随机信号分析习题
随机信号分析课后习题答案
1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。
随机信号分析(第3版)习题及答案
1. 2. 3. 4. 5.6.有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。
第二批有500个零件，其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。
我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。
（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===7. 8.9. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()()0.210.520.33f x x x xδδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-10.11. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩12.13.14.X Y求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
随机信号分析(第3版)习题及答案
1. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。
第二批有500个零件，其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。
我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。
（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===2. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-3. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩4.求：（1）X 与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
（北P181,T3） 解：（1）()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+-++-+--()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+-++-+--（2） X 的分布律为()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。
电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案
2.12.22.3 掷一枚硬币定义一个随机过程：cos t 出现正面X(t)2t 出现反面设“出现正面” 和“出现反面” 的概率相等。
试求：( 1 ) X(t) 的一维分布函数F X (x,12) ，F X (x,1)；(2) X(t)的二维分布函数F X ( x1, x2 ;1 2,1) ；(3)画出上述分布函数的图形。
2.3 解：1)一维分布为:F X (x;0.5) 0.5u x 0.5u x 1F X (x;1) 0.5u x 1 0.5u x 2X (0.5) 0, X (1) 1 , 依概率 0.5发生X (0.5) 1, X (1) 2 ,依概率 0.5发生 二维分布函数为F ( x 1, x 2 ;0.5,1) 0.5u x 1,x 2 1 0.5u x 1 1,x 2 22.4 假定二进制数据序列 {B(n), n=1, 2, 3, , .} 是伯努利随机序列， 其每一位数据对 应随机变量 B(n) ，并有概率 P[B(n)=0]=0.2 和P[B(n)=1]=0.8 。
试问，( 1)连续 4 位构成的串为 {1011}的概率是 多少？(2)连续 4 位构成的串的平均串是什么？( 3)连续 4 位构成的串中，概率最大的 是(2) cos X(t) c 2o t s 出现正面出现反面什么？( 4 )该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？2.4 解：解：(1)P 1011P B n 1 P B n 1 0 P B n 2 1 P B n 3 10.8 0.2 0.8 0.8 0.10242)设连续 4 位数据构成的串为B(n) ，B(n+1) ，B(n+2) ，B(n+3) ，n=1, 2, 3,⋯.其中B(n) 为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。
所以有：3k串(4bit 数据)为：X (n) 2k B(n k)，k0其矩特性为：因为随机变量B(n) 的矩为：均值： E[B(n)] 0 0.2 1 0.8 0.802 0.2 12 0.8 0.8220.8 0.82 0.16 所以随机变量 X(n) 的矩为：均值：3E[X(n)] E k0332k E B(n k) 2k 0.8 12k 0 k 0方差：3k D[X(n)] D 2k B(n k) k03 2 3 2k 2 D B(n k) 4k 0.16 13.6k 0 k 0如果将 4bit 串看作是一个随机向量 ， 则随机向量的均值和方差为： 串平均 ：B n ,B n 1 ,B n 2 ,B n 3 0.8,0.8,0.8,0.8方差：Var B(n) Bn 2Bn 2k B(n k)串方差：Var B n ,B n 1 ,B n 2 ,B n 30.16,0.16,0.16,0.163) 概率达到最大的串为1,1,1,14) 该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0 或1，与前面的序列没有任何关系。
