高中一元二次不等式解法及其应用

一元二次不等式解法

【基础知识精讲】

1.一元二次不等式

(1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式：

①ax2+bx+c＞0(a＞0);②ax2+bx+c＜0(a＞0).

二次函数△情

况

一元二次方程一元二次不等式

y=ax2+bx+c(a＞0) △=

b2-

4ac

ax2+bx+c=0(a＞0

)

ax2+bx+c＞0(a＞0) ax2+bx+c＜0(a＞0)

图

像

与

解

△＞

x1=

x2=

不等式解集为｛x｜x＜x1或x

＞x2＝

不等式解集为｛x｜x1＜x

＜x2＝

△=0

x1=x2=x0=

不等式解集｛x｜x≠x0,x∈R

｝

解集为

△＜

方程无解不等式解集为R(一切实数)

解集为

a＜0的情况自己完成

3.一元n次不等式

(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＞0,

(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＜0，

其中a1＜a2＜…＜a n.

把a1,a2,…a n按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示：

4.分式不等式

(,b j互不相等)

把a1,a2,…a n和b1,b2，…，b m按照从小到大的顺序标在数轴上，该分式不等式的解的区间的情况与(3)中所述类似，分n+m为奇数或偶数在数轴上表示.

综合可知，一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”，“数形结合”及“化归”的数学思想，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像.

【重点难点解析】

本小节重点是一元二次不等式的解法，难点是一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系及运用一元二次不等式解决某些应用问题。

例1解下列关于x的不等式：

(1)2x+3-x2＞0;

(2)x(x+2)-1≥x(3-x);

(3)x2-2x+3＞0;

(4)x2+6(x+3)＞3;

分析解一元二次不等式一般步骤是：①化为标准形式；②确定判别式△=b2-

4ac的符号；③若△≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若△＜0，则对应二次方程无根；④联系二次函数的图像得出不等式的解集.

特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).

解：(1)原不等式可化为

x2-2x-3＜0,

(x-3)(x+1)＜0.

∴不等式的解集为｛x｜-1＜x＜3｝.

(2)原不等式可化为

2x2-x-2≥0,

(2x+1)(x-1)≥0.

∴不等式的解集为｛x｜x≤-，或x≥1｝.

(3)原不等式可化为

(x-)2＞0.

∴不等式的解集为｛x｜x∈R且x≠｝.

(4)原不等式可化为

x2+6x+15＞0.

∵△＜0，方程x2+6x+15=0无实根，

∴不等式的解集为R.

评析熟练掌握一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系，再加上熟练地分解因式、配方技能，解一元二次不等式就能得心应手.

例2解不等式≥2.

解：原不等式可化为-2≥0,

即为≥0，分子、分母必须同号，即可化为

由于-2x2-x-1恒为负值，不等式除以(-2x2-x-1)得即x2+2x-3＜0，即(x+3)(x-1)＜0.

解之得-3＜x＜1.

原不等式的解集为｛x｜-3＜x＜1｝.

遇到分式不等式，一般应化为右边为零的形式，即化为≥0，然后转化为

(当分式不等式的分母恒为正(或为负)时，可以去分母，如＞0

x-1＞0且)

例3若函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)对任意的实数t,都有f(2+t)=f(2-t)，下列不等式成立的是( ) A.f(1)＜f(2)＜f(4) B.f(2)＜f(1)＜f(4)

C.f(2)＜f(4)＜f(1)

D.f(4)＜f(2)＜f(1)

分析由条件知x=2为对称轴，f(2)最小，f(1)=f(3)，函数在(2，+∞)上为增函数，故选B.

评析熟记结论：对f(x)若恒有f(a+x)=f(a-x)成立，则函数的图像关于直线x=a对称.

例4已知不等式ax2+bx+2＞0的解为-＜x＜，求a，b值.

解：方法一：显然a＜0，由(x+)(x-)＜0，

得6x2+x-1＜0，变形得-12x2-2x+2＞0，

故a=-12,b=-2.

方法二：x=-与x=是ax2+bx+2=0的两根，故有解得

评析这里应注意韦达定理的应用.

【难解巧解点拨】

例1若x2+qx+q＞0的解集是｛x｜2＜x＜4｝，求实数p、q的值.

分析在本题中，已知不等式的解集，要求确定其系数，这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题.

这类问题可以用下面的方法来解.

①先作出一个解集符合要求的不等式；

②根据不等式同解的要求，确定其系数的数值.

解：不等式(x-2)(x-4)＜0 ①的解集为｛x｜2＜x＜4｝.

①即为x2-6x+8＜0. 即-x2+6x-8＞0.

这与题中要求的不等式x2+qx+p＞0是同解且同向的二次不等式.

∴其对应的系数成比例，且比值为正数(即二次项系数之值同号).

∴==＞0 解得p=-2,q=.

说明利用上法确定不等式系数时，必须注意：①将两不等式化为同向不等式②同向二次不等式的二次项系数同号，否则就会产生错误.

例2设A=｛x｜-2＜x＜-1,或x＞1｝，B=｛x｜x2+ax+b≤0｝，已知A∪B=｛x｜x＞-

2｝，A∩B=｛x｜1＜x≤3｝，试求a,b的值.

分析在本题求解时要正确利用图形进行分析.