高等代数教(学)案第一章基本概念
高等代数教案

全套高等代数教案第一章:高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章:矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章:线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章:特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章:向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章:特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章:二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章:线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章:特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章:高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一:矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念,理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。
《高等代数》第一章主要内容

§1.4 整数的一些整除性质
• • 整除概念:设a,b是两个整数.如果存在一个整数d,使得b=ad,那么就说a整除b (或者说b被a整除)用符号a∣b来表示a整除b.这时a叫作b的一个因数,而b叫 作a的一个倍数. 整除的基本性质:⑴ a∣b,b ∣ c=>a ∣ c. ⑵ a∣b, a ∣ c =>a ∣ (a+b). ⑶ a∣b,而c∈Z =>a ∣ bc. 由⑵与⑶得⑷ a∣bi,而ci ∈Z ,i=1,2, …,t => a ∣ (b1c1+ …+btct). ⑸每一个整数都可以被1和-1整除. ⑹每一个整数a都可以 被它自己和它的相反数-a整除. ⑺ a∣b且b ∣ a =>b=a 或 b=-a. 定理1.4.1(带余除法)设a,b是整数且a≠0,那么存在一对整数q和r,使得 b=aq+r 且0≦r ﹤∣a∣. 满足以上条件的整数q和r是唯一确定的. 最大公因数概念:设a,b是两个整数. 满足下列条件的整数d叫作a与b的一个最大 公因数: (ⅰ)d∣a,d∣b; (ⅱ)如果c∈Z 且c∣a,c∣b,那么c∣d . 一般地, 设a1,a2, …,an是n个整数.满足下列条件的整数d叫作a1,a2, …,an 的一个最大公 因数(ⅰ)d ∣ai, i=1,2, …,n ;(ⅱ) 如果c∈Z 且c∣ ai, i=1,2, …,n,那么 c∣d. 定理1.4.2 任意n(n≧2)个整数a1,a2, …,an 都有最大公因数.如果d是 a1,a2, …,an 的一个最大公因数,那么-d也是一个最大公因数; a1,a2, …,an 的 两个最大公因数至多相差一个符号. 定理1.4.3 设d是整数a1,a2, …,an 的一个最大公因数,那么存在整数t1,t2, …,tn, 使得 t1a1+t2a2+…+tnan=d. 定理1.4.4 n个整数a1,a2, …,an 互素的充要的条件是存在整数t1,t2, …,tn,使 得 t1a1+t2a2+…+tnan=1. 定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数a与b的乘积,那么它至少整除a与b中的 一个
高等代数(第1章)

称为系数在数域P中的一元多项式,简称为数域P上 符号x 可以是为未知数, 的一元多项式.
也可以是其它待定事物.
习惯上记为f (x),g(x)……或f, g……上述形 n 式表达式可写为 i
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f (x)
a
i0
i
x
8
几个概念:
零多项式 ——系数全为0的多项式 多项式相等 —— f (x)=g(x)当且仅当同次项的系 数全相等 (系数为零的项除外) 多项式 f (x)的次数 ——f (x)的最高次项对应的幂 次,记作(f (x)) 或deg (f (x)) .
数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式
3
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§1
数域
要说的话:对所要讨论的问题,通常要明确所考 虑的数的范围,不同范围内同一问题的回答可能 是不同的。例如,x2+1=0在实数范围与复数范围 内解的情形不同。 常遇到的数的范围:有理数集 、实数集、复数集 共性(代数性质):加、减、乘、除运算性质 有些数集也有与有理数集 、实数集、复数集相同 的代数性质 为在讨论中将其统一起来,引入一个一般的概 念——数域。
解之得
a
6 5
,b
13 5
,c
6 5
.
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例2 设 f (x), g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果 f 2(x)= x g2(x)+ x h2(x) 则 f (x)=g(x)=h(x)=0 证:反证. 若f (x)0,则f 2(x) 0.由 若g(x)0,由于
大一高等代数第一章知识点总结

大一高等代数第一章知识点总结导读:在大一高等代数第一章学习中,我们了解了数学中的代数运算、集合论、函数与映射、二次函数等重要基础知识。
本文将对这些知识点进行总结和归纳,帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、代数运算1. 代数运算的基本性质:加法和乘法运算的结合律、交换律和分配律。
这些性质是进行代数运算的基础,通过它们可以将复杂的代数式简化,或将代数式转换为更方便计算的形式。
2. 代数运算的逆元:对于加法运算,零是唯一的单位元,每个元素都有唯一的相反元;对于乘法运算,一是唯一的单位元,每个非零元素都有唯一的倒数。
3. 代数方程与不等式:代数方程是由字母和数构成的等式,通过方程解的求解过程,可以得到含有未知数的具体数值;不等式则是不等关系构成的不等式。
二、集合论1. 集合的概念:集合是由一定规则约定所组成的一种对象的整体。
2. 集合的运算:包括交集、并集、补集和差集等。
运用这些运算可以对集合元素进行组合或筛选,从而得到满足一定条件的集合。
3. 集合的表示方法:包括列举法、描述法、乘积集和无穷集等。
不同的表示方法适用于不同的问题求解。
三、函数与映射1. 函数的概念:函数是两个集合之间的一种对应关系,每个自变量对应唯一的因变量。
2. 函数的性质:包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
这些性质描述了函数的基本特征,可以帮助我们更好地理解和分析函数。
3. 映射的概念:映射是一种更广义的函数,它可以是一对一的、多对一的或一对多的关系。
四、二次函数1. 二次函数的概念与性质:二次函数是一种具有二次项和一次项的一元多项式函数。
它的图像呈现抛物线形状,关键点包括顶点、焦点和对称轴等。
2. 二次函数的图像与方程:通过观察二次函数的图像可以了解其方程的特征,反之也可以通过方程描述二次函数的图像。
3. 二次函数的应用:二次函数在实际生活中有广泛应用,如物体抛出运动、摄影中焦距的调整等。
通过掌握二次函数的性质和应用,能够更好地理解和解决相关实际问题。
《高等代数》课程教学大纲

