从一道数学题谈起
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Ｐ
图３
Ａ ． １ ０
图４
Ｂ． １ ４ Ｃ．１ ８
图５
Ｄ．２ ２
情况下，什么形状的凸多面体 的棱数能取到最大值 ； （）当顶 点数 变化 时 ，相 应 凸 多面体 的棱 数有 怎样 ２ 的变化 规律 ． 观 察 图 ４和 图 ５中 凸多 面体 的棱 的数 量 关系可 以做出初步 的猜想 ，实 际上 ，当一个凸多面体有一 个面为 ｋ 形 （ 边 ｋ＞３）时 ，可 以取 这 个 多边 形 的一 个顶点并挪动它使之不在原 多面体的表面及其延伸 平面 内 ，如 由图 ４变换 为 图 ５ ，这样 的变 换过 程使 得 凸多面体 的顶点 数不 变 ， 面数 和棱 数各 增 加 ｌ 而 ，应 用该 方法 可 以证 明 ：当一 个 凸多面体 的顶点 数给 定 ， “ 且各 个 面均 为三 角形 时 ，棱 数 取到 最大 值” ． 考查 图 ３到 图 ５的变 化过 程 ，可知 当图形变 换 符合每次得到的新 的凸多面体 的各个面均为三角形 时 ，则顶 点数 每 增加 １个 ，其面 数增 加 ２个 ，棱 数 增加 ３条 ．因此 ，当一 个 凸多 面体 的顶 点数为 ８时 ， 其 棱 数 的最大 值为 ６ ４ ３ ８ ＋ ￣ ＝１ ．选 ｃ． 波利 亚在 怎样解 题 中指 出 ：“ 中学数 学教 学 的首 要 任 务就 是 加 强解 题 训 练 ，掌 握 数 学就 意 味着 善 于解 题” ．但是 在课 堂教 学 中应 当教 给 学生 怎样 的 数 学 ，是 我们 数 学教 师应 当认真 研 究 的一 个 重 要 问 题 ，本 文提 出 的 问题 ，着 力于 体 现 数 学家 发 现 数 学 问题 的过程 的真 实再 现 ，从 中让 学 生 了解 到 数 学探 究 的途 径与 方法 ，了解数 学概 念和 结论 产 生 的过 程 ． 高 中涉 及 的几 何 问 题 ，主 要 为 平行 、 垂直 问题 中研 究 的位 置 关 系 以及 长 度 、距 离 、 面积 、体 积 等 度 量 关 系 ．而 图形 变 换 问题 ，为 拓 扑 学 研 究 的范 畴．如果在 凸多面体 中选择一个面 ，并把它向四方 拉 大 ，使 空 间图 形变 换 为 平面 网络 图形 ，这 时 ，顶 点 变 为平 面 网络 图形 的节 点 ，棱 变 为平 面 网络 图形 中的线 段 ，每 个面 变 成 了平 面 多边 形 ，顶点 数 和 边 （ ）数 Ｅ不变 ，面 数 Ｆ少 １个 ，记为 Ｆ ，对 于 棱 该平 面 网络 图形 ，只需证 明 ＋Ｆ 一Ｅ＝１ 即可 ，这 就 是平 面 多边 形 中的欧 拉公 式 ． 据此，简单多面体 的欧拉公式与平面多边形的 欧拉 公式 是等 价 的 ，且 与 问题 １有相 似 之处 ．平 面 多边 形 的欧 拉公 式 的证 明 ，即可 以 用逐 步擦 除 网络 图形 内部 的点 以及 与该 点相 连 结 的线 段 的方法 （退” “ 的方法 ） ，亦可 以把 网络 图形 中的多边 形逐 步分 割成 三角形 （ 在不增加交点 的前提下 ，连结网络图形中 多边形的一条对角线 ）的方法 （ 化未知为 已知的策 略） ，无论 采 用何种 方法 ，均 能说 明变 换过 程 中 ，边 （ ）数与面数增加 或减少的数量相 同，据此可以 棱 证 明平 面 多边 形 的欧拉公 式 是正 确 的 ．
３ ２
福建中学数学
２ １ 年第 ８ ０１ 期
题 ．此类 题 型 要 求课 改 中的数 学 需 要 重视 研 究性 学
