3．求球面r ={ a cos sin , a cos sin , a sin } 上任意点的切平面和法线方程。
解r ={ a sin cos , a sin sin , a cos }，r={ a cos sin , a cos cos,0}x a cos cos y a cos sin z asin任意点的切平面方程为 a sin cos a sin sin a cos0a cos sin a cos cos0即 xcos cos+ ycos sin+ zsin- a = 0；法线方程为x a cos cos y a cos sin z a sin。
cos cos cos sin sin4．求椭圆柱面x2y21在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有a2 b2一个切平面。
—解椭 圆 柱 面 x 2y 2 1 的 参 数 方 程 为 x = cos ,y = asin, z = t ,a 2b 2r{ a sin,b cos ,0} , r t { 0,0,1} 。
微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念
rv
S P(u 0 , v0 )r u
X x( u0 , v0 ) Y y( u0 , v0 ) Z z( u0 , v0 ) xu ( u0 , v0 ) xv ( u0 , v0 ) yu ( u0 , v0 ) yv ( u0 , v0 ) z u ( u0 , v0 ) 0 zv ( u0 , v0 )
y z z x x y u u u u u u 即ru rv , , 0, ( u, v ) U . y z z x x y v v v v v v x y x x(u, v ) u u () 不妨设 0, 对于方程组 x y y y(u, v ) v v 满足： (i ) x(u, v )，y(u, v )至少有一阶连续偏微商 ； x0 x( u0 , v0 ) ( ii ) x y y0 y( u0 , v0 ) ( x, y) u u ( iii ) Jocbi 行列式 0, ( u0 ,v 0 ) x y ( u, v ) v v ( u0 ,v0 )
注 z z( x, y )是曲面的一种特殊的参 数表示， 即r r { x , y, z( x , y )}， ( x, y是参数).
2.曲面的切平面和法线
v
(u0 , v0 )
G
v坐标直线
v坐标曲线
z
.
f
P (u0 , v0 ) S : r r ( u, v )
O
y
du r t0 ru ( u0 , v0 ) dt
微分几何第二章曲面论2.1曲面的概念
2、二阶微分方程
2 2 A ( u , v ) du 2 B ( u , v ) dudv C ( u , v ) dv 0
2 若 [ B ( u , v )] A ( u , v ) C ( u , v ) 0
则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。
du du 2 设 A 0, 则 A ( ) 2 B ( ) dudv C 0 dv dv
y z u u y z v v z x u u z x v v
设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)
x ( u ,v ) Y y ( u ,v ) Z z ( u ,v ) 用坐标表示为 X x y u u x y v v
若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有
{ x , y , z ( x , y )} 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r
z z r { 1 , 0 , } { 1 , 0 , p } , r { 0 , 1 , } { 0 , 1 , q } x y x y
X x0 Y y0 Z z0 1 0 0 1 p0 q0 0
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 r (t ) 。
( 由r t)r u
du dv r v dt dt
可以看出，切向量 r (t ) 与 ru , rv 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 ru , rv 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面。