《高等代数》课程教学大纲一、教学大纲说明(一)课程的性质、地位、作用和任务《高等代数》是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一。
它不仅是代数学的基础,也是其它数学课程必要的前提。
该课程是为大学一年级的学生开设的,总课时144学时,开设时间为一年。
通过本课程的教学,使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。
本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法,为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识,也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。
(二)教学目的和要求通过本课程的学习,使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法,熟悉代数的语言、工具、方法,具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。
为今后的学习打下扎实的基础。
1.熟练掌握:集合、映射、单射、满射、双射的概念,第一、第二数学归纳法,带余除法,不可约多项式,线性方程组的消元法,矩阵的行(列)初等变换,矩阵的秩,初等矩阵的性质,可逆矩阵,向量空间的基、维数,线性相关与线性无关,齐次线性方程组的基础解系,线性变换,矩阵特征值、特征向量的概念与求法,内积的定义,正交变换与正交矩阵,二次型的概念及与其矩阵的对应关系。
2.掌握:整数的整除性、素数的性质,集合的表示与运算,辗转相除法,综合除法,多项式的互素,根与系数的关系,重因式及其判定,行列式的性质,行列式的展开,矩阵的乘法,矩阵的行列式,子空间的交与和,坐标,过渡矩阵,线性方程组的特解与通解,线性变换的运算及其形成的向量空间,线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构,矩阵的相似,几类向量空间的内积,Cauchy不等式,正交基与正交化,三维空间中的几种正交变换,正交变换与正交矩阵的关系,二次型的矩阵的合同及其求法,对称矩阵合同于对角矩阵,复数域上的二次型的规范形、实数域上二次型的惯性定理、规范形、分类,正定二次型的判定。
高等代数第一章 第1节基本概念

第一章 基本概念1.1 集合一定事物的集体,我们称它们为集合或集.我们常用大写的拉丁字母 C,,B ,A 表示集合,用小写拉丁字母 c,b a ,,表示元素.如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作A a ∈;或者说A 包含a ,记作A ∋a .如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作A a ∉;或者说A 不包含a ,记作A ∌a .一个集合可能只含有有限多个元素,这样的集合叫做有限集合.如果一个集合是由无限多个元素组成的,就叫做无限集合.设B ,A 是两个集合.如果A 的每一个元素都是B 的元素,那么就说A 是B 的子集,记作B ⊆A (读作A 属于B ),或记作A ⊇B (读作B 包含A ).根据这个定义,A 是B 的子集必要且只要对于每一元素x ,如果 B.x A,x ∈∈就有我们现在引入几个记号.用)(⇒)( 表示“如果)( ,则)( ”.用)(⇔)( 表示“)( 必要且只要)( ”.)∈⇒∈(⇒)B ⊆A (B x A x :x 对一切A (⊈)∉∈(⇔)B B x A x x 但,至少存在一个元素根据定义,一个集合A 总是它自己的子集.即.A ⊆A).∈⇔∈(⇔)B =A (B x A x :x 对一切AB(CC).且B⊆⊆⊆(A⇒)(BAxx或⋃x∈A)B∈∈(⇔).∉A(Bx⋃x且x)B∉⇔A).∉((BAxx且x∈∈)BA).⇔(∈(B∉xAx或x)BA).∉∉⇔(设B,A是两个集合.令A Bxx|x但-A=B∉}.{∈设B,A是两个集合.令bA BA,a,⨯baB∈=∈}.|){(称为A与B的笛卡尔积(简称积).A是由一切元素对(a,b)所成的集合,其中第一个位置的元B⨯素a取自A,第二个位置的元素b取自B.。
高等代数教案设计(张禾瑞版)