习课题的探究 ，同时要求学生在实施 研究性学 习的 过程 中重视对信息的收集、整理、分析 处理 以及得 出结论 的全 过程 ． （）加强学科纵横联系 ，提高把握数学基础功 ７ 能的能力 建 立 和 加 强 学科 之 间 知识 的纵 向 联 系和 横 向联 系，实现知识之 间的沟通 ，有利于学生建立 良好的 认 知 结 构 与体 系 ，有利 于 学 生 更深 刻 地认 识 数 学 ， 有 利 于 学 生 更好 地 提取 知 识 与运 用知 识 ，有 利 于 发 展 学 生 的思维 ． 例 ６（ 厦门中考题） 一个圆 台 形 物 体 的 上底 面积 是 下 底 面
一
纸片 ． 一般地 ， 当一张三角形纸片的内部有 ｎ 个点时 ， 如果连同原三角形纸片的顶点在 内的ｎ ３ ＋ 个点中无 三点共线 ，则能剪出 ２ ＋ 个小三角形纸片 ． １
．
图１
图２
２ １ 年第 ８ ０１ 期
福 建 中学数 学
３ ３
华罗庚曾说 ：“ 善于退 ，足够地退 ，退到最原 始 而不 失 去重 要性 的地 方 ，是 学好 数 学 的一 个诀 窍 ！” 在 问题 的解 决过程 中 ， 用 了“ 采 以退 为进 ” 的策 略 ，不 先考虑在三角形纸片的内部有 ｌ ０个点 ，１０ ０ 个点， １０ 个点的情况， ０ ０ 而是把问题退到足够简单的情况 ， 考 虑 当三 角 形纸片 内部只 有 １ 点 ，２个 点 ，３个点 个 的情 况 ，这 里“ ” 目的 ，就 是要 为 了逐步 逼进 ，进 退 的 而 解 决更 一般 的问题 ． 在 高 中数学 教材 （ 选修 ２２ 推 理 与证 明 一 —） 章 中 ， 绍 了“ 拉公 式” 其发 现 的主 要线 索 ． 介 欧 及 欧拉 曾观 察 一 些特 殊 的多 面体 ，如 三棱 锥 、三棱 柱 、 四 棱锥、四棱柱等 ，猜想并证 明了 ：“ 简单多面体 （ 表 面 经 过连 续变 形 可变 为 球 面 的 多面 体 ） 的面 数 、 顶 点 数 、棱 数 Ｅ满足 ＋Ｆ— Ｅ＝２ ．本文 拟 从 上 ” 述 知识 与 方法 出发 ，试 编一 道 数学题 ． 问题 ２ ：对于简单多面体 ，给出如下四个判断 ： ① 面数 Ｆ随着 顶 点数 Ｖ的增 大而 增大 ； ②棱 数 随着 面 数 Ｆ的增大 而增 大 ； ③ 顶点 数 随着棱 数 Ｅ的增 大而 增大 ； ④ 顶点 数 与面 数 Ｆ之和 （ ＋Ｆ 随着棱 数 Ｅ的 ） 增大 而 增大 其 中正 确 的命 题 个数 有 （ ） Ａ．１ 个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 本题 为 湘教 版教 材例 ２ 的变 式 ，通 过 考查 棱柱 （ 角棱柱）和棱锥 ，容易判断①②③均不正确 ； 截 由欧 拉公 式可 知④ 正 确 ．选 Ａ． 问题 ３ 欧拉通过观察一些特殊 的多面体 ， ： 如三 棱 锥 、三 棱柱 、 四棱锥 、 四棱柱 等 ，猜 想并 证 明 了 ： “ 单 多 面 体 的 面 数 Ｆ 、 顶 点 数 、 棱 数 Ｅ 满 足 简
＋ Ｆ —Ｅ ＝ ２”．
问题 的求 解 ，需 先 关 注 ：（ ）在 顶点 数 给 定 的 １
请 你 根 据 上 述结 论 ，结 合 如下 图形 变换 ：在 三 棱 锥 的体 外 任 取一 点 Ｐ，把 Ｐ与 其相 邻 的一个 面 的 各 顶 点相 连 结 ，可 以得 到一 个新 的 凸多 面体 ．若 已 知连结所得 的线段为新 凸多面体 的棱 ，如由图 ３ 出 发 ，当点 Ｐ在 原 三 棱锥 的底 面 所在 平 面 时 ，所 得 图 形 如 图 ４所示 ，否则 如 图 ５所示 ，且 这 一变换 过 程 可 以继 续下 去 ． 当按这 样 的变换 得 到一 个顶 点数 为 ８ 的凸多 面体 时 ，其棱 数 的最 大值 为 （ ）