随机信号分析试题
姓名年级学院专业学号密封线内不答题一.填空题（每空3分共33分） 1.随机变量X ，Y 独立的条件是 。
2.若窄带信号()X t 通过一个幅度为A 的宽带系统输出()Y t ,则二者的关系为 。
3.白噪声通过理想带通系统后，其输出功率谱密度为 分布。
4.实信号)(t x 的解析信号是 。
5.随机变量X 服从0,1分布（P x p ==)1(）的特征函数()X φυ= 。
6.若信号()X t 与()Y t 恒有12(,)0R t t =,则()X t 与()Y t 彼此 。
7.若信号()X t 与()Y t 无关, 如果 则 ()X t 与()Y t 独立。
8.若信号()X t 与()Y t 都是高斯信号,则()X t 与()Y t 独立的充要条件是 。
9.随机信号的平稳性包括 。
10.白噪声信号的()R τ= 。
11.随机信号()X t 均值各态历经表示 。
二、（12分）设正态分布随机变量),(~2σμN X 的特征函数。
姓名年级学院专业学号密封线内不答题三、（12分）假定三维随机变量),(~),,(321x x C X X X μ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x μ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820242024x C 求（1）1X 的密度函数；（2）),(21X X 的密度函数；（3）31X X +的密度函数。
姓名年级学院专业学号密封线内不答题四、（14分）已知)()cos()()()(0t N t a t N t S t X ++=+=θω,其中θω,,0a 为常数，白噪声)(t N 的功率谱为2/0N 。
求此RC 电路输入前、后的信噪比？姓名年级学院专业学号密封线内不答题五、(15分) 1. 给出严格平稳随机过程和广义平稳随机过程的定义。
2.给出严格各态历经和广义各态历经的定义。
姓名 年级 学院 专业 学号 密封线内不答题 3.解释等效噪声带宽。
六、（14分）设随机过程()cos()X t A t ωϕ=+，其中ϕ是在(−π, π)中均匀分布的随机变量，A 、ω为常数。
随机信号分析(常建平-李海林版)课后习题答案
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。
给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
随机信号分析课后习题答案
随机信号分析课后习题答案随机信号分析课后习题答案随机信号分析是现代通信系统设计和信号处理领域中的重要基础知识。
通过对随机信号的分析，我们可以更好地理解和处理噪声、干扰等随机性因素对通信系统性能的影响。
下面是一些关于随机信号分析的课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 什么是随机信号？随机信号是在时间域上具有随机性质的信号。
与确定性信号不同，随机信号的每个样本值都是随机变量，其取值不是确定的。
随机信号可以用统计特性来描述，如均值、方差、功率谱密度等。
2. 什么是平稳随机信号？平稳随机信号是指在统计性质上不随时间变化的随机信号。
具体来说，平稳随机信号的均值和自相关函数不随时间变化。
平稳随机信号在实际应用中较为常见，因为它们具有一些方便的数学性质，可以简化信号处理的分析和设计。
3. 如何计算随机信号的均值？随机信号的均值可以通过对信号样本值的求平均来计算。
对于离散时间随机信号，均值可以表示为：E[x[n]] = (1/N) * Σ(x[n])其中，E[x[n]]表示信号x[n]的均值，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
4. 如何计算随机信号的方差？随机信号的方差可以用均方差来表示。
对于离散时间随机信号，方差可以表示为：Var[x[n]] = E[(x[n] - E[x[n]])^2]其中，Var[x[n]]表示信号x[n]的方差，E[x[n]]表示信号的均值。
5. 什么是自相关函数？自相关函数是用来描述随机信号与其自身在不同时间延迟下的相似性的函数。
自相关函数可以用来分析信号的周期性、相关性等特性。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = E[x[n] * x[n-m]]其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，E[ ]表示期望运算。
6. 如何计算随机信号的自相关函数？随机信号的自相关函数可以通过对信号样本值的乘积进行求平均来计算。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = (1/N) * Σ(x[n] * x[n-m])其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
随机信号分析(常建平+李海林)习题答案
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
随机信号分析(常建平+李海林)习题答案.
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