1.讲授法。2.讨论法。3.讲练结合
教学内容及
时间安排
§1 一元多项式的定义和运算2学时
§2 多项式的整除性4学时
习题课 2学时
§3 多项式的最大公因式2学时
§4 多项式的分解2学时
习题课 2学时
§5 重因式2学时
§6 多项多函数,多项式的根2学时
习题课 2学时
§7 复数和实数域上多项式2学时
§4 整数的一些整除性质2学时
§5 数环和数域2学时
习题课 2学时
学习指导
1.复习教材和笔记中本章内容。
2.让学生阅读北京师范大学,高等代数 第一章
3.让学生阅读《高等代数辅助教材》 第一章。
作业及思考题
教材第一章习题:第6页:6、7; 第14页:5、10;第18页:1、4、5;
第29页:2、4、5;第25页:3、5。
§8 有理数域上多项式4学时
习题课 2学时
学习指导
1.复习教材和笔记中本章内容。
2.让学生阅读北京师范大学,高等代数 第二章
3.让学生阅读《高等代数辅助教材》 第二章。
作业及思考题
教材第二章复习思考题:第31页:3 ;第38页:5、6、7;第48页:6、7、9、10、11 ;第56页:3、5、6;第59页:3、4、5 ;第65页:4、7、8;第71页:2、3、4、5; 第80页:2、3、4。
教学难点
矩阵运算及运算规则、矩阵可逆条件及求逆矩阵的方法,求矩阵的秩。初等变换与初等矩阵的关系,矩阵乘积的秩和矩阵乘积的行列式。
教学方法
1.讲授法。2.讨论法。3.讲练结合
教学内容及
时间安排
§1 矩阵的运算2学时
习题课 2学时
§2 可逆矩阵,矩阵乘积的行列式4学时
高等代数第一章 基本概念

1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
教学目的
高等代数多媒体 课程
湛江教育学院数学系 李白桦
数学可以把灵活引导到真理。
――苏格拉底(Socrate,前469年—前399年)
数学是科学的大门和钥匙。
-----培根(Roger Bacon, 1214-1294)
数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的 美,是一种冷而严肃的美.
--罗素(Russel,1872-1970)
注意: ① A与B可以是相同的集合,也可以是不同的集合 ② 对于A的每一个元素x,需要B中一个唯一确定的元素与它对 应. ③ 一般说来,B中的元素不一定都是A中元素的象. ④ A中不相同的元素的象可能相同.
f :AB
1.2.2
映射的相等及像
设 f : A B , : A B 都是A到B的映射,如果对于每 g 一 ,都有 f g ,那么就说映射f与g是相等的. 记作 f g 例7 令 f : R R, x | x | , g : R R, x x 2 . 那么 f g . 设 f : A B 是一个映射. 对于 x A,x的象 f ( x) B . 一切 这样的象作成B的一个子集,用 f ( A) 表示: f (a) { f ( x) | x A} , 叫做A在f之下的象,或者叫做映射f的象.
A B A C A B C
这就证明了上述等式.
高等代数教案1

《高等代数》教案一、课程性质与目的各种数学理论在代数中取得了整合与统一,而高等代数是代数学的最基础部分。
高等代数是数学与应用数学、计算机科学、信息与计算等专业的重点基础课程,是这些专业硕士研究生入学考试的必考科目。
这是因为,它不仅是后续课程必备的数学基础,在理论和实际中有着广泛的应用背景,更重要的是这门课程的学习,对提高学生的抽象思维能力,掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系,对数学思想、数学思维品质的形成,对培养数学感、数学基本功提高数学修养、数学素质,以及训练严谨的思维和严格的逻辑推理能力都有着特殊而重要的作用。
二、教学基本要求要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论和基本运算。
通过课程教学及大量的习题训练等教学环节,使学生做到概念清晰、推理严密及运算准确,以及提高运用已掌握的知识分析问题和解决问题的能力。
三、教学内容、学时分配及要求授课章节 §1.1 数域 §1.2 一元多项式 教学方法与手段 课堂讲授 课时安排 3 教学目的与要求:1. 掌握数域的概念。
2. 掌握一元多项式的定义、有关概念和基本运算性质。
教学重点、难点:一元多项式的定义、有关概念和基本运算性质 教学内容:§1.1 数域一、引言我们在处理一个数字问题时,往往要用到一些数。
按照所研究的问题,我们常常要明确规定所考虑的数的范围。
例如,求方程440x -=的根。
在有理数范围内此方程无根,在实数范围内,在复数范围内,这个方程有四个根:。
由此可见,同一问题在不同的数的范围内可能有不同的结论。
因此,在这种情况下,要明确规定所考虑的数的范围。
某个范围内的数的全体构成的集合称为数集。
另外,在作代数问题时,不但要考虑一些数,而且往往要对这些数作加减乘除四种运算。
因此所考虑的数集还必须满足条件:其中任两个数的和差积商仍在这个集合内。
根据以上的需要,人们引进了如下所谓数域的概念。
二、数域的定义定义1. 设P 是由一些复数组成的集合,其中包括0与1。
《高等代数》课程教案

