大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷B

机 密★启用前

大连理工大学网络教育学院

2013年3月份《复变函数与积分变换》课程考试

模 拟 试 卷

考试形式：闭卷 试卷类型：（B ）

☆ 注意事项： 1、本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

2、所有试题必须答到试卷答题纸上，答到试卷上无效。

3、考试结束后，考生须将试卷和试卷答题纸一并交回。

学习中心______________ 姓名____________ 学号____________

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1、设C 是正向圆周3||=z ，则=⎰C dz z z

3

)2-(sin π

（b ） A 、i π2- B 、i π-

C 、i π

D 、i π2 2、复数i -1的模是（ d ）

A 、1

B 、2

C 、0

D 、2 3、复数8-i z =的辐角的主值=z arg （ b ）

A 、π2

B 、π

C 、0

D 、

2π 4、幂级数∑∞=1

n n

n z 的收敛半径为（b ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、不存在

5、已知C 为正向圆周：2||=z ，则

=⎰dz z z C 1-4（ a ） A 、0 B 、-1 C 、1 D 、2

6、积分=+⎰+∞

∞dx x

e x i -21（ d ） A 、e π2 B 、e π2-

C 、e π-

D 、e π 7、映射2z i e =ω在点i z -0=处的伸缩率为（ c ）

A 、1

B 、1-e

C 、2

D 、e

8、下列变换中不正确的是（ d ）

A 、F )(1)]([ωδπω+=i t u

B 、F 1)]([=t δ

C 、F 1)]([2-1=ωδπ

D 、F )(-)-(]os [000-1ωωδωωδω+=t c

9、若F )()]([ωF t f =，则F =)]([t F （ b ）

A 、)(2ωπf

B 、)(-2ωπf

C 、)(ωπf

D 、)(-ωπf

10、下列选项中不正确的是（d ）

A 、L )0Re (1)]([>=

s s

t u B 、L 1)]([=t δ C 、L )Re Re (-1][a s a s e at >= D 、L )0Re (1][>=s s

t 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1、若ππω3

2sin 32

cos i +=，则=++421ωω____0___。 2、设i z i z z f 48)(3++=，则=')-1(i f ___i 2____。

3、设C 为正向圆周1|1-|=z ，则=⎰dz z z C 5

3

)1-(____0___。 4、积分=⎰+dz z i 0

1____i -___

5、2

ln i

z π=，则=z ___i ____。 6、函数2

)1-()(z z e z f z

=在奇点处的留数=]0),([Re z f s ___1____ 7、幂级数∑∞

=0!n n

n z 的收敛半径为R=__∞+ _____

8、函数

z

sin 1的极点是__一_____阶极点 9、函数)-1(-t e u 的拉氏变换为___s 1____ 10、函数⎪⎩

⎪⎨⎧<<<<=其他,010,101,-1-)(t t t f 的傅氏变换F =)]([t f _____)1-cos (2ωωi

________________

三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）

1、问函数i y x y x z f 2

2332)(+-=是不是解析函数？

1、解：33),(y x y x u -=，222),(y x y x v = 23x x u =∂∂，（1分）23y y u -=∂∂，（1分），24xy x

v =∂∂，（1分）y x y v 24=∂∂均连续。（1分） 要满足柯西—黎曼条件，必须y x x 2243=；（1分）2234y xy =成立。（1分）

即仅当0==y x 和4

3=

=y x 时才成立，所以)(z f 不是解析函数。（2分）

2、将复数ααcos sin i +写成三角表示式

2、解：1|cos sin |=+ααi （3分） απααααα-===+2

)arctan(cot sin cos arctan )cos arg(sin i （3分） 故)2sin()2cos(cos sin απ

απαα-+-=+i i （2分）

3、计算⎰-+=C z z zdz I )2)(12(，其中C 是（1）1||=z ；

（2）1|2|=-z 。 3、解：（1）被积函数在1||≤z 内仅有一个奇点2

1-=z ， 故21)2(212)21(22-=-⋅=+-=⎰z C z z i dz z z z

I π（2分）5i π=（2分）

（2）被积函数在1|2|≤-z 内仅有奇点2=z ，故

故2)1

2(2212=+⋅=-+=

⎰z C z z i dz z z z I π（2分）54i π=（2分） 4、问0=z 是否为函数z e 1

的孤立奇点？

4、解：z e 1

在∞<<||0z 解析，（3分）在0=z 处不解析，（3分）故0=z 是z

e 1的孤立奇点。（2分）

5、利用留数计算积分dz e z z z z ⎰=-21||)

1(sin 5、解：z z z z z z e

z i e z i dz e z z -⋅=-⋅=-→→=⎰cos lim 2)1(sin lim 2)1(sin 0021

||ππ（4分）i π2-=（4分）

四、证明题（本大题1小题，共10分） 证明2

)(z 在复平面上不解析。

证明：令iy x z +=，xy i y x z 2)(222--=，（1分） 所以2

2),(y x y x u -=，(1分)xy y x v 2),(-=。（1分） x x u 2=∂∂，（1分）y y u 2-=∂∂，（1分）y x

v 2-=∂∂，（1分）x y v 2-=∂∂。（1分） 由此可知，2)(z =ω仅在点（0,0）处柯西—黎曼条件成立，所以2)(z =ω仅在点（0,0）处可导，而在

整个复平面上不解析。（3分）