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
第二章 曲面论
第二章曲面论§1曲面的概念1. 求正螺面r⃗={ucosv,usinv,bv}，−∞<u<+∞，−∞<v<+∞上的坐标曲线。
解：u_线的方程为：v=v0，其中v0为常数，将v=v0代入正螺面的方程中，得到r⃗={ucosv0,usinv0,bv0}={0,0,bv0}+{cosv0,sinv0,0}u，−∞<u<+∞，这是经过点(0,0,bv0),以{cosv0,sinv0,0}为方向的直线，显然它与z轴垂直相交，垂足为(0,0,bv0)。
v_线的方程为：u=u0，其中u0为常数，将u=u0代入正螺面的方程中，得到r⃗= {u0cosv,u0sinv,bv}，−∞<v<+∞，这是圆柱螺线的方程。
2. 证明双曲抛物面r⃗={a(u+v),b(u−v),2uv}的坐标曲线就是它的直母线。
证：双曲抛物面在直角坐标系下的隐式方程为x2 a2−y2b2=2z上式可表示为：(xa−yb)(xa+yb)=2z由此可见曲面上有两族直母线Lα:{xa−yb=2αxa+yb=zα和 Lβ:{xa−yb=zβxa+yb=2β其中α，β为参数，且α≠0，β≠0。
曲面上的u_线C u,v的方程为：v=v0，其中v0为常数，将v=v0代入曲面的方程中，得C u,v的向量参数方程：r⃗={a(u+v0),b(u−v0),2uv0}将上式化为参数方程：C u,v:{xa =u+v0y b =u−v0z=2uv0当v0≠0时，在上面的方程中消去变量u得并整理得C u,v0:{xa−yb=2v0 xa+yb=zv0比较C u,v0和Lα的方程可知，C u,v是直线族Lα中α=v0的那条直线。
曲面上的v_线C u0,v 的方程为：u=u0，其中u0为常数,同理可得C u0,v是直线族Lβ中β=u0的那条直线。
证毕3. 求球面r⃗={acosu cosv,acosu sinv,asinu}上任意点的切平面和法线的方程。
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
微分几何-曲面doc
§3.1曲面及其相关概念1. 曲面及其参数表示曲面的坐标形式的参数方程:.曲面的向量形式的参数方程:, .简记为, .称为曲面的参数或曲纹坐标．也称是点的参数或曲纹坐标.例1 (1) 圆柱面cos，sin，z = z,. 其中常数为截圆的半径．当, 时, , , . 于是是点的曲纹坐标.(2) 球面cos cos，cos sin，sin，. 这里, 称为经度，称为纬度. 是球面的半径．当, 时, , , . 于是是点的曲纹坐标.(3) 旋转面把xz平面上一条曲线：x =，绕z轴旋转，得旋转面:x =，y =，．当, 时, , , . 于是是点的曲纹坐标.(4) 连续函数的图象该曲面的参数方程为. 和是参数(曲纹坐标). 是点的曲纹坐标.坐标曲线曲线：, 即.曲线：, 即.一般地, 通过每一点, 有唯一一条曲线和唯一一条曲线.曲纹坐标网例2 （1）圆柱面（例1（1））: cos，sin，z = z.（2）球面（例1（2））: cos cos，cos sin，sin.(3) 旋转面（例1（3））: x =，y =，．(4) 连续函数的图象（例1（4））2. 光滑曲面曲面的切平面和法线在曲面上的(,)点处, u-曲线的切向量, v-曲线的切向量．定义曲面的正则点(正常点) P0(,): r(,)和r(,)不平行.正则曲面: 处处是正则点的曲面.例在双叶双曲面的一叶(、和均为正的常数, , )上, 经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量;经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量.由于在上的任何点处, 和不平行, 故上的点都是正则点, 从而是正则曲面.定理3.1.1曲面在正则点的邻域中总可以有形如z = z(x, y)的参数表示．曲面Σ上一点P0处的切方向(方向): Σ上的经过P的曲线Γ在P0的切方向.曲面：r = r(u, v)上曲线Γ的(曲纹)坐标式参数方程----Γ: u = u(t)，v = v(t).Γ的向量式参数方程:r = r(u(t), v(t)) = r(t).其切方向(t) = r+ r.也可写为d r = r u du + r v dv.定理3.1.2曲面上正则点处的所有切向量都在经过该点的坐标曲线的切向量r和r所决定的平面上．