《高等代数》课程教案
课次
7
学时
2
授课类型
理论课
授课章、节:
第一章§9有理系数多项式
教学目的、要求:深刻理解本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。
如果 ,那么 称为多项式的首项, 称为首项系数, 称为多项式的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式 的次数记为 .
二、多项式的运算
设 , ,那么
其中 次项的系数是
多项式经过加、减、乘运算后,所得结果仍然是数域 上的多项式.
若 ,则 ,并且 多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.
1. .2.
2、 构成抽象域.
参考资料、主要外语词汇:
1、林磊等,近世代数[M],北京:科学出版社,2003.
数域field of numbers
课后小结:
《高等代数》课程教案
课次
3
学时
2
授课类型
理论课
授课章、节:
第一章§2多项式§3整除的概念
教学目的、要求:
正确理解数域P上一元多项式的定义及其运算,理解整除的定义,掌握带余除法及整除的性质。
4.若 ,则 ,其中 为非零常数.
5.若 ,则 (整除的传递性).
6.若 ,则
,
其中 是数域 上任意的多项式.
通常, 称为 的一个组合.
与它的任一个非零常数倍 有相同的因式,也有相同的倍式.因之,在多项式整除性的讨论中, 常常可以用 来代替.
两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若 , 是 中两个多项式, 是包含 的一个较大的数域.当然, , 也可以看成是 中的多项式.从带余除法可以看出,不论把 , 看成是 中或者是 中的多项式,用 去除 所得的商式及余式都是一样的.因此,若在 中 不能整除 ,则在 中, 也不能整除 .
高等代数教案

高等代数教案教案标题:高等代数教案教案目标:1. 了解高等代数的基本概念和原理。
2. 掌握高等代数中的常见运算规则和技巧。
3. 能够应用高等代数解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学内容:1. 高等代数的基本概念:包括矩阵、行列式、向量、线性方程组等。
2. 高等代数的运算规则:包括矩阵的加法、减法、乘法,行列式的性质,向量的线性组合等。
3. 高等代数的应用:包括线性方程组的解法、矩阵的应用、向量的几何意义等。
教学步骤:第一步:导入1. 引入高等代数的概念和重要性,激发学生对高等代数的兴趣。
2. 通过实例引导学生思考高等代数在实际问题中的应用。
第二步:讲解基本概念和原理1. 介绍矩阵的定义、性质和基本运算规则。
2. 解释行列式的概念、性质和计算方法。
3. 讲解向量的定义、线性组合和线性相关性。
4. 介绍线性方程组的基本概念和解法。
第三步:演示运算规则和技巧1. 通过示例演示矩阵的加法、减法和乘法运算。
2. 指导学生掌握行列式的展开法和性质运用。
3. 演示向量的线性组合和线性相关性的计算方法。
第四步:应用实例1. 提供一些实际问题,引导学生运用高等代数的知识解决问题。
2. 鼓励学生进行讨论和思考,培养他们的逻辑思维和数学推理能力。
第五步:总结和评价1. 总结本节课的重点内容和学习要点。
2. 针对学生的学习情况进行评价,鼓励他们继续努力。
教学资源:1. 教材:高等代数教材。
2. 多媒体设备:投影仪、计算机等。
3. 实例题目和解答。
教学评估:1. 课堂练习:通过课堂练习检验学生对高等代数知识的掌握情况。
2. 作业布置:布置相关的练习题,巩固学生的学习成果。
3. 个别辅导:针对学生的学习困难,进行个别辅导和指导。
教学延伸:1. 拓展应用:引导学生进一步应用高等代数知识解决更复杂的实际问题。
2. 知识拓展:介绍高等代数在其他学科中的应用,拓宽学生的知识视野。
以上是一份高等代数教案的基本框架,具体的教案内容和步骤可以根据教学实际情况进行调整和完善。
高等代数第五版教学设计

高等代数第五版教学设计一、教学目标1.了解和掌握高等代数基本概念、方法和技能,如矩阵、行列式、线性方程组等。
2.能够应用高等代数知识解决实际问题,在科学研究及实际生活中发挥作用。
3.提高学生的数学思维能力,培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
二、教学内容第一章线性代数初步1.认识矩阵,矩阵基本概念和运算法则。
2.矩阵与线性方程组,方程组的通解和特解。
3.行列式,行列式的概念、性质及计算方法。
4.向量空间,向量空间基本概念和性质。
第二章矩阵代数1.矩阵的初等变换及其性质。
2.矩阵的逆,逆矩阵的求解方法。
3.线性方程组的求解方法和判定方法。
4.矩阵的特征值和特征向量,相似矩阵的概念和判定方法。
第三章行列式的应用1.克莱姆法则及其正确性的证明。
2.矩阵的秩及其性质,非齐次线性方程组的解法。
3.行列式的应用,如二次曲线的判别法等。
4.矩阵的奇异值分解及其应用。
第四章线性方程组的应用1.线性方程组及其几何解释,平面与直线的交点问题。
2.线性方程组与最小二乘法,最小二乘法的应用。
3.线性方程组和矩阵的秩,方程组的解的个数及其分类讨论。
4.线性规划问题,线性规划的基本理论及其应用。
三、教学方法采用教师讲授、案例分析和实践操作的教学法。
教师在课堂上引导学生积极思考,注重发展学生的逻辑思维能力和创新能力。
案例分析和实践操作是课程教学的重要环节,可以将理论知识与实践相结合,更好地培养学生的综合素质。
四、教学评价采用多种评价方式,包括考试、作业、课堂表现等。
其中,考试是评价学生学习成果的主要手段,作业是巩固和实践所学知识的重要途径,课堂表现则是评价学生思维方式和综合素质的重要依据。
基于学生的评价结果,及时调整教学方法和内容,提高教学效果。
五、教学资源1.课本资料:《高等代数》第五版,作者:郑小平,出版社:高等教育出版社。
2.案例资料:根据实际需求收集相关案例资料,以丰富课程内容。
3.教学软件:Matlab、Maple等,帮助学生更好地理解和应用高等代数知识。
高等代数教案

