有理数混合运算简便算法与技巧

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有理数的计算方法与技巧

有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。

一、四个原则：

①整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负

数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。

②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。

③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。

④分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。

二、运算技巧

①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。

例：计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72

1) 解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72

1) = (－0.5 + 2.75) + (3

41－721) = 2.25－4

41 =－2

解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72

1) =－0.5 + 341+ 2.75－72

1 = (3 + 2－7 ) + (－0.5 +

41+ 0.75 －21)=－2 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．

②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。

将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．

例：计算：--+-+-116223445513116

38. 分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。

解：原式=-++--+-()()(.)116116223513445

38 =-+=-817

例：计算：19＋299＋3999＋49999

解：19＋299＋3999＋49999

=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1

= (20＋300＋4000＋50000)－4

= 54320－4

= 54316．

③分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。

例：计算：111125434236

-+-+ 解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭

3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭

11221212

=+= 例：计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。

解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯

0=

例：计算2005×20042003－1001×1002

1001． 解：2005×20042003－1002

10011001⨯ = (2004＋1)×

20042003－(1002－1)×10021001 = (2003－1001)＋(20042003＋1002

1001) =10032004

2001 评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．

④约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。

例：计算：()()61112.50.125 1.250.6215284⎛⎫-⨯⨯-⨯÷⨯⨯⨯ ⎪⎝

⎭ 解：原式()()62.50.125 1.25521110.621284

-⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ ⑤倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。

例：计算12003220033200340052003

++++ 解：设A =++++12003220033200340052003

，把等式右边倒序排列，得 A =++++40052003400420032200312003

将两式相加，得

2120034005200322003400420034005200312003

A =++++++()()() 即224005A =⨯，所以A=4005

所以原式＝4005

⑥裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法

例：

解：应用关系式

来进行“拆项”。

原式

⑦正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。

乘法分配律a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便。

在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．

例：计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．

解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44

=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44

= 17.48×(37＋19＋44)

= 1748．

评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．

⑧变序

在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．

例：计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭

解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