称此平面为曲面在这一点的切平面．曲面上一点的一个切方向的表示:du:dv----表方向d r = r u du + r v dv, 也表方向 -d r = -r u du - r v dv. 二者视为同一方向.例如, du:dv = (-2):3表方向d r = -2r u + 3r v , 也表方向 -d r = 2r u - 3r v . 二者视为同一方向.例环面(为常数, )上的点即点. 该点处的切方向表示方向曲面：r = r(u, v)上在点(,)的切平面的方程：(m- r(,)，r(,)，r(,)) = 0，或写成坐标的形式：．特例对曲面：r ={x，y，z(x, y)}，有r= {1，0，}，r= {0，1，}.所以曲面在点(,)的切平面的方程为：.法方向: 垂直于切平面的方向.法线: 经过曲面上的一点并平行于法方向的直线.法向量: n = r r.单位法向量: n=．曲面的法线方程:m = r(,)+r(,)r(,).若曲面的坐标形式的参数方程为, 则法线方程为特例对曲面：r ={x，y，z(x, y)}，有.例3求圆柱面r= {}(为常数)上任意点的切平面和法线的方程．解因为r=，r={0,0,1}．所以，在任意点的切平面方程为，即.在任意点的法线方程为，即§3.2曲面上的双参数活动标架1. 曲面的双参数活动标架定义曲面：r = r(u, v)的第一基本量E(u, v) = r r，F(u, v) = r r，G(u, v) = r r.令,.根据Lagrange恒等式，有( r r)( r r) = r r－(r r)= EG－F．于是．令由此得到曲面上的正交右手系标架[r(u ,v)；(u ,v)，e(u ,v)，e(u ,v)]. 由于它依赖于两个参数u和v, 故称之为曲面的双参数活动标架.注1 和e所张成的平面就是曲面在一点处的切平面．注 2 不要记e2的上述繁琐的表达式. 要计算e2, 首先计算e1和e3 , 然后用直接计算e2 .注3 r和r也可由和e线性表示. 即r=，r= + e.例1 给出正螺面r ={}(b≠0为常数)上的一个双参数活动标架．解因为r={cos v, sin v, 0}，r={ -u sin v, u cos v, b}，于是E = r r= 1，F = r r= 0，G= r r=．r={cos v, sin v, 0}，e=(r r)={ b sin v , -b cos v , u},={-u sin v, u cos v , b}.2. 外微分形式在平面上建立直角坐标系，点的坐标用(u, v)表示. du和dv是坐标的微分．用表示坐标微分之间的外乘运算. 规定du dv = -dv du,du du =0,dv dv =0.设f(u, v)是定义在平面区域D上的函数，则f(u, v)du dv称为D上的以du dv为基底的二次外微分形式．设f(u, v)和g(u, v)都是定义在平面区域D上的函数. 则f(u, v)du + g(u,v)dv称为D上以du和dv为基底的一次外微分形式，也称为发甫（Pfaff）形式．区域D上的函数f(u, v)称为0次外微分形式.对于两个一次外微分形式，, 和的外乘规定为=.它是一个二次外微分形式.设都是一次外微分形式. 则（为常数），，，．设D是平面上的一个区域，D上的两个Pfaff形式，和分别对应D上的两个向量场a = {},b = {}. 若它们在D上的每一点处都是线性无关的，则称这两个Pfaff形式线性无关．引理3.2.1设给定平面区域D上的两个Pfaff形式和. 若，，则存在D上的函数f(u, v)，使得.引理3.2.2（Cartan引理）设给定平面区域D上的两个线性无关的Pfaff形式和（即）. 若另有D上的两个Pfaff形式和, 使得,则存在D上的函数（i,j = 1,2），使得（i =1,2）,并且（i,j = 1,2）．外微分运算对于0次外微分形式f(u, v)，定义df(u, v) =；对于一次外微分形式, 定义==.对于二次外微分形式，定义=．注外微分把外微分形式的次数提高一次．引理3.2.3(Poincaré引理) 设为平面区域D上的任意次外微分形式. 则．引理3.2.4设f和g都是0次外微分形式，和都是Pfaff形式. 则d(fg)=(df)g + f(dg)，d(f)=df + fd，d(f)=(d)f - df，d()=0．证明作为练习留给读者．3 双参活动标架的基本方程给定曲面: r = r(u,v)上的一个双参数活动标架为[r(u ,v)；(u ,v)，e(u ,v)，e(u ,v)].