《高等代数》课程教学总体安排一、课程名称:高等代数二、课程性质与类型:专业必修课,理论课三、课程总学时及学分:150学时,学分四、教学目的与要求:教学目的:高等代数是数学与应用数学专业必修基础课,也是一门重要主干课程,是中学代数的提高,也是近代数学的基础。
通过本课程的教学,使学生掌握高等代数的基本知识,基本方法,基本思路,适当地了解代数的一些历史,一些背景,以加深对中学数学的理解,获得独立分析和解决有关的理论和实际问题的能力,并为进一步学习其他后继课程:近世代数、微分方程、泛函分析等,以及将来从事教学,科研及其他实际工作打下基础。
教学基本要求:基本掌握全书的基本概念;能独立处理书后的绝大部分习题;通过本书抽象理论的学习,提高自学能力,数学思维,专业素质,以便阅读较深的文献。
五、教材及参考书目教材:张禾瑞,郝炳新著,高等代数,高等教育出版社,2007年6月第四版,ISBN:7-04-021465-9,主要参考书:[1] 北京大学数学系,高等代数,高等教育出版社,2003年7月第三版ISBN:7-04-011915-3[2] 李师正等编,高等代数解题方法与技巧,高等教育出版社,2004 年2月版ISBN:7-04-012942-6[3] 徐仲,陆全,张凯院,高等代数考研教案,西北工业大学出版社,2006年6月出版,ISBN:7-5612-2088-X六、考核方式及成绩计算方法期末进行闭卷考试,综合平时学习态度、课堂表现、平时作业确定学生学习成绩。
具体计算方法为:学科成绩=期末考试成绩×90%+平时成绩×10%七、课程教学日历第一章基本概念教学安排说明章节题目:§1.5数环数域学时分配:2学时。
教学时数为2学时本章教学目的与要求:掌握数环和数域概念,判别方法,理解有理数域的最小性。
其它:本章以自学为主,只讲授第五节课堂教学方案§1.5数环数域课程名称:§1.5数环数域授课时数:2学时授课类型:理论课教学方法与手段:讲授法教学目的与要求:掌握数环和数域概念,判别方法,理解有理数域的最小性。
高等代数最重要的基本概念汇总

第一章 基本概念1.5 数环和数域定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说,a+b,a-b,ab 都在S 内,那么称S 是一个数环。
定义2 设F 是一个数环。
如果(i )F 是一个不等于零的数;(ii )如果a 、b ∈F,,并且b 0≠,a F b∈,那么就称F 是一个数域。
定理 任何数域都包含有理数域,有理数域是最小的数域。
第二章 多项式2.1 一元多项式的定义和运算定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式()1 2012n n a a x a x a x ++++,是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。
项式()1中,0a 叫作零次项或常数项,i i a x 叫作一次项,一般,i a 叫作i 次项的系数。
定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么就说()f x 和()g x 就说是相等定义3 n n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++,0n a ≠的最高次项,非负整数n 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++,0n a ≠的次数。
定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式,并且()0f x ≠,()0g x ≠,那么()i 当()()0f x g x +≠时,()ii ()()()()()()()000f x g x f x g x ∂=∂+∂。
多项式的加法和乘法满足以下运算规则:1) 加法交换律:()()()()f x g x g x f x +=+;2) 加法结合律:()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x ++=++;3)乘法交换律:()()()()f x g x g x f x =;4) 乘法结合律:()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =;5) 乘法对加法的分配律:()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。
高等代数教案(北大版)第一章 多项式