随机信号分析习题课
4、均值为m X ，相关函数为RX ( ) e 的平稳随机信号输 入微分电路，该电路的输出信号为 Y (t ) X '(t ) 。求：t)功率谱密度函数； X(t)和Y(t)的互相关函数 RXY ( )； X(t)和Y(t)的功率谱密度函数S XY ( ) ；
判断X(t)与Y(t)是否联合平稳？ 若X(t)与Y(t)联合平稳，求互功率谱密度函数 S XY ( ) 。
7、 随机过程 X (t ) X 0t Y0 cos(0t ) ，其中0 为常数，X0 和Y0是均值为0、方差为1的高斯随机变量， 是在 [0, 2 ] 内 均匀分布的随机变量，且X0、Y0和 彼此之间相互独立。判 断X(t)是否各态历经？为什么？
5、设随机变量X的均值为3，方差为2，现定义新的随机变量 Y=aX+b，试问a、b满足什么条件时随机变量X与Y正交？ 6、已知随机过程 X (t ) cos(0t ) ， Y (t ) V (t )cos(0t ) ， 是与V(t)无关的随机变量，在 [0, 2 ] 内均匀分布，0 为 常数，V(t)是均值为 mV 、自相关函数为 RV ( ) 的平稳随机过 程。
4均值为相关函数为的平稳随机信号输入微分电路该电路的输出信号为是与vt无关的随机变量在内均匀分布常数vt是均值为自相关函数为的平稳随机过5设随机变量x的均值为3方差为2现定义新的随机变量yaxb试问ab满足什么条件时随机变量x与y正交
随机信号分析习题
1、若为随机变量X的概率密度函数 f X ( x) Ae3 x (x 0) ，
A＝？ 求X的特征函数。
2、若随机过程X(t)的功率谱密度为 S X ()
X(t)的自相关函数 ； X(t)的均值； X(t)的均方值； X(t)的方差； X(t)的相关系数。
随机信号分析(常建平_李海林版)课后习题答案
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。
给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为 216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
随机信号分析习题【精选】
随机信号分析习题一1.设函数，试证明是某个随机变量的分布函数。
并求下⎩⎨⎧≤>-=-0, 00 ,1)(x x e x F x )(x F ξ列概率：，。
)1(<ξP )21(≤≤ξP 2.设的联合密度函数为),(Y X ，(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩求。
{}10,10<<<<Y X P 3.设二维随机变量的联合密度函数为),(Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π求：（1）边沿密度，)(x f X )(y f Y （2）条件概率密度，|(|)Y X f y x |(|)X Y f x y 4.设离散型随机变量的可能取值为，取每个值的概率都为，又设随机X {}2,1,0,1-4/1变量。
3()Y g X X X ==-（1）求的可能取值Y （2）确定Y 的分布。
（3）求。
][Y E 5.设两个离散随机变量，的联合概率密度为：X Y )()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1）与不相关时的所有值。
X Y A （2）与统计独立时所有值。
X Y A 6.二维随机变量（，）满足：X Y ϕϕsin cos ==Y X 为在[0，2]上均匀分布的随机变量，讨论，的独立性与相关性。
ϕπX Y 7.已知随机变量X 的概率密度为，求的概率密度。
)(x f 2bX Y =)(y f 8.两个随机变量，，已知其联合概率密度为,求的概率密度？X X (,)f x x X X +9.设是零均值，单位方差的高斯随机变量，如图，求的概率密度X ()y g x =()y g x =()Y f y\10.设随机变量和是另两个随机变量和的函数W Z X Y 222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩设，是相互独立的高斯变量。
随机信号分析基础课后练习题含答案
随机信号分析基础课后练习题含答案第一部分随机变量和概率分布练习题1设离散随机变量X的概率分布函数为：X0 1 2 3 4P X0.05 0.15 0.35 0.30 0.15求E(X)和D(X)。
答案1根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\sum_{i=1}^n x_i P_X(x_i) = 0 \\times 0.05 + 1\\times 0.15 + 2 \\times 0.35 + 3 \\times 0.30 + 4 \\times 0.15 = 2.25$$$$D(X)=\\sum_{i=1}^n (x_i-E(X))^2P_X(x_i) = 0.710625$$ 练习题2已知随机变量X的概率密度函数为：$$f_X(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}} & x \\geq 0 \\\\ 0 & x < 0 \\end{cases}$$求E(X)和D(X)。