设其中和(i,j=1,2,3)都是关于du和dv的Pfaff形式，其系数为(u,v)的函数．命题，.证明..引理3.2.5, (i,j=1,2,3)．根据引理3.2.5, 有,, , .故有双参数活动标架的基本方程其中本质的相对分量是、、、和. 其具体表达式可由下列关系式导出:例2确定正螺面r ={u cos v, u sin v, bv}(b≠0为常数)上的双参数活动标架的基本方程中的本质分量.解由例1, 可知E=1, F=0, G=．所以r={cos v, sin v, 0}，=r={-u sin v, u cos v, b}，e=r r={b sin v, -b cos v, u}.，，.d=d{cos v, sin v, 0}={0,0,0}du +{-sin v, cos v, 0}dv,d e=d sin v, -cos v,={-u sin v, u cos v, b}du + {cos v, sin v, 0}dv.,注由于比简单, 所以在计算时, 不用公式.4. 双参数活动标架的结构方程5. 双参数活动标架的基本定理6. 双参数活动标架结构方程的代数认识引理3.2.9在曲面上, 处处有.定理3.2.11其中a、b和c都是和的函数.例3 对正螺面r ={u cos v, u sin v, kv}, 将其相对分量和用和表示时的系数函数求出来.解，，., .于是，由,可得.由, 可得.§3.3曲面上的第一、第二基本形式定义3.3.1设给定曲面: r = r(u, v).选取双参数活动标架[r；，e，e]. 则称为曲面的第一基本形式. 其中(i=1, 2)是与的通常乘积（不是外微分形式的外乘）.引理3.3.1 I . 其中、和为曲面的第一类基本量.定义3.3.2设给定曲面：r = r(u, v). 则Ⅱ= -d r d e称为曲面的第二基本形式.命题(第二基本形式的几种表达法)Ⅱ=-d r d e=r e==.证明微分等式两边, 得r e= -d r d e.于是Ⅱ=r e.Ⅱ.Ⅱ.例2 求圆柱面Σ:r ={,,z}(为常数)的第一基本形式.解r= r={-,,0}, r= r={0,0,1}.于是,,.,.所以Ⅰ.例3 求球面r={,,}(为常数)的第一基本形式.解r= r={-,,0}，r= r={，，}.从而, , .于是，.所以Ⅰ.例4正螺面是这样一种曲面, 它是一条动直线的运动轨迹. 该动直线与一条称为旋转轴的定直线垂直相交,并围绕轴作匀速转动, 同时, 动直线还沿轴的方向作匀速直线运动. 求正螺面的第一基本形式.解取旋转轴为轴，轴的正向与动直线的匀速直线运动方向一致. 以表示旋转时的角速度, 表示作匀速直线运动的速度. 取时的位置为轴. 以表示上的点到轴的有向距离. 于是在时刻, 与轴正向的夹角, . 从而, , .即, , .令(常数). 则正螺面有参数方程, , .从而其向量式方程为.其中和为参数. 故, .从而, , .于是,.所以Ⅰ.例5求球面r ={,,}(为常数)的第二基本形式.解由例3可知={-,,0},e={-,-,},e={,,}.,,={-,,0}{,,},所以Ⅱ．例6求正螺面r(为常数)的第二基本形式.解因为r,r..,e,e.，，,.所以Ⅱ.§3.4曲面上第一、第二基本形式的几何1. 曲面上曲线的弧长命题设给定曲面上的曲线. 则的弧长.其中、和为第一类基本量.2. 曲面上两方向的夹角曲面上的切方向的表示法给定曲面. 其上的一点的切方向可表示为(1) ;(2) ----指方向;(3) ----指方向.注因为，故和可互相决定. 因而和实际上是同一方向的不同表示而已. 上式给出了这两种表示之间的内在联系.命题曲面上的两个切方向和的夹角．切方向和的夹角．证明定理3.4.1曲面上一点处的两个方向和互相垂直.曲面上一点处的两个方向和互相垂直.定义两条相交曲线在其交点处的切线的夹角称为这两条曲线在该交点处的夹角. 若该夹角为直角, 则称这两条曲线在该交点处正交.命题曲面上的-曲线和-曲线的夹角．推论曲面的曲纹坐标网是正交网(即任何-曲线和-曲线均正交).3. 正交曲线族和正交轨线定义与曲面上的一族曲线中的每一条均正交的曲线称为该族曲线的正交轨线.命题微分方程所代表的曲线族的正交轨线的微分方程是．4. 曲面的正交曲纹坐标网定理3.4.2在任意正则曲面上总可以取到正交的曲纹坐标网.命题若曲纹坐标网是正交网, 则，,.，．5. 曲面域的面积命题曲面的面积．6. 曲面上曲线的曲率定义3.4.2设点是曲面上的曲线上的一点, 是在点的曲率, 是在点的主法向量. 则称为在点的曲率向量, 称为在上的点处沿曲线的切方向的法曲率. 当时, 规定法曲率.