第一章多项式多项式理论是高等代数研究得基本对象之一,在整个高等代数课程中既相对独立,又贯穿其它章节,换句话说,多项式理论得讨论可以不依赖于高等代数得其他内容而自成体系,却可为其它章节的内容提供范例和理论依据。
本章主要讨论多项式的基本概念和基本性质,包括数域的概念、一元多项式的定义与运算规律、整除性、因式分解及根等概念。
教学目的:通过本章的学习,要使学生了一元多项式及运算、整除、最大公因式、(不)可约多项式、重因式等基本概念,领会因式分解定理的基本内容及复数域和实数域上的因式分解的具体内容,掌握多项式的最大公因式的求法、因式分解的方法、重因式的求法及有理系数多项式的可约性的判定。
教学重点:最大公因式的求法、因式分解定理及其应用教学难点:有理系数多项式教学方法与手段:1. 理论课教学以讲授为主,部分介绍性内容用多媒体。
2.习题课以多媒体教学为主。
教学内容:§1 一元多项式的定义和运算1. 多项式的定义令R是一个数环, 并且R含有数1, 因而R含有全体整数。
在这一章里, 凡是说到数环, 都作这样的约定, 不再每次重复。
先讨论R上一元多项式。
定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n (1)这里n是非负整数而a0, a1, a2, …, a n都是R中的数。
在多项式 (1)中, a0叫做零次项或常数项, a1x叫做一次项, 一般地,a i x i叫做第i次项, a i叫做第i次项的系数。
一元多项式常用符号f(x), g(x), …来表示。
2. 相等多项式:定义2 若是数环R上两个一元多项式f(x)和g(x)有完全相同的项, 或者只差一些系数为零的项, 那么f(x)和g(x)说是相等;f (x)=g(x)定义3a n x n叫做多项式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n, ( a n≠0)的最高次项,非负整数n叫做多项式a0+a1x+…+ a n x n, (a n≠0)的次数。
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第一章基本概念一 综述 1.本章是本门课程所需要的最基本概念(集合、映射、整数的一些性质、数环和数域)和方法(数学归纳法、反证法).所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.2.从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化(如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证).3.新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.4.学习本部分的难点是:从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.二 重点、难点1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.1.1 集 合一 教学思考1.集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.2.确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”(描述法).3.中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.4.为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念.二 重点、要求1.重点、难点:卡氏积的概念及从概念出发(集合相等、子集等)进行推理.2.要求:使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.三 教学过程1.集合:简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释:即所谓集合,是指由某些确定的事物(或具有某种性质的事物)组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素. 常用大写字母A 、B 、C K 表示集合,用小写字母a 、b 、c K 表示集合的元素.若a 是集合A 的元素,就说a 属于A,记作A a ∈,或者说A 包含a.若a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A,记作a ∉A,或者说A 不包含a.常采用两种方法:(1)列举法:列出集合的所有元素(包括利用一定的规律列出无限集)的方法.如{}K ,3,2,1=A . (2)示性法(描述法):给出集合所具有的特征性质.如{}043|2=-+=x x x B 表示方程0432=-+x x 的解集.2.集合的分类(按所含元素的个数分):有限集:只含有有限多个元素的集合.无限集:由无限多个元素组成的集合.空集:不含任何元素的集合.用Φ表示.约定:Φ是任何集合的子集.3.集合间的关系:(1) 设A 、B 是两个集合.子集:若A 的每个元素都是B 的元素,则称A 是B 的子集.(即若""B x A x ∈⇒∈∀).记作B A ⊆(读作A 属于B );或者A B ⊇(读作B 包含A ).相等:若集合A 和B 是由完全相同的元素组成的,则称A 与B 相等,记为A=B.(2)性质:(由定义易得)A )A A ⊆;(反身性)B )若C A C B B A ⊆⇒⊆⊆,;(传递性)C )B A ⊆且A B ⊆⇒A=B.(反对称性)4.几个常用的数集(略)5.集合的运算(由两个集合得到一个新的集合)——交、并、补、卡氏积:设A 、B 是两个集合(1)并:由A 的一切元素和B 的一切元素组成的集合叫做A 与B 的并集,简称并.记作B A Y .即{}B x A x x B A ∈∈=或,|Y .(2)交:由集合A 与B 的公共元素组成的集合,叫做A 与B 的交集,简称交.记作B A I .即{}B x A x x B A ∈∈=但,|I . (3)余(差、补):由一切属于A 而不属于B 的元素组成的集合,叫做B 在A 中的余(补)集,或称为A 与B 的差集.记作A-B.即{}B x A x x B A ∉∈=-,|.(4)积(卡氏积):由一切元素对),(b a 所成的集合称为A 与B 的笛卡儿积(简称为积).其中第一个位置的元素取自A,第二个位置的元素取自B.记为B A ⨯.