积 的 ，如 果如 图 ｌ 放在 桌 上 ， 对 桌 面 的压强 是 ２ ０帕 ， 过来 ０ 翻
图１
这 一解题 关键 ，利 用“ ” 一物 理公 式 ，即可 求 Ｐ＝ 这 得 压强 是 ６０帕 ． ０ 这 样 的 问题 设 置在 适 当渗透 相 关 学科 知识 的 同
时，能让学生明 白数学是学好物理 、化学等课程 的
在 推理与证 明 一章的课堂教学过程 中，曾 遇 到这 样 的一道 题 ： 问题 １ ：一张三角形纸片内部有 ｌ 个点 ，如果 ０ 连 同原 三 角形 的顶 点在 内 的 ｌ 个 点 中无 三点 共线 ， ３ 则 以这 些点 为 三 角 形 的顶 点 ，把 三 角 形 纸片 剪 成小 三 角形 ，这 样 的三 角形 个数 是 拿到题 目， 似乎只有“ 画出图形数一数” 的方法 了，设想一下，如果三角形纸片的内部是 １０ ０ 个点 ，
从一道数 学题 谈起
刘晨 凡 １ 建省 莆 田第 六 中学 （５ １１ 福 ３ １１） 国家 中长期教 育 改 革和 发展 规 划纲 要 （０ ０ ２ １ — ２２ ０ ０年） 》明确提 出“ 负” 减 要求 ： 减轻 学 生过重课 业 “ 负担是全社会的共同责任 ，政府、学校 、家庭、社 会 必须 共 同努 力” ．由于 中学数 学教 学主 要 是解题 教 学 ，学 生在 学 习与考 试 过程 中 ，需 要经 历 各 种各 样 的问题 ，这 就意 味着 ，教 师如 何根 据课 堂教 学 实 际 ， 在 课 堂教 学或 练 习测 评 环 节 中 ，提 出合 理 而 又 有价 值 的问 题 ，应 该 是 落 实“ 负 ” 召 的行 之 有 效 的举 减 号 措．
基 础 ，既可 以体现 数 学 的基 础 功 能和 工 具 作 用 ，又
放，对桌面的压强是——帕 ． 分析 此题以物理知识为背景 ，提出了“ 压强” 这 个学生所熟悉 的概念 ，只要认真理解其深刻含义 ， 抓住 “ 无论 正放 还是 翻过 来放 ， 它对 桌 面 的压力 不变 ”
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
能考察学生综合运 用各科 知识 的能力 ，是实施综合 理科的一种尝试 ，这也是当今数学中考的热点之一 ． 其实 ，中考数学复 习课上，每堂课都有其“ 牵一 发 而 动全 身” 焦 点” 点 ，我们 应该 充 分发 挥教 师 的“ 特 的主 导作 用 ， 课 改 中的中考 “ 点” 示 出来 ， 将 焦 揭 引领 学 生 自主揣 度 ， 自主 联 想 ， 自主 生 发 ，将 数 学复 习 过 程 演 绎成 反 思 性 的学 习探索 过 程 ，引导 学 生触 摸 鲜 活 的 中考 中的数 学 ．这样 ，“ 究课 改 中的 中考 试 探 题 立 意 ，追 求 有效 的 中考数 学复 习” 这一 能 力难 点就 能 不 自觉地 成 了师 生运 筹 帷 幄 的手 中玩偶 ，学 生 才 能一路 闯关 ，在师生间、生生间思维火花 的激烈撞 击中，乘着 中考直通车“ 走南闯北” ，做 中考的主人 ， 达 到 预期 追求 的 目标 ．
林 芸
２ 福建省莆 田华侨 中学 （５ １５ ３ １１）
１０ ０ ０个 点 时 ，又该 如何 解决 呢 ，能 否得 出一 般性 的
结论 呢？ 当三角形 纸 片 的内部 只有 １ 点 时 ，如 图 １ 个 ，沿 这 １个点 与 ３个 顶 点 的连 线 能剪成 ３个 小三 角形 纸
片 ；当三角 形 的 内部 再增 加 １个点 （ 点与 其他 点 该 中无三 点共线 ）时 ，如 图 ２ ‘ 当于在 该 点 所在 的小 ，相 三 角形 纸片 内重 复上 述步 骤 ，得 到 ５个 小 三角形 纸 片 ；继 续研 究 下 去 ，可 以发 现 ：三 角形 的 内部每 增 加 １ 点 ，剪 出的小 三 角形纸 片就 增加 ２个 ，因此 ， 个 当三角形内部有 ｌ ０个点时，能剪出 ２ 个小三角形 １