推论1 在法曲率的定义中,.其中是和的夹角.推论2在法曲率的定义中, 设为, 为, . 则,.其中, 是的自然参数, 为从转到的单位切向量的有向角(在切平面上, 以为横轴正向, 为纵轴正向, 建立坐标系). 于是是的函数.证明显然, 有, .设的副法向量为，与的夹角为. 则于是.引理对曲面上的一条曲线, 其弧长的微分满足.证明.命题曲面上在一点处沿任意方向()的法曲率.其中两类基本形式I和II均在P点取值.证明在上, 取经过点且在处的切方向为()的任一曲线. 沿用上述推论2中的符号. 则对, 有.但,故, .从而由推论2及上述引理, 有.法曲率的几何意义定义法截面和法截线法截线的曲率向量. 于是和的夹角或.当时，向方向弯曲, 且.当时，向的反方向弯曲, .总之，曲面上一点处沿某一切方向的法曲率，其绝对值等于相应法截线在这点的曲率，其符号视曲面在该方向上向的哪一侧弯曲而定：若曲面向的正侧弯曲，则法曲率为正；若曲面向的负侧弯曲，则法曲率为负.定义曲面在其上一点处沿某切方向的法曲率的倒数称为法曲率半径.设点是曲面上的曲线上的一点, 是在点的曲率, 是在点的主法向量, 是和的夹角, 于是在点沿的切方向的法曲率. 令(在点的曲率半径). 则．该公式的几何意义可陈述为如下定理.Meusnier（梅尼埃）定理曲面上的曲线在给定点的曲率中心就是与曲线具有相同切线的法截线在同一点的曲率中心在曲线的密切平面上的投影.例 1 在球面上验证梅尼埃定理: 把梅尼埃定理中的取为一个球面上的小圆, 取为与该小圆相切于点的大圆. 则梅尼埃定理显然成立.7. 曲面上一点处的主曲率命题给定曲面上的一点处的一个切方向(). 若从转到()的有向角为(在点的切平面上,以为横轴正向, 为纵轴正向, 建立坐标系), 则在处沿方向()的法曲率.其中、和均在取值.定义若在曲面上的一点处, 有，则该点称为曲面上的脐点. 若，则该点称为平点；若且，则该点称为圆点.注 1 脐点分为平点和圆点两种. 可以证明: 球面上的点都是圆点, 平面上的点都是平点.注 2 在脐点处, 沿任何方向的法曲率都相同, 且(上述命题). 在平点处, 沿任何方向的法曲率; 在圆点处, 沿任何方向的法曲率.定义 3.4.3曲面上非脐点处法曲率的最大值和最小值称为曲面在这点处的主曲率. 使法曲率取得最值的切方向称为曲面在该点处的主方向.命题曲面上一点处的主曲率是方程的两个根.命题主方向满足方程.注曲面上一点若为非脐点, 则恰有两个主方向, 并且它们彼此正交（方向相反的两个主方向视为一个切方向）.曲面上的一点若为脐点，则该点处的任何方向都是主方向.定理3.4.4（主方向判定定理，罗德里格()定理）若方向(d)=：是主方向，则,其中，是沿方向()的法曲率；反之，若对于方向, 有,则()是主方向，并且，是沿方向()的法曲率．证明由, ,可得.若()是主方向, 则由上个命题, 可知. 因此. 设. 两边与作内积, 则. 所以.反之，若对于方向, 有, 则. 因此．所以()是主方向，且与前面同理可证, 是沿方向()的法曲率．定义 3.4.4对于曲面上的一条曲线，若其上每一点处的切方向都是曲面在该点处的主方向，则此曲线称为曲面上的曲率线．命题曲面上的曲率线的微分方程是．定义曲面上两族曲率线构成的曲线网称为曲率线网．命题在不含脐点的曲面上，经过参数的适当选择，总可以把曲纹坐标网取为曲率线网．注当曲纹坐标网是曲率线网时,为-曲线(曲率线)的切方向,为-曲线(曲率线)的切方向.,.曲面的第一和第二基本形式分别简化为，.沿方向的法曲率，其中是与第一主方向的夹角.和为主曲率.定理3.4.5（欧拉（）公式）若曲面一点处的方向与这一点处的第一主方向的夹角为，则该方向上的法曲率与这点的主曲率和之间有如下关系：.其中是第一主方向上的法曲率. 这个式子称为欧拉公式．证明在脐点处, 公式显然. 在非脐点的附近, 将无脐点出现. 于是可取曲面上的曲纹坐标网为曲率线网，从而有其中角与曲纹坐标的选择无关．8. 曲面的高斯曲率与平均曲率定义设和为曲面上一点处的两个主曲率. 则它们的乘积称为曲面在这一点的高斯曲率，通常用表示; 它们的平均数称为曲面在这点的平均曲率，通常用表示．命题,．定义曲面上的点根据其高斯曲率的取值可以分为如下三类：1. 椭圆点：;2. 双曲点：;3. 抛物点：.命题.证明.从而由定理3.2.6中的高斯方程, 得到.定理3.4.6设给定两个曲面，. 若它们的第一基本形式和作为, 的二次型相等，即=，则这两个曲面有相同的高斯曲率．例2试求旋转曲面()的高斯曲率和平均曲率．解,.因此，，．,，.故= d=，..于是，，．从而，，，．所以，．例3对于给定曲面，若曲面上每一点处的平均曲率，则该曲面称为极小曲面．可以证明，以空间闭曲线为边界的曲面域中，面积最小的曲面是极小曲面，即平均曲率为0的曲面．极小曲面的实际模型是将空间中弯曲成闭曲线的铅丝浸入肥皂溶液中，取出时所得的皂膜曲面．现在求极小旋转曲面，即的旋转曲面．由例2可知，．于是．由此可得，即．积分后可得（为常数），即．上式可以化为．积分后得，即．但这两式实为同一式:.为简便, 取(悬链线). 这里省略了积分常数，因为它只不过表示平行于旋转轴的平移而已．所以，曲面是由悬链线旋转而成，称为悬链面．在形状上，它很像压扁的旋转单叶双曲面．。