即{}B b A a b a B A ∈∈=⨯,|),(.1.2 映 射一 教学思考 1.映射是近代数学中的一个基本概念.为使本部分内容更加系统化,可作必要的调整及层次化,按映射的概念(包括相等)及例子、映射的合成、几种特殊的映射来处理.2.概念多且成系列,注意 帮助学生弄清概念的实质(包括概念的转述、注释、否定概念的描述、以及新概念与已有概念的联系,如映射的合成是函数与函数的合成的概念的推广),注意训练从定义验证有关问题(给定一个法则是否为映射、分辨一个映射是不是单射、满射、可逆映射)的方法,语言要准确、清楚、有条理.同时初步领会怎样举例——包括正例和反例(内容与作业中皆有此问题).二 内容、重点、要求1. 内容:映射、单、满、双(可逆)映射的概念、映射的合成等.2. 重点:映射及有关概念,举例及由定义验证有关问题的方法.3. 要求:理解并记住上述概念,学会举例与用定义的条件进行验证问题的方法.三 教学过程1.概念与例子定义1. 设A 、B 是两个非空集合,A 到B 的一个映射指的是一个对应法则,通过这个法则,对于,x A y B ∀∈∃∈与它唯一对应.例子:(1)对,,Z n Z ∈∀令n n f 2)(=.(2){}2)(,.0|,x x f R x x x B R A =∈∀≥==. (3){}14,43,32,21:.,4,3,2,1ααααf B A ==. (4)*设A 是任一集合,对x x f A x =∈∀)(,. 这是A 到自身的一个映射(称为A 的变换),称为恒等映射(此为恒等变换),记为A j .定义2. 设B A g B A f →→:,:都是A 到B 的映射,若对,A x ∈∀都有)()(x g x f =,则称映射f 与g 相等,记为g f =. 如:2,:;,:x x R R g x x R R f αα→→.有g f =.2.映射的合成(1)定义3. 设C B g B A f →→:,:是两个映射,对A x ∈∀,有B x f ∈)(,从而C x f g ∈))((,这样,对,A x ∈∀就有C 中唯一的))((x f g 与之对应,就得到A 到C 的一个映射,这个映射是由:f A B →和C B g →:所决定的,称为f 与g 的合成.记作f g ο.即:))((,:x f g x C A f g αο→.例子:x x R R g x x R R f sin ,:;,:2αα→→ .则x x R R g f x x R R f g 22sin ,:;sin ,:αοαο→→.(2)映射合成满足结合律:设,:,:,:D C h C B g B A f →→→则由合成映射的定义可得D A →的两个映射:f g h f g h οοοο)(),(,则f g h f g h οοοο)()(=.3.几类特殊映射定义4. 设,:B A f →对,A x ∈∀有B x f ∈)(,则所有这样的象所作成B 的子集,用)(A f 表示,即{}A x x f A f ∈=|)()(,叫做A 在f 下的象,或叫做映射f 的象.(1)满射: 定义5. 设B A f →:是一映射,若B A f =)(,则称f 是A 到B 上的一个映射,也称f 是一个满射.(2)单射: 定义6. 设B A f →:是一个映射,若对A x x ∈∀21,,只要21x x ≠,就有)()(21x f x f ≠,则称f 是A 到B 的一个单射,简称单射.(3)双射(1-1对应):定义7. 若B A f →:既是单射又是满射,即1)若 A x x x x x f x f ∈∀=⇒=212121,,)()(;2)B A f =)(.则称f 是A 到B 的一个双射.特别若f 是A 到A 上的一个1-1对应,就称f 为A 的一个一一变换;有限集A 到自身的双射称为A 的一个置换.如:A j 是A 的一个一一变换,同样B j 是B 的一个一一变换.由映射合成及相等:若:f A B →,则有,A B f j f j f f ==o o .TH1.2.1令:f A B →是一个映射,则:下述两条等价:1)f 是双射;2)存在:g B A →使得,A B g f j f g j ==o o .且2)成立时,其中的g 由f 唯一决定.(4)可逆映射及其逆映射定义8. 设:f A B →,若存在:g B A →,使得,A B g f j f g j ==o o ,则称f 是可逆映射,且称g 为f 的逆映射.求其逆的方法由定理知::f A B →可逆⇔f 是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f 可逆(双射),再求其逆.而由TH1证知f 可逆时其逆唯一为:,g B A y x →a (若())f x y =(即对y B ∈,找在f 下的原象).(5)代数运算引例:我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(,)a b ,有确定的唯一一个整数(通过相加)与之对应,用映射的观点来说整数加法是Z Z Z ⨯→的一个映射::(,)a b a b ++a .同样实数乘法亦然.一般地:定义9. 设A 是一个非空集合,我们把A A A ⨯→的一个映射叫做集合A 的一个代数运算.若集合A 有代数运算σ,也说A 对σ封闭.1.3 数学归纳法一 教学思考1. 本节主要介绍了数学证明中的一种非常重要的方法——数学归纳法;对于该内容学生不感陌生,因在中学内容中曾会应用.问题在于数学归纳法自身的理论证明,为此需要一个原理——(自然数集的)最小数原理.2. 本节主要讲清最小数原理(给出分析证明及必要的说明),以及在此基础上的数学归纳法的证明.但更重要的是归纳法的解释——从特殊认识一般的思想方法,及数学归纳法应用中的关键(第二步)的突破.二 内容、重点、要求1. 内容:最小数原理、数学归纳法(第一、第二).2. 重点:数学归纳法的证明、应用,归纳思想的建立.3. 要求:了解最小数原理、理解数学归纳法的证明、掌握数学归纳法的应用.三 教学过程引言:现实生活中经常使用这种方法:即首先考察、研究某些个别特殊的事物,再由这些事物总结和抽象出带有一般性规律和结论.这样的方法叫归纳法.1. 数学归纳法的基础——自然数集的一个基本性质:最小数原理最小数原理:自然数集N *的任一非空子集S 必含有一个最小数,即a S ∃∈,对,c S ∀∈都有a c ≤. 2. 