答案2根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}xf_X(x)dx =\\int_{0}^{+\\infty}x\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx=3$$ $$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}x^2f_X(x)dx-(E(X))^2=\\int_{0}^{+\\infty}x^2\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx-9=\\frac{27}{4}$$第二部分随机过程练习题3设二阶矩有限的离散时间随机过程X n的均值序列为m n，自相关函数为R n(i,j)=E(X i−m i)(X j−m j)，其中 $0 \\leq i,j \\leq N$。
若m n=n2,R n(i,j)=ij(i+j)，求 $E(\\sum_{n=0}^N X_n)$。
随机信号分析基础第二章习题
FX (x; 2) PX (2) x
x
p(x)dx
1
x
0
3
FX (x1, x2; 2, 6) P{X (2) x1, X (6) x2}; P{(X (2) x1 X (6) x2};
用表格来表示所求的联合分布：
x1
x2
x2 2
x1 3
0
3 x1 4 4 x1 6
CX (t1,t2 ) E[{X (t1) mX (t1)}{ X (t2 ) mX (t2 )}]
随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数
RXY (t1,t2) E[X (t1)Y (t2)]
互协方差函数
CXY (t1,t2 ) E[{X (t1) mX (t1)}{Y (t2 ) mY (t2 )}]
RX (t1,t2) E[X (t1)X (t2)]
E[a2 cos(0t1 ) cos(0t2 )]
a2 2
E[cos(0
(t1
t2
))
cos(0t1
0t2
2)]
a2 2
cos[0 (t1
t2 )]
0
a2 cos
2
其中 t1 t2
2.11 解：
E[X (t)] E[Acos(0t )]
E{[X (t1) mX (t1)][X (t2) mX (t2)]}
CX (t1, t2 )
2.9 解：（1）直接由定义可得：
E[X (t)] E[Acos(0t) Bsin(0t)] E[A]cos(0t) E[B]sin(0t)
0
（2）由自相关函数的定义： RX (t1,t2) E[X (t1)X (t2)]
x,
2)
1 3
随机信号分析基础作业题
第一章1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。
如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。
如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？解：P (A )=0.3P (B )=0.2P (C )=0.1P (D )=0.4P (E |A )=0.25E －迟到，由已知可得P (E |B )=0.4P (E |C )=0.1P (E |D )=0全概率公式：P (E )=P (EA )+P (EB )+P (EC )+P (ED )贝叶斯公式：P (A |E )=P (EA )P (E |A )⋅P (A )0.075P (E )=P (E )=0.165=0.455P (B |E )=P (E |B )⋅P (B )0.08P (E )=0.165=0.485P (C |E )=P (E |C )⋅P (C )0.01P (E )=0.165=0.06P (D |E )=P (E |D )⋅P (D )P (E )=0综上：坐轮船⎧2x -x 3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为f ⎪e 2σX 2x(x )=⎨2,⎪σX⎩0,数σX>0，求期望E (X )和方差D (X )。
考察：已知f x(x )，如何求E (X )和D (X )？x >0式中，常x <E (X )=⎰x ⋅f (x )dx-∞22D (X )=E [(X -m x)]=⎰(X -m x)f (x )dx-∞∞∞D (X )=E (X )-E (X )⇒E (X )=⎰x 2⋅f (x )dx-∞222∞6、已知随机变量X 与Y ，有EX =1,EY =3,D (X )=4,D (Y )=16,ρXY=0.5，令U =3X +Y ,V =X -2Y ,试求EU 、EV 、D (U )、D (V )和Cov (U ,V )。
随机信号分析习题.doc
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。
并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩， 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21ex p 1),(22y xy x y x f XY π 求：（1）边沿密度)(x f X ，)(y f Y（2）条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。
（1）求Y 的可能取值（2）确定Y 的分布。
（3）求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为：)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1）X 与Y 不相关时的所有A 值。
（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量（X ，Y ）满足：ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ，Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ，求2bX Y =的概率密度)(y f 。