微分几何 2-1曲面的概念
xv
(u0
,
v0),
y v
(u0
,
v0)
例：求S r r(, v) v, , 在点(1,2)处的单
位法向量及切平面的方程。
解：r(1,2) 1,2,3
ru
(1,2)
1,1, (1,2)
1,1,2
rv (1,2)
1,1, (1,2)
1,1,1
n(1,2) ru rv =
r r u
命题2 曲面上正常点的所有切方向都在过该点的 坐标曲线的切向量所决定的切平面上
从上可以看出曲面上一点的一个切方向由du:dv 值完全确定，切方向也可表示成 dr rudu rvdv , 或
dr rudu rvdv :二者视为同一方向. 例如, du:dv = (-2):3表方向 dr 2du 3dv , 也表方向 dr 2du 3dv， 二者视为同一方向.
0
0
，R sin
}
0
曲线：
r
( , ) 0
{R cos
cos 0
，R cos
sin
,sin }
0
它是球面上过两极的半圆——经线（子午线）。
旋转面
把xz平面上一条曲线 ：x =
，
绕z轴旋转，得旋转面
x=
，y=
,
1.2光滑曲面 曲面的切平面和法线
1定义：如果曲面 ：r r(u，v） 有直到 k 阶
它是原柱面上的直母线。
球面的参数表示为：
r r( , ) {Rcos cos ,
Rcos sin , Rsin }
2
2
0
2.
( , ) G 是一个长方形区域：
坐标曲线是 u v
微分几何第二章曲面论曲面的概念
VS
高斯曲率
设曲面$S$在点$P$处的两个主曲率分别为 $k_1, k_2$，则称$K = k_1k_2$为曲面在 点$P$处的高斯曲率。高斯曲率是曲面内蕴 几何量的重要代表，反映了曲面在一点处 的弯曲程度。
法截线和法截线族
法截线
设曲面$S$在点$P$处的法向量为 $mathbf{n}$，过点$P$且与法向量 $mathbf{n}$垂直的平面称为法截面。 法截面与曲面交于一条曲线，该曲线 称为法截线。
曲面性质
曲面具有连续性、光滑性、可定向性等性质。其中连续性指 曲面上任意两点都可以用一条连续曲线连接；光滑性指曲面 上任意一点都存在切线平面；可定向性指曲面存在连续的单 位法向量场。
曲面分类与举例
曲面分类
根据曲面的形状和性质，可以将曲面分为闭曲面、开曲面、紧致曲面、非紧致曲面等类 型。
举例
球面、环面、柱面、锥面等都是常见的曲面类型。例如，球面可以表示为 $mathbf{r}(theta, varphi) = (Rcosthetasinvarphi, Rsinthetasinvarphi,
法截线族
过曲面上一点的所有法截线构成的集 合称为该点的法截线族。法截线族在 微分几何中具有重要的研究价值，与 曲面的形状和性质密切相关。
04
曲面局部理论：可 展曲面与极小曲面
可展曲面定义及性质
定义
可展曲面是一类特殊的曲面，它可以在不改 变距离的情况下完全展开到一个平面上。也 就是说，它的高斯曲率为零。
02
第一基本形式与度 量性质
第一基本形式定义及性质
第一基本形式定义
第一基本形式是微分几何中曲面论的基本概念，用于描述曲面上的度量性质。它是一个二次微分形式，记作$I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$，其中$E, F, G$是曲面上的系数函数。
微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式
2.4 曲面域的面积
D
v v ) P3 (u u, v v ) ru u
P1 (u u, v ) P ( u, v ) PP 1 r ( u u, v ) r ( u, v ) ( ru 1 )u ru u. ( u 0时) PP2 r (u, v v ) r (u, v ) (rv 2 )v rv v. (v 0时) PP 1 PP 2 d ru u rv v ru rv dudv
曲纹坐标方程有关，不 需要知道曲线的形状 .