数学归纳法TH1.3.1(第一数学归纳法)设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条:1)当1n =时()P n 成立;2)假设n k =时成立,则当1n k =+时也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.TH1.3.2(第二数学归纳法原理)设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条:1)当1n =时()P n 成立;2)假设命题对于一切小于k 的自然数都成立时,命题对于k 也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.1.4 整数的一些整除性质一 教学思考1. 整数的性质是学生熟知的,本节只是将其系统化、理论化.主要从整除的定义、性质、带余除法,最大公因数及性质,互素三方面作了介绍.新的问题是有些概念较之在中学的概念有所区别,理论证明中运用最小数原理还不适应.2. 本节的目的主要为在多项式部分有与之平行的内容,助于学生对多项式类似内容的理解.作为自身的内容,需要将该部分层次化得清晰些.二 内容、重难点、要求1. 内容:整数的整除性、带余除法、最大公因数及性质、互素.2. 重难点:带余除法、最大公因数的性质定理的证明.3. 要求:掌握有关概念、证明整除的方法、反证法的运用.三 教学过程引言: 整除是研究整数性质的最基本的概念,从这个基本概念出发引进带余除法和辗转相除法,然后利用这两个工具建立了最大公因数(和最小公倍数)的理论(进一步证明了非常有用的算术基本定理),这些都是初等数论的基本内容.注意:本节所述的概念在小学、中学是熟知的事实,但未加以严格的叙述,因而不要盲目地相当然,要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习.1. 整除、带余除法(1)整除A )定义1. 设,a b Z ∈,若d Z ∃∈使得b ad =,则称a 整除b (或b 被a 整除).用符号|a b 表示.这时a 叫做b 的一个因数,而b 叫做a 的一个倍数.若a 不整除b (即对,d Z ad b ∀∈≠),记作|a b .B )整除的性质:1)|,||a b b c a c ⇒; (传递性)2)|,||();a b a c a b c ⇒+3)|,|a b c Z a bc ∀∈⇒;4)由2)、3)|,,1,2,3,,|i i i i a b c Z i n a b c ∀∈=⇒∑L ;5)1|,|0,|()a a a a a Z ±±∀∈;由此任意整数a 有因数1,a ±±,它们称为a 的平凡因数;6)若||a b a b ⇒±±;7)|a b 且|b a a b ⇒=或a b =-.(对称性)(2) 带余除法“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有: TH1.4.1(带余除法) 设,a b Z ∈,且0a ≠;那么,q r Z ∃∈使得b aq r =+ 且0r a ≤≤.满足上述条件的,q r 是唯一的.2. 最大公因数、互素(1)最大公因数A )定义2. 设,,a b Z d Z ∈∈,若d 满足:1)|d a 且|d b (即d 是a 与b 的一个公因数);2)若c Z ∈且|,||c a c b c d ⇒(即d 能被a 与b 的任一个公因数整除).则称d 为a 与b 的一个最大公因数. 最大公因数的概念可推广至有限个整数.B )最大公因数的存在性(及求法)TH1.4.2 任意n (2)n ≥个整数12,,,n a a a L 都有最大公因数;若d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,则d -也是;12,,,n a a a L 的两个最大公因数至多相差一个符号.C )性质TH1.4.3 设d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,那么12,,,n t t t Z ∃∈L 使得1122n n d t a t a t a =+++L .略证:若120n a a a ====L ,则0d =,从而对i t Z ∀∈都有11220n n t a t a t a =+++L ;若i a 不全为0,由证明过程知结论成立.(2)互素定义3. 设,a b Z ∈,若(,)1a b =,则称,a b 互素;一般地设12,,,n a a a Z ∈L ,若12(,,,)1n a a a =L ,则称12,,,n a a a L 互素.TH1.4.4 n 个整数12,,,n a a a L 互素12,,,n t t t Z ⇔∃∈L 使得11221n n t a t a t a +++=L .3. 素数及其性质(1)定义4. 一个正整数1p >叫做一个素数,若除1,p ±±外没有其他因数.(2)性质1)若p 是一个素数,则对a Z ∀∈有(,)a p p =或(,)1a p =.(注意转换为语言叙述,证易;略)2)a Z ∀∈且0,1a ≠±;则a 可被某一素数整除.3)TH1.4.5 设p 是一个素数,,a b Z ∈,若|p ab ,则|p a 或|p b .1.5 数环和数域一 教学思考1. 数环、数域是本章引入的两个新概念,其是鉴于很多数学问题不仅与所讨论的范围(数集)有关,而且与数集所满足的运算有关.也就是说需论及所具有的运算.为体现这个问题,引入了数环、数域的概念.2. 数环、数域简而言之是分别关于加、减、乘和加、减、乘、除封闭的非空数集,这可知之联系与区别,且由于对于不同的运算的封闭性,可讨论各自具有的简单性质.3. 本节内容简洁,不难理解,需要注意的是:一、“任意数域都包含有理数域”的证法——归谬法;二、给定一个数集验证是否是数环、数域;三、关于数环、数域的深入的问题——因数环、数域都是数集,而集合有所谓的运算:交、并,那么问题是数环、数域的交、并是否仍是之?从中体会“从定义出发加以验证”以及举例证明的方法.二 教学过程1. 概念定义1. 设S C ⊆且S ≠Φ,若对,a b S ∀∈都有,,a b a b ab S +-∈,则称S 是一个数环.定义2. 设F 是一个数环,若1)F 含有一个非0数;2)若,a b F ∈且0b ≠,则a Fb ∈.则称F 是一个数域.例子:1)整数集为数环,有理数集、实数集、复数集为数域.2)取定a Z ∈,令{}|S na n Z =∈,S 为数环.3){}2|,,1S a bi a b Z i =+∈=- 是数环.4){},F a a b Q =+∈ 是数域.2. 性质1)设S 是一个数环,则0S ∈.2)设F 是一个数域,则0,1F ∈.3)有理数域是最小的数域(在集合包含意义下)TH1.5.1 任何数域都包含有理数域Q .。