8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。
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随机信号分析习题一1 _ Q — X 和 01. 设函数F(x)=」 ' ，试证明F(x)是某个随机变量©的分布函数。
并求下列概率：PC .,1），P （1 __2）。
2. 设(X,Y)的联合密度函数为e , x _0, y _0 0, other求 P「X :：: 1,0 : Y :: 。
求：(1 )边沿密度f x (x)， f Y (y)(2)条件概率密度 f Y|X (y|x)， f xiY (X| y)4. 设离散型随机变量 X 的可能取值为1,0,1,21，取每个值的概率都为1/4，又设随机变 量 Y=g(X) =X 3 _X 。
(1 )求Y 的可能取值 (2) 确定Y 的分布。
(3) 求 E ［Y ］。
5. 设两个离散随机变量 X ，Y 的联合概率密度为：1 11 f xY (x,y) (x-2)、(y-1) (x-3)、(y-1) (x-A)、(y-A)3 33试求：(1) X 与丫不相关时的所有 A 值。
(2) X 与丫统计独立时所有 A 值。
6. 二维随机变量(X ，Y )满足：X = cos丫二 sin :'为在［0，2二］上均匀分布的随机变量，讨论 X ，Y 的独立性与相关性。
0 , x<03. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f xY （x, y ） exp7.已知随机变量X的概率密度为f (x)，求Y=bX的概率密度f (y)。
8.两个随机变量 X i , X ，已知其联合概率密度为 f(X i ,X 2),求X i X 2的概率密度? 9.设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，y = g(x)如图，求y = g(x )的概率密度f Y (y)10. 设随机变量 W 和Z 是另两个随机变量 X 和丫的函数W =x 2 Yi2z =x 2设X ，Y 是相互独立的高斯变量。
求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。
11. 设随机变量 W 和Z 是另两个随机变量 X 和Y 的函数W 二X Y Z =2(X Y)已知f xY (x,y)，求联合概率密度函数f wzC ,z)。
(1 )求X 的特征函数，X ( ■)。
(2)由 X ()，求 E[X]。
13. 用特征函数方法求两个数学期望为 0,方差为1，互相独立的高斯随机变量X 1和X 2之和的概率密度。
14. 证明若X n 依均方收敛，即X n = X ，则X n 必依概率收敛于 X 。
15.设｛X n ｝和｛Y n ｝ (n =1,2，…)为两个二阶矩实随机变量序列， X 和丫为两个二阶矩实随 机变量。
若 l.].m X n =X ，l.i.m Y n ^Y ，求证 limE{X m X n ^ E{ XY}。
n -?C随机信号分析习题二12.设随机变量X 为均匀分布，其概率密度f x (x) = <b-a.0,a 乞x 乞b 其它1. 设正弦波随机过程为X(t) = Acosw0t其中W。
为常数；A为均匀分布在［0,1］内的随机变量，即，0-a"1f A(a^P0,others兀3兀兀(1)试求t =0, , ，一时，X(t)的一维概率密度;4w04w0w0n:(2)试求t 时，X(t)的一维概率密度。
2W02. 若随机过程X(t)为X(t)二At, —：：::: t ::::式中，A为在区间［0,1］上均匀分布的随机变量，求E［X(t)］及R X (t1,t2)。
3. 设随机振幅信号为X(t)二Vsinw0t其中w。
为常数；V是标准正态随机变量。
求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
4. 设随机相位信号X(t) = acos(w°t )式中a、w0皆为常数，••为均匀分布在［0,2二］上的随机变量。
求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
5. 设X(t)二Asin(wt R,t：： ::，Y(t)二Bsin(wt 二)，」：：：t ：：::，其中A，B，w， '为实常数，r~U［0,2二］，试求R xY(s,t)。
26. 数学期望为m X(t)=5sin t、相关函数为R X魚,t2) = 3「恥斗)的随机信号X(t)输入微分电路，该电路输出随机信号Y(t)二X(t)。
求Y(t)的均值和相关函数。
7.设随机信号X(t) =Ve3t cos2t，其中V是均值为5、方差为1的随机变量。
现设新的t随机信号Y(t) X(・)d，。
试求Y(t)的均值、相关函数、协方差函数和方差。
8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程「COS兀t,出现正面X(t)二2t, 出现反面设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。
(1) 求X(t)的一维分布函数F x(x,1/2)和F x(x,1)；(2) 求X (t)的二维分布函数F X(X I,X2；1/2,1)。
9. 给定一个随机过程X(t)和任一实数x，定义另一个随机过程I l, X(t)沁丫(t)=' ' 丿10, X(”X证明Y(t)的均值函数和自相关函数分别为X(t)的一维和二维分布函数。