图３
Ａ ． １ ０
图４
Ｂ． １ ４ Ｃ．１ ８
图５
Ｄ．２ ２
情况下，什么形状的凸多面体 的棱数能取到最大值 ； （）当顶 点数 变化 时 ，相 应 凸 多面体 的棱 数有 怎样 ２ 的变化 规律 ． 观 察 图 ４和 图 ５中 凸多 面体 的棱 的数 量 关系可 以做出初步 的猜想 ，实 际上 ，当一个凸多面体有一 个面为 ｋ 形 （ 边 ｋ＞３）时 ，可 以取 这 个 多边 形 的一 个顶点并挪动它使之不在原 多面体的表面及其延伸 平面 内 ，如 由图 ４变换 为 图 ５ ，这样 的变 换过 程使 得 凸多面体 的顶点 数不 变 ， 面数 和棱 数各 增 加 ｌ 而 ，应 用该 方法 可 以证 明 ：当一 个 凸多面体 的顶点 数给 定 ， “ 且各 个 面均 为三 角形 时 ，棱 数 取到 最大 值” ． 考查 图 ３到 图 ５的变 化过 程 ，可知 当图形变 换 符合每次得到的新 的凸多面体 的各个面均为三角形 时 ，则顶 点数 每 增加 １个 ，其面 数增 加 ２个 ，棱 数 增加 ３条 ．因此 ，当一 个 凸多 面体 的顶 点数为 ８时 ， 其 棱 数 的最大 值为 ６ ４ ３ ８ ＋ ￣ ＝１ ．选 ｃ． 波利 亚在 怎样解 题 中指 出 ：“ 中学数 学教 学 的首 要 任 务就 是 加 强解 题 训 练 ，掌 握 数 学就 意 味着 善 于解 题” ．但是 在课 堂教 学 中应 当教 给 学生 怎样 的 数 学 ，是 我们 数 学教 师应 当认真 研 究 的一 个 重 要 问 题 ，本 文提 出 的 问题 ，着 力于 体 现 数 学家 发 现 数 学 问题 的过程 的真 实再 现 ，从 中让 学 生 了解 到 数 学探 究 的途 径与 方法 ，了解数 学概 念和 结论 产 生 的过 程 ． 高 中涉 及 的几 何 问 题 ，主 要 为 平行 、 垂直 问题 中研 究 的位 置 关 系 以及 长 度 、距 离 、 面积 、体 积 等 度 量 关 系 ．而 图形 变 换 问题 ，为 拓 扑 学 研 究 的范 畴．如果在 凸多面体 中选择一个面 ，并把它向四方 拉 大 ，使 空 间图 形变 换 为 平面 网络 图形 ，这 时 ，顶 点 变 为平 面 网络 图形 的节 点 ，棱 变 为平 面 网络 图形 中的线 段 ，每 个面 变 成 了平 面 多边 形 ，顶点 数 和 边 （ ）数 Ｅ不变 ，面 数 Ｆ少 １个 ，记为 Ｆ ，对 于 棱 该平 面 网络 图形 ，只需证 明 ＋Ｆ 一Ｅ＝１ 即可 ，这 就 是平 面 多边 形 中的欧 拉公 式 ． 据此，简单多面体 的欧拉公式与平面多边形的 欧拉 公式 是等 价 的 ，且 与 问题 １有相 似 之处 ．平 面 多边 形 的欧 拉公 式 的证 明 ，即可 以 用逐 步擦 除 网络 图形 内部 的点 以及 与该 点相 连 结 的线 段 的方法 （退” “ 的方法 ） ，亦可 以把 网络 图形 中的多边 形逐 步分 割成 三角形 （ 在不增加交点 的前提下 ，连结网络图形中 多边形的一条对角线 ）的方法 （ 化未知为 已知的策 略） ，无论 采 用何种 方法 ，均 能说 明变 换过 程 中 ，边 （ ）数与面数增加 或减少的数量相 同，据此可以 棱 证 明平 面 多边 形 的欧拉公 式 是正 确 的 ．
３ ２
福建中学数学
２ １ 年第 ８ ０１ 期
题 ．此类 题 型 要 求课 改 中的数 学 需 要 重视 研 究性 学