2.2 曲面上两方向的交角
( S )在点P (u, v )处的两个切方向 定义 已给曲面 称相应的切向量 (d ) du : dv和( ) u : v， dr rudu rv dv和r ruu rvv 之间的夹角 为这两个切方向 (d )和( )之间的夹角 .(0 ) 计算公式 dr r dr r cos , dr r ( ru du rv dv) ( ruu rvv ) cos 2 dr r ( ru du rv dv) ( ruu rvv ) 2
则ds Edu 2Fdudv Gdv .
2 2 2
称为曲面的第一基本形 式. 记作I .
即
其中
I Edu 2Fdudv Gdv 2 2 E ru , F ru rv , G rv
2
2
称为曲面的第一类基本 量. 对于曲面S : z z( x, y )， 有r { x, y, z( x, y)} ， z z 于是rx {1,0, p}， ry {0,1, q}， 其中p ，q ， x y 2 2 2 2 E rx 1 p , F rx ry pq, G ry 1 q .
曲面论(二)
ry {0,1, z y ( x0 , y0 )} ,在 P0 点的切平面为
即
z z 0 z x ( x 0 , y 0 )( x x 0 ) z y ( x 0 , y 0 )( y y 0 )
切平面方程用行列式表示为：
x x(u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
y y (u0 , v0 ) z z (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) 0 yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) 对于曲面 z = z(x,y) , r {x, y , z ( x, y )}, rx {1, 0, z x ( x0 , y0 )},
u u (u , v ), v v(u , v ) ， 则 得 到 曲 面 关 于 新 坐 标 的 方 程 r r (u (u , v ), v (u , v )) ， 上 式 称 为 曲 纹 坐 标 变 换 。
u ru ru u rv u r r r v u v v
因为曲面是光滑的 , 所以 ru , rv 都连续 , 故在曲面 S 的正常点
4
微分几何教案（十）
1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 1.3 曲面上的曲线族和曲线网
x 证明 因在正常点的邻域内 ru rv 0 ，所以 u
x v
y u y v
为曲面的正侧。 1.3 曲面上的曲线族和曲线网 1 曲面 S 上一条曲线的方程 如果曲面 S： r r (u, v) 上一条曲线 是由方程 u=u(t),v=v(t)确定 的，则将其带入曲面 S 的方程得曲线 的向径表示
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A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族. 设 A 0 ，则有 du B(u, v) 解之得
(2.14)
dv A(u, v) u (v, c)
F (u, v)
其中，c为待定常数； 每一个c对应曲面上一条曲线，所以（2.14）表示一族曲线。 特别地， 当B = 0或 A = 0 时，有 d u = 0或 d v = 0 ， 此时为坐标曲线(P60) u = c 或 v = c。 此时（2.14）表示坐标曲线的方程。
2、二阶微分方程
A(u, v)du2 2B(u, v)dudv C(u, v)dv2 0
若 [ B(u, v)]2 A(u, v)C (u, v) 0
方程表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网。 设
du 2 du A 0 , 则 A( ) 2 B( ) C 0 dv dv 得 du B B 2 AC F1 (u, v)或F2 (u, v) dv A
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
1、一阶线性微分方程
A(u, v)du B(u, v)dv 0
表示曲面上的一簇曲线——曲线族.
消去 t ，可得曲面上曲线的方程为
u (v) ,或 v (u) ,或 f (u, v) 0
分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲 面上的曲线网。
特别有 A C 0 时, dudv 0 , 它们表示坐标曲线,从而构成曲纹坐标网(P60)。
微分几何
主讲人：郭路军
第二章 曲面论
1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）
内 容 提 要
2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、
正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）
3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的
曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）
4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理）
6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅
公式、曲面上向量的平行移动）
7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗
给出一光滑曲面 (S)： r = r ( u ,v )
设光滑曲面上的曲线为 (C)： u = u (t) , v = v (t) ,
或者 r=r[u(t),v(t)]= r(t)