10. 定义随机过程1,第n次投掷均匀硬币出现正面X(t)二卜1,第n次投掷均匀硬币出现反面n =0, 一1, _2，…，(n -1)S ::: t ::: nS，S 为正常数，设.-U[0, S]，且•与X(t)相互独立，令Y(t) =X(t_ )，试求R x(s,t)与R Y(s,t)。
n11. 考虑一维随机游动过程Y n，n =0,1,2/，其中丫0=0, Y n X i为一取值-1和1 的随机变量，已知p(X j = -1) = q，P(X j 二• 1) = p，0 岂p,q 辽1，p 7 = 1,且X i，i =1,2/相互独立，试求：1) P(Y n =m)；2) EY n和DY n。
12.考虑随机过程X(t)，其样本函数是周期性锯齿波。
两个典型的样本函数如图所示。
每个样本函数都具有相同的形状，将t「0时刻以后出现的第一个零值时刻记为T)，假设T0是一个均匀分布的随机变量11 T,o Et ET0, others求X (t)的一维概率密度P x (x)晖expP A(a) “ b 、、二2b2I0,X(t)二Asin(「t • 0)其中振幅A、角频率11和相位G'是相互独立的随机变量，并且已知:|卑,0兰a兰民P A (a)二A00, others1,250 乞w <350Pi (w)二1000, others (Maxwell)分13.布的随机变量其中T o的定义和上题相同。
假设不同脉冲的幅度A之间统计独立，并均与T0统计独立，求为一个随机过程求:Y(t)，t -0｝的方差函数和协方差函数。
1[X(t)dt的数学期望和方差。
3. 设随机过程Z(t)二VX(t)Y(t)其中平稳过程 X(t)和Y(t)及随机变量V 三者相互独立,数为R X ( J =2e"cos 二.，Y(t)的相关函数为 尺(・)=9飞)，又EV = 2，DV = 9。
求Z(t)的数学期望，方差和相关函数。
4.设平稳过程:::t ：：：-门，其相关函数为 R X ()，且Rx(T)=Rx(0)，T 0是常数。
证明: (1) P(X(t THX(t)) =1 (2) R x ( T) =R x (.)讨论、X(t)，-：： :::t ：：： V 1的严平稳性。
6.设A 是任意的随机变量， °是与A 相互独立的，且在［0, 2二］上服从均匀分布的随机变 量，令 X (t) = Asin(wt • (j)，-;:: t ：：：•；： , w . 0 是常数，证明(t),求X(t)的一维概率密度。
随机信号分析习题三1,0 _ 二 _ 2P 。
©)「2 二10, others1.设有零均值的平稳过程 〈X(t), t_0?，其相关函数为 R X ( )，令t丫(t) = 0 X (s)ds t_02.设讥”讦二［是平稳过程，且EX(t)=1 ,Rx(.) = 1 • e ，•，求随机变量且mx =0，X(t)的相关函5.设 X(t)二 Acoswt ，-:: :: t ：：二，其中w 是常数，A 是随机变量，具有概率密度函数f A (X)J、)00乞 x^1 others- t ：：：•:: f 是严平稳过程。
7. 设1X(t),-：：::: t ：：:=［是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，令Y(t^X(t) X(0)，-；:：t < ::。
判断「丫⑴，-：：：::t ：：：•门是否为平稳过程。
8.设Z(t)二丫cost X si nt，-；:：t ：：：•::，其中X和Y是相互独立的随机变量，且2 1P(X =-1) =P(Y =-1) ，P(X =2) = P(Y = 2)=3 3(1)求:Z(t), - ::: t ：：：•:: /的均值函数和相关函数；⑵ 证明之⑴，-：：：::［是宽平稳过程，但不是严平稳过程。
9.(上节习题课的例题12)考虑随机过程X(t)，其样本函数是周期性锯齿波。
两个典型的样本函数如图所示。
每个样本函数都具有相同的形状，将t =0时刻以后出现的第一个零值时刻记为T0，假设T0是一个均匀分布的随机变量]1/T,0 Et ETPT0⑴]0, others判断X(t)平稳性。
10.(上节习题课的例题14)考虑一个正弦振荡器，由于器件的热噪声和分布参数的影响，振荡器的输出正弦波可视为一个随机过程X(t) =Asin 「t 。
其中振幅A、角频率i」和相位心是相互独立的随机变量，并且已知2aP A（a）才A0,0 others讨论过程Z(t)的遍历性。
13.设X(t) = Acos wt 亠①］,-；::t ：：：=：，其中w 0是常数，A 和门是相互独立的 随机变量，且 门_-U ［0,2二］，研究fx (t),-：： ：:tr 二〔；的各态历经性。
14. 随机过程X(t)二X ，-；:： t < ■■■，其中X 是具有一、二阶矩的随机变量，但不服从 单点或两点分布 P(X = a) =1， a 0，讨论它的各态历经性。
随机信号分析习题四1. 已知平稳过程 X(t)的相关函数如下，试求它的功率谱密度-a(1) R x ( ) =ecosw 0 ,a 0f 忖|1-」计<T c⑵ Rx (^) = T°Q 忖 >T 02. 设X(t)为一个随机电报波过程，它的一个样本函数如图所示。
已知在任一时刻波形取A 和-A 的概率相同，在时间间隔 •内波形变号的次数 n 服从参数为■的泊松分布I —Pi (w)=二100I 。
丄P Q Q)二 2-：【0(1) 求X(t)的一维概率密度；⑵ X(t) 是一 -阶平稳过程吗？11. 设'X(t),t ：：：=，是平稳过程，J ：Cx(©d yp250 _ w _ 350 others 0 _ 二 _ 2 ： others其协方差CxC)是绝对可积，即。