习课题的探究 ，同时要求学生在实施 研究性学 习的 过程 中重视对信息的收集、整理、分析 处理 以及得 出结论 的全 过程 ． （）加强学科纵横联系 ，提高把握数学基础功 ７ 能的能力 建 立 和 加 强 学科 之 间 知识 的纵 向 联 系和 横 向联 系，实现知识之 间的沟通 ，有利于学生建立 良好的 认 知 结 构 与体 系 ，有利 于 学 生 更深 刻 地认 识 数 学 ， 有 利 于 学 生 更好 地 提取 知 识 与运 用知 识 ，有 利 于 发 展 学 生 的思维 ． 例 ６（ 厦门中考题） 一个圆 台 形 物 体 的 上底 面积 是 下 底 面
一
纸片 ． 一般地 ， 当一张三角形纸片的内部有 ｎ 个点时 ， 如果连同原三角形纸片的顶点在 内的ｎ ３ ＋ 个点中无 三点共线 ，则能剪出 ２ ＋ 个小三角形纸片 ． １
．
图１
图２
２ １ 年第 ８ ０１ 期
福 建 中学数 学
３ ３
华罗庚曾说 ：“ 善于退 ，足够地退 ，退到最原 始 而不 失 去重 要性 的地 方 ，是 学好 数 学 的一 个诀 窍 ！” 在 问题 的解 决过程 中 ， 用 了“ 采 以退 为进 ” 的策 略 ，不 先考虑在三角形纸片的内部有 ｌ ０个点 ，１０ ０ 个点， １０ 个点的情况， ０ ０ 而是把问题退到足够简单的情况 ， 考 虑 当三 角 形纸片 内部只 有 １ 点 ，２个 点 ，３个点 个 的情 况 ，这 里“ ” 目的 ，就 是要 为 了逐步 逼进 ，进 退 的 而 解 决更 一般 的问题 ． 在 高 中数学 教材 （ 选修 ２２ 推 理 与证 明 一 —） 章 中 ， 绍 了“ 拉公 式” 其发 现 的主 要线 索 ． 介 欧 及 欧拉 曾观 察 一 些特 殊 的多 面体 ，如 三棱 锥 、三棱 柱 、 四 棱锥、四棱柱等 ，猜想并证 明了 ：“ 简单多面体 （ 表 面 经 过连 续变 形 可变 为 球 面 的 多面 体 ） 的面 数 、 顶 点 数 、棱 数 Ｅ满足 ＋Ｆ— Ｅ＝２ ．本文 拟 从 上 ” 述 知识 与 方法 出发 ，试 编一 道 数学题 ． 问题 ２ ：对于简单多面体 ，给出如下四个判断 ： ① 面数 Ｆ随着 顶 点数 Ｖ的增 大而 增大 ； ②棱 数 随着 面 数 Ｆ的增大 而增 大 ； ③ 顶点 数 随着棱 数 Ｅ的增 大而 增大 ； ④ 顶点 数 与面 数 Ｆ之和 （ ＋Ｆ 随着棱 数 Ｅ的 ） 增大 而 增大 其 中正 确 的命 题 个数 有 （ ） Ａ．１ 个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 本题 为 湘教 版教 材例 ２ 的变 式 ，通 过 考查 棱柱 （ 角棱柱）和棱锥 ，容易判断①②③均不正确 ； 截 由欧 拉公 式可 知④ 正 确 ．选 Ａ． 问题 ３ 欧拉通过观察一些特殊 的多面体 ， ： 如三 棱 锥 、三 棱柱 、 四棱锥 、 四棱柱 等 ，猜 想并 证 明 了 ： “ 单 多 面 体 的 面 数 Ｆ 、 顶 点 数 、 棱 数 Ｅ 满 足 简
＋ Ｆ —Ｅ ＝ ２”．
问题 的求 解 ，需 先 关 注 ：（ ）在 顶点 数 给 定 的 １
请 你 根 据 上 述结 论 ，结 合 如下 图形 变换 ：在 三 棱 锥 的体 外 任 取一 点 Ｐ，把 Ｐ与 其相 邻 的一个 面 的 各 顶 点相 连 结 ，可 以得 到一 个新 的 凸多 面体 ．若 已 知连结所得 的线段为新 凸多面体 的棱 ，如由图 ３ 出 发 ，当点 Ｐ在 原 三 棱锥 的底 面 所在 平 面 时 ，所 得 图 形 如 图 ４所示 ，否则 如 图 ５所示 ，且 这 一变换 过 程 可 以继 续下 去 ． 当按这 样 的变换 得 到一 个顶 点数 为 ８ 的凸多 面体 时 ，其棱 数 的最 大值 为 （ ）
积 的 ，如 果如 图 ｌ 放在 桌 上 ， 对 桌 面 的压强 是 ２ ０帕 ， 过来 ０ 翻
图１
这 一解题 关键 ，利 用“ ” 一物 理公 式 ，即可 求 Ｐ＝ 这 得 压强 是 ６０帕 ． ０ 这 样 的 问题 设 置在 适 当渗透 相 关 学科 知识 的 同
时，能让学生明 白数学是学好物理 、化学等课程 的
在 推理与证 明 一章的课堂教学过程 中，曾 遇 到这 样 的一道 题 ： 问题 １ ：一张三角形纸片内部有 ｌ 个点 ，如果 ０ 连 同原 三 角形 的顶 点在 内 的 ｌ 个 点 中无 三点 共线 ， ３ 则 以这 些点 为 三 角 形 的顶 点 ，把 三 角 形 纸片 剪 成小 三 角形 ，这 样 的三 角形 个数 是 拿到题 目， 似乎只有“ 画出图形数一数” 的方法 了，设想一下，如果三角形纸片的内部是 １０ ０ 个点 ，
从一道数 学题 谈起
刘晨 凡 １ 建省 莆 田第 六 中学 （５ １１ 福 ３ １１） 国家 中长期教 育 改 革和 发展 规 划纲 要 （０ ０ ２ １ — ２２ ０ ０年） 》明确提 出“ 负” 减 要求 ： 减轻 学 生过重课 业 “ 负担是全社会的共同责任 ，政府、学校 、家庭、社 会 必须 共 同努 力” ．由于 中学数 学教 学主 要 是解题 教 学 ，学 生在 学 习与考 试 过程 中 ，需 要经 历 各 种各 样 的问题 ，这 就意 味着 ，教 师如 何根 据课 堂教 学 实 际 ， 在 课 堂教 学或 练 习测 评 环 节 中 ，提 出合 理 而 又 有价 值 的问 题 ，应 该 是 落 实“ 负 ” 召 的行 之 有 效 的举 减 号 措．
基 础 ，既可 以体现 数 学 的基 础 功 能和 工 具 作 用 ，又
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
能考察学生综合运 用各科 知识 的能力 ，是实施综合 理科的一种尝试 ，这也是当今数学中考的热点之一 ． 其实 ，中考数学复 习课上，每堂课都有其“ 牵一 发 而 动全 身” 焦 点” 点 ，我们 应该 充 分发 挥教 师 的“ 特 的主 导作 用 ， 课 改 中的中考 “ 点” 示 出来 ， 将 焦 揭 引领 学 生 自主揣 度 ， 自主 联 想 ， 自主 生 发 ，将 数 学复 习 过 程 演 绎成 反 思 性 的学 习探索 过 程 ，引导 学 生触 摸 鲜 活 的 中考 中的数 学 ．这样 ，“ 究课 改 中的 中考 试 探 题 立 意 ，追 求 有效 的 中考数 学复 习” 这一 能 力难 点就 能 不 自觉地 成 了师 生运 筹 帷 幄 的手 中玩偶 ，学 生 才 能一路 闯关 ，在师生间、生生间思维火花 的激烈撞 击中，乘着 中考直通车“ 走南闯北” ，做 中考的主人 ， 达 到 预期 追求 的 目标 ．
林 芸
２ 福建省莆 田华侨 中学 （５ １５ ３ １１）
１０ ０ ０个 点 时 ，又该 如何 解决 呢 ，能 否得 出一 般性 的
结论 呢？ 当三角形 纸 片 的内部 只有 １ 点 时 ，如 图 １ 个 ，沿 这 １个点 与 ３个 顶 点 的连 线 能剪成 ３个 小三 角形 纸
片 ；当三角 形 的 内部 再增 加 １个点 （ 点与 其他 点 该 中无三 点共线 ）时 ，如 图 ２ ‘ 当于在 该 点 所在 的小 ，相 三 角形 纸片 内重 复上 述步 骤 ，得 到 ５个 小 三角形 纸 片 ；继 续研 究 下 去 ，可 以发 现 ：三 角形 的 内部每 增 加 １ 点 ，剪 出的小 三 角形纸 片就 增加 ２个 ，因此 ， 个 当三角形内部有 ｌ ０个点时，能剪出 ２ 个小三角形 １